2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时 双曲线
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2． 从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1． 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1． 故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率 渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方 程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相 等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝
( A)
A．
5 2
B． 3
C．52 [解析]
D． 5 双曲线y42－x2＝1 中，a＝2，b＝1，则 c＝ 12＋22＝ 5，则双曲线的
命题方向4 ⇨最值问题
典例 4 设双曲线中心是坐标原点，实轴在 y 轴上，离心率为 25，已知点
P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是 2，求双曲线方程.
3
[规范解题] 设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，因为离心率 e＝ac＝ 25， 所以 a＝2b，所以所求双曲线方程为y42－x2＝b2．
∵e＝53，∴e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋ba22＝295，
∴ba＝43．
由题意得ba＝43
，解得a2＝94．
a92－1b22 ＝1
b2＝4
∴所求的双曲线方程为x92－y42＝1． 4
(3)设双曲线方程为 4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即xλ2－yλ2＝1(λ≠0)，由题意得 a＝3． 49
•轴长、典虚例 轴1 长、离求心双率曲和线渐9y2近－线4x方2＝程－，3并6的作顶出点草坐图标. 、焦点坐标、实 • [思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值， 然后依据各几何量的定义作答．
[规范解答] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x92－y42＝1，
即3x22－2y22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13，
A．5
B． 7
C． 15
D． 17
5．已知双曲线ax22－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为
3 3x＋y＝0，则 a＝__3____.
[解析] 双曲线ax22－y2＝1(a>0)的渐近线方程为 y＝±1ax， 3x＋y＝0⇒y＝－ 3 x，∵a>0，则－1a＝－ 3，a＝ 33．
互动探究学案
命题方向1 ⇨已知双曲线的方程，研究其几何性质
[规范解答] (1)设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题意知ab＝23.又∵双 曲线过点 P( 6，2)，∴a42－b62＝1，
依题意可得aba4＝2－23b62＝1，解得ba22＝＝433． 故所求双曲线方程为34y2－13x2＝1．
(2)设所求双曲线方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)．
命题方向3 ⇨求双曲线的离心率(或范围)
典例 3 设 F1、F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则 C 的离心率为___3___.
[规范解答] ∵F1、F2 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF1| ＋|PF2|＝6a，
特性．
• 1．双曲线的简单几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图象
焦点 _____F_1_(_－__c_,0_)_，__F_2_(c_,_0_)_____ _____F_1_(0_，__－__c_)_，__F_2_(0_，__c_)_____
标准方程 焦距
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
_____|F_1_F_2_|＝__2_c______
范围 ____x_≤__－__a___或____x_≥__a___ ___y_≤__－__a____或____y_≥__a___
对称性
对称轴：__坐__标__轴____；对称中心：__原__点____
双曲线离心率取值范围问题
在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范 围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式 Δ 求解；③利用点在双曲 线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如 a， a，|a|等非负性求 解．
典例 5 已知双曲线的中心在原点，焦点 x 轴上，它的一条渐近线与 x 轴
≥|PF|＋|AF|＋|AM|－|PM|＝|AF|＋|AM|＋2a＝15＋15＋2＝32，当且仅当 A，P，M 三点共线且 P 在 A，M 中间时取等号，此时直线 AM 的方程为－x3＋6 y 6＝1，与双 曲线的方程联立得 P 的坐标为(－2,2 6)，此时，△APF 的面积为12×6×6 6－12 ×6×2 6＝12 6.故填 12 6．
方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程
为 mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．
2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为 y＝mn x 的双曲线方 程可设为：mx22－ny22＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的 方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线ax22－by22＝1 共渐近线的双曲线方程可设 为ax22－by22＝λ(λ≠0)．
离心率 e＝ac＝ 25，故选 A．
3．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方
程为
(D )
A．y＝±54x
B．y＝±45x
C．y＝±43x
D．y＝±34x
4．若双曲线x42－y52＝1 与椭圆ax22＋1y62 ＝1 有共同的焦点，且 a＞0，则 a 的值为
(A )
当 λ>0 时，4λ＝9，λ＝36，双曲线方程为x92－y42＝1；
当 λ<0 时，－9λ＝9，λ＝－81，双曲线方程为y92－48x12＝1． 故所求双曲线方程为x92－y42＝1 或y92－48x12＝1．
『规律总结』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数
法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，
因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)，
•
焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)，
：
实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4，
作草图如图
离心率 e＝ac＝ 313，
渐近线方程 y＝±bax＝±23x．
• 『规律总结』 1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方 程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定 义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
〔跟踪练习 3〕
已知 A、B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角形，
且顶角为 120°， 则 E 的离心率为
( D)
A． 5
B．2
C． 3
D． 2
[解析] 设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM ＝120°，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N，在 Rt△BMN 中，|BN|＝a，|MN|＝ 3a， 故点 M 的坐标为 M(2a， 3a)，代入双曲线方程得 a2＝b2＝c2－a2，即 c2＝2a2，所 以 e＝ 2，故选 D．
ac的范围，即离心率的范围．
[规范解答] ∵双曲线的焦点在 x 轴上，故其渐近线方程为 y＝bax，则 tan α＝
命题方向2 ⇨由双曲线的性质求双曲线的方程
典例 2 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 ，且 经过点 P( 6，2)，求双曲线方程；
(2)已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M(－3,2 3)，求双曲线 方程；
(3)若双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，且两顶点间的距离是 6，求双曲线方 程．
设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|F1F2|＝2c，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a ∵△PF1F2 的最小内角∠PF1F2＝30° 由余弦定理|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2 即 4a2＝4c2＋16a2－2c×4a× 3 ∴c2－2 3ac＋3a2＝0，∴c＝ 3a，∴e＝ac＝ 3．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
8/66
思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
1/66
学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
2/66
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
37/66
类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
33/66
跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.1 双曲线及其标准方程
2．双曲线方程的求法 求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”．“定位”是
指除了中心在原点之外，判断焦点在哪个坐标轴上，以便使
方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为 负，“定量”是指确定a2，b2的值，即根据条件列出关于a2和 b2的方程组，解得a2和b2的具体数值后，再按位置特征写出标 准方程．
【答案】 B
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
【失误防范】
运用双曲线的定义解决相关问题时，(1)不能
忽略“绝对值”号，以免造成漏解，(2)求出解后，要注意检 验根的合理性，以免出现增根．
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
跟踪训练
x 2 y2 4．已知双曲线 － ＝1. 36 45 (1)求此双曲线的左、右焦点 F1，F2 的坐标； (2)如果此双曲线上一点 P 与焦点 F1 的距离等于 16，求点 P 与焦点 F2 的距离．
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
方法感悟
1．对双曲线定义的理解 双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝对值 符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线． 解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的 绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
栏目 导引
第二章
圆锥曲线与方程
跟踪训练
x 2 y2 3．设双曲线 － ＝1，F1、F2 是其两个焦点，点 M 在双曲 4 9 线上． (1)若∠F1MF2＝90° ，求△F1MF2 的面积； (2)若∠F1MF2＝60° 时，△F1MF2 的面积是多少？
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析
2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2， 且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积． 解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0， 得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |， 即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2， 得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2， 故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版选修2
B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是
()
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共
点，则m的取值范围是
A
()
A．m≥3
B．m≤3
C．m>3
D．m<3
4．8x已2＋知2x＋点8Oy2－(04,y0－)，5＝A0(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． 曲线(2的)以方程这个方程的解为坐方标程的的曲点线都是曲线上的点，那么， 这个方程叫做______________，这条曲线叫做 ______________．
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，
C上，但在直线l上
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质； 双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准 方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质 的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
〔跟踪练习 2〕 已知方程 x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
[思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M(m2 ，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程， 即(m2 )2＋(－m－1)2＝10． 解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158．
2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其
1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双 曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程xa22－by22＝1 或ay22－xb22＝ 1(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列 方程求解．
双曲线
2．3．1 双曲线及其标准方程
预习课本 P52～55，思考并完成以下问题 1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、
焦距分别是什么？
2．什么是双曲线的标准方程？
[新知初探]
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值 等于非 零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点 叫做双
()
A．k>5
B．k>5 或－2<k<2
C．k>2 或 k<－2
D．－2<k<2
[解析] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0． 即k|k－|－52>>00，， 或k|k－|－52<<00，. 解得 k>5 或－2<k<2． [答案] B
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的
点的轨迹是
()
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．不存在 答案：B
D．一条射线
3．已知双曲线的 a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为
________．
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方
(1)解法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20， ∵双曲线经过点(3 2，2)， ∴1a82 －b42＝1. 由①②得 a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
解法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
〔跟踪练习 2〕 (2016·全国卷Ⅰ理，5)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线
焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1， 3) D．(0， 3)
[解析] 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又 点间的距离为 4，得 m2＋n＋3m2－n＝4，且 m2＝1，所以－1<n<
a2＋b2＝c2
其中在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为
______________．
3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，所以令 a2－c2＝b2(b>0)
ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1(a>b>0)
双曲线
定义|MF1|－|MF2|＝ 因为 0<a<c，所以令 c2－
[解析] 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线
为y轴建立坐标系，则
B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2 3)．
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)
2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1的全部内容。
2.3。
2 双曲线的几何性质学习目标1。
了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。
2。
理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。
3。
掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。
它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线第二节双曲线-教学课件全篇
由正弦定理得 sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝12|AB|＝2 2<|AB|．
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支(除去与 x 轴的 交点)．
由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点，2 为实轴长的双曲 线的下半支上．
所以点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF1| －|PF2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关 系．
2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点 M 与定点 F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)； ③判断：若 2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点 M 的轨迹就是双 曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应 a，b，c； ④根据 F1，F2 所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
§2 双曲线
2.1 双曲线及其标准方程 2.2 双曲线的简单几何性质 P51
取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择 其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到 F1、F2 上，F1 到 F2 的长为 2a(a>0)，把笔尖放在 M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔 尖就画出一条曲线，如图所示．
(2)双曲线定义的应用： ①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点 M 的轨迹为双曲线． ②若动点 M 在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．