从课本中的阿波罗尼斯圆问题

从课本中的阿波罗尼斯圆问题

探讨数学文化在教学中的渗透

靖江市第一高级中学 数学组 印栋

E-mail: yde2003@ 邮编：214500

克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中．

新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题：

习题2.2（1）10.已知点)(y x M ，与两个定点)03()00(，，，

A O 的距离之比为2/1，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．

分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下．

解析：由题知2/1/=MA MO ，将距离公式代入可得

12

=， 化简整理即得到该曲线的方程为： 4)1(22=++y x .

因此，所求点M 所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）．

这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足λ=PB PA /，当λ大于0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”．

同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与A 、B 距离之比等于λ的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能

否找出阿

波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明

确答案． 定理：A 、B 为两已知点，P 、Q 分别为

线段A B 的定比为λ(λ≠1)的内、外分点，则以P 、Q 为直径的

⊙O 上任意点到A 、B 两点的距离之比等于常数λ．

证明：不妨以λ>1为例．

设a AB =，过B 作⊙O 的与直径PQ 垂直的弦CD ，则1+=

λλa AP ，1+=λa PB ，1

-=λλa AQ ，1-=λa BQ ． 由相交弦定理及勾股定理有

，，1

111·1·22222222222

2

-=-+=+=-=-+==λλλλλλa a a BC AB AC a a a BQ PB BC 于是，，1122-=-=λλλa AC a BC 且λ=BC AC ． 从而，C Q P 、、同时在到A 、B 两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，⊙O 上任意点到B A 、两点的距离之比等于常数．

根据以上过程，关于阿波罗尼斯圆我们还有如下一些显然的性质（证明略）．

①因AQ AP AC ⋅=2，故AC 为⊙O 的一条切线；

②点C 为⊙O 的切线AC 的切点，CP 、CQ 分别为ACB ∠的内、外角平分线；

③当λ>1时，点B 在⊙O 内，点A 在⊙O 外；当0<λ<1时，点A 在⊙O 内，点B 在⊙O 外； ④所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，圆的面积为221⎪⎭

⎫ ⎝⎛-λλπa ； ⑤过点B 作⊙O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠．因为

BO AB BF BE BC ··2==，所以E O F A 、、、四点共圆，AB 平分EAF ∠．

结合其中的部分性质，我们可以尝试一些应用：

应用1 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数2/1？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由．

解：假设在x 轴正半轴上存在两个定点A 、B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两

点的距离之比为常数2/1，设)(y x P ，、)0(1，x A 、)0(2，x B ，其中2

10x x >>． 由题

12=

对满足422=+y x 的任何实数对)(y x ，恒成立，

整理得

222212212(4)43()x x x x x x y -+-=+，

将42

2=+y x 代入得：

2212212(4)412x x x x x -+-=， 这个式子对任意[]22，-∈x 恒成立，所以一定有：

12222140412x x x x -=⎧⎨-=⎩，

因为012>>x x ，所以解得11=x 、42=x ．

所以，在x 轴正半轴上是否存在两个定点)01(，A 、)04(，B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数2/1．

应用2 铁路线上线段100=AB km ，工厂C 到铁路的距离20=CA km ．现要在A 、B 之间某一点D 处，向C 修一条公路．已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为5:3，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的费用最少，点D 应选在何处？

解：以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点C 垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，

则），（00A ，），（200C ．

先求到定点A 、C 的距离之比为5

3的动点)(y x P ，的轨迹方程，即

35=，

整理即得动点)(y x P ，的轨迹方程：

2244909000x y y ++-=，

令0=y ，得15±=x （舍去正值）即得点)015(，

-D ，15=DA ，25=DC ．下面证明此点D 即为所求点：

自点B 作CD 延长线的垂线，垂足为E ，在线段BA 上任取点1D ，连接1CD ，再作BE E D ⊥11于1E ．

设每吨货物运输1km 的铁路费用为)0(3>k k ，则每吨货物运输1km 的公路费用为k 5，如果选址在1D 处，那么总运输费用为

111135(35)y kBD kDC BD DC k =+=+，

而11D BE ∆∽BED ∆∽CAD ∆，∴

3

51525111===AD CD D E BD ，∴11153D E BD =， 那么总费用 11111(35)()5()55y BD DC k E D DC k CD DE k kCE =+=+≥+=，

当且仅当点C 、1D 、1E 共线时取等号．

综上所述，点D 即为所求点．

此外，阿波罗尼斯圆也在历年高考中频频出现：