课题二 整式与分式的复习
整式和分式的复习
儒洋教育学科教师辅导讲义知识点一： 整式与因式分解（一）知识回顾：（二）因式分解： 因式分解：因式分解的一般步骤：（1）对任意多项式分解因式，首先考虑提取公因式。
（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。
字母表示数代数式代数式的值整式整式的加减 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 整式的除法整式的乘法乘法公式平方差公式 完全平方公式因式分解提取公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法 （4）对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。
分解因式，必须进行到再也不能分解为止因式分解的方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法《一》提取公因式法：1、222xyzz xy yz x +--2、2223963xy y x y x -+- 3、)()(2)()(923x y b a y x a b -----4、下列各式从左到右变形是因式分解的是（ ）（A ）)3)(3(92x x x -+=-; （B ）x x x x ++=++22)1(13; （C ）1)2)(2(52--+=-a a a ;（D ）1)1)(1(2-=+-a a a . 《二》公式法：1、44b a -2、6444-a3、226.81251425.1⨯-⨯4、22)())((2)(b a b a b a b a -+-+-+《三》十字相乘法1、ab x b a x +++)(22、24524--x x3、22127b ab a ++4、()2)(1xy y x +++ 5、20)(3)(22-+-+y x y x ；《四》分组分解法1、bx ay by ax 3443+--.2、222493025x b ab a -+-.3、1ab a b -+-4、 bm ma b a -+-33（三）错题练习：错例1错因：受干扰，负迁移产生了的错误． 错例2错因：未把3y 看作一个整体，平方时没给系数3平方．错例3错因：未掌握完全平方公式的结构特征，没给结果的第二项2倍．错例4错因：（1）受符号变化的影响，把两个完全平方公式混淆，结果第二项符号出错． （2）完全平方公式与平方差公式混淆．错例5错因：未掌握完全平方公式的结构特征，错用了平方差公式． （四）小结：在应用完全平方公式运算之前注意以下几点：1、使用完全平方公式首先要熟记公式和公式的特征，不能出现222)(b a b a ±=±的错误或222)(b ab a b a +±=±（漏掉2倍）等错误.2、在公式()2222b ab a b a ++=+中,左边是一个二项式的完全平方,右边都是一个二次三项式,本公式可用语言叙述为:首平方,尾平方,两倍之积在中央.3、公式中a 、b 的既可以代表具体的数，也可以代表单项式或多项式.4、要能根据公式的特征及题目的特征灵活选择适当的公式计算.5、用加法结合律，可为使用公式创造条件.利用这种方法，可以把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方.课堂检测： 一、填空题1、若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m=___________.2、若a 2+2a+b 2-6b+10=0， 则a=___________，b=___________.3、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.4、如果。
整式、分式、因式分解
个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。
1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
整式分式复习资料
整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算．难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。
二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即 n m n m a a a +=⋅(m ,n 都是正整数)（2）幂的乘方:幂的乘方:底数不变, 指数相乘.即 mn n m a a =)((m ,n 都是正整数)（3）积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即n n n b a ab =)((n 是正整数)（4）同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.（这个也可以看做分式的运算）即n m n m a a a -=÷(a ≠0, m ,n 都是正整数，且m ＞n )① 零指数幂:不等于零的数的零次幂等于1. 即=0a 1(a ≠0).推导过程：1a 0-===÷a a a m m m m （这里面注意：a ≠0，因为分母中有a ）②负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 =-p a p a 1 (a ≠0,p 是正整数).例1. 计算a a a ⋅+2433)(2)(3解:a a a ⋅+2433)(2)(3=9998952323a a a a a a =+=⋅+点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例2：0. 252009×42009－8100×0. 5300．解： 0. 252009×42009－8100×0. 5300＝（0. 25×4）2009－（23）100×0. 5300＝12009－（2×0. 5）300＝1－1300＝0【知识点二】整式乘法(1) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a 2b 4c ×2x 3bc 6=(3×2)(b 4×b)(c ×c 6)×a 2×x 3=6a 2x 3b 5c 7(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即：a(m+n)=am+an （单项式计算部分与上面原理相同）(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（就是反复多用几次乘法分配律）。
中考复习(二)整式与分式
（内页1）【例题讲解】知识点一：整式1. 幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：nna a1=-（a≠0，n 为正整数）； 2. 整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，22))((b a b a b a -=-+； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±【典型例题】1、观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是 ，第n 个图中共有 个点。
2、文化广场上摆放了一些长桌子，如图所示，每张长桌单独摆放时，可同时容纳6人 [如图（1）]，并排摆两张桌子时可同时容纳10人 [如图（2）]．一般地，若并排摆n 张桌子可同时容纳 人 [如图（3）]3、已知关于x 的多项式()125)1(3236+---++x n x x m x 不含二次项和三次项，则()nm mn += 。
4、若413y x a +与5521+-b y x 是同类项，则a b = 。
第2课时 整式与分式
C第2课时 整式与分式重点是整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。
难点是选择适当的方法因式分解及代数式的混合运算。
【教学过程】1．整数指数幂的运算例1 （2004上海中考）下列运算，计算结果正确的是（ ）（多项选择）（A ）743a a a =⋅； （B ） 632a a a ÷=； （C ） 325()a a =； （D ） 333)(b a b a ⋅=⋅答案：A,D说明：()()nnnmnnm nm nmnm nmb a ab a a a a a a aa a ==≠=÷=∙-+;);0(;，其中是m,n 正整数，合理利用幂的运算法则，可以正用也可以逆用，如果不是同底的幂，在计算时应化成同底数幂的形式，在化成同底数幂时要注意符号。
例2 （徐汇2008模拟考）计算：=÷-xy y x 2432______________．答案：22xy -说明：直接运用单项式与单项式的运算法则，注意优先确定符号。
同源题选： 1．（闸北2008模拟考）下列计算中，正确的是…………………………………………（ ）（A ）2a 3－3a ＝－a ； （B ）（－ab ）2＝－a 2b 2；（C ）a 2·a －3＝a －1； （D ）－2a 3÷（－2a ）＝－a 2． （答案：C ） 2．（崇明2008模拟考）下列运算中，计算结果正确的是 （ ） （A ）632a a a =⋅； （B ）ab b a 532=+； （C ）325a a a =÷； （D ）b a b a 422)(=（答案：C ） 3.（奉贤2008模拟考）计算）（2363m m -÷= . （答案：m 21-） 2．分解因式（乘法公式的应用）例3 （2007上海中考）分解因式：222a ab -=答案：)(2b a a -例4 （崇明2008模拟考）因式分解：22363y xy x +-= .答案： ()23y x -说明：提取公因式是因式分解中最基本的方法，它的关键是找出公因式，难点是提取公因式后，括号内多项式的确定，要防止漏项或符号出错，检验的最好办法是用提取的公因式乘以括号内的多项式，再与原多项式对照。
中考复习(2)整式与分式
点评 解此题关键是紧扣P、Q关于原点对称,关于原点对称的 点的横、纵坐标是互为相反数,所以,可以得出关于a、b的二 元一次方程组,求出a、b的值从而求出结论.
8.(1) 分解因式：x 2 4 x 2x 2 . (2)分解因式：x 2 2 x 8 x 2x 4 .
(3)下列多项式中，能在实 数范围内分解因式的是 B (A) x 2 4; ( B) x 2 2; (C ) x 2 x 1; ( D) x 2 x 1.
9.分解因式：x 4 8 x 2 9 10.分解因式：a ab c bc
2 2
. . .
a a a a 用式子表示为 : . b b b b
分式
3.分式的运算
(1)分式的乘、除法 ①两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，分母相 乘的积作为分母，即 a c ac b d bd ②两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后， 再与被除式相乘.类比分数除法理解为：除以一个4a 4a
2 2
点评 因式分解一定要分解到不能分解为止.
四.分式
1.分式中的有关概念
A (1)分式:形如 (A、B是整式，且B中含有字母)的式 B
子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母 (2)有理式:整式和分式统称为有理式. 注意:分式有意义的条件——分母不能为0
2 a 3 4a 20. a a 1 a 1 1 a 1 a
2 3 6 2 4
a； ( D ) a a .
6 3 1 2 1 4 3 4 3 2 1 2 4.计算： xy y 2 x xy y x y . 3 2 2
整式及分式总复习
整式总复习教学目标1、复习巩固整式的乘除法及因式分解，并能掌握它们的算法及相互关系 3、学生综合能力的训练；分析问题习惯的培养。
教学重点1、 整式运算方法及因式分解的灵活应用2、分式方程的解法及其应用 教学重点学生综合能力及灵活性的训练教学过程整式的乘除法【课前热身】1. 31-x 2y 的系数是 ，次数是 . 2．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ）A.)1(+a ·5％万元B. 5％a 万元C.(1+5％) a 万元D.(1+5％)2a【考点】1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示连接而成的式子叫做代数式.2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值. 3. 整式（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 一个字母 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .(3) 整式： 与 统称整式.4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.5. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = .6. 乘法公式：(1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝ ； (3) (a ＋b)2＝ ；(4)(a －b)2＝ . 7. 整式的除法⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．【典例精析】例1若0a >且2xa =，3ya =，则x ya-的值为（ ）A ．1-B ．1C ．23 D ．32例2按下列程序计算，把答案写在表格：⑴ 填写表格：⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．【中考演练】1.已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．7 2. 若3223mnx y x y -与 是同类项，则m + n ＝____________.3．观察下面的单项式：x ，-2x ，4x 3，-8x 4，…….根据你发现的规律，写出第7个式子是 .4．大家一定熟知辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则5()a b += ． 因式分解【课前热身】1．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则．2. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ .3. () 下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++ B ．222++a a C ．222b b a +- D ．122++a a【考点】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，⑶ ，⑷ .3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ，⑶=+-222b ab a .5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2．6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 7．易错知识辨析11 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ⅠⅡ1222332234432234()()2()33()464a b a ba b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【典例精析】例1 分解因式： 3y 2－27＝___________________.例2 已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【中考演练】1．简便计算：=2271.229.7－.2．（08）将3214x x x +-分解因式的结果是 ． 3. 如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值．4．计算： 2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．5．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.阅读下面解题过程：解：由224224c a b c b a +=+得： 222244c b c a b a -=- ① ()()()2222222b a c b aba -=-+ ②即222c b a =+ ③ ∴△ABC 为Rt △。
代数复习2(整式分式、二次根式)-教师版
主课题：代数复习2（整式分式、二次根式）教学目标：（1）掌握整式的概念，会进行的整式加、减运算； （2）能熟练地运用幂的除法运算性质进行计算； （3）理解和掌握分式的概念； （4）理解二次根式概念并学会相关运算教学重点：（1）能准确地辨别分式与整式； （2）明确分式有意义和值为零的条件。
（3）熟练掌握二次根式的相关知识 教学难点：（1）能准确地辨别分式与整式； （2）明确分式有意义和值为零的条件。
（3）二次根式的混合运算考点及考试要求：（1）能准确地辨别分式与整式； （2）明确分式有意义和值为零的条件。
（3）熟练掌握二次根式的相关性质以及运算教学内容—代数复习2（整式分式、二次根式）知识精要（一）整式 1、代数式的分类： （拓展→）2、整式：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含代数式 整式分式单项式 多项式有理式无理式分析：依据公式a a aa aa 200==≥-<⎧⎨⎩||()()来化简。
解：（）103 -≥s t()∴≤>∴≤≤=-=-=--≤s t s t t s t t t s t t s t t 33200000，而，即原式·||()[]（），而原式2263620630626362636263265<<∴->-<=---=----=-+-=-（3）原式=-1（4）原式=x 4-10 (5)原式=a b -2备选例题例一、如图是一个由四个矩形一个小正方形围成的大正方形，已知该图案面积为49，小正方形面积为4，若用y x ,表示矩形的长和宽，则下列式子中不正确的是（ D ）A 7=+y xB 2-=y xC 4944=+xyD 2522=+y x例二、已知M x y x y y x yx yx y 222222-=--+-+，则M ＝__________。
解： 2222xy y x y x yx y --+-+ =-+-+-=-=-222222222222x y y x x y y x y x x y Mx y∴=M x 2例三．解方程：11765556222-++=-+-+x x x x x x 解： x x x x x x 222561561156-+--+=--+34a a =值是（ A A.9 B.-9 C.6 D.-6 下列运算正确的是（2b ab = ⎛a a 9336=a a23a的结果是（()B．22--=a a26=a a下列运算正确的是5a=+a2ab-+)(b)a～11～创新三维学习法让您全面发展。
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而二次三项式ax 2 bx c(a 0)能够因式分解的条件是
b 4ac 0
2
下列多项式中，能在实数范围内因式分解的是( （A）x 2 +4 （B）x 2 2 (C )x 2 x 1 ( D)x 2 x 1
)
例4 因式分解x bx a ab
2 2
3
2
2 x
2
因式分解是指把多项式和的形式转化成几个 整式积的形式。
因式分解的方法有： 提取公因式法，公式法，十字相乘法， 分组分解法
一般地，对于二次三项式ax bx c(a 0)
2
若方程ax 2 bx c =0(a 0)的两根分为为x1和x2 那么ax bx c =a x x1 x x2
已知： 3m-5n=0 m m m2 求 2 的值 2 mn mn m n
例7 x5 当x为何值时，式子 无意义？ x 5
乘法公式 平方差公式： a b a b a b
2 2 2 2 2
完全平方公式： a b =a +2ab+b
a-b
2
=a -2ab+b
2
2
例1计算：
a b 2 a b 2
幂的运算 a a a
m n mn
;a
m
m n n
a ;
mn mn
ab
0
n
a b ;a a a
n n p
(a 0);
a 1 a 0 ; a
1 p a 0 a
例2计算：
பைடு நூலகம்
a a
6
4
2
x y y x
例3计算：
5
4x
4
3x 2 x
例5 a ab ab b 计算 a b
2 2
计算 x 5x 6 x 2 2 x 3x 2 x 1
2
例6 已知x 2 2 x 2, 将 x 1 x 3 x 3 x 3 x 1
2
先化简，再求它的值