无穷积分的敛散判别法

无穷积分的敛散判别法摘 要：本文主要介绍了无穷积分的几种敛散判别方法，并对这些方法作一些规律性的分析，总结．关键词：无穷积分；收敛；柯西准则；发散The convergence and divergence method of infinite integralAbstract ：this article mainly introduces several kinds of infinite integral convergence and divergence discrimination method ，and the method for some regularity analysis ,summary. Key Words ：Infinite integral; Convergence ;Cauchy criterion;Divergence前言我们知道当讨论定积分时要考虑两个条件：一是积分区间时必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际应用中会遇到积分的上限或下限趋于无穷大的情况，这时虽然可以用牛顿－莱布尼茨公式再求极限来解决，但是，如果被积函数的原函数不是初等函数，那么，就不能用上面的方法来解决问题了．这时，这个问题就变成积分上限函数当上限趋于无穷大时的极限是否存在的问题．这即是所谓的反常积分的敛散性问题．这里我们给出几种判断无穷积分敛散的方法．1 无穷积分的定义定义：设函数f 定义在无穷积分区间[,)a +∞上，且在任何有限区间[,]a u 上可积．如果存在极限lim ()uu af x dx J →∞=⎰则称此极限J 为函数f 在[,)a +∞上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作()af x dx J +∞=⎰并称()af x dx +∞⎰收敛．如果极限不存在，为方便起见，亦称()af x dx +∞⎰发散．类似地，可定义f 在(,]b -∞上的无穷积分：()()lim bubu f x dx f x dx →∞-∞=⎰⎰对于在(,)-∞+∞上的无穷积分，他用前面两种无穷积分来定义：()()()baf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．2无穷积分的性质性质1 若1()af x dx +∞⎰与2()af x dx +∞⎰都收敛，12,k k 为任意常数，则1122[()()]ak f x k f x dx +∞+⎰也收敛，且11212212[()()]()()aaak f k k x k f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞=++⎰⎰⎰性质2 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，a b <，则()af x dx +∞⎰与()bf x dx +∞⎰同敛态，且有()()()b aabf x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰其中右边第一项是定积分．性质3 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且|()|af x dx +∞⎰收敛，则()af x dx +∞⎰亦必收敛，并有|()||()|aaf x dx f x dx +∞+∞≤⎰⎰当|()|af x dx +∞⎰收敛时，称()af x dx +∞⎰为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分他自身也一定收敛．但是它的逆命题一般不成立，并称收敛而不绝对收敛者为条件收敛．3无穷积分的敛散判别法3.1 定义法根据定义我们可以得到判断无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的一个方法，这是证无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的一个最基础的方法．例1[1]讨论无穷积分1p dxx+∞⎰的敛散性． 解 由于当1p ≠时，()11111up p dx u x p-=--⎰， 当1p =时，1ln up dxu x=⎰， 所以当1p >时，11lim 1up u dx x p →∞=-⎰，而当1p <时，1lim u p u dx x →∞=+∞⎰．所以当1p >时收敛，其值为11p -；当1p <时发散于+∞． 3. 2 柯西准则由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx =⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西收敛准则导出无穷积分收敛的柯西准则．定理1[２]无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >便有2121||||()()()u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰因此我们可以利用柯西准则的充分性来证无穷积分()af x dx +∞⎰是否收敛．在下面证明狄利克雷判别法时就用到了柯西准则来判别无穷积分的收敛与发散． 3. 3 比较判别法这是无穷积分的绝对收敛判别方法．由于|()|uaf x dx ⎰关于上限u 是单调递增的，因此|()|af x dx +∞⎰收敛的充要条件是|()|ua f x dx ⎰存在上界．根据这一分析，我们得到下述比较判别法：定理2（比较法则） 设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 都在任何有限区间上[,]a u 可积，且满足|()|()f x g x ≤，[,)x a ∈+∞则当()ag x dx +∞⎰收敛时|()|af x dx +∞⎰必收敛（或者，当|()|af x dx +∞⎰发散时，()ag x dx+∞⎰必发散）．例2 讨论2sin 1xxdx +∞+⎰的收敛性解 由于22sin 1||11x x x ≤++，[0,)x ∈+∞，且20112x π+∞=+⎰收敛，根据比较法则，2sin 1xx dx +∞+⎰为绝对收敛． 我们又可得到比较法则的极限形式：若f 和g 都在任何有限区间上[,]a u 可积，()0g x >，且()lim()x f x c g x →∞=，则有： ()i 当0c <<+∞时，|()|af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰同敛态；()ii 当0c =时，由()a g x dx +∞⎰收敛可推知|()|af x dx +∞⎰也收敛；()iii 当c =+∞时,由()ag x dx +∞⎰发散可推知|()|af x dx +∞⎰也发散.当选用作为比较对象时，比较判别法及其极限形式就是柯西判别法：设f 定义于[,)a +∞，在任何有限区间上[,]a u 可积，且lim |()|p x x f x λ→∞=则有：()i 当1,0p λ>≤<+∞时，|()|af x dx +∞⎰收敛； ()ii 当1,0p λ≤<≤+∞时，|()|af x dx +∞⎰发散．例3 讨论无穷积分1ln(1)nx dx x+∞+⎰的敛散性 解 当1n >时，取α，1n α<<，则ln(1)ln(1)lim lim 0n n x x x x x x x αα-→+∞→+∞++==．由柯西判别法知1ln(1)nx dx x+∞+⎰收敛． 当1n ≤时，则ln(1)lim lim ln(1)nn x x x xx x →+∞→+∞+=+=+∞．由柯西判别法知1ln(1)nx dx x +∞+⎰收敛．3. 4 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理3（狄利克雷判别法） 若()()ua F u f x dx =⎰在[,)a +∞有界，()g x 在[,)a +∞上当x →+∞时单调趋于零，则()()af xg x dx +∞⎰收敛．证 由条件设|,[,)()|u aM u a f x dx ∈+∞≤⎰．任给0ε>，由于lim ()0x g x →∞=，因此存在G a ≥，当x G >时，有4|()|Mg x ε<．又因为()g x 为单调函数，利用积分第二积分中值定理，对于任何21u u G >>，存在12[,]u u ξ∈，使得221112()()()()()()u u uu g u g u f x g x dx f x dx f x dx ξξ=+⎰⎰⎰．于是有221112||()|||()||()()|()|()|u u u u g u g u f x g x dx f x dx f x dx ξξ≤⋅+⋅⎰⎰⎰1212|()||()|()||()|()()|au u a aag u f x dx g u f x dx f x dx f x dx ξξ=⋅-+⋅-⎰⎰⎰⎰2244M M MMεεε<⋅+⋅=根据柯西准则，证得()()af xg x dx +∞⎰收敛．定理4（阿贝尔判别法） 若()af x dx +∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则收()()af xg x dx +∞⎰收敛．例4 讨论无穷积分1sin pxdx x +∞⎰的敛散性． 解 当1p >时，因为sin 1||p p x x x ≤，[1,)x ∈+∞，而1p dx x+∞⎰当1p >时收敛，则由比较法知1sin pxdx x +∞⎰收敛且绝对收敛． 当01p <≤时，因为对任意1u ≥的，有1|sin ||cos1cos |2u xdx u =-≤⎰，而1p x当0p >时单调趋于零（x →+∞），故由狄利克雷判别法知1sin pxdx x +∞⎰当0p >时总是收敛的． 但另一方面，由于2sin sin 1cos 2||22p x x xx x x x≥=-，[1,)x ∈+∞， 其中12cos 21cos 22x tdx dx x t +∞+∞=⎰⎰满足狄利克雷条件，是收敛的，而112dx x+∞⎰是发散的，因此当01p <≤时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的．当0p ≤时，有定义可知该积分发散． 所以由以上讨论可知，1sin p xdx x+∞⎰在1p >时绝对收敛，01p <≤时条件收敛，0p ≤时发散．3. 5 根值判别法定理5 设()f x 为[,)a +∞上的非负函数，若x ρ=则当1ρ<时，反常积分()af x dx +∞⎰收敛；当1ρ>时，反常积分()af x dx +∞⎰发散．证 ()i 取1,(01)2ρερ-=<<， 存在0A >，任给x A >时，1122ρρρρ---<<+，0011,(01)22ρρρρρ---<<<<=， 0,()x A f x ρ><而00000000111lim|lim ()ln ln ln xx a a a x x x adx ρρρρρρρρ→∞→∞+∞=-=-=⎰收敛．从而()af x dx +∞⎰收敛．()ii 由1ρ>，取102ρε-=>，存在0A >，任给x A >时，有1122ρρρρ---<+111,12ρρρ+<=>，1,()x x A f x ρ>>．而11111111lim|lim ()ln ln xx a a x x x adx ρρρρρρ→∞→∞+∞=-=∞=⎰发散，故()af x dx +∞⎰发散．例5 讨论无穷积分121x xa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的敛散性(0)a >．解 记201()x xa x f x >⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，则21a x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2x a=．因此当2a >时，无穷积分121xxa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰收敛；当(02)a <<时，无穷积分121x xa x dx +∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰发散．注 对于形如1()f x dx +∞⎰的无穷积分常用的判别法是用lim ()x x f x λ→∞进行判别，但此题求极限2lim ()lim1x xx x x x f x a x λλ→∞→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭非常困难！ 3. 6 对数判别法定理6 若()f x 函数在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞有()0f x >，又ln |()|()limln ln x xf x f x xλ→∞==-，有()i 若1λ>，则无穷积分1()f x dx +∞⎰收敛； ()ii 若1λ<，则无穷积分1()f x dx +∞⎰发散；()iii 若1λ=，则无穷积分1()f x dx +∞⎰可能收敛也可能发散．证 因为ln |()|limln ln x xf x xλ→∞=-所以对任意的0ε>存在1X >，当x X >时ln |()|ln ln xf x xλελε--<<-+，即ln(ln )ln |()|ln(ln )x xf x x λελε---+<<，故11()(ln )(ln )f x x x x x λελε+-<<，利用比较判别法知当1λ>时，取1ελ<-，即1λε->，由1()(ln )f x x x λε-<，知1()f x dx +∞⎰收敛； 当1λ<时，取1λε+<，即，由1()(ln )f x x x λε+<，知1()f x dx +∞⎰发散； 当1λ=时，考察无穷积分2,(0)ln (ln ln )pdxp x x x +∞>⎰,易知当(1)p >时收敛，当(1)p ≤时发散，但对任意0p >都有1ln()ln(())ln ln ln ln ln ln ln ln ln (ln ln )1ln ln ln ln pxxf x x p x p x x x x x xx x x x x x--==--注意到ln ln ln limlim 0ln ln ln x x p x px xx →∞→∞== 所以ln(())lim1ln x xf x x x→∞=-，即当1λ=时，无穷积分可能收敛，也可能发散． 同理可证：当λ=+∞为时，即ln(())limln x xf x x x→∞=-∞无穷积分1()f x dx +∞⎰必收敛．此定理为我们提供了一个判别无穷积分的新方法．利用洛必达法则我们可以得到如下的推论．推论 若()f x 在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞的有()0f x >，lim ()0x f x →∞=又'()lim ln 1()x xf x x f x λ→∞⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦，则当λ为定理的各种情况，都有相同的结论成立． 证 由洛必达法则和已知条件知[]''1()()ln ()()()lim lim lim ln 111ln ln ()ln x x x f x xf x xf x xf x xf x x x f x x xλ→∞→∞→∞⎡⎤+⎣⎦⎡⎤==+=-⎢⎥⎣⎦⋅． 故推论的结论成立．例6[６]讨论无穷积分211sin ln x dx x+∞⎰的敛散性． 解 这里21sin()ln x f x x=在[1,)+∞上连续，对任意[1,)x ∈+∞的有()0f x >，又[]1ln(sin )ln ()lim lim 22ln ln ln ln x x x xf x x x x →∞→∞⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这里2λ=，由定理6知，则无穷积分211sin ln x dx x+∞⎰收敛． 参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 华东师范大学数学系．数学分析习题解析[M]．上海：华东师范大学出版社，2003． [3] 徐利治．大学数学解题诠释[M]．安徽：安徽教育出版社，1987． [4] [美]G .A .科恩T.M 科恩．数学手册[M]．北京：工人出版社，1990． [5] 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