高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析 3.1.1 回归分析 北师大版选修2-3
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2018版高中数学北师大版选修2-3课件：第三章 1-1 回归
解答
反思与感悟
(1)求线性回归方程的基本步骤 ①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.
n 2 ②计算： x ， y ， xi ， xiyi. i＝1 i＝1
n
③代入公式，求出y＝bx＋a中参数b，a的值. ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计. (2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程 才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练2
某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利 y(元) 与该周
每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x y (1)求样本点的中心；
解 x ＝6， y ≈79.86，样本点的中心为(6,79.86).
解答
3 66
4 69
5 73
6 81
7 89
8 90
9 91
(2)画出散点图；
解 散点图如下：
(2)参数a，b的求法
i＝1
xi－ x yi－ y xi－ x
n 2
n
i＝1
xiyi－n x y
2 － n x x2 i n
n
lxy b＝ ＝ lxx
i＝1
＝
i＝1
，a＝ y －b x .
知识点二
相关系数
思考1
给出n对数据，按照公式求出的线性回归方程，是否一定能反映 这n对数据的变化规律？ 答案 如果数据散点图中的点都大致分布在一条直线附近，这
i＝1 n
∑ xiyi－n x y
i＝1 2 ∑ y2 － n y i n
n
i＝1
2 ∑ x2 － n x i
.
(2)相关系数r的取值范围是 [－1,1] ，|r|值越大，变量之间的线性相
高中数学第3章统计案例3.1回归分析课件北师大版选修2-3
设 y＝kx，令 t＝1x，则 y＝kt.由 y 与 x 的数据表可得 y 与 t 的数据表：
t
4
2 1 0.5 0.25
y 16 12 5
2
1
作出 y 与 t 的散点图如图所示．
1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归
分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对
2．利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较，若 r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
求线性回归方程 (2016·九江高二检测)某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月
平均气温 x(℃)之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，
其数据如下表：
阶
阶
析
1.1 回归分析
学
阶 段 二
1.2 相关系数
业 分
层
1.3 可线性化的回归分析
测 评
1．了解回归分析的思想和方法．(重点) 2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点) 3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理 1 回归分析
下列数据 x，y 符合哪一种函数模型( )
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3
A.y＝2＋13x
B．y＝2ex
C．y＝2e1x
D．y＝2＋ln x
【解析】 分别将 x 的值代入解析式判断知满足 y＝2＋ln x.
【答案】 D
n
xiyi－n x y
高中数学第3章统计案例1回归分析北师大版选修
n
＝
i＝1xiyi－n x y
x －n x y －n n
2
i＝1 i
2 n 2 i＝1 i
y
.2
(2)线性相关系数r与相关关系的强弱： ①当__r_＞__0_____时，两个变量正相关； ②当__r_＜__0_____时，两个变量负相关； ③当___r_＝__0____时，称两个变量线性不相关； ④r的取值在__[_－__1_,_1_] __ 之间，_|_r_| ____ 值越大，变量之 间的线性相关程度越高； ⑤r的绝对值越接近于___0____，表示两个变量之间的线性 相关程度越低．
第三 章
统计案例
§1 回归分析
课前预习学案
某中学随机选取 8 名女生，测得其身高和体重数据如下表：
编号
12345678
身高(cm) 165 165 157 170 175 165 155 170
体重(kg) 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女中学生的身高预测她的体重的回归方程，并
2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y＝
a＋bx中，回归系数b( )
A．可以小于0
B．大于0
C．可能等于0
D．只能小于0
解析： b可能大于0，也可能小于0，但当b＝0时，x、y
不具有线性相关关系．
答案： A
3．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据 ____________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
1．相关关系的概念
两个变量间的关系可分为确定性关系和_非__确__定__性___关系， 前者又称为__函__数____关系，后者又称为相关关系．
2．相关系数
n
i＝1 xi－ x yi－ y (1)r＝ llxxxylyy＝____i_＝n_1 __x_i－__x__2_·i_＝n_1__y_i－___y__2 __
2020_2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析课件北师大版选修2_3
i＝1
i＝1
定两变量的相关性？
提示：当 r>0 时，表明两个变量正相关，当 r<0 时，表示两 个变量负相关，r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量线性相关 性越强；r 的绝对值越接近于 0，表明两变量之间几乎不存在线 性相关关系，通常当|r|>0.75 时，认为两个变量有很强的线性相 关关系．
知识点三 可线性化的回归分析 [填一填]
两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量
正相关 ；当 r<0 时，b<0，一个变量增加，另一个变量有减少 的趋势，称两个变量 负相关 ；当 r＝0 时，称两个变量线性 不相关．
[答一答]
2．如何由样本的相关系数 r＝
n
xi－ x yi－ y
i＝1
判
n
n
xi－ x 2· yi－ y 2
§1 回归分析
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 回归分析
[填一填] (1)函数关系是一种 确定性 的关系，而相关关系是一种 非确定性 关系． 回归分析 是对具有相关关系的两个变量进
行统计分析的常用方法．
[答一答] 1．线性回归直线方程 y＝a＋bx 与一次函数 y＝a＋kx 有何 区别？
通过变换先将非线性函数转化成线性函数，利用 最小二乘法 得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性 回归方程．
[答一答] 3．如何将函数 y＝aebx 转化为线性函数？
提示：先对 y＝aebx 两边取对数得 lny＝lna＋bx.若记 u＝lny， c＝lna.
则 u＝c＋bx，就把函数 y＝aebx 转化成了线性函数 u＝c＋bx.
3．如何根据原始数据求出拟合函数？ (1)可先由原始数据作出散点图；(2)对于一些函数模型的图 形要熟悉．如教材第 8 项的幂函数曲线 y＝axb、指数曲线 y＝aebx、 倒指数曲线 y＝aebx和对数曲线 y＝a＋blnx 要熟悉；(3)由散点图 找出拟合比较好的函数类型；(4)将非线性函数转化为线性函数； (5)求出回归方程．
高中数学3-1-1回归分析同步课件北师大版选修
y1＋y2＋…＋yn 用 y 表示数据 y1，y2，…，yn 的平均值，即 y ＝ n
＝
1n . y i ni＝1
(2)参数 a、b 的求法 n n xiyi－n x y lxy xi－ x yi－ y b＝ ＝ i＝1 ＝ i＝1 ， lxx
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
809 x ＝7， y ＝ ， 7
7 2 xi ＝371， xiyi＝5 i＝1 i＝1
7
798
xiyi－7 x y
i＝1
7
b＝
2 － 7 x x2 i i＝1
7
809 5 798－7×7× 7 ＝ ≈4.82， 371－7×72
809 ^ a＝ y －b x ＝ －4.82×7≈81.83. 7 所以线性回归方程为 y＝81.83＋4.82x.
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关 关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间 的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方
程
解析 只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二
乘法求出线性方程才有意义．
答案 D
题型二 求线性回归方程
【例2】 已知某地区4岁～10岁女孩各自的平均身高数据如下： 4 100 5 106 6 112 7 116 8 121 9 124 10 130
年龄x/岁 身高y/cm
求y对x的线性回归直线方程．
[思路探索] 要求线性回归方程 → 运用最小二乘法 → 求出a，b
解 制表 i xi yi xi yi 1 4 100 400 2 5 106 530 3 6 112 672 4 7 116 812 5 8 121 968 6 9 124 1 116y －b x
2021_2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析3.1.3可线性化的回归分析课件北师大版选
据如下表:
温度 x/℃
2
某项指标 y
5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801
3
4
5
6
7
8
试建立某项指标y与温度x的回归模型,并判断回归模型的拟合效
果.
分析:根据表中的数据画出散点图,再由散点图设出相应的回归
模型.
题型一
题型二
题型三
解:画出散点图如下图,观察形状大致呈二次函数图像的形状,可
解:设u=ln y,c=ln a,那么u=c+bx.
由得下表:
x
1
2
3
4
5
6
u=ln y
3.951 2
4.110 9
4.219 5
4.304 1
4.356 7
4.418 8
题型一
题型二
题型三
6
6
=1
i=1
∑ xi=21, ∑ ui=25.361
6
6
6
2
2, ∑ =91, ∑ 2
=1
=1
x 1 2
y 2 2.69
1
A.y=2+ x
3
1
C.y=2e
3 4
3 3.38
5
3.6
6
3.8
7 8
4 4.08
9
4.2
)
10
4.3
B.y=2ex
D.y=2+ln x
解析:选项 C 中的函数在区间(0,+∞)内为减函数,不合题意.
选项 B 中当 x=10 时,y=2·e10,远远大于 4.3,不合题意.
数进展拟合.
温度 x/℃
2
某项指标 y
5.790 6.810 8.199 10.001 12.190 14.790 17.801
3
4
5
6
7
8
试建立某项指标y与温度x的回归模型,并判断回归模型的拟合效
果.
分析:根据表中的数据画出散点图,再由散点图设出相应的回归
模型.
题型一
题型二
题型三
解:画出散点图如下图,观察形状大致呈二次函数图像的形状,可
解:设u=ln y,c=ln a,那么u=c+bx.
由得下表:
x
1
2
3
4
5
6
u=ln y
3.951 2
4.110 9
4.219 5
4.304 1
4.356 7
4.418 8
题型一
题型二
题型三
6
6
=1
i=1
∑ xi=21, ∑ ui=25.361
6
6
6
2
2, ∑ =91, ∑ 2
=1
=1
x 1 2
y 2 2.69
1
A.y=2+ x
3
1
C.y=2e
3 4
3 3.38
5
3.6
6
3.8
7 8
4 4.08
9
4.2
)
10
4.3
B.y=2ex
D.y=2+ln x
解析:选项 C 中的函数在区间(0,+∞)内为减函数,不合题意.
选项 B 中当 x=10 时,y=2·e10,远远大于 4.3,不合题意.
数进展拟合.
3.1_回归分析(三)
5 i i
xi2 1660, yi2 327, xi yi 620,
i 1 i 1 i 1
ˆ b
x y 5x y
i 1 5
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ a 7.4 1.15 18 28.1.
残差图的制作及作用 几点说明： 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 3、对于远离横轴的点，要特别注意。
x
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
400 300
400 300 200 100 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
产卵数
产卵数
200 100 0 -100
450 400 350 300 250
产卵数
-40
-30
-20
-10 0 -100 -200
2013-6-13
郑平正 制作
复习回顾
1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
xi2 1660, yi2 327, xi yi 620,
i 1 i 1 i 1
ˆ b
x y 5x y
i 1 5
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ a 7.4 1.15 18 28.1.
残差图的制作及作用 几点说明： 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 3、对于远离横轴的点，要特别注意。
x
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
400 300
400 300 200 100 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
产卵数
产卵数
200 100 0 -100
450 400 350 300 250
产卵数
-40
-30
-20
-10 0 -100 -200
2013-6-13
郑平正 制作
复习回顾
1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
高中数学 统计案例3.1回归分析3.1.2相关系数课件北师大版
∑ 1 031
题型一
题型二
由此可得,������=128.875,������=8.950. 进而求得 r=
9 611.7-8×128.875×8.950 137 835-8×128.8752 × 671.00-8×8.9502
≈0.993.
因此,交通事故数 y 与机动车辆数 x 有较强的线性相关程度.
1
2
3
4
4.某企业的某种产品产量与单位成本数据如下表:
产量 x/千件 单位成 本 y/(元/件) 2 73 3 72 4 71 3 73 4 69 5 68
(1)试确定相关系数r及回归直线; (2)指出产量每增加1千件时,单位成本下降多少; (3)产量为6千件时,单位成本是多少?单位成本为70元时,产量应为 多少?
5
∑ xiyi=8 285, ∑ ������������2 =59 051,������=15,������=108.6.
∑ ������������ ������������ -5������ ������ ������=1
2 5 2 2 2 ∑ ������������ -5������ ∑ ������������ -5������ ������=1 ������=1 5 5
求相关系数r.
题型一
题型二
解:列表如下:
i 1 2 3 4 5 6 7 xi 18 20 22 24 26 28 30 yi 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36 202.94 xi2 324 400 484 576 676 784 900 4 144 xiyi 483.48 567 632.5 692.88 773.5 840 910.8 4 900.16 yi2 721.459 6 803.722 5 826.562 5 833.476 9 885.062 5 900 921.729 6 5 892.013 6