正余弦的诱导公式经典练习题
02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)
三角函数诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．例1．sin 585°的值为 ( )A ．－2 B.2 C ．－3 D.3例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( )A ．－πB ．－π C.π D.π例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝31，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．例9：△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝223.例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π. A ．B ．C ．D ．2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°4.已知，则下列各式中值为的是（ ）A ．B ．sin （π+α）C ．D ．sin （2π﹣α）换元法与诱导公式例11：已知41)3sin(=+απ，则=-)6cos(απ 。
正弦余弦的诱导公式典例剖析(任意角的三角函数习题课)
［例1］已知cos α＝ｍ（｜m ｜≤1），求sin α、tan α的值.选题意图：考查已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值的方法和分类讨论的思想.解：当m ＝0时，α角的终边落在y 轴上若α的终边在y 轴的非负半轴上，则sin α＝1，tan α不存在若α的终边在y 轴的非正半轴上，则sin α＝－1，tan α不存在当m ＝±1时，α角的终边落在x 轴上，则sin α＝0，tan α＝0当｜m ｜＜1且m ≠0时若α在第一或第二象限时mm m 2221cos sin tan 1cos 1sin -==-=-=ααααα若α在第三或第四象限时 m m m 2221cos sin tan 1cos 1sin --==--=--=ααααα说明：确定角α的范围，以便确定三角函数值的符号，要对角的范围进行讨 论，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.［例2］已知tan α＝2，求下列各式的值.(1)sin 2α－sin αcos α＋2 (2)ααααcos 3sin 5cos sin 3+- 选题意图：考查商数关系和平方关系的应用.解：(1)sin 2α－sin αcos α＋25121422431tan 2tan tan 3cos sin cos 2cos sin sin 3222222=++-⨯=++-=++-=αααααααα 653)14()310()14(8)1)(tan 3tan 5()1(tan tan )cos )(sin cos 3sin 5()cos (sin cos sin cos 3sin 5cos sin )2(223222233=+⨯++-=+++-=+++-=+-αααααααααααααααα说明：先通过tan α＝2，求出sin α、cos α，再代入求值，需要讨论，运算也较为复杂. ［例3］已知51cos sin -=-θθ，求下列各式的值.(1)sin 4θ＋cos 4θ(2)tan θ选题意图：考查平方关系的应用.解：(1)由51cos sin -=-θθ，得1－2sin θcos θ＝251 ∴2sin θcos θ＝2524 sin 4θ＋cos 4θ＝（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝1－21（2sin θcos θ）2 625337)2524(2112=⨯-= （2）由(1)知sin θcos θ＝2512＞0， ∴θ为第一或第三象限角 而(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋25492524= 若θ在第一象限，则sin θ＋cos θ＝57与sin θ－cos θ＝－51联立求得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ 43t a n =∴θ 若θ在第三象限，则sin θ＋cos θ＝－57与sin θ－cos θ51⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=53cos 54sin θθ 34t a n =∴θ 说明：通过平方关系可以用sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ表示sin θ·cos θ以便达到换元的目的.［例4］已知x+y =4－2cos 22θ，x －ｙ＝4sin2θ，求证22121=+y x ．选题意图：考查三角函数条件等式的证明方法和平方关系的应用.证明：由x ＋y ＝4－2cos 22θ，得θ2cos 242=--y x ① 由x －y ＝4sin2θ得θ2sin 4=-y x ②①＋②2得.116)(242=-+--y x y x 即x 2＋y 2－2xy －8x －8y ＋16＝0 4xy ＝x 2＋y 2＋16－8x －8y ＋2xy 即4xy ＝（4－x －y ）2 ∴2xy ＝4－x －y 即x ＋2xy ＋y ＝4 ∴4)(2=+y x 因此22121=+y x说明：可通过⎩⎨⎧=--=+θθ2sin 42cos 242y x y x 求出x 、y ，再代入进行证明.。
三角函数诱导公式练习题 答案
三角函数的引诱公式1一.选择题1．假如|cosx|=cos （x+π）,则x 的取值聚集是（）A ．－2π+2kπ≤x≤2π+2kπ B．－2π+2kπ≤x≤2π3+2kπC ．2π+2kπ≤x≤2π3+2kπ D．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）2．sin （－6π19）的值是（）A ．21 B ．－21 C ．23D ．－233．下列三角函数：①sin（nπ+3π4）;②cos（2nπ+6π）;③sin（2nπ+3π）;④cos［（2n+1）π－6π］;⑤sin［（2n+1）π－3π］（n∈Z）．个中函数值与sin 3π的值雷同的是（）A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤ 4．若cos （π+α）=－510,且α∈（－2π,0）,则tan （2π3+α）的值为（）A ．－36B ．36 C ．－26 D ．265．设A.B.C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是（）A ．cos （A+B ）=cosCB ．sin （A+B ）=sinC C ．tan （A+B ）=tanCD ．sin 2B A +=sin 2C6．函数f （x ）=cos 3πx （x∈Z）的值域为（）A ．{－1,－21,0,21,1} B ．{－1,－21,21,1}C ．{－1,－23,0,23,1} D ．{－1,－23,23,1}二.填空题7．若α是第三象限角,则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．三.解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．10．证实：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ． 11．已知cosα=31,cos （α+β）=1,求证：cos （2α+β）=31．12．化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13.求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tanθ．14．求证：（1）sin （2π3－α）=－cosα; （2）cos （2π3+α）=sinα．参考答案1一.选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二.填空题7．－sinα－cosα 8．289三.解答题 9．43+1．10．证实：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1-- =－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++,右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--,左边=右边,∴原等式成立．11．证实：∵cos（α+β）=1,∴α+β=2kπ．∴cos（2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2kπ）=cosα=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证实：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tanθ=右边,∴原等式成立．14证实：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2π－α）=－cosα．（2）cos （2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2π+α）=sinα．三角函数的引诱公式2一.选择题：1．已知sin(4π+α)=23,则sin(43π-α)值为（） A. 21B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21,23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（） A.23 B. 21C. 23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（）2 C.sin2-cos2 D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称,则下列各式中准确的是（）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD.cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0,那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（）,A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4）二.填空题： 6．cos(π-x)= 23,x∈（-π,π）,则x 的值为．7．tanα=m,则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ．8．|sinα|=sin（-π+α）,则α的取值规模是． 三.解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41,求sin （)67x +π+cos2（65π-x ）的值． 11．求下列三角函数值：（1）sin 3π7;（2）cos 4π17;（3）tan （－6π23）;12．求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5;（2）sin ［（2n+1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+,求f （3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22.注：应用公式（1）.公式（2）可以将随意率性角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数,从而求值.12．解：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）=（－sin 3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43.（2）sin ［（2n+1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++--- =θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cosθ－1,∴f（3π）=cos 3π－1=21－1=－21.三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式sin2α＋cos2α=1 sinαcosα =ta nαtanαcotα=12． 引诱公式 (奇变偶不变,符号看象限)（一）sin(π－α)＝sinα sin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosα cos(π+α)＝-cosα tan(π－α)＝-tanα tan(π+α)＝tanα sin(2π－α)＝-sinα sin(2π+α)＝sinα cos(2π－α)＝cosα cos(2π+α)＝cosα tan(2π－α)＝-tanα tan(2π+α)＝tanα（二） sin(π2 －α)＝cosα sin(π2+α)＝cosαcos(π2 －α)＝sinα cos(π2 +α)＝- sinαtan(π2 －α)＝cotα tan(π2 +α)＝-cotαsin(3π2 －α)＝-cosα sin(3π2 +α)＝-cosαcos(3π2 －α)＝-sinα cos(3π2 +α)＝sinαtan(3π2 －α)＝cotα tan(3π2+α)＝-cotαsin(－α)＝－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ sin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβ s in (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβ tan(α+β)= tanα+tanβ1－tanαtanβtan(α－β)= tanα－tanβ1＋tanαtanβ4． 二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2α tan2α=2tanα1－tan2α5． 公式的变形 （1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α （2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2 sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）全能公式（用tanα暗示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2α cos2α＝1－tan2α1+tan2α tan2α＝2tanα1－tan2α6． 拔出帮助角公式asinx ＋bcosx=a2+b2 sin(x+φ) (tanφ= ba )特别地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7． 熟习情势的变形（若何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα 1＋tanα1－tanα若A.B 是锐角,A+B ＝π4,则（1＋tanA ）(1+tanB)=28． 在三角形中的结论若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π2则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A2＝1。
三角函数诱导公式练习题-带答案
三角函数的诱导公式(1)一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k π C ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ） 2．sin （－6π19）的值是（ ） A ． 21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］； ⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）． 其中函数值与sin3π的值相同的是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36 C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cosC B ．sin （A +B ）=sin C C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2A B +=sin 2C 6．函数f （x ）=cos3πx （x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．11．．12、求证：tan(2π)sin(2π)cos(6π)cos(π)sin(5π)q q qq q-----+=tanθ．三角函数的诱导公式(2)一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sinα=sinβB. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ）， A. 51（4+5） B. 51（4-5） C. 51（4±5） D. 51（5-4） 二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ． 8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题：9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］.13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.。
三角函数诱导公式练习题(带答案)
三角函数诱导公式检测题1.全国Ⅱ)若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2.(07·湖北)tan690°的值为( )A ．－33 B.33 C. 3 D ．－ 33.f (sin x )＝cos19x ，则f (cos x )＝( )A ．sin19xB ．cos19xC ．－sin19xD ．－cos19x4.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z)．若f (2009)＝5，则f (2010)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．55.(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.326.函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C.π3 D ．5π7.(2010·重庆文，6)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos (2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)8.函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的单调递减区间是________．三角函数诱导公式（答案）1.[答案] C2.[答案] A[ 解析] tan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33，选A. 3.[答案] C[解析] f (cos x )＝f (sin(90°－x ))＝cos19(90°－x )＝cos(270°－19x )＝－sin19x .4.[答案] C[解析] ∵f (2009)＝a sin(2009π＋α)＋b cos(2009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5， ∴a sin α＋b cos β＝－5.∴f (2010)＝a sin α＋b cos β＝－5.5.[答案] A[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 6.[答案] D[解析] T ＝2π25＝5π. 7.[答案] A[解析] 选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]上为减函数； 选项B ：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，周期为π，在[π4，π2]上为增函数； 选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π； 选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A. 8. [答案] ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z)[解析] 求此函数的递减区间，也就是求y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的递增区间，由k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z 得：k π3－π4<x <k π3＋π12， ∴减区间是⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z.。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
三角函数诱导公式练习题非常经典含有--答案
一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ）A．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ． 2π+2k π≤x ≤2π3+2k πD ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ）A ． 21 B ．－21C ．23 D ．－233．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos（2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sinπ的值3相同的是（）A．①②B．①③④C．②③⑤D．①③⑤4．若cos（π+α）=－10，5且α∈（－π，0），则tan（2π3+α）2的值为（）A．－6B．363C．－6D．2625．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cos C B．sin（A+B）=sin C C．tan （A+B）=tan C D．sin2B A =sin2C 6．函数f（x）=cos3πx（x ∈Z）的值域为（）A．{－1，－1，0，21，21} B ．{－1，－21，21，1}C ．{－1，－23，0，23，1} D ．{－1，－23，23，1}二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________．8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．已知cos α=31，cos（α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α；（2）cos （2π3+α）=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B二、填空题7．－sin α－cos α 8．289三、解答题 9．43+1．10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++， 右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立． 11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21 =︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：（1）sin（π3－α）2=sin［π+（π－α）］=－sin（2π－2α）=－cosα．（2）cos（π3+α）=cos［π+2（π+α）］=－cos（2π+α）=sinα．2三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(π+α)=23，则4sin(3π-α)值为（）4A.1 B. —21 C.223 D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）A. 23 B. 21 C.23±D. —233．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ）A.sin α=sin βB.sin(α-π2) =sin βC.cos α=cos βD. cos(π2-α) =-cos β5．设tan θ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5） B. 51（4-5）C. 51（4±5） D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)= 23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ．7．tan α=m ，则=+-+++)c o s(-s i n ()c o s(3s i n (απα）απ）απ ．8．|sin α|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin 3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）；12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos6π25·tan4π5；（2）sin［（2n+1）π－3π2］.13．设f（θ）=)cos()π(2cos23)2πsin()π2(sin cos2223θθθθθ-+++-++-+，求f（3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π7．11-+m m8．[(2k-1) π,2kπ]9．原式=)cos(·sin()cos()ns(sinαα）παπα--+--αi=)cos?(sin)cos(sin2αααα--=sin α 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin（2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos 4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin（－45°）=－sin45°=－2.2注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sinπ4·cos6π25·tan4π5=sin3（π+π）·cos（4π+6π）·tan（π+4π）3=（－sinπ）·cos6π·tan4π=（－323）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++--- =θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cosθ－1，∴f（3π）=cos3π－1=21－1=－1.2三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanαcosαtanαcotα=12．诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)（一）sin(π－α)＝sinαsin(π+α)＝-sinαcos(π－α)＝-cosαcos(π+α)＝-cosαtan(π－α)＝-tanαtan(π+α)＝tanαsin(2π－α)＝-sinαsin(2π+α)＝sinαcos(2π－α)＝cosαcos(2π+α)＝cosαtan(2π－α)＝-tanαtan(2π+α)＝tanα（二）sin(π2－α)＝cosαsin(π2+α)＝cosαcos(π2－α)＝sin αcos(π2+α)＝- sin αtan(π2－α)＝cot αtan(π2+α)＝-cot αsin(3π2－α)＝-cos αsin(3π2+α)＝-cos αcos(3π2－α)＝-sin αcos(3π2+α)＝sin αtan(3π2－α)＝cot αtan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin (α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin (α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1－tanαtanβtan(α－β)= tanα－tanβ1＋tanαtanβ4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=2tanα1－tan2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2αsin2α＝21－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tan αtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a )特殊地：sinx±cosx＝ 2sin(x±π4 )7．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosxtanx＋cotx若A、B是锐角，A+B＝π4，则（1＋tanA）(1+tanB)=2 8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π,A+B+C2=π2则有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tan C2＋tanC2tanA2＝1。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式练习题一、知识梳理,双基再现 1.公式一 ，， . 2.公式二 ，， . 3.公式三 ，， . 4.公式四 ，， . 5.公式五 ，， .我们可以用一段话来概括公式一～五:απαπα±-∈⋅+,),(2Z k k 的三角函数值，等于，前面加上一个. 6.公式六 ，， . 7.公式七 ，， .公式六～七可以概括如下:απ±2的正弦（余弦）函数值,分别等于，前面加上一个.利用公式五或公式六，可以实现与的相互转化.二、选择题1. 下列各式不正确的是 （ ）A. ααsin )180sin(-=︒+ B ．ααcos )180cos(-=︒+ C ．ααcos )180cos(=︒+- D ．ααsin )180(sin =︒+- 2. 600sin 的值为（ ） A ．21 B ． 21-C ．23 D ． 23-3. )619sin(π-的值等于（ ） A ．21 B ． 21-C ．23 D ． 23-4. 对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（ ） A ．α一定是锐角 B ．πα20≤≤C ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角5. 若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ）A ． 53B ． 53-C ． 54D ． 54-6. 45tan 625cos 34sinπππ⋅⋅的值是（ ）A ．43-B ．43C ．43-D ．437. )2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A ．2cos 2sin -B ．2sin 2cos -C ．)2cos 2(sin -±D ．2cos 2sin +8. 已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ）A ．332 B ． 2- C ． 332-D ． 332± 9. )2sin(,223,21)cos(αππαπαπ-<<-=+的值为（ ） A.23B. 21C. 23±D. 23- 10. 若m -=-++)sin()(sin ααπ, 则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ）A ．m 32-B ．m 23-C ．m 32D ．m 2311. 已知23)4(sin =+απ，则)43(sin απ-的值为（ ）A.21 B. 21- C. 23 D. 23- 12. 如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ ）A ．)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．))(223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)](223,22[Z k k k ∈++ππππ D ．))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ13. 已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A ．21||aa + B ．21aa + C ．21aa +- D ．211a+-14. 设角,635πα-=则)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A ．33 B ．33-C ．3D ．3-15. 若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．23 16. 在ABC ∆中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则ABC ∆必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形17. 如果βα,满足πβα=+，那么下列式子中正确的是（ ）A. βαsin sin =B. βαcos cos =C. βαtan tan =D. βαsin sin -= 18. 若C B A ,,分别为ABC ∆的内角，则下列关系中正确的是（ ） A.C B A sin )sin(=+ B.A C B cos )cos(=+ C.C B A tan )tan(=+ D.A C B sin )sin(-=+19．)60tan()60sin(240tan 225cos ︒-+︒-+︒+︒的值是（ ） A. 2322--B.2322+-C.6322--D.6322+- 20．︒1030cos 等于（ ）A.︒50cosB.︒-50cosC.︒50sinD.︒-50sin 21．)1920sin(︒-等于（ ） A.21 B. 21- C. 23 D.23- 22．32sin 334sin 2)3sin(πππ++-等于（ ）A .1B.21C. 0D. 1-23．已知41log )sin(8=-απ，且)0,2(πα-∈，则)2tan(απ-的值为（ ） A .552-B.552C.552±D.2524．设m =+)5tan(απ，则)cos()sin()cos()3sin(απααππα+---+-的值为（ ）A.11-+m m B.11+-m m C.1- D.1 25．已知α是三角形的一个内角，下列各式中不一定正确的是（ ） A.02tan>αB.ααπsin )sin(-=+C.0cos >αD.01sin >+α26．已知53)sin(=+απ，且α是第四象限角，则)2cos(πα-的值为（ ）A.54-B.54C.54± D.5327．化简：)2cos()2sin(])12(sin[])12(sin[παπαπαπαn n n n -++-+++得到的结果是（ ）A .0 B.αcos 2-C.αsin 2D.αcos 228．已知m =75sinπ，则72cos π的值等于（ ）A.mB.m -C.21m -D.21m -- 29．)22cos()2sin(---ππ化简的结果是（ ）A ．0B.1- C.2sin 2 D. 2sin 2- 30．化简：︒-460sin 12的结果为（ ）A.︒-80cosB. ︒-80sinC. ︒80cosD. ︒80sin 31．已知53)2cos(-=+απ，且α是第二象限角，则)23sin(πα-的结果是（ ） A.54 B. 54- C.54± D.5332．如果C B A ,,为ABC ∆的三个内角，则=+2sin CB （ ） A.2cosA - B. 2sin A C. 2sin A - D. 2cos A 33．设2cos)(xx f =,则下列各式中成立的是（ ） A.)()2(x f x f =-π B. )()2(x f x f =+π C.)()(x f x f -=- D. )()(x f x f =-34．已知下列各式：① );tan()tan(πααπ-=+②);cos()cos(απαπ+=- ③);2sin()sin(απαπ-=+④)sin()sin(παα-=-，其中正确命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C.3 D.435．化简)139tan()63tan()49tan()27tan(βαβα-︒⋅+︒⋅-︒⋅-︒的结果为（ ） A.1 B. 1- C.2 D. 2- 36．若),1|(|)6cos(≤=-m m απ则)32(sin απ-等于（ ） A.m - B.2m- C . 2m D. m三、填空题1. ︒2010tan 的值为．2. 化简：=--+-+++)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ． 3. 已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则=αtan ． 4. 若a =αtan ，则()()=+--απαπ3cos 5sin．5. =+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos7cosππππππ． 6. 若1312)125(sin =-︒α,则=︒+)55(sin α ．7. 设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为． 8．已知3)tan(=+απ，则=-+)cos()sin(απαπ.9．=︒++︒+︒+︒180cos ......3cos 2cos 1cos . 10．若,2)tan(=-απ则)sin()23sin()25cos()3sin(2απαπαπαπ--+++的值为__________. 11．已知x x f tan )2(=+π，则=)3(πf ，=)65(πf . 四、解答题1. 求︒+︒-1665sin )2640(cos 的值．2. 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21．3. 已知 3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．4. 若αα,32cos =是第四象限角，求)4cos()cos()cos()3cos()3sin()2(sin πααπαππαπαπα--------+-的值． 5. 已知ααtan 1tan ，是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<<求)sin()3cos(απαπ+-+的值.6．已知21)tan(-=+απ，求)4sin()2cos(4)sin(3)cos(2αππααπαπ-+-+--的值7．已知α是第三象限角,且)sin()2cos()sin()(πααπαπα----=f(1)化简)(αf ；（2）若51)sin(=+απ,求)(αf ；（3）若︒-=1860α,求)(αf 8．求下列各三角函数值： （1）)310sin(π-（2）629cos π（3）)855tan(︒- 9．已知,)2cos()3sin(m =++-αππα求证：)(23)2sin(2)27cos(Z k m k ∈=-+-αππα.。
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正余弦的诱导公式
复习要求1：熟练掌握正弦，余弦诱导公式并运用它求任意角的三角函数值，化简，简单三角恒等式的证明。
2：了解把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高解题能力。
复习重点：诱导公式及其综合运用。
复习过程： 一：基本公式
1:sin(360k+a)=________________ cos(360k+a)=_______________________
2:sin(180+a)=________________ cos(180+a)=________________________
3:sin(90+a)=__________________ sin(270+a)=_________________________
4:cos(90+a)=__________________ cos(270+a)=________________________
以上四组公式可概括为360k+a,180+a (或90+a, 270+a) 的三角函数值，等于a 的同名（或余名）函数值，前面加上把a 看成锐角时原函数值的符号：简记为：“奇变偶不变，符号看象限。
” 二：公式的主要运用1：任意角的三角函数转化为锐角三角函数。
2：三角函数式的化简。
3：三角恒等式的证明。
三：基础练习〈1〉： tan 0
300+cot(-0405-)的值是
〈2〉： 已知sin(4
π-a)=53 ,则 sin(a-413π)的值等于 〈3〉：设 a 是第三象限角，则)2sin()cos(21a a --+ππ=
〈4〉：已知A=a a k sin )sin(+π+a a k cos )cos(+π (k ∈Z), 则 A 值构成集合 四：例题分析
例1 求 sin315sin(-1260 )+cos570 sin(-840 ) 的值。
例2 已知 tan(π+a)=3 ,求
)
2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ 的值。
例3 已知A,B,C 为三角形的三个内角，求证〈1〉cos(2A+B+C)= --cosA
<2>tan
4B A +=--tan 43C +π
跟踪练习
1：计算 sin
34π cos 625πtan( 43π-)
2:已知 cos(a+75 )=
426- ,a 为第三象限角，求cos(15 –a)+sin(a-15 ) 的值。
3：证明
)5sin()cos()6cos()2sin()2tan(a a a a a ------πππππ=-tana 五：作业
1：设f(n)=cos
2πn ,求f(25)+f(26)+f(27)+…..+f(42)的值
2：化简 sin(
π414-n -a)+cos(a n -+π414),其中n ∈+Z ,a ∈(0,4π)
3:已知sina 是方程５2x -7x-6=0的根，求)cot()2
cos()2cos()
2(tan )23sin()23sin(2a a a a a a -+-----ππππππ的
值。
４：在三角形ABC 中，若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),试判断三角形ABC 的形状。