北京市北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题+Word版含解析
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学
试卷（AP）
本试卷满分100分，考试时间为120分钟。
第一部分：中文卷（80分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合，，
则.
故选D.
2. 若函数的定义域和值域都为R，则关于实数a的下列说法中正确的是
A. 或3
B.
C. 或
D.
【答案】B
【解析】若函数的定义域和值域都为R，则.
解得或3.
当时，，满足题意；
当时，，值域为{1}，不满足题意.
故选B.
3. 下列函数中，在区间上是增函数的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】已知函数为上的增函数，
，为R上的减函数；
在和上单调递减.
故选A.
4. 给定四个函数：①；②；③；④，其中是奇函数的有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】①函数的定义域为R,则,则函数f(x)是奇函数；
②函数的定义域关于原点不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数；
③函数的定义域为R,f(0)=0+1=1≠0,则函数f(x)为非奇非偶函数；
④函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),,则函数f(x)是奇函数，
故选B.
5. 函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数在R上为增函数，且，
所以，解得.
故选C.
6. 函数与的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】显然函数过原点，故排除A,二次函数函数的零点为和，一次函数的零点为.
两函数图象在x轴上有一个公共点，故排除B,C.
D.由一次函数图象可得a＜0,b>0,
函数函数开口向下，零点,此选项正确.
故选D.
点睛：二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)图象与系数的关系
(1)a决定开口方向及开口大小,当a＞0时,开口向上;当a＜0时,开口向下;
(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0,c).
①当c=0时,抛物线经过原点;
②当c＞0时,抛物线与y轴交于正半轴;
③当c＜0时,抛物线与y轴交于负半轴.
2、一次函数y=kx+b图象跨越的象限:
k＞0,b＞0,则函数经过一、二、三象限;
k＞0,b＜0,函数经过一、三、四象限;
k＜0,b＞0时,函数经过一、二、四象限;
k＜0,b＜0时,函数经过二、三、四象限.
7. 设，，，则a,b,c之间的关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在
上单调增，因为，则，综上所述选A．
考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性
8. 函数的零点所在的大致区间是
A. （1，2）
B.
C.
D. 和（3，4）
【答案】C
【解析】函数单调递增，且有.
所以函数有一个零点在区间内.
故选C.
点睛：本题主要考查了函数的零点与方程的关系;分段函数的应用等知识点. 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：要求函数在上是连续的曲线，且.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分
9. 奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是_________
【答案】
【解析】由于奇函数关于原点对称,故函数(x)在定义域为[−5,5]的图象如图
由图象知不等式f(x)<0的解集是，
故答案为：.
10. 函数，则_________
【答案】
【解析】试题分析：由知．
考点：分段函数
11. 若函数在（]上单调递减，则p的取值范围是________【答案】
【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为.
在（]上单调递减，在单调递增.
所以，解得.
答案为.
12. 的值是_____________。
【答案】1
【解析】
.
答案为：1.
13. 函数的定义域为____________
【答案】
【解析】函数中有：，解得且.
所以定义域为.
答案为：.
14. 计算：_________
【答案】5
【解析】.
答案为：5.
三、解答题：请写出解题步骤（共24分）
15. 已知函数的定义域为A，的值域为B。
（1）求A，B；
（2）设全集，求
【答案】（1），；（2）.
【解析】试题分析：（1）求出的定义域确定出A，求出的值域确定出B即可；（2）根据全集R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
试题解析：
（1）由得：，解得.
.
，
（2）.
.
16. 已知集合，
（1）若￠，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围。
【答案】（1）；（2）①；②.
【解析】试题分析：（1）根据，建立条件关系即可求实数a的取值范围．（2）根据，得或A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．试题解析：
.
（1）若，则，即或.
解得：或,
综上：.
（2）若.
则或或
.
集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
17. 计算：
【答案】1.
【解析】试题分析：利用对数的性质、运算法则直接求解.
试题解析：
.
18. 已知二次函数最小值为，且
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求m的取值范围。
【答案】（1）；（2）或.
试题解析：
（1）解：
.
.
. （2）或且
或。
北京市2017-2018学年高一上期中数学真题试题
…外………内……绝密★启用前北京市2017-2018学年高一上期中数学真题试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U=，集合{}1,2A=，{}2,3B=，则()UA B⋃=ð（）．A．{}1,3,4B．{}3,4C．{}3D．{}42．设，，，且，则（）A．B．C．D．3．不等式2230x x+-≥的解集为（）．A．{|1x x≤-或3}x≥B．{|13}x x-≤≤C．{|3x x≤-或1}x≥D．{|31}x x-≤≤4．已知()22,1{,122,2x xf x x xx x+≤-=-<<≥，若()3f x=，则x的值是（）．A．B．1或C．1，D．15．已知定义在R上的函数()f x的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x一定存在零点的区间是（）．A．(),1-∞B．()1,2C．()2,3D．()3,+∞…………○…………订………要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题…………○…………订………6．设0.94a=，）．A．a b>B．a b=C．a b<D．a、b的大小无法确定7．下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（）．A．1y x-=B．22x xy-=-C．lgy x=D．8．已知函数()(),0{,0f x xyg x x>=<是偶函数，()log af x x=的图象过点()2,1，则()y g x=在区间(),0-∞上对应的图象大致是（）．A．B．C．D．9．定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，[)()2120,x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，则（）．A．()()()321f f f<-<B．()()()123f f f<-<C．()()()213f f f-<<D．()()()312f f f<<-10．设函数()133,1{1log,1x xf xx x-≤=->，则满足()3f x≤的x的取值范围是（）．A．[]1,3-B．[]0,3C．D．[)0,+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．函数 的定义域为__________．12．函数()3xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是__________．13．计算： ．14．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()f x =__________； ()2log 4f =__________．15．比较三个数0.76， 60.7， 0.7log 6的大小（用“<”号连接）：__________． 16．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值集合为 ． 17．已知函数()()2,0{21,0x a x f x a R x x -≤=∈->，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是__________．18．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是__________．19．函数()f x 是奇函数，且是在[]1,1-上单调递增的函数，又()11f -=-． ①则()f x 在[]1,1-上的最大值为__________．②若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-及任意[]1,1a ∈-都成立，则实数t 的取值范围是__________． 三、解答题20．已知集合{|3}A x a x a =≤≤+， {|1B x x =<-或5}x >，全集U R =．（2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．21．已知()f x 的定义域为{|0}x R x ∈≠，且()f x 是奇函数，当0x >时()2f x x bx c =-++，若()()13f f =， ()22f =．（1）求b 、c 的值．（2）求()f x 在0x <时的表达式． （3）解不等式()2f x <-． 22 （1）求函数()f x 的定义域．（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）求函数()f x 的值域．23．已知函数()()2lg 1f x x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．24．设函数()f x 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数． 已知函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-．（1）若1a =， 2b =，写出函数()f x 的一个承托函数（结论不要求注明）． （2）判断是否存在常数a ， b ， c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 的一个承托函数？若存在，求出a ， b ， c 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【解析】全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =， {}2,3B =，{}123A B ⋃=，，,所以(){}4U C A B ⋃=.故选D. 2．D 【解析】当 时，选项A 错误； 当 时，选项B 错误； 当 时，选项C 错误； ∵函数 在 上单调递增， ∴当 时， ． 本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 3．C【解析】2230x x +-≥整理得()()130x x -+≥，解得3x ≤-或1x ≥. 所以不等式2230x x +-≥的解集为{|3x x ≤-或1}x ≥. 故选C. 4．A【解析】由()22,1{,12 2,2x x f x x x x x +≤-=-<<≥，若()3f x =，则1{23x x ≤-+=或212{3x x -<<=或2{ 23x x ≥=.解得：故选A. 5．C【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，由图知满足()()230f f <， 根据零点存在定理可知()f x 在()2,3一点存在零点. 故选C.点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()·0f a f b <,那么函数()y f x =在区间[a,b]内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的实数根.但是反之不一定成立. 6．A【解析】0.91.842a ==，又因为()2xf x =为增函数，所以 1.81.522>，即a b >.故选A. 7．B【解析】易知： 1y x -=， 22x xy -=-为奇函数， lg y x =和点对称，所以非奇非偶，排除C,D ；.故选B. 8．B【解析】()log a f x x =的图象过点()2,1，且还恒过点()1,0 因为()(),0{,0f x x yg x x >=<是偶函数，所以()y g x =在区间(),0-∞上对应的图象和()log a f x x =的图象关于y 轴对称，所以()y g x =过点()2,1-和()1,0-.观察图象只有B 满足， 故选B. 9．A【解析】试题分析：∵对任意（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，∴函数在[)0,+∞上单调递减，∴()()()321f f f <<，∵函数是偶函数，∴()()22f f -=，∴()()()321f f f <-<． 考点：函数的奇偶性与单调性． 10．D【解析】函数()133,1{1log ,1x x f x x x -≤=->，由()3f x ≤，得11{33x x -≤≤或31{1log 3x x >-≤.解得01x ≤≤或1x > 故选D.点睛: 分段函数，就是对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数.它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集, 求值时需在定义域的前提下,解不等式，最后需要求并集. 11．【解析】函数 有： ，解得 .所以函数 的定义域为 . 故答案为; .点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． 12．()0,4【解析】函数()3xf x a =+（0a >且1a ≠）有()003134f a =+=+=.所以图象一定过定点()0,4P . 故答案为： ()0,4. 13．8故答案为：8.14． 1【解析】设幂函数()af x x =，由()442af ==，解得()22log 4log 21f ==.15．60.70.7log 60.76<<，得60.70.7log 60.76<<.16．332m ≤≤ 【解析】因为函数的对称轴为x=32,开口向上，并且定义域为【0，m 】,值域为[-25,44-],可知当x=0,函数值为-4，结合图像可知， 332m ≤≤，故答案为332m ≤≤。
北京师大附中2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.已知集合 ＝ ＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间 ＋ 上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝ ＋；② ＝；③ ＝ ＋ ；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数 ＝ 在R 上为增函数,且 ＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间 ＋ 上的偶函数并且在区间 ＋ 上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数 ＝ ＋的定义域为A, ＝ ＋ 的值域为B 。
(1)求A,B ；(2)设全集 ＝ ,求11.已知集合 ＝ ＝ ＋ (1)若 ＝ ,求a 的取值范围； (2)若 ＝ ,求a 的取值范围。
12.已知函数 ＝ ＋ ＋ (1)当a ＝1时,求函数 的值域。
(2)若函数 在区间 上是单调函数,求实数a 的取值集合。
【精品】2017-2018学年北京师大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜33．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是．13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）计算：=．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．17．（6分）计算：．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}【分析】由M与N求出两集合的并集，交集，并判断出包含关系即可．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，∴M∪N={﹣2，0，1，2，3，4}；M∩N={0，2}，N?M，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜3【分析】分类讨论，二次项系数等于0时，二次项系数不等于0时，两种情况进行分析．【解答】解：若a2﹣2a﹣3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．若a2﹣2a﹣3=0，即a=﹣1或3；当a=3时，f（x）=1不合题意；当a=﹣1时，f（x）=﹣4x+1符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的值域和定义域，体现分类讨论的数学思想方法．3．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．【分析】f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣2x、h（x）=﹣3x+1和s（x）在区间（0，+∞）上都是减函数．【解答】解：在A中，f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，故A正确；在B中，g（x）=﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，h（x）=﹣3x+1在区间（0，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，s（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故D错误．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．【解答】解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得2m＞﹣m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），∴2m＞﹣m+9，解得m＞3，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．【分析】从直线的斜率与截距入手，找出ab的符号，再验证抛物线的对称轴是否适合．【解答】解：A、B中，从直线上看，a、b为正值，∴抛物线的对称轴为＜0，故AB不符合；C、D中，从直线上看，a＜0，b＞0，∴＞0，C，D都适合，但是点（，0）都适合y=ax2+bx与y=ax+b，∴两个函数的图象都过点（，0），只有D适合．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象与函数的性质，常见的一次函数与二次函数的性质要熟记．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】分别根据幂函数的单调性和对数函数的性质计算出a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：∵幂函数y=x在定义域上单调递增，∴，即b＞a＞0，∵c=lg＜0，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用幂函数的单调性和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】求出二次函数的对称轴方程，由二次函数的减区间，可得在对称轴的右边，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x2+px+3在的对称轴为x=﹣，在（﹣∞，﹣]递减，由题意可得﹣≥1，解得p≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查二次函数的性质：单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是1．【分析】利用对数、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log425﹣2log410+log45?log516=+=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．13．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14．（4分）计算：=5．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合A，利用函数g（x）=x2+1的值域能求出集合B．（2）由A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}，求出C U B={y|y＜1}，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：（1）∵函数的定义域为A，∴A={x|}={x|﹣1≤x＜2}，∵g（x）=x2+1的值域为B．∴B={y|y=x2+1}={y|y≥1}．（2）∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}．∴C U B={y|y＜1}，A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜1}．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查函数性质、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出B={x|x≥3或x≤﹣2}，由A∩B=?，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，当A≠?时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．（2）由A∪B=B，A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，A≠?时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≥3或x≤﹣2}，A∩B=?，∴当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，当A≠?时，，解得﹣．综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，A≠?时，或，解得a≤﹣．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（6分）计算：．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：==第11页（共12页）。
北京市师范大学附属中学2017_2018学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】集合，所以集合，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于在定义域内是增函数，不满足题意；对于在递减，在递增，不满足题意；对于定义域内是减函数，满足题意；对于在和都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故选C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.若，，则有A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可排除选项，利用不等式的性质可证明.【详解】令，可排除选项，对，，又，，，，同理，即，，即，故选B.【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.4.“a=0”是“为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】，的图象关于原点对称，所以是奇函数；若为奇函数，则，即不能推出，所以，是为奇函数充分非必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.5.下列不等式中，不正确的是A. B.C. D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用特殊值判断；利用判别式判断；利用单调性判断；利用基本不等式判断D.【详解】在中，若，则，故不成立；在中，，不等式的解集为，故成立；在中，,设,在上递增，所以有最小值，故成立；在中，，，当且仅当时取等号，的最小值为5，成立；不正确的结论是，故选A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）6.函数满足对任意的x，均有，那么，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的图象开口朝上，由可得函数图象以为对称轴，由此可得函数在上为减函数，从而可得结果.【详解】函数对任意的均有，函数的图象开口朝上，且以为对称轴，函数在上为减函数，，故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性与二次函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以选D．考点：二分法求零点．8.已知为定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，则使不等式成立的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为,结合函数的定义域，列不等式组求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减所以化为，,又因为的定义域是，所以，解得，使不等式成立的x的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
最新题库北京市首都师大附中高一上学期数学期中试卷带答案
10．（ 5 分）已知函数
【解答】 解：∵函数
∴ f（ ） =
=﹣2，
=f（﹣ 2）=
．
故答案为： ．
，则 ，
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m 的取值范围是 [ ，3] ． 【解答】 解：∵ f（x）=x2﹣3x﹣ 4=（x﹣ ）2﹣ ， ∴ f（ ） =﹣ ，又 f（0）=﹣4， 故由二次函数图象可知： m 的值最小为 ； 最大为 3． m 的取值范围是： ≤m≤ 3． 故答案 [ ，3]
则有 f（n）=﹣ n2+4n=
=﹣5，解可得 n=5 或﹣ 1（舍）即 5 是它的均值
点，②正确，
对于③，函数 f（ x）=log2x 在区间 [ a，b] 都是平均值函数， 则 log2x=
恒成立，明显错误，③错误； 对于④，若函数 f（ x）=﹣x2+mx+1 是区间 [ ﹣1，1] 上的平均值函数，
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．（5 分）若点
在幂函数 y=f（x）的图象上，则 f（ 4） =
．
10．（ 5 分）已知函数
，则
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m
13．（5 分）已知关于 x 的方程 ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1， 则实数 a 的取值范围是 （﹣ 3，0） ． 【解答】 解：关于 x 的方程 ax2+x+2=0 对应的二次函数 f（x）=ax2+x+2 若 a＞0，即图象开口向上， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＜ 0，且 f（ 1）＜ 0， 即 2＜0 且 a+3＜ 0，则 a∈?； 若 a＜0，即图象开口向下， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＞ 0，且 f（ 1）＞ 0， 即 2＞0 且 a+3＞ 0，则﹣ 3＜a＜0． 综上可得 a 的范围是（﹣ 3， 0）． 故答案为：（﹣ 3，0）．
北京市首师大附属育新学校2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年北京市首师大附属育新学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥25．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）6．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．7．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是______．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为______．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=______．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）______f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为______．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=______．15．函数f（x）=的值域是______．16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为______．17．设2a=5b=m，且+=2，m=______．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．2017-2018学年北京市首师大附属育新学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={5，6}，则B∩∁U A={5，6}，故选：A．2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数单调性进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．故选：A．3．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：B．4．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合间的包含关系运算，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣2故选：C．5．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象判断m的值．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．故选D．6．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．7．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】不等式的基本性质．【分析】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．由于2014a=2015b，可得a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确，即可得出结论．【解答】解：分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．∵2014a=2015b，∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；因此只有：③，④不正确．故选：B．8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】函数的值．【分析】首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，求出n，可求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，∴2﹣=n，∴n=1，∴f（x）=1+，∴f（）=7，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据f（x）的对称轴判断f（x）的单调性，得出（﹣∞，﹣2]与对称轴的关系，从而解出a的范围．【解答】解：f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为（﹣1，3）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令2x+3=1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【解答】解：令2x+3=1，可得x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，a=f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=f（0）=0．f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，∴a+b=1．故答案为：1．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）=f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）【考点】二次函数的性质．【分析】方法一、运用作差法，化简整理，即可得到结论；方法二、求出二次函数的对称轴方程，即可所求结论．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，则f（m）=f（1﹣m）．解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，由m+（1﹣m）=1，可得f（m）=f（1﹣m）．故答案为：=．13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为（1.5，2）．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】函数f（x）=x3﹣2x﹣1，确定f（1），f（2），f（1.5）的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，取区间[1，2]作为计算的初始区间取x1=1.5，这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，故x0∈（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数的值．【分析】求出2a的值，代入f（2），求出f（2）的值即可．【解答】解：f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，故答案为：﹣26．15．函数f（x）=的值域是[0，2）．【考点】函数的值域．【分析】先求出函数的定义域，进而结合指数函数的图象和性质分析被开方数的取值范围，进而得到答案【解答】解：若使函数的解析式有意义则4﹣2x≥0，解得x≤2此时0＜2x≤4则0≤4﹣2x＜40≤＜2故函数的值域是[0，2）故答案为：[0，2）16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为0或﹣1．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】分二次函数f（x）的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给的闭区间的右侧两种情况，分别利用二次函数的性质，结合函数的最大值为4，求得a的值，综合可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，综上可得，a=0或a=﹣1，故答案为：0或﹣1．17．设2a=5b=m，且+=2，m=．【考点】指数函数与对数函数的关系；对数的运算性质．【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填其中错误的对数值是lg1.5．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质即可判断出．【解答】解∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．故答案为：lg1.5．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可，（2）根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：（1）a••==；（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3=1﹣1+2+3=5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．【分析】（1）求解函数f（x）的定义域（2）利用好定义f（x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．判断即可（3）利用单调性转化求解得出范围即可．【解答】解：函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）∵﹣1＜x＜1∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点．由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ，当t=4时，D 点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km ）；（2）分类讨论：当0≤t ≤10时；当10＜t ≤20时；当20＜t ≤35时；（3）根据t 的值对应求S ，然后解答．【解答】解：设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点，（1）由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ，当t=4时，D 点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km ）；（2）当0≤t ≤10时，此时OT=t ，TD=3t （如图1）∴S=•t •3t=当10＜t ≤20时，此时OT=t ，AD=ET=t ﹣10，TD=30（如图2）∴S=S △AOE +S 矩形ADTE =×10×30+30（t ﹣10）=30t ﹣150当20＜t ≤35时，∵B ，C 的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC 的解析式为v=﹣2t +70∴D 点坐标为（t ，﹣2t +70）∴TC=35﹣t ，TD=﹣2t +70（如图3）∴S=S 梯形OABC ﹣S △DCT =（10+35）×30﹣（35﹣t ）（﹣2t +70）=﹣（35﹣t ）2+675； （3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km ），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km ），而450＜650＜675，∴N 城会受到侵袭，且侵袭时间t 应在20h 至35h 之间，由﹣（35﹣t ）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h 它将侵袭到N 城．22．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ，a ，b ，c 是常数且a ≠0，满足条件：f （0）=3，f （3）=6，且对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别是[m ，n ]，[2m ，2n ]？若存在，求出m ，n ；若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；（2）根据函数的单调性得到关于m ，n 的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ），∴函数的对称轴是x=﹣=1①，又f （0）=3，f （3）=6，∴f （0）=c=3②，f （3）=9a +3b +c=6③，由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，∴f （x ）=x 2﹣2x +3；（2）f （x ）=x 2﹣2x +3=（x ﹣1）2+2，对称轴x=1，函数的最小值是2，由于函数f （x ）的定义域为[m ，n ]，值域为[2m ，2n ]，m ＜n ，．∴函数f （x ）在定义域为[m ，n ]上是增函数，∴f （m ）=2m ，f （n ）=2n ，即，解得：m=1，n=3，∴m=1，n=3．2016年10月2日。
2017_2018学年10月北京西城区北京师范大学附属中学高一上学期月考数学试卷(详解)
，
面积
当
时，面积最大为 ．
． ，
13. 若关于 的不等式
对
恒成立，则实数 的取值范围是
．
【答案】 【解析】 ∵
则
对于
恒成立，
，对于
也恒成立，
∵
，
，
又对勾函数的图象与性质可知：
的最小值为
，
则
．
14. 设非空集合
①若
，则
②若
，则
满足：当 ；
；
③若
，则
；
④
，其中正确的命题的是
．
时，有
．给出如下三个命题：
，满足
，符合题意；
当
时，方程 的解为
，故
，
又
，
或
解得
或
综上所述，
或
或
．
，符合题意．
6. 当 A.
时，
的最大值是（ ）．
B.
C.
【答案】 D
【解析】 当
时，
，
∵ 故选 ．
，则
D. ．
7. 设集合 A. 【答案】 C
，集合
，若
，
，
B.
C.
，则
，集合 （ ）．
D.
【解析】 设
，
，
∴
，设
∴
，
，
∴
所在集合
故选 ．
，
的图象经过三个点
，
，
代人解析式，得方程组
，解得
，
所以二次函数
．
这个二次函数的图象是开口向下，对称轴为
的抛物线，
所以最佳加工时间为 分钟，此时可食用率
最大．
故选 ．
2018北京首师附中高一(上)期中数学
2018北京首师附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共32分，每小题4分，共32分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求。
1．（4分）已知集合U＝{x∈Z|0≤x＜7}，A＝{1，2，3}，B＝{5，4，3，2，1}，则A∩∁U B＝（）A．∅B．{1，2，3} C．{1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，6}2．（4分）下列函数中，与y＝x相同的函数是（）A．B．y＝lg10xC．D．3．（4分）函数f（x）＝3x+2x﹣7的零点所在区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．（4分）已知a＝（）3，b＝0.3﹣2，c＝log2，则a，b，c的大小关系（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（4分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f（x）＝x2B．f（x）＝2|x|C．f（x）＝log2D．f（x）＝x|x|6．（4分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（4分）已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（3）＝0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）8．（4分）已知函数f（x）＝a（x﹣a）（x+a+3），g（x）＝2x﹣2，若对任意x∈R，总有f（x）＜0或g（x）＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．[﹣4，0）C．（﹣4，0）D．（﹣4，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是．10．（4分）计算2﹣（）+lg+（﹣1）lg1的值为．11．（4分）已知函数f（x）＝2x+b在区间（﹣1，2）上的函数值恒为正，则b的取值范围为．12．（4分）函数y＝log（﹣x2+4x）的单调递减区间为．13．（4分）已知三个函数f（x）＝2x+x，g（x）＝x﹣2，h（x）＝log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c 的大小关系是．14．（4分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP+PF＝f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是；函数g（x）＝4f（x）﹣9的零点的个数是．三、解答题（本大题共4小题，共44分。
北京市西城北京师范大学第二附属中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京市西城北京师范大学第二附属中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共8小题，共40分）1．已知集合{24}A x x =<<，{3B x x =<或5}x >，则A B =（）．A ．{25}x x <<B ．{4x x <或5}x >C ．{23}x x <<D ．{2x x <或5}x >【答案】C【解析】∵集合{24}A x x =<<，集合{3B x x =<或5}x >， ∴集合{23}A B x x =<<． 故选C ．2．函数21()lg 1x f x x -=+的定义域是（）.A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭ B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{1}x x >-【答案】A【解析】要使函数有意义，则2101x x ->+，即(21)(1)0x x ->+，解得1x <-或12x >， ∴函数()f x 的定义域是{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭．故选A ．3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x=C ．3y x =-D ．3log ()y x =-【答案】C【解析】A 项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，故A 错误；B 项，1y x =是奇函数，在(,0)-∞和(0,)∞+是减函数，但在定义域内不是减函数，故B 错误；C 项，3y x =-是奇函数，且在定义域内是减函数，故C 正确；D 项，3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 错误．故选C ．4．设集合{0,1,2,3,4,5}U =,{1,2}A =，2{540}B x x x =∈-<Z +，则()U A B =ð（）．A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{1,2,4}D ．{0,4,5}【答案】D【解析】∵集合2{540}{14}{2,3}B x x x x x =∈-<=∈<<=Z Z +， ∴{1,2,3}A B =, ∴(){0,4,5}U A B =ð． 故选D ．5．函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y ，则0x 所在区间是（）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】设函数22()(log 1)2x f x x -=--，则0(2)11210f =--=-<，222213(3)(log 31)log 3log 3log 022f =--=-=-， ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点，即函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y 时， 0x 所在区间是(2,3)．故选C ．6．已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)∞+上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（）．A ．(6)(7)f f >B ．(6)(9)f f >C ．(7)(9)f f >D ．(7)(10)f f >【答案】D【解析】∵(8)y f x =+是偶函数，∴(8)(8)f x f x =-++，即()y f x =关于直线8x =对称， ∴(6)(10)f f =，(7)(9)f f =． 又∵()f x 在(8,)∞+为减函数， ∴()f x 在(,8)-∞上为增函数， ∴(6)(7)f f <，即(10)(7)f f <． 故选D ．7．已知函数23,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨⎩≥++，若|()|f x ax ≥，则a 取值范围是（）．A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[3,0]-D ．[ 3.1]-【答案】C【解析】当0x >时，根据ln(1)0x >+恒成立，则此时0a ≤， 当0x ≤时，根据23x x -+的取值为(,0]-∞，2|()|3f x x x ax =-≥， 当0x =时，不等式恒成立，当0x <时，有3a x -≥，即3a -≥． 综上可得，a 的取值范围是[3,0]-． 故选C ．8．若定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意的实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ特征函数”则下列结论中正确的个数为（）．①()0f x =是常数函数中唯一的“λ特征函数”；②()21f x x =+不是“λ特征函数”；③“13特征函数”至少有一个零点； ④()e x f x =是一个“λ特征函数”；．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①设()f x C =是一个“λ特征函数”，则(1)0C λ=+，当1λ=-时，可以取实数集，因此()0f x =不是唯一一个常数“λ特征函数”，故①错误；对于②，∵()21f x x =+，∴()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ==++++++，即1(1)2x λλλ=--+，∴当1λ=-时，()()20f x f x λλ=-≠++；1λ≠-时，()()0f x f x λλ=++有唯一解， ∴不存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意实数x 都成立， ∴()21f x x =+不是“λ特征函数”，故②正确；对于③，令0x =得11(0)033f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，所以11(0)33f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若(0)0f =，显然()0f x =有实数根；若()0f x ≠，211(0)[(0)]033f f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭．又∵()f x 的函数图象是连续不断的，∴()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上必有实数根，因此任意的“λ特征函数”必有根，即任意“13特征函数”至少有一个零点，故③正确；对于④，假设()e x f x =是一个“λ特征函数”，则e e 0x x λλ=++对任意实数x 成立，则有e 0x λ=+，而此式有解，所以()e xf x =是“λ特征函数”，故④正确．综上所述，结论正确的是②③④，共3个． 故选C ．二、填空题（共6小题，共30分）9．已知集合{1}A x x =≤，{}B x x a =≥，且A B =R ，则实数a 的取值范围__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】用数轴表示集合A ，B ，若A B =R ，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(,1]-∞．10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：则当[()]2f g x =时，x =【答案】3【解析】由表格可知：(1)2f =． ∵[()]2f g x =，∴()1g x =． 由表格知(3)1g =，故3x =．11．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过点__________． 【答案】(2,1)【解析】由11x -=得2x =，故函数()log (1)1a f x x =-+恒过定点(2,1)．12．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(9)f =__________．【答案】【解析】设幂函数为()a f x x =，由于图象过点，得2a =32a =，∴32(9)9f =13．已知函数2()223f x ax x =-+在[1,1]x ∈-上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，22230ax x -<+在[1,1]x ∈-上恒成立． 当0x =时，不等式为30-<恒成立． 当0x ≠时，23111236a x ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭．∵1(,1][1,)x ∈-∞-∞+，∴当1x =时，23111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭取得最小值12，∴12a <．综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．14．设集合{1,2,.}n P n =，*n ∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． 则（1）(4)f =___________；（2）()f n 的解析式（用n 表示）()f n =___________． 【答案】（1）4；（2）2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】【解析】（1）当4n =时，4{1,2,3,4}P =，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故(4)4f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中，m 为奇数，*k ∈N ．由条件可知，若m A ∈，则x A ∈，k ⇔为偶数，若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数，于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确立，设n Q 是n P 中所有的奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数，当n 为偶数时（或奇数时），n P 中奇数的个数是12n （或12n +）．∴2122,()2,nn n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数+【注意有文字】．三、解答题（共6小题；共80分）15．若集合{24}A x x =-<<，{0}B x x m =-<． （1）若3m =，全集U A B =，试求()U A B ð． （2）若A B A =，求实数m 的取值范围．【答案】【解析】（1）当3m =时，由0x m -<，得3x <， ∴{3}B x x =<， ∴{4}A B x x ==<，则{34}U B x x =<≤ð， ∴(){34}U A B x x =<≤ð．（2）∵{24}A x x =-<<，{0}{}B x x m x x m =-<=<， 由AB A =得A B ⊆，∴4m ≥，即实数m 的取值范围是[4,)∞+．16．已知设函数()log (12)log (12)(0,1)a a f x x x a a =-->≠+． （1）求()f x 的定义域．（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明． （3）求使()0f x >的x 的取值范围． 【答案】【解析】（1）要使函数()log (12)log (12)a a f x x x =--+（0a >且1a ≠）有意义， 则120120x x >⎧⎨->⎩+，解得1122x -<<．故函数()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）可知()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，又()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--=-+， ∴()f x 为奇函数．（3）()0f x >，即log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a x x x x -->⇒>-++， 当1a >时，原不等式等价为1212x x >-+，解得0x >． 当01a <<，原不等式等价为1212x x <-+，记得0x <． 又∵()f x 的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．当01a <<时，使()0f x >的x 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x xaf x a =∈R +． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式． （2）若[2,1]x ∈--时，不等式11()23xx m f x --≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】【解析】（1）∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数， ∴(0)10f a ==+，得1a =-． 又∵当[4,0]x ∈-时，111()4343xx x x a f x ==-+， ∴当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，11()4343x x x x f x ---=-=-． 又()f x 是奇函数， ∴()()34x x f x f x =--=-．综上，当[0,4]x ∈时，()34x x f x =-． （2）∵[2,1]x ∈--，11()23x x m f x --≤恒成立，即11114323x x x x m ---≤在[2,1]x ∈--恒成立， ∴12432x x xm≤+在[2,1]x ∈--时恒成立． ∵20x >，∴12223x xm ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤+． ∵12()223x xg x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+在R 上单调递减，∴[2,1]x ∈--时，12()223x x g x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最大值为221217(2)2232g --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，∴172m ≥． 即实数m 的取值范围是17,2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭+．18．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()f t 表示学生注意力指标．该小组发现()f t 随时间t （分钟）的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：1010060(010)()340(1020)15640(2040)ta t f t t t t ⎧-⎪⎪=<⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤≤+（0a >且1a ≠）． 若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： （1）求a 的值．（2）上课后第5分钟和下课前5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由． （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 【答案】【解析】（1）由题意得，当5t =时，()140f t =，即10510060140a ⋅-=， 解得4a =．（2）∵(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯=+， ∴(5)(35)f f >，故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中．（3）①当010t <≤时，由（1）知，410()100460140f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立；③当20140t <≤时，()15640140f t t =-≥+，解得100203t <≤． 综上所述，10053t ≤≤． 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085533-=分钟．19．设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+．（1）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围．（2）即()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值． 【答案】【解析】（1）考虑函数()f x 的图象，可知①当0a ≥时，在[0,1]上，2()f x x ax =+，显然()f x 在[0,1]上单调递增； ②当0a <时，在[0,)∞+上，22(),[0,](),[,)x ax x a f x x ax x a ⎧-∈-⎪=⎨∈-∞⎪⎩+++， ∴()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是12a-≥，2a -≤．综上所述，若()f x 在[0,1]上单调递增，则2a -≤或0a ≥． （2）若0a ≥时，2()f x x ax =+，对称轴为2ax =-，()f x 站在[0,1]上递增， ∴()1M a a =+；若0a <，则()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，在(,)a -∞+递增；若12a-≤，即2a -≤时，()f x 在[0,1]上递增，此时()1M a a =--；若12a -<≤，即22a -<-≤()f x 的最大值为2()4aM a =；若1>，即2a >-()f x 的最大值()1M a a =+，即有21,2()1,2,224a a M a a a a a ⎧⎪>-⎪⎪=---⎨⎪⎪-<-⎪⎩≤≤+，当2a >-()3M a >- 当2a -≤时，()1M a ≥；当22a -<-≤21()(234M a --=-≥综上可得()M a的最小值为3-20．已知：集合12{(,,,,),{0,1},1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈Ω，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,,}m n ∈，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1． 【答案】【解析】（1）(1,0,0)Z =，(1,1,1)W =．（2）对于n x ⊆Ω，考虑元素12{1,1,,1,1)i n X x x x x '=----；显然n X '∈Ω，X ∀，Y ，X '，对于任意的{1,2,,}i n ∈，i x ，i y ，1i x -不可能都为1， 可得X ，X '不可能都是好子集S 中．又因为取定X ，则X '一定存在且唯一，而且X X '≠， 由x 的定义知道，X ∀，Y ∈Ω,X Y X Y ''=⇔=这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素的个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -． （3）12{,,}i n X x x x x ∀=，12{,,,}i n n Y y y y y ∀=∈Ω，定义元素X ，Y 的乘积为1122{,,,}i i n n XY x y x y x y x y =，显然n XY ∈Ω．我们证明“对任意的12{,,}i n X x x x x S =∈，12{,}i n Y y y y y S =∈都有XY S ∈．”假设存在X ，Y S ∈使得XY S ∉，则由（2）知，1122()(1,1,1,1)i i n n XY x y x y x y x y S '=----∈． 此时，对于任意的{1,2,}k n ∈，k x ，k y ，1k k x y -不可能同时为1，矛盾，所以XY S ∈．因为S 中只有12n -个元素，我们记12{,,}n Z z z z =为S 中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道12(,)n Z z z z S =∈，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k Z =，根据Z 的定义X ，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1． 下面再证明k 的唯一性：若还有1t Z =，即S 中所有元素的t 坐标分量都为1． 所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾． 所以结论成立．。
北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）． 已知函数： （1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ． （ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ． 依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．