高考物理专题复习四 功能关系

高考物理专题复习四功能关系能量转化和守恒定律是自然界最普遍适用的规律之一。

自然界的各种能量间可以相互转化，转化过程中能量的总和守恒。

右图是功能关系的示意图。

功和能有密切关系，它们的单位也相同，在国际单位制中，单位都是J，但功并不等于能。

功是过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；能是状态量，它与某位置（某时刻）相对应。

功能关系不仅能解决恒力作用下物体的运动问题，也能解决变力作用下物体的运动问题，因此它比用牛顿运动定律解题更简洁、应用范围更广泛。

除非要求匀变速直线运动的加速度a和时间t，一般首选功能关系。

常用的有关功能关系的结论有：⑴动能定理。

力在一个过程中对物体所做的功（或者各个力对物体做功的代数和）等于物体在这个过程中动能的变化。

W合=E k2-E k1（动能变化必须是末动能减初动能；研究对象是单个物体；研究过程往往选全过程。

）⑵势能定理。

重力做的功等于重力势能的减少。

W G=E p1-E p2（重力势能的减少，必须是初势能减末势能；重力做功只与始末状态的高度差有关，与路径无关，与其它力是否做功无关；势能定理适用于电势能、分子势能等各种势能。

）若某种力做的功只跟始末位置有关，而与物体运动的路径无关，就能定义与这种力相应的势能。

⑶机械能定理。

重力（和弹簧弹力）以外的其他力对物体做的功等于物体机械能的增量。

W其=E机2-E机1（机械能变化必须是末状态机械能减初状态机械能；当W其=0，即只有重力做功时，系统的机械能守恒。

）⑷摩擦生热。

系统内的摩擦生热Q（内能的增加）用系统内物体间相互作用的一对滑动摩擦力做的总功来量度。

f d=Q（f为每个摩擦力的大小，d为系统内物体间相对移动的路程。

这个结论可以直接使用。

）注意一个摩擦力对某个物体做的功W f=fx（f为这个摩擦力的大小，x为物体对地的位移。

）⑸安培力做功是机械能与电能相互转化的量度。

发电机模型中：克服安培力做功等于回路中电能的增加W克A=E电（如果是纯电阻电路，则电能又全部转化为回路的焦耳热，W克A=E电=Q）；电动机模型中：安培力做功等于机械能增加W A=E机（安培力做功不等于消耗的电能。

该过程只有一部分电能转化为机械能，同时必然有一部分电能转化为焦耳热，E电=E机+Q）。

练习题1．质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有A．物体的重力势能增加了(F-mg)HB．物体的动能减少了FHC．物体的机械能增加了FHD．物体重力势能的增加小于动能的减少2．（2014年北京高考24⑴）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。

如图所示，固定于水平面的U 形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN 在与其垂直的水平恒力F 作用下，在导线框上以速度v 做匀速运动，速度v 与恒力F 方向相同；导线MN 始终与导线框形成闭合电路。

已知导线MN 电阻为R ，其长度L 恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B 。

忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

通过公式推导验证：在Δt 时间内，F 对导线MN 所做的功W 等于电路获得的电能W 电，也等于导线MN 中产生的焦耳热Q 。

3．（2015年北京高考23）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为m ，在水平桌面上沿x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O ，当弹簧的伸长量为x 时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx ，k 为常量。

⑴请画出F 随x 变化的示意图；并根据F -x 图像求物块沿x 轴从O 点运动到位置x 的过程中弹力所做的功。

⑵物块由x 1向右运动到x 3，然后由x 3返回到x 2，在这个过程中， a ．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量； b ．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。

4．轻弹簧上端固定在天花板上，下端连接一只小球，静止时小球处于图中O 位置。

现用手竖直向下的力缓慢向下拉小球，使小球下降一段距离后保持静止。

突然放手后，小球开始运动，弹簧始终在弹2 5．如图所示，长木板B 静止在光滑水平面上，小滑块A 以初速度v 0从左端冲上B ，滑到虚线位置时A 、B 速度分别为v 1、v 2，已知A 、B 间滑动摩擦力大小为f ，该过程A 在B 上相对滑行的路程为d 。

试根据动能定理和能量守恒定律，证明该过程系统的摩擦生热Q=fd6．地球质量为M ，人造卫星质量为m ，人造卫星绕地球做圆周运动的轨道半径为r ，万有引力常量为G 。

若已经明确了地球和该人造卫星组成的系统的引力势能为rGMm E p -=，总机械能为rGMm E 2-=机。

由于稀薄大气对卫星的阻力的影响，卫星的轨道半径将非常缓慢地逐渐减小，该过程人造卫星的每一圈仍可看做是圆周运动。

求：该卫星的轨道半径逐渐减小在过程中，万有引力做的功W G 与克服大气阻力做的功W f 的比。

7．⑴如图1所示，光滑的U 形导轨固定在水平面内，宽为l ，导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。

导轨左端串联有一只定值电阻。

导体棒ab 宽也为l ，电阻与定值电阻相同，放在导轨上，始终保持与导轨垂直并与导轨接触良好。

用细线将导体棒的中点通过光滑定滑轮与重物相连。

重物质量为m ，正以速度v 匀速下降。

重力加速度为g 。

求： a ．导体棒中感应电流I 的大小及导体棒克服安培力做功的功率P A ； b ．闭合回路的总电功率P 电及闭合回路的电热功率P Q 。

⑵如图2所示，将图1中导轨左侧的定值电阻撤掉，换成一个电源，该电源的内阻是图1中定值电阻的一半。

通电后经过一段时间，重物以同样的速度v 匀速上升。

求： a ．导体棒所受安培力做功的功率P A ´及闭合回路的电热功率P Q ´； b ．闭合回路消耗的总电功率P 电´及电源电动势E 的大小。

8．如图所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨间距为L，上面横放着两根平行导体棒，构成矩形回路。

棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻不计。

空间有方向竖直向下、磁感应强度为B的的匀强磁场。

开始时棒Ⅰ静止，棒Ⅱ具有向右的初速度v0，最终两棒都达到稳定的速度。

求：⑴利用牛顿运动定律，分析该过程中棒Ⅰ和棒Ⅱ的速度、加速度的变化情况，并求棒Ⅰ的最大加速度a m和最大速度v m；⑵利用动能定理和能量守恒定律，分析整个过程外力（棒Ⅰ、棒Ⅱ所受的安培力）对系统做的总功W总、系统动能的变化量ΔE k和系统内能的增加量（焦耳热）Q；⑶分别以棒Ⅰ、棒Ⅱ为对象，分析从开始运动到稳定，棒Ⅰ作为发电机的能量转化情况和棒Ⅱ作为电动机的能量转化情况。

结论与上一问是否相同？⑷利用动量定理，求安培力对棒Ⅰ、棒Ⅱ的冲量各多大？由此求全过程通过棒Ⅰ、棒Ⅱ的电荷量q各多大？全过程棒Ⅰ、棒Ⅱ间距离的增加量x参考答案1．C （重力势能增加mgH ；动能减少(mg- F )H ；机械能增加FH ；重力势能增加大于动能减少。

） 2．解：设该过程电动势为E ，回路电流为I ，由于导线框电阻为零，因此E=IR电动势E=BLv导线匀速运动，受力平衡F F BIL ==安 在t ∆时间内外力F 对导线做功W=Fv Δt=BILv Δt 电路获得的电能W 电=Eq=BLvI Δt导线MN 中产生的焦耳热Q=I 2R Δt=EI Δt=BLvI Δt 可见，W= W 电==Q3．解：⑴F -x 图像如右，F -x 图线与x 轴所围面积大小等于弹力做过的大小， 由于弹力做负功，因此221kx W -=⑵a ．物块由x 1向右运动到x 3，弹力做功W 弹1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-212321-21kx kx物块由x 3向左运动到x 2，弹力做功W 弹2=⎪⎭⎫ ⎝⎛222321-21kx kx 全过程弹力做的总功()212221-21x x k W W W -=+=弹弹弹 而弹力做功等于弹性势能减少，因此()2122-21-x x k W ΔE p ==弹 b ．物块由x 1向右运动到x 3，摩擦力做功W f 1=-μmg (x 3-x 1) 物块由x 3向右运动到x 2，摩擦力做功W f 2=-μmg (x 3-x 2) 全过程摩擦力做功W f =W f 1+W f 2=-μmg (2x 3-x 2-x 1)弹力做功只与始末位置有关，与路径无关；摩擦力做功并不由始末位置决定，而是与路径有关，因此不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”。

4．设重力做的功为W G ，弹力做的功为W 弹根据动能定理 W G + W 弹 = E k2 - E k1 由重力做功与重力势能的关系 W G = E p1 – E p2由弹力做功与弹性势能的关系 W 弹 = E 弹1- E 弹2 联立以上三式可得 E k1 + E p1 +E 弹1 = E k2 +E p2 +E 弹25．解：设该过程A 、B 质量分别为m A 、m B ，对地的位移分别为x 1、x 2，分别对A 、B 用动能定理A 的动能减少212012121v m v m fx A A -=B 的动能增加22221v m fx B =x 1-x 2=d由以上三式可得系统动能减少fd v m v m v m E B A A k =+-=∆)2121(21222120根据能量守恒定律，系统动能减少等于系统内能增加，即摩擦生热Q ， 因此Q =fdkx kx6．解：设该过程初、末状态的轨道半径依次为r 1、r 2，引力做功等于引力势能的减少：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=12212111r r GMm r GMm r GMm E E W p p G 克服阻力做功等于机械能的减少：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=12212111222r r GMm r GMm r GMm E E W f 机机 得W G ∶W f =2∶17．解：⑴a ．重物匀速下降，细线对重物拉力等于重物的重力，导体棒匀速运动，细线对棒的拉力等于安培力，因此BIl=mg 得Blmg I =克服安培力做功的功率P A =F A v=mgvb ．克服安培力做功的功率等于闭合回路的总电功率，因此P 电=mgv 回路中电流做功，把电能全部转化为电热，因此热功率P Q =P 电=mgv ⑵a ．导体所受安培力与细线拉力大小和重物重力大小相等，因此P A ´= mgv由于BI ´l=mg ，图2与图1回路中电流相等，但图2与图1回路总电阻之比为3∶4，P Q =I 2R 总∝R 总， 得P Q ´=0.75mgvb ．闭合回路消耗的总电功率等于安培力功率与电热功率之和， 因此P 电´=P A ´+P Q ´=1.75mgv 回路电功率P 电´=EI ´ 得E =1.75Blv 8．解：⑴设棒Ⅰ、棒Ⅱ的速度分别为v 1、v 2，由于安培力的作用，开始运动后v 1逐渐增大，v 2逐渐减小，但始终有v 2>v 1，直到v 2=v 1为止。