可 逆 矩 阵
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2.3_可逆矩阵
1 1 1 1 2 3 2 X 1 1 0 2 0 4 ; 2 1 1 0 1 5 1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 1 1 0 X 1 1 0 0 1 5 . 2 1 1 3 2 1 2 1 1
Aij为行列式 A中元素aij的代数余子式.
a (2) 特别地，对二阶方阵 A c 当 A ad bc 0时，有 d 1 1 A A A ad bc c
1
b d
b a
11
三、可逆矩阵的运算性质 1 1 1 1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , 1 AB B 1 A1 .
证明：
ABB1 A1 ABB1 A1 AEA 1 1 1 1 1 AA E , AB B A .
0
A
k
A
. k为正整数
A .
13
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A
,
A
A 可逆，则有 A1 1 A 1 . (5) 若 A
1 证明： AA E
A A 1
1
因此 A
1
1 1 A A
14
12
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
Aij为行列式 A中元素aij的代数余子式.
a (2) 特别地，对二阶方阵 A c 当 A ad bc 0时，有 d 1 1 A A A ad bc c
1
b d
b a
11
三、可逆矩阵的运算性质 1 1 1 1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , 1 AB B 1 A1 .
证明：
ABB1 A1 ABB1 A1 AEA 1 1 1 1 1 AA E , AB B A .
0
A
k
A
. k为正整数
A .
13
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A
,
A
A 可逆，则有 A1 1 A 1 . (5) 若 A
1 证明： AA E
A A 1
1
因此 A
1
1 1 A A
14
12
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
求可逆矩阵的四种方法
求可逆矩阵的四种方法可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有很多应用。
本文将为大家介绍可逆矩阵的四种求解方法，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 列主元素消元法列主元素消元法是一种求解可逆矩阵的常见方法。
这种方法的基本思想是将矩阵的每一列中绝对值最大的元素作为主元素，通过消元达到求解可逆矩阵的目的。
消元的过程中需要遵循一定的规则，如保持主元素所在的列不变等。
2. 求逆矩阵法求逆矩阵法是另一种常用的方法。
这种方法的核心是根据矩阵的伴随矩阵求解矩阵的逆矩阵。
求伴随矩阵的过程需要先求出矩阵的行列式，并计算每个元素的代数余子式。
最后将代数余子式按照矩阵对应位置构成伴随矩阵即可。
逆矩阵的求解需要将伴随矩阵除以矩阵的行列式。
3. 奇异值分解法奇异值分解法也是求解可逆矩阵的重要方法之一。
该方法通过将矩阵进行奇异值分解，从而得到矩阵的逆矩阵。
奇异值分解的过程需要求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成新的矩阵，再将特征值按照从大到小的顺序排列成对角矩阵。
最后通过逆矩阵的公式求解得到原矩阵的逆矩阵。
4. LU分解法LU分解法是一种常用的矩阵分解方法，也可用于求解可逆矩阵。
该方法先将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，然后通过求解分解后的矩阵求解原矩阵的逆矩阵。
LU分解的过程需要使用高斯-约旦消元法将矩阵化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积的形式，然后通过回代求解得到原矩阵的逆矩阵。
综上所述，可逆矩阵的求解方法有很多种。
通过列主元素消元法、求逆矩阵法、奇异值分解法和LU分解法，我们可以得到矩阵的逆矩阵。
这对于线性代数的学习是非常重要的，也为日后的求解问题提供了重要的基础。
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
证明矩阵可逆的9种方法是
证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
可逆矩阵
AB BA E , B是A的一个逆矩阵.
2014-7-18 兰州商学院信息工程学院
页
几点注意：
（1）可逆矩阵一定是同阶方阵； （2）可逆矩阵的 逆矩阵一定唯一； （3）并不是一切非零方阵都存在逆矩阵。 例如
1 2 A 0 0
不存在逆矩阵.
2014-7-18
Hale Waihona Puke 兰州商学院信息工程学院2014-7-18
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
页
重要性质（结论）
AA A A A E .
证明
2014-7-18
兰州商学院信息工程学院
页
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
1 A A, A
1
其中A 为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A可逆，即有A1使AA1 E .
A 3 A 10 E 0
2
证明:A和A-4E都可逆,并求其逆阵.
证明:
依题意有
A 3 A 10 E 0
2
则 A( A 3 E ) 10 E , ( A 4 E )( A E ) 6 E , 1 从而 A 10 ( A 3E ) E , ( A 4E ) 1 6 ( A E) E,
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
4 若A可逆, 则有 A
2014-7-18
AB
1
B 1 A 1 .
1
A .
页
1
兰州商学院信息工程学院
例1
1 2 3 求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 A2 2 1 3 4 3
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
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解 由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得 A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E 由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
性质2-4
由逆矩阵的定义 AA-1= A-1A=E
可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．
可逆矩阵
性质2-2
设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1． 由矩阵乘法的结合律，得 (AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E (B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E 由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB) -1=B-1A-1． 此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即 如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆， 且
可逆矩阵
定义2-12
对于n阶方阵
设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记
可逆矩阵
显然，可得
可逆矩阵
即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足 以下关系：
AA*=A*A=|A|E 由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必 要条件及A-1的一种求解方法．
可逆矩阵
定理2-1
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异 矩阵，否则称为非奇异矩阵．
则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必 要条件是A是非奇异矩阵．
可逆矩阵
【例2-14】
【例2-15】
可逆矩阵
可逆矩阵
一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩 阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求 一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶 行列式．
在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得 (AB)B-1=EB-1，即B-1=A．
若有BA=E，同理可证结论成立． 这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆 矩阵，只需验证一个等式AB=E或 BA=E即可， 不必再按照定义2-11验证两个等式．
可逆矩阵
三、 可逆矩阵的性质
性质2-1
设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A1)-1=A．
证明 必要性： 设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得
|AA-1|=|E| 于是
|A||A-1|=1 所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．
可逆矩阵
充分性： 设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得 此式表明A可逆，且A的逆矩阵为 证毕．
可逆矩阵
这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具 体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．
可逆矩阵
可逆矩阵
一、 逆矩阵的概念
定义2-11
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（2-20 那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵． 由定义2-11知： （1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆. （2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵. （3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
性质2-4
由逆矩阵的定义 AA-1= A-1A=E
可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．
可逆矩阵
性质2-2
设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1． 由矩阵乘法的结合律，得 (AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E (B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E 由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB) -1=B-1A-1． 此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即 如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆， 且
可逆矩阵
定义2-12
对于n阶方阵
设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记
可逆矩阵
显然，可得
可逆矩阵
即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足 以下关系：
AA*=A*A=|A|E 由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必 要条件及A-1的一种求解方法．
可逆矩阵
定理2-1
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异 矩阵，否则称为非奇异矩阵．
则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必 要条件是A是非奇异矩阵．
可逆矩阵
【例2-14】
【例2-15】
可逆矩阵
可逆矩阵
一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩 阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求 一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶 行列式．
在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得 (AB)B-1=EB-1，即B-1=A．
若有BA=E，同理可证结论成立． 这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆 矩阵，只需验证一个等式AB=E或 BA=E即可， 不必再按照定义2-11验证两个等式．
可逆矩阵
三、 可逆矩阵的性质
性质2-1
设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A1)-1=A．
证明 必要性： 设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得
|AA-1|=|E| 于是
|A||A-1|=1 所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．
可逆矩阵
充分性： 设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得 此式表明A可逆，且A的逆矩阵为 证毕．
可逆矩阵
这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具 体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．
可逆矩阵
可逆矩阵
一、 逆矩阵的概念
定义2-11
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（2-20 那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵． 由定义2-11知： （1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆. （2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵. （3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．