稳恒电流的磁场
3稳恒电流的磁场要点
第五章 稳恒电流的磁场一. 磁感应强度B的定义1.从运动电荷受的力(洛仑兹力)：B V q f⨯=洛2.从电流元受的力（安培力）:B l I F⨯=d d 安3.从磁矩受的力矩:S I p m=B p M m ⨯=B的物理意义（例如从安培力的角度）：()lI F B d d max安=−−单位电流元在该处所受的最大安培力。
二. 磁力线 磁通量磁力线的特征: 1.闭合曲线2.与电流相互套连3.方向与电流的方向服从右手螺旋定则磁通量的定义:S B md d ⋅=Φ⊥Φ=S B m d d −−B 也叫磁通密度。
SB smd ⋅=Φ⎰IS三. 磁场的基本规律1.基本实验规律（1） 毕奥－萨伐尔定律真空磁导率A m T o /1047⋅⨯=-πμ（2）叠加原理⎰∑==BB B B iid利用毕奥－萨伐尔定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场。
2.基本定理（1）B的高斯定理 (磁通连续方程)：⎰=⋅ss B 0dB的高斯定理在分析一些问题时很有用。
（2它只适用于稳恒电流。
I 内 有正、负, 与L 成右手螺旋关系为正。
B是全空间电流的贡献,但只有I 内 对环流⎰⋅Ll Bd 有贡献。
一般 ⎰≠⋅Lo l Bd ,说明B 为非保守场（称为涡旋场）。
安培环路定理在计算具有对称性分布的磁场时很有用。
四. B的计算方法“毕奥－萨伐尔定律 + 叠加原理”法例. 已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B=μ0nI , 试证:管内为均匀磁场,管外无磁场。
【证】先分析B的方向：设场点P 处z B B r B B z r ˆˆˆ++=φφ过场点P 作轴对称的圆形环路L (如图所示)，由安培环路定理∑⎰=⋅内I l B Lo μd 有 ⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅Lz LLLr l B l B l B l Bd d d d φ00200⋅=++=μπφr B所以 B φ = 0 。
过场点P ，作一个轴对称的圆柱面为高斯面，长为 l ,半径为r (如图所示)，由高斯定律 0d =⋅⎰sS B2d d 2d d d d d d ==⋅-⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰rl B SB S B rl B SB S B S B SB S B S B r z z r z z r ssz r sππ左右左右侧所以 B r = 0。
《稳恒电流的磁场》选择题解答与分析
由毕奥-萨伐尔定律 d B 0 I d l r /(4r 3 ) ，知答案(B)正确。
a d
b I dl
c
选择(A)给出下面的分析：
dq ˆ r 4 0 r 2 0 I d l r 电流元磁场公式： d B 4r 3
点电荷电场公式： d E
比较 d B d B x iˆ d B y ˆ j, d B x
0 I d ly 4r 3
0 I d l
4 ( x y
2 2 3 z2 ) 2
y.
对于所有错误选择，给出下面的资料：
0 I d l r 毕奥-萨伐尔定律： d B ，涉及矢量的叉乘，其基本运算公式： 4r 3 ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ ˆ 设： a a1i 2 j a 3 k , b b1i b2 j b3k
对所有错误的选择，进入下一题： 1.1 在阴极射线管的上方放置一根载流直导线，导线平行于射 线管轴线，电流方向如图所示，阴极射线向什么方向偏转？当 电流 I 反向后，结果又将如何？
I
参考解答： 电流产生的磁场在射线管内是指向纸面内的，由 F ev B 知，阴极射线(即电 子束)将向下偏转．当电流反方向时，阴极射线将向上偏转． 进入下一题：
3. 关于磁感应强度方向的定义，以下说法，正确的是 (A) 能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. (B) 不能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. 答案：(B) 参考解答： 因为磁力的方向还随电荷运动速度方向而不同，因而在磁场中同一点运动电荷受 力的方向是不确定的．
6
B
3. 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明 导线 a 到 b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直 导线 ab 所受的安培力． 参考解答： 证：由安培定律
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
第08章稳恒磁场00-电流与电动 比奥萨伐尔定律
cos sin R
dBx 4π r
3
o
r
2 2
x
0 IRdl
r R x
2
2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 I R 2 3 2 r
0 I R Bx 3 2 2 （x2 R2）
B Bxi
18
B Bxi
讨论:
（1）若
I
o
R
2
0 nI L B 0 nI cos 2 1/ 2 2 2 2 L / 4 R
（2）无限长的螺线管
L R
则：
即：1 π, 2 0
B 0nI
24
π （3）半无限长螺线管 1 , 2 0 2
1 B 0 nI 2
（4）磁感应强度的小的分布
dB
I
r r0 / sin y r0 ct g 2 dy r0d / sin 0 I dB sin d
4 π r0
o r0
y
*
dB
z
Id y
1
r
P
x
C
14
B dB
C
D
0 I
4 π r0
2
1
sin d
B 的方向沿 z 轴的负方向。
I
（2 ）
R B x 0 I 0 o B0 2R
I
（4） I R
o
（5）
0 I B0 2 R 2
R1
R2
R
o
（ 3）
B0
0 I
4R
I
I
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
第十三章 稳恒电流的磁场
v Idl
L
r
ˆ r
v r v v µ Idl ×r B = ∫ dB= ∫ 3 L L4 π r
四、毕—萨定律应用 萨定律应用 r 1.载流直导线产生的B r r Idl 在P点产生dB,
X I
⊗ B 统一变量： x, α , r三个变量 统一变量： sinα = cos β
2 v Idl α v 方向：垂直版面向里 L r µ Idl sin α dB = 2 x Z 4π r β1 β µ Idxsinα B= ∫ o 2 a L 4 π r
I
θ
R
•
µ0I θ B= 2R 2 π
例：如图，电流I经过半无限长导线Ⅰ，半圆导线(半径为 R)Ⅱ，半无限长导线Ⅲ,求圆心O点的磁感应强度 B 。
微观本质： 微观本质：
1) 电流是电荷运动的结果；
2) 磁铁是环形电流的定向排列——安培分子 电流假说。
s
应用程序
N
v 二、磁感应强度 (B)
与描述电场类似， 与描述电场类似，运动电荷在磁场中受力的性质引入一 个磁感应强度。 个磁感应强度。
r r 运动电荷在磁场中受力最大： 运动电荷在磁场中受力最大：v ⊥ B
ZnCl2 NH3Cl
依靠某种与静电力完全不 同的力——非静电力。提 非静电力。 同的力 非静电力 供非静电力的装置称为电 源。
四、欧姆定律的微分形式
v j
n λ e γ 令： = v 2m v
2
v E
∆ s u∆ t
v u
γ 称为电导率
令：
v v j =γE
1
γ
= ρ称为电阻率
欧姆定律的微分形式
r n
dSn
v j
稳恒电流的磁场
将线圈置于磁场中，当磁场发生变化时，线圈中产生感应电流，并 受到磁场的作用力而发生旋转，实现电磁驱动。
霍尔效应实验
将导体置于磁场中，当电流通过导体时，在导体两侧产生电势差， 这种现象称为霍尔效应，可用于测量磁场强度。
电磁感应现象实验
法拉第实验
通过在导线线圈中切割磁感线，发现导线中产生 感应电流，即电磁感应现象。
稳恒电流的磁场
https://
REPORTING
• 磁场和电流的关系 • 稳恒电流产生的磁场 • 磁场对稳恒电流的作用 • 稳恒电流的磁场应用 • 实验与观察
目录
PART 01
磁场和电流的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
安培环路定律
安培环路定律是描述磁场和电流之间关系的物理定律，它指出磁场和电流之间的 关系是线性的，即磁场是由电流产生的，并且电流的存在会导致周围空间中磁场 的形成。
电流在磁场中的受力分析
02
根据左手定则，可以判断电流在磁场中受到的力的方向。
电磁感应
03
当导线在磁场中做切割磁感线运动时，导线中会产生感应电动
势，从而产生感应电流。
PART 03
磁场对稳恒电流的作用
REPORTING
WENKU DESIGN
洛伦兹力
定义
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中 所受到的力，其大小与带电粒子 的电荷量、速度和磁感应强度有
磁场对电流的作用力
磁场对电流的作用力是指电流在磁场中受到的力，这个力的 大小和方向取决于电流和磁场的相互位置和方向。
磁场对电流的作用力遵循安培定律，其数学表达式为： F=IBLsinθ，其中F表示作用力，I表示电流，B表示磁场强度，L 表示导线长度，θ表示电流和磁场方向的夹角。
稳恒电流的磁场总结汇总
1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。
磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。
8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。
(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。
10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。
12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。
推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。
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§10-3 磁场的高斯定理
一、磁感应线（B线）
为形象描述磁场分布情况，用一些假想的有方向 的闭合曲线—磁感应线代表磁场的强弱和方向。 磁感应线的特点：
是连续的，不会相交； 是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没有 终点； 方向与电流方向成右手螺旋关系。
【规定】：
B
（1）磁感应线上任意一点的切向代
过圆面来计算： m BS cos B r 2 cos
第十章 稳恒电流的磁场
§10-4 安培环路定理
安培环路定理的表述：
在真空的稳恒磁场中，磁感应强度B沿任一闭合
路径L的线积分，等于μ0乘以该闭合路径所包围的 各电流的代数和，而与路径的形状和大小无关。
数学表达式 符号规定：
rr
Ñ B dl 0 Ii
保守场、有势场
rr
Ñ Bdl L
0 Ii
(穿过)
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理的应用——求B
安培环路定理是普遍成立的，但用其求磁感应强度B时则 要求磁场分布具有对称性，才能把B从积分号中拿出来。
步骤：
①分析磁场的对称性，这是解决问题的关键；只有当电流 的分布具有对称性时，磁场分布也具有对称性，才能满足 用该定律求磁感应强度B的条件； ②适当选取积分闭合回路L（含方向）；使回路L上各点的 磁感应强度B的方向沿该点的切线方向，且大小相等（或 一部分上相等，其余部分为零），这样才能把B提到积分 号外，从而便于计算B ； ③求∑I内 （服从右手螺旋为正，反之为负）； ④由安培环路定理求解B，并说明方向。
l
i
I n 1
L
I1
穿过回路L的电流方向与L的环绕方向
服从右手关系的 I 为正，否则为负。
不计穿过回路边界的电流
I2
Ii I n k
❖ 安培环路定理的证明：
B 0I
2π R
设闭合回路l为圆形回路（I与l成右手螺旋）
蜒 l Bv
v dl
0I dl 2 R
0 I 2 R
Ñl dl
0I
vv
Ñl B dl 0I
l
MN
NO
OP
PM
穿过矩形环路的电流强度：
∑Ii=I×n×l
M
N B B MN 0nMNI
++++++++++++
P
LO
B 0nI
---匀强磁场
【例10】求载流螺线环的磁场分布。设螺线环环
上均匀密绕N匝线圈，线圈中通有电流I，如图所
示。
解：由对称性，与螺线环共轴
的圆周上各点磁感应强度的大
小相等，方向沿圆周为切线方
s B dS 0
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电荷, 因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零，这反映 了静电场的有源性。 而在磁场中，磁力线的连续性表明，像正、负电荷 那样的磁单极是不存在的，磁场是涡旋场。
【例8】在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S，S
边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
L1 B1 dl1
L2 B2 dl2
=
0
0I 2 r1
r1d
0
0I 2 r2
r2d
= 0I 0I =0
2 2
❖
多电流情况
蜒l Bv
v dl
rr
l Bi dl
?l
r Bi
r dl
i
i
以上结果对任意形状的闭合电流
I1
I2
I 3 （伸向无限远的电流）均成立。
vv
l
Ñl Bdl 0 Ii i
表该点B的方向；
（2）垂直通过某点单位面
积上的磁感应线数目等于该
B
点B的大小。
（3）磁感应线密集处磁场强； 磁感应线稀疏处磁场弱。
磁感应线
二、磁通量Φm
穿过磁场中任一给定曲面的
磁感应线条数。 均匀磁场的通量计算
s s
规定：B dN dS
vv
m BS cos B S
非均匀磁场的通量计r算 r
，如图所示，则通过半球面S的磁通量为？
解：将半球面和圆面组成一个闭合面
，则由磁场的高斯定理知，通过此闭
合面的磁通量为零。 r r
Ñ B dS 0 S S1
rr rr
B dS B dS 0
S
S1
S
S1 B
n
这就是说，通过半球面和通过圆面的磁通量数值相
等而符号相反。于是通过半球面的磁通量就可以通
向。由安培环路定理：
vv
Ñl B dl 2 rB 0NI
在环管内:
B=
o NI 2 r
I
•
•
•
••
r
•
•o
•
••• •
• • • • •
•lΒιβλιοθήκη B---非匀强磁场
B o Ii
2 r
对于管外任一点, 过该点作一与螺线环同轴的 圆周l1或l2为闭合路径，
dm BdS cos B dS
对整个曲面，磁通量：
rr
m S B dS
n
B
❖ 对封闭曲面，规定外法向为正
B
B
✓磁通量是标量，其正负由角 确定。这样：
✓磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正； ✓磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。
三、磁场高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲面磁 通量的代数和(净通量)必为零，亦即
长直密绕螺线管内磁场
M
NB
+P+++++++L+++O+
载流螺绕环内的磁场
d
无限长载流导线、圆柱 、圆筒
R
L
r
无限大的通电平板
M
N
P
LO
B
灵活应用叠加原理和“补偿法”
【例9】长直密绕螺线管内磁场
解：对称性分析螺旋管内为均
匀场，方向沿轴向, 外部B=0
vv
vv
vv vv vv
Ñ B dl B dl B dl B dl B dl
1) 反映磁场的物理本质；
2）可以求磁场中的环量；
vv
3）可以求磁感应强度。
Ñ Bdl l
0 (I2
I3)
❖ 注意：
1、安培环路定理表达式中的电流强度是指闭合曲线所
包围，并穿过的电流强度，不包括闭合曲线外的电流
rr
Ñ 2、应该强调指出，安培环路定
B dl 0 Ii
理表达式中的磁感应强度B是空 l
i
间所有电流(闭合路径l内外的电
流)产生的磁感应强度的矢量和。
3、电流的符号规定是：当闭合 I1
I2
I3
路径l的方向与电流方向呈右手
l
螺旋关系时，电流I就取正号；
反之，取负号。
静电场与恒定磁场比较
高斯定理
静电场 恒定磁场
r
ÑS E
r dS
1
0
q内
有源场
rr
ÑS B dS 0
无源场
环路定理
rr
ÑL E dl 0
I
B
dl
oR
l dl
若回路绕向为逆时针时，则
蜒l Bv
v dl
l
Bdl
0
I
❖v 对v任意形状的回路
B dl B cosdl
0I rd 0I d
vv
2 r
2
d
I lr
B
dl
Ñl B dl 0I
l与I成右螺旋
B1
B2
d
r1
dl1
dl2
r2
l
❖ 电流在回路之外
rr vv v v
Ñ B dl L