高中立体几何大量习题集与答案解析

A B

I J

立体几何

一、选择题

1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两

个平面互相平行；③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行；④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线

AD 与BC 1所成角的余弦值是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为

（）

A ．23

B ．32

C ．6

D ．6

4. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，

G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．0°

5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱

长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个

6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′

上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积（） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关

C ．与E 、F 、Q 位置都有关

D ．与

E 、

F 、Q 位置均无关，是定值

7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为

1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（） A ．1，2，3

B ．2，4，6

C ．1，4，6

D ．3，6，9

8. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体

的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（） A ．S 1S 2 B ．S 1S 2

C ．S 1=S 2

D ．S 1，S 2的大小关系不能确定

9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条

件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

10. 已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截

这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（） A ．b =（2－1）a B ．b =（2+1）a C ．b =

22a

D ．b =

22a

+ 11. 已知向量a =(2，4，x)，b =(2，y ，2)，若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是 ( ) 12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都

在同一个球面上，这个球的表面积是( ) π B. 18π π D. 6π

13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A ．34000cm 3 B ．3

8000cm

C ．32000cm

D ．

34000cm

14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )

.1500 C

正视图

侧视图

俯视图

15.

一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )

16. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线

段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A ．6 B ．10

C ．12

D ．不确定

17. 已知三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，若

x+y=4，则已知三棱锥O －ABC 体积的最大值是 ( ) B.

13 C.2

D.3

18. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则

△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．②④

19. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 ( )

A.S 2S

B.πS 2S

C.S 4

D.πS 4S B

B C

A 1

B 1

C 1

D 1P Q R

N M ① ② ③ ④

A B C

F G

20. 已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB=2，CD=1，则异面

直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )

A ．300

B ．450

C ．600

D ．750

21. 已知向量(1,1,0)a =r ，(1,0,2)b =-r ，且k a b +r r 与2a b -r r 互相垂直，则k 值是 ( )

A ．1

B ．

51 C ．53 D ．5

22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )

个个个个

23. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形

EFGH 是( )

A.菱形

B.矩形

C.梯形

D.正方形

24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立

的是（） /平面PDF

⊥平面PAE

C.平面PDF ⊥平面ABC

D.平面PAE ⊥平面ABC

25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把

一条侧棱分成的两线段之比为（）：3 ：2 ： 3 ： 3 —1

26. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（）

A. 3 2

B. 3 6

C. 3 4

D. 3

27. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1， 6 ,3

已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（） π π π π

28. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的点，PQ=a

2 ,则三棱

锥P —BDQ 的体积为（） A.318a 3 B.324a 3 C.3

36a 3 D.不确定

29. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P 到平面ABC 的距离

为（）

A. 6 6

B. 6 3

C. 3 6

D. 3 3

30. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最

小值为（）

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

3 +2 6 3 +2 6 3 + 2 6 3 D.

4 3 +2 6

31. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与

平面PAB 所成角的余弦值是（） A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6

32. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面

都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( ) 为定值，l 不为定值不为定值，l 为定值与l 均为定值

与l 均不为定值

二、填空题

33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______． 34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如

图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能

是：（）

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）

35. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为

8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达

1A 点的最短路线的长为 .

36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中

的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_____对

37. 如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的 38. 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, 39. CC 1=3.则这个多面体的体积为 .

主视图

左视图

A 1

C C 1

D 1

A 1

B C 1

A 1A

C 1

40. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与

平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ ．

41. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，ACB ＝90，AC ＝6，BC ＝CC 1

，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是_________． 42. 已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂

足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ___________ ．

43. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则三角形的面积

S= 1

2 r (a+b+c ) ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V=______________．

44. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G

分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）．

C B

C 1

B 1

A 1 P

三、解答题

45. 在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C

B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

46. 如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。点A 、B 在1l

上，C 在

l 上，AM MB MN ==.

（1）证明AC ⊥NB ；

（2）若60O ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.

47. 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC

上的一点，m CP =.

（1）若直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23，求m ；

（2）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的

射影垂直于AP .并证明你的结论.

48. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为棱AB 、BC 、DD 1的中点，求证：PB ⊥平

面MNB 1。

49. 如图,在长方体ABCD─A 1B 1C 1D 1中,E 、P 分别是BC 、

A 1D 1的中点,M 、N 分别是AE 、CD 1的中点,AD=AA 1=a ,A

B =2a . （1）求证:MN ∥面ADD 1A 1; （2）求三棱锥P─DEN 的体积.

50. 在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平

面PBC ，AB ∥CD ，AB=

DC ，中点为PD E . (1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.

51. 设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角

都等于4

(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；

(2)求的大小(其中0＜＜π).

52. 如图，棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、

N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点. 53. (1)证明：PB ⊥MB 1；

54. (2)在线段A 1D 1上求一点Q,使得QD ∥平面B 1MN ； 55. (3)画出这个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方

形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.

56. 矩形ABCD 中，AB=3，BC=4(如图)，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD

上的射影E 落在BC 上． (1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A-BCD 的体积．

57. 如图，三棱锥P-ABC 中，∠ABC= 90，PA=1，AB=3，AC=2，PA ⊥面ABC ．

(1)求直线AB 和直线PC 所成角的余弦值； (2)求PC 和面ABC 所成角的正弦值；

58.已知三点)0,0,1(A，)1,1,3(B，)1,0,2(

(1)求CB与CA的夹角；

(2)求在方向上的投影.

59.有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、

焊损耗忽略不计)．有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剰余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长．

60.(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的的最大容积V1；

61.(2)请你判断上述方案是否最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最

少，且所得长方体容器的容积V2＞V1．

62. 如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝2，AA 12=，

由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与

AA 1的交点记为M ，求：

（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及A M

1的值；．

63. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动

点．试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F 。

64. 如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的

高都是2，AB =4． (1)证明PQ ⊥平面ABCD ；

1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B D D B C 9 10 11 12 13 14 15 16 B C A D B C B A 17 18 19 20 21 22 23 24 C C D C D A B C 25 26 27 28 29 30 31 32 D

1. D ．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.

2. D ．由题意易知∠ABC 1是AD 与BC 1所成的角，解△ABC 1，得余弦为

.答案：D ． 3. D ．设长宽高为a 、b 、c ，则?????

???===????

????===312632222c b a ac bc ab l=6，答案：D ．

4. B ．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF 的中点M ，连结IM 、MJ ，则

FD ，GH 2

FD ，∴MJ ∥GH ，∠IJM 为异面直线GH 与JI 所成的角. i.

H I

ii. 由已知条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM =60°.答案：B ．

5. D ．法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个

法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为

2，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12??????

，所以该几何体的体积取值范围

是11,63??????

6. D ．V A′－EFQ =V Q －A′EF .

7. B ．

8. 9. C ．连OA 、OB 、OC 、OD 则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD

V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高

都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公

共，故选C

9. 11. B ．乙?甲，但甲

乙，例如四棱锥S —ABCD

的底面ABCD 为菱形，但它不是正四棱锥.

10. 12. C ．由平行锥体底面的截面性质，知

PO PM =22

，∴PO OM =222-.∴a

b = 222-.∴b=2

2- a.答案：C ． 11. A 由题知?????=++=++024*******x y x ????-==3,4y x 或???=-=.1,

4y x .

D B B

12.

D.先计算出三条棱的长度分别为1,2,3.所以体对角线长为6.所以外接球的直径为6,算出表面积为6π.

13. B. V=20×20×20/3 . 14.

C.提示:设圆锥母线长为L,底面半径为R,由题意知侧面积是底面积的2倍,所以有πRL=2πR 2,解出L=2R.侧面展开图扇形的弧长为2πR,半径为L=2R,所以扇形的圆心角大小为ππ=R

22. 15. B.

16.

A.提示:连接PC,将四棱锥分割成成两个三棱锥M-PQR,P-MNR.分别计算两个三棱锥

C.正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体

的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E 、F 、G 、三点在平面ABC 内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示.

19. D.设底面直径为d,则侧面积为πd 2=S,所以d=

20. C.设AB 与CD 所成的角为θ

，则

><=,cos cos θ220000()0101,cos 11

090,60AB CD 60212

AB CD AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD AB CD θθθ??=++?=?++?=++=∴=?=

=<≤∴=?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

由于.由于，故异面直线与所成角的大小为.

21. D.k b a +=)2,,1()2,0,1()0,1,1(k k k -=-+，)2,2,3()2,0,1()0,1,1(22-=--=-b a ，

∵两向量垂直 ∴0222)1(3=?-+-k k ∴5

7=k . 22. A. 23.

33.

．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故

26cos 3

α=

=. 34. ①③④⑤．如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为

1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离

为

，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为3

，所以C 到平面α的距离为3；C 、

A 1的中点到平面α的距离为7

，所以C 1到平面α的距

离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以填①③④⑤．

35. 将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开，其侧面展开图如

图所示，由图中路线可得结论．

36. 解析：相互异面的线段有AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH3对.

37.

60.提示:用长方体的体积减一个三棱锥的体积.

43. 法一：连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴Θ

为异面直线B A 1与C B 1所成的角.

连接BD ，在△DB A 1中， 24,511===BD D A B A ，

则D

A B A BD D A B A D BA 112

212112cos ??-+=∠

552322525=

??-+=

. ∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为25

arccos

. 法二：以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立

空间直角坐标系.

则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、，得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . 设B A 1与C B 1的夹角为θ，则25

，即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为

9arccos

. 44. （１）AM = MB = MN ，说明NM 是△ANB 的中线且为边AB 的一半，所以△ANB 是直

角三角形，其中∠ANB 为直角。所以BN ⊥NA 。① 12l l ⊥且MN ⊥2l ?2l ⊥面ABN ?2l ⊥BN 。②

由①、②可推出BN ⊥面NAC 。所以AC ⊥BN 。（２）MN ⊥AB 且M 为AB 中点?AN = MN ③ 由（１）知，AN 、BN 、CN 两两垂直 ④

由③、④ ?AC = BC ，又∠ACB = 60?，所以△ABC 是等边三角形。

45.法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面

BDD B相交于点，,连结OG，因为PC∥平面

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面

（２）可以推测，点Q应当是A I C I的中点O1，因为

D1O1⊥A1C1, 且D1O1⊥A1A ，所以D1O1⊥平面ACC1A1，

又AP?平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。

法二：(１)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)

所以1(1,1,0),(0,0,1),(1,1,),(1,1,0).BD BB AP m AC =--==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r

又由10,0AC BD AC BB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知，AC u u u r 为

平面11BB D D 的一个法向量.

设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则

sin cos()222AP AC AP AC m πθθ?=-==

??+u u u r u u u r u u u r u u u r 依题意有

m =时，直线AP 与平面11BB D D 所成的角的正切值为32．

（２）若在A 1C 1上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，则Q (x ，1－x ，1)，

(,1,0)DQ x x =-u u u u r 。依题意，对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，等价于D 1Q ⊥AP 11

0(1)0.2

AP D Q x x x ??=?-+-=?=u u u r u u u u r 即Q 为A 1C 1的中点时，

满足题设要求.

46. （1）如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标

系，取正方体棱长为2，则P （0，0，1）、M （2，1，0）、B （2，2，0）、B 1（2，2，2）.

A A x

D D B B C C

P M

∵PB ·1MB =（2，2，－1）·（0，1，2）=0， ∴MB 1⊥PB ，同理，知NB 1⊥PB . ∵MB 1∩NB 1=B 1，∴PB ⊥平面MNB 1.

47. 法一：以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别

为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D─xyz , 则A (a ,0,0)、B (a ,2a ,0)、C (0,2a ,0)、A 1(a ,0,a )、 D 1(0,0,a ) ∵E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点,M 、

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111 ()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ 7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，

的中点，则2a 等于（）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（）Ａ．51122--，，Ｂ．51122 -，，Ｃ．51122 --，，Ｄ．51122 ，，答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9，则λ=（）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（）Ａ．7412??- ???，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ．答案：2221055?? - ??? ，，

立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理 18）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

高中数学空间几何体考试题

第一章空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是（） A 三棱柱四棱台球圆锥 B 三棱柱四棱台正方体圆台 C 三棱柱四棱台正方体六棱锥 D 圆锥圆台球半球 2、下列说法正确的是（） A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是（） A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是（） A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有12条棱的是（） A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。 8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示右面，“程”表示下面。则“祝”“你”“前”分别表示正方体的————— 祝你前程似锦

高二数学立体几何单元测试题

高二数学立体几何第一二章测试卷必修 2 班级编号姓名得分：一、选择：12×5=60分 1、经过空间任意三点作平面（） A ．只有一个 B ．可作二个 C ．可作无数多个 D ．只有一个或有无数多个 2、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（） A ．cm 77 B ．cm 27 C ．cm 55 D ．cm 210 3．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，β?m ，则α⊥β 4．在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=- （） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 5、在正方体1111 ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 6、如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（） A ．90° B ．45° C ．60° D ．30° 7、异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（） A ．[30 °，90°] B ．[60°，90°] C ．[30°，60°] D ．[60°，120°] 8、PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（） A ． 2 1 B ． 2 2 C ． 3 6 D ．33 9、如图，PA ⊥矩形ABCD ，下列结论中不正确的是（） A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．P D ⊥BD D ．PA ⊥BD B A

立体几何经典题型汇总

1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

高一数学必修二立体几何测试题_____2013

D A 1 B 1 B A C 1 C D 1 高一数学必修二立体几何测试题一：选择题（4分10?题） 1.下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（） A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )． A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥，23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ?1l ，2l ，3l 共面 D ．1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 3．已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是： A ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β B ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥n C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 4.在四面体ABC P -的四个面中，是直角三角形的面至多有（） A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5,下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l =βα ，那么l γ⊥平面 D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6.如图所示正方体1AC ,下面结论错误的是（） A. 11//D CB BD 平面 B. BD AC ⊥1 C. 111D CB AC 平面⊥ D. 异面直线1CB AD 与角为? 60 7.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（） A. ? 120 B. ? 150 C. ? 180 D. ? 240

必修二立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90 角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90

必修空间几何体单元测试题

o' x' C A 高一数学《空间几何体》单元测试题可能用到的公式： 1、1 ()3 V S S h S S h ''=+台体，其中、分别为上、下底面面积，为台体的高． 2、()S r r l π '=+圆台侧一、选择题（共10小题，每小题5分） 1、下列命题正确的是（） A 、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； B 、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； C 、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面； D 、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。 2、圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（） A 、π B 、π2 C 、π3 D 、π4 3、关于斜二侧画法，下列说法不正确的是（） A 、原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ’ 轴，长度不变； B 、原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ’ 轴，长度变为原来的2 1 ； C 、在画与直角坐标系xoy 对应的'''x o y 时，'''x o y ∠’必须是?45 D 、在画直观图时由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。 4、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为?45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（） A 、 2221+ B 、2 2 1+ C 、21+ D 、22+ 5、如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）. ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 6、如果两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（） A 、8:27 B 、2:3 C 、4:9 D 、2:9 7如图是长宽高分别为3、2、1的长方体，有一蜘蛛潜伏在处，C 1处有一小虫被蜘蛛网粘住，则蜘蛛沿正方体表面从A 点爬到C 1点的最短距离为（） A 、31+ B 、102+ C 、23 D 、32 8、圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱积为（）

(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A

高中数学立体几何测试题及答案一

立体几何测试题及答案（一）高中数学必修2分，每小题4分）一，选择（共80 ）的取值为（1，三个平面可将空间分成n个部分，n 8。；D，4，6，7，A，4；B，4，6；C，4，6，7 ）2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（⊥α。ba⊥α、⊥α；D，aα、bA，aα、bα；B，aα、b∥α；C，????），若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（ 3 都垂直；B，过点p有且只有一条直线与a、bA，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；都异面。D，过点p有且只有一条直线与a、bC，过点p有且只有一条直线与a、b都相交； 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 7；D，4。A，3 ；B，5 ；C，5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（），至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。A，必有三点共线；B 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 C，无数；D，涵盖上三种情况。A，0；B，1；7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（）D，上三种情况都不对。n=4；；B，2≤n≤5 ；C，A，3≤n≤6 ）、b为异面直线，那么（8，a平a，过直线b 存在唯一的一个平面与A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B 垂直。b 存在唯一的一个平面与a，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线行；C 上的一点，下列命题正确的个数是（），a、b为异面直线，p为空间不在a、b9都相交；③a、b ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；都平行；④过点pa过点p总可以作一条直线与、b p总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。⑤过点4。C，3；D，，A，1；B2；°40p为空间中的一定点，过点p作与a、b所成角为a10，异面直线、b所成的角为80°，的直线有（）条4；D，6。C A，2；B，3；，的、PB=2、PC=3，则△ABCPA11，P是△ABC外的一点，、PB、PC两两互相垂直，PA=1 面积为（）平方单位91175。D，，A，；B；C，；2226，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（）12 。D，{1，4，6}5}；，；B{1，2，3，} C，{1，3，；4}{2A，，3，上移AB上移动，点Q在CD113，空间四边形ABCD的各边与对角线的长都是，点P在到点Q ）的最短距离是（动，点P3231D，。A，；B，；C；，2242）P 到BC的距离是（PA=8PAAB=AC=5，14在△ABC中，，BC=6，⊥平面ABC，，则3553。2D；，，B，A4；，4；C2 ）是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（n，m，已知15．垂直于梯形mm垂直于α内的无数条直线，则⊥α；②若m垂直于梯形的两腰，则①若m 。⊥mm∥α，所在的平面；③若nmα，则n∥m；④若α∥β，α， n⊥β，则n??，①③。CA，①②③；B，②③④；，②④；D 116，有一棱长为的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）232；；。C，，A1；BD，，2

空间向量与立体几何测试题及答案

高中数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（）Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111()2 AB CD AC ++ 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（）Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+= ，则αβ-的值为（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果122212 2833e e e e e e =+=+=- ，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面答案：Ｃ

7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，的中点，则2a 等于（）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG CA · Ｄ．2EF CB · 答案：Ｂ 8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（）Ａ．51122--，，Ｂ．51122 -，，Ｃ．51122 --，，Ｄ．51122 ，，答案：Ａ 9．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 255 Ｄ．2或255 - 答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（）Ａ．7412??- ???，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos 3 Ｄ．3arccos 6 答案：Ｄ 12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···； ②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题 13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则 c = ．

高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中数学立体几何练习题精选试卷姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（每题2分，共40分） 1．设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（） ①l?α，m?α，且l∥β，m∥β； ②l?α，m?α且l∥m； ③l∥α，m∥β且l∥m． A．1个B．2个C．3个D．0个 2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0）、B（0，4，0）、C（4，4，0）、D（0，0，2），则此三节棍体外接球的表面积是（） A．36πB．24πC．18πD．12π

3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D． 4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（） A．16B．2C．4D． 5．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（） A．2πB．4πC．πD．8π 6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（） ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D． A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④ 7．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）

(完整word版)高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D；（2）平面BDF∥平面B 1D 1 H．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。（1）求证：SB ∥平面ACM ；（2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．