必修2立体几何复习(知识点+经典习题)
高中数学必修2立体几何专题
专题一浅析中心投影与平行投影中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影．投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影.方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置.点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等.例2 如图所示，点O为正方体ABCDA′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：在下底面ABCD 上的投影为③，在右侧面B ′BCC ′上的投影为②，在后侧面D ′DCC ′上的投影为①. 答案：①②③点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．专题二 不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1 在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，A 1A 上的点，且满足A 1M = 12A 1B 1，A 1N =2ND 1，A 1P = 34A 1A （如图1），试求三棱锥A 1—MNP 的体积．分析：若用公式V= 13 Sh 直接计算三棱锥A 1—MNP 的体积，则需要求出△MNP 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1MN 的体积，便能很容易的求出其高和底面△A 1MN 的面积，从而代入公式求解．解：V A 1-MNP =V A 1—MNP = 13 ·S △A 1MN ·h = 13 ×12 ·A 1M 1·A 1N ·A 1P=13 ×12×12a ·23 a · 34a=124a 3． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据． 二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2 如图2，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ,F 分别为AB ,AC 的中点，平面EB 1C 1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF —A 1B 1C 1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V =Sh ． 则三角形AEF 的面积为14S ．由于V AEF -A 1B 1C 1=13 ·h ·(s 4 +S+s 2 )= 712Sh ,则剩余不规则几何体的体积为V ′=V-V AEF -A 1B 1C 1=Sh -712 Sh = 512Sh ，所以两部分的体积之比为V AEF -A 1B 1C 1：V ′=7：5.评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算． 三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积.解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π.评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．专题三处理球的切与外接问题与球有关的组合体问题，一种是切，一种是外接。
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识点归纳超级精简版
(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案知识点归纳超级精简版单选题1、下列空间图形画法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知平面α内的∠APB =60°，射线PC 与PA,PB 所成的角均为135°，则PC 与平面α所成的角θ的余弦值是（ ） A ．−√63B ．√63C ．√33D ．−√333、已知正四面体P −ABC 内接于球O ，点E 是底面三角形ABC 一边AB 的中点，过点E 作球O 的截面，若存在半径为√3的截面圆，则正四面体P −ABC 棱长的取值范围是（ ） A ．[√2，√3]B ．[√3，√6] C ．[2√2，2√3]D ．[2√3，2√6]4、设α,β是两个不同平面，m,n 是两条直线，下列命题中正确的是（ ） A ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n //β，那么α⊥β B ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//β C ．如果m //n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α//βD ．如果α//β，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，那么m //n5、《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AC ⊥CD ，AC ＝BC ＋CD ＝2，当△BCD 的面积最大时，鳖臑ABCD 的表面积为（ ）A ．√3+√62B ．3+√62C ．2+√3+√62D ．3+√3+√626、如图，在一个正方体中，E ，G 分别是棱AB ，CC ′的中点，F 为棱CD 靠近C 的四等分点.平面EFG 截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．√3πB ．√33C ．√33πD ．√38、设α,β为两个不同的平面，则α ∥ β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α,β垂直于同一平面 C ．α,β平行于同一条直线 D ．α内的任何直线都与β平行9、如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M,N分别为A1D1和AA1的中点，则下列四种说法中正确的是（）A．C1M//ACB．BD1⊥ACC．BC1与AC所成的角为60∘D．CD与BN为异面直线10、用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（）A．矩形B．圆形C．梯形D．三角形11、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B−A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖膈”C．四棱锥B−A1ACC1体积最大为23D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B12、设∠A和∠B的两边分别平行，若∠A=45°，则∠B的大小为___________.部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案(四十九)参考答案1、答案：D分析：根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.2、答案：B分析：作出图形，如图，通过分析，可得∠CPD为PC与平面α所成的角的补角，利用余弦定理可以计算. 作出如下图形，令PA=PB=PC=2，则∠CPA=∠CPB=135∘，∴AC=BC，取AB中点D，连接PD，则∠CPD即为PC与平面α所成的角的补角，在△APC中，AC2=PA2+PC2−2PA⋅PC⋅cos135∘=8+4√2，∴在△PCD中，CD2=AC2−AD2=7+4√2，∵PD=√3，∴cos∠CPD=PC2+PD2−CD22PC⋅PD =−√63，∴PC与平面α所成的角θ的余弦值是√63.故选：B.小提示：本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.3、答案：C分析：根据条件设正四面体的棱长为a，用棱长a表示出其外接球的半径R=√64a，过E点作外接球O的截面，只有当OE ⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为r =12a ，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R =√64a ，根据题意则12a ≤√3≤√64a ，从而可得出答案. 如图，在正四面体P −ABC 中，设顶点P 在底面的射影为O 1， 则球心O 在PO 1上，O 1在CE 上，且|PO 1|=23|CE |,连接OE ､OC ，设正四面体的棱长为a ，则|CE |=√32a ，|PO 1|=23|CE |=√33a 则正四面体的高PO 1=√PC 2−O 1C 2=√a 2−(√33a)2=√63a ， 设外接球半径为R ，在Rt △OO 1C 中，OC 2=OO 12+O 1C 2，即R 2=(√63a −R)2+(√33a)2，解得R =√64a ， ∴在Rt △OO 1E 中，OE =√OO 12+O 1E 2=√(√612a)2+(√36a)2=√24a ， 过E 点作外接球O 的截面，只有当OE ⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为r =√R 2−OE 2=(√64a)2−(√24a)2=12a ，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R =√64a ， 由题设存在半径为√3的截面圆，∴12a ≤√3≤√64a ，解得2√2≤a ≤2√3，故选:C .小提示：关键点睛：本题考查正四棱锥的外接球的截面圆的半径范围问题，解答本题的关键是用正四棱锥棱长a 表示出其外接球的半径R =√64a ，得出过E 点的球的截面圆的半径的范围，从而得解，属于中档题. 4、答案：C分析：A.由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由m//n，m⊥α，得到n⊥α，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．A.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n//β，则α,β位置不确定，故错误；B.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故错误；C. 因为m//n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α//β，故正确；D.如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n，相交或异面，故错误．故选：C5、答案：D分析：根据题意可证明CD⊥BC，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得BD，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，故AB⊥CD ,又AC⊥CD，AC∩AB=A,AB,AC⊂平面ABC，故CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故CD⊥BC,所以S△BCD=12BC⋅CD≤12×(BC+CD2)2=12,当且仅当BC=CD=1时取得等号，故BD=√1+1=√2 ,由AB⊥平面BCD，可知AB⊥BD,AB⊥BC, 故AB=√AC2−BC2=√4−1=√3 ,所以S△ABD=12AB⋅BD=√62,S△ABC=12AB⋅BC=√32,S△BCD=12BC⋅CD=12,S△ACD=12AC⋅CD=1,所以鳖臑ABCD的表面积为√62+√32+12+1=3+√3+√62，故选：D 6、答案：D分析：根据条件可得平面EFG经过点B′，然后可得答案.连接EB′，GB′因为E，G分别是棱AB，CC′的中点，F为棱CD靠近C的四等分点所以EB′//FG，所以平面EFG经过点B′所以多面体A′D′DA−EFGC′B′的正视图为故选：D7、答案：C分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π．故选：C．8、答案：D分析：根据面面平行、相交的知识确定正确选项.A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误.B选项，α,β垂直于同一平面，α与β可能相交，B选项错误.C选项，α,β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误.D选项，α内的任何直线都与β平行，则α//β，D选项正确.故选：D9、答案：BCD分析：由异面直线定义可知AD正误；证得AC⊥平面BDD1后，利用线面垂直性质可知B正确；由AC//A1C1可知所求角为∠BC1A1，由长度关系可得∠BC1A1=60∘，知C正确.对于A，∵AC//平面A1B1C1D1，AC//A1C1，A1C1∩C1M=C1，C1M⊂平面A1B1C1D1，∴C1M与AC是异面直线，A错误；对于B，∵AC⊥DD1，AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD,DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，又BD⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1，B正确；对于C，∵AC//A1C1，∴∠BC1A1即为异面直线BC1与AC所成的角，∵BC=A1C1=A1B，∴△A1BC1为等边三角形，∴∠BC1A1=60∘，C正确；对于D，∵CD//AB，CD//平面ABB1A1，AB∩BN=B，BN⊂平面ABB1A1，∴CD与BN为异面直线，D正确.故选：BCD.10、答案：AD分析：根据圆台的结构特征结合空间想象可得结果.根据圆台的结构特征，用一个平行底面的平面截圆台可得圆形，当平面与圆柱轴所在直线线平行或经过轴所在直线时，可得梯形，不论平面与圆台如何相交，截面都不可能是矩形和三角形，故选：AD11、答案：ABD分析：根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当AC=BC时，四棱锥B−A1ACC1体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证A1B⊥平面AEF，进而判断D的正误.底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，侧棱AA1⊥平面ABC，A选项，∴AA1⊥BC，又AC⊥BC，且AA1∩AC=A，则BC⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B−A1ACC1为“阳马”，对；B选项，由AC⊥BC，即A1C1⊥BC，又A1C1⊥C1C且BC∩C1C=C，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴A1C1⊥BC1，则△A1BC1为直角三角形，又由BC⊥平面AA1C1C，得△A1BC为直角三角形，由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形，∥CC1B为直角三角形．∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，对；C选项，在底面有4=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤2，当且仅当AC=BC=√2时取等号，V B−A1ACC1=13S A1ACC1×BC=13AA1×AC×BC=23AC×BC≤43，错；D选项，因为BC⊥平面AA1C1C，则BC⊥AF，AF⊥A1C且A1C∩BC=C，则AF⊥平面A1BC，∴AF⊥A1B，又AE⊥A1B且AF∩AE=A，则A1B⊥平面AEF，所以则A1B⊥EF，对；故选：ABD．12、答案：45°或135°##135°或45°分析：根据等角定理即可得到答案.根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 所以答案是：45°或135°.。
高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案
D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
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轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
高中数学必修二第八章立体几何初步笔记重点大全(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步笔记重点大全单选题1、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1，共3条.故选: C.2、如图直角△O′A′B′是一个平面图形的直观图，斜边O′B′=4，则原平面图形的面积是（）A．8√2B．4√2C．4D．√2答案：A解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解. 由题意可知△O′A′B′为等腰直角三角形，O′B′=4，则O′A′=2√2，所以原图形中，OB=4，OA=4√2，×4×4√2=8√2.故原平面图形的面积为12故选：A3、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AA 1=1，AC =2，E 是棱A 1C 1上的中点，则点A 到平面BCE 的距离是（ ）A ．1B ．√23C ．√63D ．√33答案：C分析：作出草图，根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，可得A 1C 1⊥BA 1，再根据勾股定理分别求出A 1B ，BE ，CE ，BC 的值，再根据V A−BCE =V E−ABC ，即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，连接BA 1,CE,AE,BE ，由题知，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1，又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°，∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，所以A 1C 1⊥BA 1，由于AB =AA 1=CC 1=1,A 1C 1=AC =2，E 点是棱AC 上的中点，根据勾股定理，A 1B =√AB 2+AA 12=√12+12=√2， BE =√A 1B 2+A 1E 2=√(√2)2+12=√3 CE =√(C 1C )2+(C 1E )2=√12+12=√2，BC =√AB 2+AC 2=√12+22=√5，所以BE2+CE2=BC2，即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d，则d=1，设点A到平面BCE的距离为ℎ，在四面体A−BCE中，V A−BCE=V E−ABC，V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13，解得ℎ=√63.故选：C.4、如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN答案：A分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；可证明平面PBC⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．由于BC⊥平面PDC，又BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC由于AB//平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线//AB显然AB不与平面PBC垂直，故A错误故选：A5、已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：①若m⊥l，则m//α；②若m⊥α，则m//l；③若m//α，则m⊥l；④若m//l，则m⊥α；上述判断中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④答案：B分析：根据线面的位置关系，线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即得. 对于①，当m⊂平面α也可以有m⊥l，但m不平行于平面α，故①错；对于②，根据线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，根据线面平行的性质定理可得存在n⊂α且m∥n．而直线l⊥平面α，故可根据线面垂直的性质得出l⊥n，故l⊥m正确；对于④，根据直线l⊥平面α，可在平面α内找到两条相交直线p，n，且l⊥p，l⊥n，又m∥l，所以m⊥p，m⊥n，故根据线面垂直的判定定理可知，m⊥α正确．即②③④正确．故选：B．6、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．7、已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为（）A．√23πB．2√23πC．πD．√2π答案：B分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为r，故可得2πr=2π3×3，解得r=1，设圆锥的高为ℎ，则ℎ=√32−12=2√2，则圆锥的体积V=13×πr2×ℎ=13×π×2√2=2√23π.故选：B.8、一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是（）A．MN//平面ABE B．MN//平面ADEC．MN//平面BDH D．MN//平面CDE答案：C解析：根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE 的关系，进而对D作出判定.根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.小提示：本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.多选题9、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（）A．16B．64C．32D．无法确定答案：AB分析：正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.根据题意，正方形的直观图如图所示：①若直观图中平行四边形的边A′B′=4,则原正方形的边长为AB=A′B′=4，所以该正方形的面积为S=4×4=16；②若直观图中平行四边形的边A′D′=4,则原正方形的边长为AD=A′D′=8，所以该正方形的面积为S=8×8=64，故选：AB.10、以下四个命题中，不正确的命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面C．若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面答案：BCD分析：利用反证法可知A正确；直线DE与直线AC异面时，A,B,C,D,E不共面，判断B；C中b,c可为异面直线，判断C；D中四条线段可构成空间四边形，判断D.A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正确；B选项：若A,B,C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A,B,C,D,E不共面，B错误；C选项：a,b共面，a,c共面，此时b,c可为异面直线，C错误；D选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误.故选：BCD11、（多选题）已知平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，下列结论中正确的是（）A．m//βB．n//αC．m//n D．m与n不相交答案：ABD分析：由面面平行的性质可判断各选项的正误.因为平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m//β，n//α，m与n无公共点，即m与n不相交.故ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.填空题12、如图，已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，给出下列结论：①异面直线AP 与DD 1所成的角范围为[π3,π2]；②平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ；③点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值2√33； ④存在一点P ，使得直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角为π3. 其中正确的结论是___________.答案：②③解析：数形结合说明异面直线AP 与DD 1所成的角的范围为[π4,π2]，故①错误；证明BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ，故②正确；点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，且等于BD 1的13，即2√33，故③正确；AP与平面BCC 1B 1所成的角为∠APB ,tan ∠APB 最大值为√2<tan π3，故④不正确. 对于①，当P 在C 点时，DD 1⊥AC ，异面直线AC 与DD 1所成的角最大为π2， 当P 在B 1点时，异面直线AB 1与DD 1所成的角最小为∠D 1DC =π4， 所以异面直线AP 与DD 1所成的角的范围为[π4,π2]，故①错误；对于②，如图，因为A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥B 1B,B 1D 1∩B 1B,B 1D 1,B 1B ⊂平面BB 1D ,所以A 1C 1⊥BD 1,同理DC 1⊥BD 1,又因为A 1C 1∩DC 1=C 1,A 1C 1,DC 1⊂平面DA 1C 1,所以BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以平面PBD 1⊥平面A 1C 1D ，故②正确；对于③，因为B 1C //A 1D, B 1C ⊄平面A 1C 1D ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,所以B 1C //平面A 1C 1D ，所以点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，且等于BD 1的13，即2√33，故③正确；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，tan∠APB=AB，BP，故④不正确，当BP⊥B1C时，BP最小，tan∠APB最大，最大值为√2<tanπ3所以答案是：②③.小提示：关键点睛：解答本题的关键是判断命题①④的真假，它们都是求空间的角，它们都是利用数形结合的方法求空间角的最值，对于数形结合的这种数学思想要注意灵活运用.13、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是侧面A1ADD1的中心，则异面直线B1O与BD的夹角大小为______．答案：30°##π6分析：平移直线，找出异面直线所成角，利用三角形的知识求解.如图，连接D1B1，则D1B1//BD，则∠D1B1O即为所求异面直线夹角（或其补角），连接B1A，A1D，AD1，则AD1=D1B1=B1A，所以△AD1B1是等边三角形，则∠AB1D1=60°．O是AD1中点，则由等边三角形的性质可知B1O平分∠AB1D1，即∠D1B1O=30°．所以答案是：30°14、如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；答案：20分析：利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可由斜二测画法的规则知与x轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；与y轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y′轴平行的性质不变.还原出原图形如上图所示，其中AB=A′B′=4cm，OC=2O′C′=2×2√2=4√2cm∴BC=√OB2+OC2=6cm所以原图形的周长为2×(4+6)=20cm解答题15、如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SB=SC=2，若∠BSC=α，∠CSA=β，∠ASB=θ，且sin2α2+sin2β2=sin2θ2.（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）若α=π3,β=π2,θ=2π3，D为线段SC中点，求点D到平面SAB的距离.答案：（1）证明见解析；（2）√63.分析：（1）首先证得SO⊥平面ABC，然后结合面面垂直得判定定理即可证出结论；（2）先证出DF⊥平面SAB，所以点D到平面SAB的距离即为DF的长度，解三角形求出CE=2√63，根据三角形的中位线即可求出结果.（1）由sin2α2+sin2β2=sin2θ2得cosα+cosβ=1+cosθ，设BC=a,AC=b,AB=c，由余弦定理得8−a28+8−b28=1+8−c28，进一步化简得a2+b2=c2，从而AC⊥BC，取AB中点O，因为SA=SB，所以SO⊥AB，因为OC=OB,SB=SC，所以△SOB≅△SOC，从而SO⊥OC，由SO⊥AB且SO⊥OC,又因为AB∩OC=O，得SO⊥平面ABC，又SO⊂平面SAB，平面SAB⊥平面ABC.（2）作CE⊥AB，由（1）知，CE⊥平面SAB，从而平面SCE⊥平面SAB，连接SE，作DF⊥SE，易知DF⊥平面SAB，且CE∥DF，分因为α=π3，β=π2，θ=2π3，所以AB=2√3，AC=2√2，BC=2，在Rt△ABC中，CE=2√63，因为CE∥DF，且D为线段SC中点，所以DF=12CE=√63，因此点D到平面SAB的距离为√63.。
必修2立体几何复习2013.9.23
必修2立体几何复习一、知识点梳理1、平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2、线线、线面、面面位置关系的判定和性质线线垂直面面垂直面面平行二、典型例题例1、已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN //平面PMB ；（2）证明：平面PMB ⊥平面P AD ；（3）求点A 到平面PMB 的距离．例2、设A 在平面B C D 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O，1,AC BC CD ==（1）AC 与平面BCD 所成角的大小； （2）二面角A BC D --的大小；（3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。
C A课后作业A 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC 若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 4．（2010•江西）如图，M 是正方体ABCD ﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ①过M 点有且只有一条直线与直线 AB、B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行． 其中真命题是（ ） 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与 平行A ．4B ．3C ．2D ．16．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ）A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 7. 如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC . ⑴求证：PC ⊥AB ；⑵求二面角B-AP-C 的正切值；⑶求点C 到平面APB 的距离.AB C D P 8. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=AC=AA 1=3a, BC=2a ,D 是BC 的中点，F 是C 1C 上一点，且CF=2a.（1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求三棱锥D-AB 1F 的体积;（3）试在1AA 上找一点E,使得//BE 面ADF （4）DF 与平面AB B 1 A 1所成角的正弦值9．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点， 且CD ⊥平面PAB ．(1) 求证：AB ⊥平面PCB ； (2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (3) 求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．FC1A。
必修二立体几何知识点
高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理单选题1、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥βC．若m⊥n，m//α，n//β，则α//βD．若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β答案：C分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性质判断D作答.对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，而n⊥β，则α⊥β，当n⊄α时，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m,n′的平面γ∩α=l，如图，由m⊥α得m⊥l，于是得l//n′//n，而n⊥β，则l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，A正确；对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，则有直线c//n，即有c⊥α，所以α⊥β，B正确；对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，C不正确；对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，于是得α//β，D正确.故选：C2、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A．2πR2B．94πR2C．83πR2D．πR2答案：B分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：由相似可得，rR =3R−ℎ3R，所以，ℎ=3R−3r，即圆柱的全面积为S=2πr2+2πrℎ=2πr2+2πr(3R−3r)=2π(−2r2+3rR)=2π[−2(r−34R)2+98R2]≤9π4R2，当且仅当r=34R时取等号．故选：B．3、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.4、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中与平面PCD 垂直的平面是（ ）A ．平面ABCDB ．平面PBCC ．平面PAD D ．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，由四边形ABCD 为矩形得CD ⊥AD ，因为PA ∩AD =A ，所以CD ⊥平面PAD ．又CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ．故选：C5、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1=2√2,PC1=12D1B1=√2，sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以∠PBC1=π6.故选：D6、圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是（）A．2√33πB．2√3πC．7√36πD．7√33π答案：D分析：求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h.,由圆台的上、下底面的面积分别是π，4π，得{πr2=π,πR2=4π,所以r=1，R=2，由圆台侧面积公式可得π×(2+1)l=6π，所以l=2，所以ℎ=√22−(2−1)2=√3，所以该圆台的体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×√3×(4+1+2)=7√33π.故选：D.7、下面四个选项中一定能得出平面α/⁄平面β的是（）A．存在一条直线a，a//α，a//βB．存在一条直线a，a⊂α，a//βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α答案：D分析：对于A，B，C，举出符合条件的特例即可判断；对于D，过直线a作平面γ∩β=c，再证c//α即可. 如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，平面ABCD为平面α，平面ABB1A1为平面β，对于A，直线C1D1为直线a，显然a//α，a//β，而α与β相交，A不正确；对于B，直线CD为直线a，显然a⊂α，a//β，而α与β相交，B不正确；对于C，直线CD为直线a，直线A1B1为直线b，显然a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，而α与β相交，C不正确；对于D，因a，b是异面直线，且a⊂α，b⊂β，过直线a作平面γ∩β=c，如图，则c//a，并且直线c与b必相交，而c⊄α，于是得c//α，又b//α，即β内有两条相交直线都平行于平面α，⁄平面β.因此，平面α/故选：D8、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.多选题9、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的体积为4πR3B．圆锥的侧面积为√5πR2C．圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D．圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2答案：BD分析：依次判断每个选项：圆柱的体积为2πR3，A错误；圆锥的侧面积为√5πR2，B正确；圆柱的侧面积为4πR2，C错误；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.依题意圆柱的底面半径为R，则圆柱的高为2R，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，∴A错误；圆锥的母线长为√5R，圆锥的侧面积为πR×√5R=√5πR2，∴B正确；∵圆柱的侧面积为4πR2，圆锥表面积为√5πR2+πR2，∴C错误；∵V圆柱=πR2⋅2R=2πR3，V圆锥=13πR2⋅2R=23πR3，V球=43πR3∴V圆柱:V圆锥:V球=2πR3:23πR3:43πR3=3:1:2，∴D正确.故选：BD.10、在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则（）A．BD⊥B1CB．EF//平面DB1BC．AC1⊥平面B1D1CD．过直线EF且与直线BD1平行的平面截该正方体所得截面面积为√2答案：BC解析：（1）求出BD,B1C所成的角，不为90∘（2）通过证明面面平行，再到线面平行.即先证面FGE//面DBB1D1，再可以说明EF//平面DB1B（3）先证B1C⊥面ABC1，则可说明B1C⊥AC1，同理可得B1D1⊥AC1，则证明了AC1垂直于平面内两条相交直线，故AC1⊥平面B1D1C（4）找到过直线EF且与直线BD1平行的平面即平面FGEQ，求出面积即可A. 由图易知BD//B1D1，又有B1D1=D1C=B1C=2√2，故△B1D1C为等边三角形，故B1D1与B1C所成的角为60∘BD,B1C所成的角为60∘，故A错.B. 记AD中点为G，易知FG//D1D，GE//DB，则可知FG//面DBB1D1，GE//面DBB1D1故面FGE//面DBB1D1FE⊂面FGE，故EF//平面DB1B.C. 四边形BCB1C1为正方形，B1C⊥BC1，又AB⊥面B1BCC1，故AB⊥B1C则B1C⊥面ABC1故B1C⊥AC1同理B1D1⊥AC1故AC1⊥平面B1D1C.D.记A1B1中点为Q，由B项可知，面FGEQ//面DBB1D1，故BD1//面FGEQ，又EF⊂面FGEQ，故过EF且与直线BD1平行的平面为如图所示的平面FGEQ，面积为S=FQ⋅FG=2⋅√2=2√2.故选：BC小提示：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.11、如图直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，BC=CD=12AB=2，E为AB中点.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√3则（）A．平面PED⊥平面PCD B．PC⊥BDC．二面角P−DC−B的大小为π4D．PC与平面PED所成角的正切值为√2答案：ABC解析：先证明PE⊥平面DEBC，得PE⊥DC，再结合DC⊥DE，即证DC⊥平面PED，所以平面PED⊥平面PCD，判断A正确；利用投影判断PC⊥BD，判断B正确；先判断∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，再等腰直角三角形判断∠PDE=π4，即C正确；先判断∠CPD为PC与平面PED所成的角，再求正切tan∠CPD=CDPD，即知D错误.由题易知EC=2√2，又PE=2，PC=2√3，所以PE2+EC2=PC2，所以PE⊥EC，又PE⊥ED，ED∩EC=E，所以PE⊥平面DEBC，所以PE⊥DC，又DC⊥DE，PE∩DE=E，所以DC⊥平面PED，又DC⊂平面PCD，所以平面PED⊥平面PCD，故A正确；PC在平面EBCD内的射影为EC，又EBCD为正方形，所以BD⊥EC，PC⊥BD，故B正确；易知∠PDE即为二面角P−DC−B的平面角，又PE⊥ED，PE=ED，所以∠PDE=π4，故C正确；易知∠CPD为PC与平面PED所成的角，又PD=2√2，CD=2，CD⊥PD，所以tan∠CPD=CDPD =2√2=√22，故D错误.小提示：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.本题使用了定义法.填空题12、我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=1，当“阳马”即四棱锥B−A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为_______.答案：3+2√22分析：依据均值定理去求四棱锥B−A1ACC1取体积最大值时AB的长度，再去求三棱柱ABC−A1B1C1的表面积即可.四棱锥B−A1ACC1的体积是三棱柱体积的23，V ABC−A1B1C1=12AC⋅BC⋅AA1=12AC⋅BC≤14(AC2+BC2)=14AB2=14，当且仅当AB=BC=√22时，取等号.所以三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为S=2×12×√22×√22+(√22+√22+1)×1=3+2√22.所以答案是：3+2√2213、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP 与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA⊥平面PBH，∵PH⊂平面PBH，∴PA⊥PH，故点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，∵OA=AB，且∠OAB=120∘，∴∠BAH=60∘，设OA=a(a>0)，则AB=a，从而AH=AB⋅cos60∘=a2，∴PE=12AH=a4，如图，当且仅当PE⊥OP，即OP是圆E的切线时，角θ有最大值，tanθ有最大值，tanθ取得最大值为：PEOP =√OE2−PE2=a4√(a+4)2−(4)2=√612．所以答案是：√612.14、如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.答案：2+√2##√2+2分析：求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的面积公式可求得结果.直观图中，梯形的下底长为1+2×1×cos45∘=1+√2，作出原图形如下图所示：由图可知，原图形为直角梯形ABCD，且该梯形的上底长为CD=1，下底长为AB=1+√2，高为AD=2，=2+√2.因此，原图形的面积为S=(AB+CD)⋅AD2所以答案是：2+√2.解答题15、如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点O1，求证：(1)直线A1B∥平面ACD1；(2)直线BO1∥平面ACD1．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：(1)根据题意，先证得四边形A1D1CB是平行四边形，从而证得A1B∥D1C，即可证得线面垂直；(2)连接BD，交AC于O，连接D1O，只需证明O1B∥D1O，即可证得线面垂直；（1）证明：直线A1B在平面ACD1外，因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C，而D1C是平面ACD1内的直线，根据判定定理可知，直线A1B∥平面ACD1．（2）证明：如图，连接BD，交AC于O，连接D1O，易知D1O1∥OB，D1O1=OB，则四边形D1O1BO是平行四边形，所以O1B∥D1O，所以D1O在平面ACD1上，根据判定定理可知，O1B∥平面ACD1．。
高中数学必修二知识点考点及典型例题
学习必备欢迎下载必修二第一章空间几何体知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、长方体的对角线长l 2 a 2b2 c 2；正方体的对角线长l3a3、球的体积公式：V4R3，球的表面积公式： S 4R234、柱体V s h ，锥体 V 1s h，锥体截面积比：S1h12 3S2h225、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；S侧面2 r l⑵圆锥侧面积：S侧面r l1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半，平行于（ 3） .画法要写好。
x，z 轴的线长度不变；5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（ 1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点：1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。
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必修二立体几何知识点与复习题一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成︒90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ(]︒︒90,2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ[]︒︒90,3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ(]︒︒90,4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ(]︒︒180,十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点考点一,几何体的概念与性质【基础训练】1.判定下面的说法是否正确:(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.(2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.2.下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。
B.同一平面的两条垂线一定共面。
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
【高考链接】1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 2.在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行 考点二 三视图与直观图及面积与体积 【基础训练】1.如图（3）,,E F 为正方体的面11ADD A 与面11BCC B 的中心,则四边形1BFD E 在该正方体的面上的投影可能是 .2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原图形的面积是（ ）A. 222+ B 122+ C 222+ D 12+3.在ABC ∆中， 02 1.5120AB BC ABC ==∠=，， 若使其绕直线BC 旋转一周，则它形成的几何体的体积是（ ） A.92π B.72π C. 52π D. 32π 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，，，则这个长方体的对角线长是 . 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为 .5.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A.3:1 B.32： C.2:3： D. 3:36.一个正方体的顶点都在球面上 ，它的棱长为2，则球的表面积是（ ） A.28cm π B. 212cm π C. 216cm π D. 220cm π7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A.25πB. 50πC.125πD. 以上都不对 9..半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 .10.一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．152πB ．10πC ．15πD ．20π 11.设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球的表面积为 .12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内取一点E,使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°,则线段AE 的长为 .【高考链接】1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ） （A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+2422.设某几何体的三视图如下则该几何体的体积为 3mFE D1C1B1A1DCBA3..如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是考点三 线面间位置关系 【基础训练】1.已知在四边形ABCD 中，E,F 分别是AC,BD 的中点,若AB=2，CD=4，EF AB ⊥,则EF 与CD 所成的角的度数是（ ）A.090 B.045 C.060 D.0302.已知直线12,,l l α平面， 1212,l l l l αα，则与的位置关系是（ ）2.A l α B. 2l α⊂ C.22l l αα⊂或 D.2l α与相交【高考链接】1设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ⊂⊥，，∥D ．a b αβαβ⊂⊥，∥，2.对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）（A ）,a b αα⊂⊂（B ）,//a b αα⊂（C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥ 3.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( ).A n β⊥ ,//.βn B 或β⊂n α⊥n C . ,//.αn D 或α⊂n4.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖ 5.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 7.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D.③④考点四 求空间图形中的角 【基础训练】1.直角ABC ∆的斜边AB α⊂,AC,BC 与平面α所成的角分别为03045和,CD 是斜边AB 上的高,则CD 与平面α所成的角为 .2.如图,正三棱柱V-ABC(顶点在地面上的射影是底面正三角形的中心)中,D,E,F 分别是VC,V A,AC 的中点,P 为VB 上任意一点, 则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )A. 030B. 090C. 060 D.随点的变化而变化【高考链接】DEFP VCBA题型一 异面直线所成的角 1.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。
2.如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的 正切值是__________3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 题型二 线面角1.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．23C ．33D ．232.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ） A.223 B.23C.24D.133.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90 4.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是（ ）A. AD PB ⊥;B. PAB 平面PBC 平面⊥C. 直线BC ∥PAE 平面D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°5.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )（A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63 考点六 证明空间线面平行与垂直1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,,PD ABCD ⊥平面底面ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别是AB,PB 的中点，求证:;EF CD ⊥2..在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。