必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平

行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、判定线面平行的方法

1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行

3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3 垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

1、定义：成?

90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为?

90

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围

1、异面直线所成的角的取值范围是：?

≤

<

?90

0θ(]?

?90

,

2、直线与平面所成的角的取值范围是：?

≤

≤

?90

0θ[]?

?90

,

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：?

≤

<

?90

0θ(]?

?90

,

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：?

≤

<

?180

0θ(]?

?180

,

十、三角形的心

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：中线的交点

4、垂心：高的交点

考点一,几何体的概念与性质

【基础训练】

1.判定下面的说法是否正确:

(1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.

(2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.

2.下列说法不正确的是（）

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。

B.同一平面的两条垂线一定共面。

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

【高考链接】

1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 2.在空间，下列命题正确的是

（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行 考点二 三视图与直观图及面积与体积 【基础训练】

1.如图（3）,,E F 为正方体的面11ADD A 与面11BCC B 的中心,则四边形1BFD E 在该正方体的面上的投影可能是 .

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为0

45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原图形的面积是（ ）

A. 222+ B 122+ C 22

2

+ D 12+

3.在ABC ?中， 0

2 1.5120AB BC ABC ==∠=，， 若使其绕直线BC 旋转一周，则它形成的几何体的体积是（ ） A.9

2π B.

72π C. 52π D. 32

π 4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

2,3,6，，，则这个长方体的对角线长

是 . 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为 .

5.正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）

A.

3:1 B.32： C.2:3： D. 3:3

6.一个正方体的顶点都在球面上 ，它的棱长为2，则球的表面积是（ ） A.2

8cm π B. 2

12cm π C. 2

16cm π D. 2

20cm π

7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 .

8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A.25π

B. 50π

C.125π

D. 以上都不对 9..半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 .

10.一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（ ）

A ．

152

π

B ．10π

C ．15π

D ．20π 11.设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球的表面积

为 .

12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内

取一点E,使AE 与AB 、AD 所成的角都是60°,则线段AE 的长为 .

【高考链接】

1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（ ） （A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+242

2.设某几何体的三视图如下则该几何

体的体积为 3

m

F

E D1

C1

B1

A1

D

C

B

A

3..如图1，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=3

2

BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是

考点三 线面间位置关系 【基础训练】

1.已知在四边形ABCD 中，E,F 分别是AC,BD 的中点,若AB=2，CD=4， EF AB ⊥,则EF 与CD 所成的角的度数是（ ） A.0

90 B.0

45 C.0

60 D.0

30

2.已知直线12,,l l α平面， 1212,l l l l αα，则与的位置关系是（ ）

2.A l α B. 2l α? C.22l l αα?或 D.2l α与相交

【高考链接】

1设a b ，是两条直线，αβ，是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a b αβαβ⊥⊥，∥， B ．a b αβαβ⊥⊥，，∥ C ．a b αβαβ?⊥，，∥

D ．a b αβαβ?⊥，∥，

2.对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）

（A ）,a b αα??（B ）,//a b αα?（C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα?⊥ 3.已知直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,则( )

.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n α⊥n C . ,//.αn D 或α?n

4.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

C ．,,m n m n αα若则‖‖‖

D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖ 5.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β? B ．若//,//l ααβ，则l β? C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是

（A ）若l m ⊥，m α?，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α?，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m // 7.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②

B. ②③

C. ①④

D.③④

考点四 求空间图形中的角 【基础训练】

1.直角ABC ?的斜边AB α?,AC,BC 与平面α所成的角分别为0

3045和,CD 是斜边AB 上的高,则CD 与平面α所成的角为 .

2.如图,正三棱柱V-ABC(顶点在地面上的射影是底面正三角形的中心)

中,

D,E,F 分别是VC,V A,AC 的中点,P 为VB 上任意一点, 则直线DE 与PF 所成的角的大小是( )

A. 030

B. 0

90

C. 0

60 D.随点的变化而变化

【高考链接】

D

E

F

P V

C

B

A

题型一 异面直线所成的角 1.如图，已知正三棱柱

111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是

侧棱1CC 的中点，则异面直线

1AB BM 和所成的角的大小是 。

2.如图，若正四棱柱

1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高

为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的 正切值是__________

3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 题型二 线面角

1.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则

1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．

13

B ．

23

C ．

33

D ．

23

2.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角

的正弦值为（ ） A.223 B.23

C.24

D.1

3

3.在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平

面11BB C C 所成角的大小是 ( )

A ．30

B ．45

C ．

60 D ．90 4.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，

AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是（ ）

A. AD PB ⊥;

B. PAB 平面PBC 平面⊥

C. 直线BC ∥PAE 平面

D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45°

5.正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为( )

（A ）

23 （B ）33 （C ）23

（D ）63 考点六 证明空间线面平行与垂直

1.如图,在四棱锥P-ABCD 中,,PD ABCD ⊥平面底面ABCD 为正方形,PD=DC,E,F 分别是AB,PB 的中点，求证:;EF CD ⊥

2..在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .

3.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1， AA 1=2，M 是棱CC 1的中点

F

D

P

C

B

E

A

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1