线性代数1-2数列的极限

lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
12
例2 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn
1
n (1)n1 n
1
1, n
任给 0, 要使
xn
1
,
只需
1 n
,
或
n
1
,
即 N [ 1 ],则当n>N时， 就有 n (1)n1 1
n
即
n (1)n1 lim
1.
n
n
13
二、收敛数列的性质
1.极限的唯一性
定理1 n用反b 2证Na法1,时则，假 恒N设有同1、 x时n N有a2ln,im使bx得2n a当,a,
lim
n
xn
b, 且
a
b,
n
N
时，恒有
2
xn
b
b 2
a
,
取
N
max{
N1,
N2 },
则
n
N
时，3a 2
b
xn
a
2
b
7
注意： 1、关于的任意性和固定性：
(1)、一方面: 是任意给出的，它具有相对的任意性，
只有这样, 才能保证xn a的无限性. 另一方面: 又具有相对的固定性，即一旦给出, 我们便可算出N，证实了N的存在。
(2)、 是任意的正数, 则2 , , 也是任意给定的正数.
8
2、关于N：
N与 有关.N是n无限增大过程中达到的某一临界值， n>N时才能保证 xn a 成立,N的存在也说明数列
于一个确定的常数a ， 则常数a叫数列 { xn }的极限.
或者说数列 { xn }收敛于 a.
记作：lim n
xn
a,
或者记为：当 n 时，xn
a.
如：当
n 时,
1 0; 或者记为
n
lim 1 0. n n
4
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. 当n无限增大时, xn无限接近于a 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的
取
N
1
ln
ln q
,
则当
n N时，
有 qn1 0 成立， 即 lim qn-1 0.
n
14
例4: P22例2
证明数列{xn } 的极限为0，xn
(1)n (n 1)2
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0,
寻找N. 但不必要求最小的N.
求N的方法：由 xn a 解出n, 再进行取整即得一个15N.
点a的邻域U (a )：以点a为中心的任何开区间.
点a的邻域U(a, )：开区间(a , a ).
即 U(a, ) {x a x a } {x x a },
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
a
a
a
x
点a的去心的邻域U (a, ) {x 0 x a }.
,
ab
3b a
2 xn
, 216
是否收敛只与该数列的n充分大后的各项有关系。
证明lim n
xn
a的关键：
任意给定正数，由 xn a 都能找到N
9
“
N”定义 lim n
xn
a
0, N 0，
使n N时，恒有 xn a
其中 :表示每一个或任给的； :表示至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
10
a x2 x1 x N 1
§1-2 数列的极限
中国古代的极限思想
春秋战国时期庄子： 一尺之棰，日取其半，万世不竭。
魏晋时期刘徽“割圆术”说： 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 合体，而无所失矣。
一、数列极限的定义
1、数列的概念：
数列：按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的
实数xn,这些实数按照下标从小到大的顺序排列起来的一列数
任意小的正数.
5
如：当
n 时, 1 0或者记为 n
lim 1 0 n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?
由于
xn a
1 0 n
1 111 , , , n 10000
6
给定 给定
1, 100
1, 1000
由
1 n
1 100
,
只要 n 100
时，有
xn
只要
n
1000
xN2 x3 x
1）在 U(a, )外，有有限个点（最多N个）：x1, x2 , xN
2）在 U(a, )内，有无限个点； xN 1, xN 2 ,, xn ,
当n>N时， 所有的点 xn 都落在 (a , a )内，
只有有限个（至多只有N个）落在其外.
补充：邻域 设a与是两个实数 , 且 0.
例3 设 q 1, 证明等比数列 1, q, q2 ,, qn1, 的极限为0.
证： 0, (设 1),要使 xn 0 qn1 0 q n1 ,
只需 q n1 , 两边取自然对数得 (n 1)ln q ln ,
q 1, ln q 0, n 1 ln .
ln q
都成立, 那末就称常数 a是数列 {xn } 的极限, 或者称数列
{xn }收敛于a.
记为
lim
n
xn
a,
或者记为 当
n
,xn
a
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
记 :表示每一个或任给的； :表示至少有一个或存在.
“
N”定义 lim n
xn
a
0, N 0，
使n N时，恒有 xn a
a的左邻域(a , a)
a的右邻域(a, a )
矩形区域 : [a, b] [c, d ] ( x, y) x [a, b], y [c, d ]
例1 设 xn C (C为常数),证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切正整数n,
xn C C C 0 成立，
所以,
时，有
xn
0＜ 1 1000
;
0＜ 1 100
;
给定
1 ,只要
10000
n
10000时，有
xn
0＜ 1 ; 10000
给定
0,
只要
n
N (
[ 1 ])时，有
xn
0＜ε成立.
3、数列极限的精确性定义
定义：如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在
正数 N, 使得对于 n N 时的一切 xn, 不等式 xn a
x1, x2 , x3,..., xn ,...
简记为数列{xn}.
如
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
...,
1 2n
,...
3
数列{xn}也可看做自变量为正整数n的函数:
xn f (n), n N .
2、数列极限的描述性定义：
对于数列 { xn }, 当 n 时，数列{ xn }无限接近