直接开平方法练习题
直接开平方法解一元二次方程基础练习50题含详细答案
此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
6．C
【详解】
解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为 ，根据平方根的性质，此时方程无解，
10． 2或-1．
【解析】
①∵－ － ,
∴min{－ ，－ }=－ ;
②∵min{(x−1)2,x2}=1，
∴当x>0.5时,(x−1)2=1，
∴x−1=±1，
∴x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去)，
当x⩽0.5时,x2=1，
解得：x1=1(不合题意,舍去),x2=−1，
11．方程x2－3＝0的根是__________．
12．一元二次方程 的解是______．
13．方程x2﹣4＝0的解是_____．
14．如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝________．
15．方程（x−2）2=9的解是_________.
16．方程 的根是______________．
17．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 =.
18．方程4x2-4x+1=0的解为_______．
三、解答题
19．解方程：
20．解方程： .
21．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8=0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2=0（公式法）
故选:A.
【点睛】
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)直接开平方法1. 题目：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$解答：首先，根据直接开平方法，我们需要找到两个数，它们的和等于 $-5$，乘积等于 $6$。
很明显，这两个数分别是 $-2$ 和 $-3$。
因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$。
接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(x - 2) - 3(x - 2) = 0$。
再进一步化简，我们可以得到：$(x - 2)(x - 3) = 0$。
因此，方程的解是 $x = 2$ 或 $x = 3$。
2. 题目：解方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$解答：这个方程也可以使用直接开平方法来解决。
我们需要找到两个数，它们的和等于 $-\frac{7}{2}$，乘积等于 $3$。
通过观察系数，我们可以确定这两个数分别是 $-\frac{1}{2}$ 和 $-3$。
因此，我们可以将方程变为两个线性方程：$2x^2 - \frac{1}{2}x - 6x + 3 = 0$。
接下来，我们可以对这两个线性方程进行因式分解：$x(2x -\frac{1}{2}) - 3(2x - \frac{1}{2}) = 0$。
再进一步化简，我们可以得到：$(2x - \frac{1}{2})(x - 3) = 0$。
因此，方程的解是 $x =\frac{1}{4}$ 或 $x = 3$。
配方法1. 题目：解方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$解答：对于这个方程，我们可以使用配方法来解决。
首先，我们需要找到一个数 $m$，使得方程 $3x^2 + 2x - 1$ 可以被写成 $(x +m)^2$ 的形式。
我们可以通过观察常数项的符号来得到一个启示。
由于常数项是负数，我们可以猜测 $m$ 的值为 $-\frac{1}{3}$。
将方程重新写成 $(x - \frac{1}{3})^2 = 0$，然后展开，我们可以得到$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$。
九年级直接开平方法题
九年级直接开平方法题
一、直接开平方法的知识点
1. 定义
对于形如公式的一元二次方程，可以直接开平方求解，其解为公式。
对于形如公式的方程，先把公式看作一个整体，然后开平方得到公式，再进一步求解公式。
2. 注意事项
当方程右边公式时，方程在实数范围内无解，因为在实数范围内，负数没有平方根。
二、典型例题及解析
1. 解方程公式
解析：根据直接开平方法，对于方程公式，这里公式，则公式，所以公式。
2. 解方程公式
解析：把公式看作一个整体，因为公式，公式，所以公式。
当公式时，公式；当公式时，公式。
所以方程的解为公式或公式。
3. 解方程公式
解析：
首先对原方程进行化简，公式，移项得到公式，两边同时除以公式得公式。
因为公式，公式，所以公式。
当公式时，公式；当公式时，公式。
所以方程的解为公式或公式。
直接开平方法练习题
直接开平方法练习题直接开平方法练习题直接开平方法是一种用于求解二次方程的方法，它可以帮助我们快速准确地找到方程的解。
在这篇文章中，我将为大家提供一些直接开平方法的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一方法。
练习题一：求解方程：x^2 - 6x + 8 = 0解答过程：首先，我们可以观察到方程的系数为1，这意味着我们可以直接应用直接开平方法。
根据直接开平方法的步骤，我们需要将方程转化为完全平方形式。
1. 将方程的常数项移到方程的右侧，得到：x^2 - 6x = -82. 在方程的左侧和右侧同时加上一个常数，使得左侧成为一个完全平方。
我们需要找到一个常数，使得(x - a)^2 = x^2 - 6x + a^2。
3. 根据展开式，我们可以得到(x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2。
将这个展开式与方程的左侧进行比较，我们可以得到-2ax = -6x，即-2a = -6，解得a = 3。
4. 将a的值代入到方程的右侧，我们可以得到：(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 95. 现在，我们可以将方程转化为完全平方形式：(x - 3)^2 = 96. 对方程的两侧同时开平方根，我们可以得到：x - 3 = ±37. 将方程的两个解分别求解，我们可以得到：x = 3 ± 3因此，方程的解为x = 6或x = 0。
练习题二：求解方程：2x^2 + 5x - 3 = 0解答过程：这个方程的系数不是1，所以我们需要进行一些额外的步骤来应用直接开平方法。
1. 首先，我们需要将方程的系数化简为1。
我们可以将方程的两边同时除以2，得到：x^2 + 5/2x - 3/2 = 02. 现在，我们可以应用直接开平方法。
将方程的常数项移到方程的右侧，得到：x^2 + 5/2x = 3/23. 在方程的左侧和右侧同时加上一个常数，使得左侧成为一个完全平方。
我们需要找到一个常数，使得(x + a)^2 = x^2 + 5/2x + a^2。
直接开平方法练习题
22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8c m 2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=8 x 2=8根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22可以验证，22和-22都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8c m2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22即2t+1=22，2t+1=-22方程的两根为t1=2-12，t2=-2-12例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P36练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材P45复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±223B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253-D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足34a++b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．±2 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=±n，x1=n-m，x2=-n-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=10+10，x2=10-10；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
直接开平方法练习题
直接开平方法练习一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±3B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+3，x2=23D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=，x1-m，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1=x2同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
直接开平方法 练习题
直接开平方法要点：左边平方右边数的形式.一、(例题讲解)请你用直接开平方法解下列方程:023252)1(==x x ）（05022)4(042)3(=-=-x x二、用直接开平方法解下列一元二次方程:（1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+=（3）22(2)(12)x -=+ （4）2269(52)x x x -+=-三、选择与填空1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）A. 230x -=B. 2(1)40x --=C. 220x x +=D. 22(1)(21)x x -=+2. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( )A. 1±B. 2±C. 0或2D. 0或－23. 方程22)1(=-x 的根是（ ）A.－1、3B.1、－3C.1－2、1＋2D.2－1、2＋14. 用直接开平方法解方程k h x =+2)(，满足的条件是（ ）A. k≥0 B ．h≥0C ．hk ＞0D ．k ＜05.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( )A. 169b x a= B.43b x a = C.43b x a=± D.2243b x a =± 6. 方程220(0)x m m +=<的根( )A.2m - B.2m - C.22m -±D.2m -± 7．下列解方程的过程中，正确的是（ ）A. 22-=x ，解方程，得x ＝±2B. 42)2(=-x ，解方程，得x －2＝2，x ＝4C ．92)1(4=-x ，得4(x －1)＝±3，x 1＝47，x 2＝41D. 252)32(=+x ，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－48．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则有（ ）．A ．p ＝4，q ＝2B ．p ＝4，q ＝－2C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－29. 若222(3)25a b +-=，则22a b +＝_______.以下两题，写出解答过程：10. 一元二次方程22(21)(3)x x -=-的解是___________11. 方程()412=-x 的解是_________.四、补充练习：1．解关于x的方程：(x＋m)2＝n．2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？附答案：三、选择与填空1C，2D，3C，4A，5C，6C，7D，8B；9. 8；10. x1＝4/3，x2＝－2；11. x1＝3，x2＝－1.。
一元二次方程的解法(直接开平方法)
3 ， x2= 3 3 ， x 2= 3 .
答案：x1=
【3 】 （1)x2+2x+1=3.(2)4y2-12y+9=16
【想一想】 两边都含有未知数的方程,例如:(2x-3)2=(3x-2)2怎么求解? 提示:用直接开平方法求解.(2x-3)2=(3x-2)2,两边开平方得 2x-3=〒(3x-2),解得x1=-1,x2=1.
【想一想】 一元二次方程ax2=b在什么情况下有解?说明ax2=b解的情况. 提示:当a,b同号或者b为0时方程有解.当a,b同号时, x 2 b ,
数,此时方程无解;当b=0时,x =0,x1=x2=0.
ab 当a,b异号时, b <0,由于任何数的平方都是非负 x ; a a 2
a
【微点拨】 1.形如x2=p的一元二次方程,只有当p≥0时,才有解. 2.一元二次方程x2=p(p≥0)总有两个根.
பைடு நூலகம்
1.解下列方程：
2
1 2 x 2 32 0 2 25 x 2 16 0 3 x 2 3 28
1 2 4 2 x 8 0 （ ） 2
1 2 x 32 0 2 25 x 2 16 0 2 =16，用直接开平方法解得 2 （1）变形得x 【解析】 3 x 3 28
【 2】
【例】解下列方程：
（1）25x2-36=0 【解析】
(1)变形得x2
36 6 6 6 = , x=〒 ,所以x1= 5 , x2= 5 25 5
1 2 （2 ） x 2 2 0 2
(2)变形得（x+2）2 = 4，所以x1=0 , x2=-4.
练习
(1)x2=11. (2)64x2=49. (3)9x2-25=0.
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1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（ ）
A. 230x -=
B. 2(1)40x --=
C. 220x x +=
D. 22
(1)(21)x x -=+ 2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 方程24x =两边开平方，得原方程的解为 2x =
B. 3x =是方程2
9x =的根，所以得根是3x =
C. 方程2250x -=的根是5x =±
D. 方程232640x x -+=有两个相等的根
3.已知0a ≠，方程2229160a x b -=的解是( ) A. 169b x a = B.43b x a = C.43b x a
=± D.2243b x a =± 4. 方程2
20(0)x m m +=<的根( )
A.2
m - B.2- C. D.2± 5. 若2(1)10x +-=，则x 得值等于( )
A. 1±
B. 2±
C. 0或2
D. 0或-2
6、用直接开平方法解方程k h x =+2)( ，方程必须满足的条件是（ ）
A ．k ≥o
B ．h ≥o
C ．hk ＞o
D ．k ＜o
7、方程22)
1(=-x 的根是（ ）
A.-1、3
B.1、-3
C.1-2、1+2
D.2-1、2+1
8、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)22-=x ,解方程，得x=±2 (B)42)2(=-x ,解方程，得x-2=2,x=4 (C)92)1(4=-x ,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=47;x2=41
(D)252)32(=+x ,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
9.当x =________时，分式293
x x -+无意义； 当x =________时，分式293
x x -+的值为零。
10. 若222
(3)25a b +-=，则22a b +=_________ 11.一元二次方程22
(21)(3)x x -=-的解是___________
12.方程()412=-x 的解是______________。
13.用直接开平方法解下列一元二次方程:
（1）2435x -= （2）(2)(2)21x x -+= （3）22((1x =+ （4）2269(52)x x x -+=-
14.请你用直接开平方法解下列方程:
023252)1(==x x ）（
05022)4(042)3(=-=-x x
012822)7(6
2)3)(6(52)2)(5(=-=-=+x x x
8962)4(032)3(12)10(0
42)1(2)9(22)1)(8(=++=--=--=+x x x x x。