晶体的投影和倒易点阵ppt课件
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厄瓦尔德图解和倒易点阵课件
Ewald图解 与倒易点阵
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)
倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)
倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。
晶体学基础-倒易点阵
倒易点阵晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。
倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形（倒易空间），是晶体点阵的另一种表达形式。
将晶体点阵空间称为正空间。
倒易空间中的结点称为倒易点。
部分。
a a * = b把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得正点阵与倒易点阵的关系•O 点到(hkl)晶面的垂直距离就是晶面间距d hkl 。
倒数关系（大小）●d hkl =h a H H H1=•确定倒易矢量H ，就确定了正点阵晶面。
S hkl P 及Q ⊥•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
(倒—Reciprocal)进行矢量相乘并且展开。
a H hkl •在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl ]的倒易矢量H hkl = ha* +kb* +lc*•H hkl 必和正点阵的(hkl )面垂直，•即倒易点阵的阵点方向[hkl ]*和正点阵的(hkl )面垂直：[hkl ]*⊥(hkl )。
CBAx y z(010)(100)(001)a例：由单斜点阵导出其倒易点阵•单斜点阵：b轴垂直于a和c轴。
左图图面为（010）面。
•从作图可以看出，正点阵和其对应的倒易点阵同属一种晶系。
把上面三个式子写成矩阵形式：•同理，可按下式求出与方向指数为[uvw]的方向相垂直的面的面指数(hkl):•例如，对立方系而言，a*●a* = b* ●b* = c*●c *=1/a2;a*●b* = b* ●c* = c*●a *=0;•u:v:w=h:k:l。
所以(hkl)面的法线指数和面指数同名，即为[hkl]。
倒易点阵介绍PPT
P NhomakorabeaS/
g S S0
1/
2
A S0 /
O
14
❖ 3 、S长度为1/d，方向垂
直于hkl面网， 所以
❖ S=g* 即： ❖ 衍射矢量就是倒易矢量。
P
S/
g S S0
❖ 4 、可以A点为球心，以
1/
2
1/为半径作一球面，称为
A S0 /
O
反射球（Ewald 球）。衍
射矢量的端点必定在反射 球面上
❖ 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点形 成的球称为倒易球
❖ 以O为圆心，2/λ为半径的球称为极限球。
25
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ
11
Ewald 作图法
❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d
g ❖ 令d= λ / hkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2
❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 g的h晶kl(倒面易指矢数量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中
3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl
4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，
倒易点阵简介
❖ 布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此.
g S S0
1/
2
A S0 /
O
14
❖ 3 、S长度为1/d，方向垂
直于hkl面网， 所以
❖ S=g* 即： ❖ 衍射矢量就是倒易矢量。
P
S/
g S S0
❖ 4 、可以A点为球心，以
1/
2
1/为半径作一球面，称为
A S0 /
O
反射球（Ewald 球）。衍
射矢量的端点必定在反射 球面上
❖ 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点形 成的球称为倒易球
❖ 以O为圆心，2/λ为半径的球称为极限球。
25
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ
11
Ewald 作图法
❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d
g ❖ 令d= λ / hkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2
❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 g的h晶kl(倒面易指矢数量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中
3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl
4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，
倒易点阵简介
❖ 布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此.
第四章--倒易点阵及晶体衍射方向
第四章 倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的 X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。
图 4.1 布拉格定律的几何说明如图 4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为 d hkl 的晶体面网组 (hkl), 在人射波前 SS' 处 , 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程 PA+AD = n λ，n 为包括零的整数 , 则两支波离开晶体后达到新波前 TT' 时 , 将具有相同的位相 , 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若 PA+AD ≠ n λ, 则达到TT' 时, 它们位相不同 , 不能相干得到衍射极大。
由图 4.1 可知，PA+AD =2d hkl sin θ=n λ (4.1)此即布拉格方程,n 称为衍射级数。
式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2n d hkl (4.1a)因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。
这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。
式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。
2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。
（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。
固体物理第4课倒易空间ppt课件
十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
2
a
(n2
n3, n1
n3, n1
n2 )
2 (1,1,0), 2 (1,1,0), 2 (1,1,0), 2 (1,1,0),
a
a
a
a
2 (1,0,1), 2 (1,0,1), 2 (1,0,1), 2 (1,0,1),
a
a
a
a
2 (0,1,1), 2 (0,1,1), 2 (0,1,1), 2 (0,1,1).
A为单位），
试画出该二维晶格的第一和第二布里渊区，并计算
它们的面积.
3. 设一维单原子链的原胞长度为0.4nm，试绘出该单原
子链简约布里渊区示意图。
4. 计算面心立方的第一布里渊区中、X、K、L 点的坐标。
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
r
n
n1 n2 n3
n
Γ (r)＝ C e C e n1 n2 n3
iGn
r
n
n
iGn
(b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
（1）.倒矢与正格矢的关系：
点 阵 ： 原 胞 基 矢a1、a2、a3
b1 b2
b3
2
2 2
a2 a3 V a3 a1 ， V V a1 a2
V
a1 (a2
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系：
ai
bj
结构化学晶体点阵结构PPT课件
现代科技中的晶体材料
材料科学是人类文明大厦的基石，在现代 技术中, 晶体材料更占有举足轻重的地位. 人类对 固态物质的理解在很大程度上以单晶材料为基础， 所以晶体在物质结构研究中也具有特殊重要性.
现
半导体的后起之秀——砷化镓
代
科
技
中
的
晶
体
作为半导体材料，GaAs的综合性能优于Si, 开关速 度仅为10-12 s(而Si为10-9 s), 用GaAs芯片制造计算机将使
假若你这样做了，试 把这所谓的“点阵”放回 金刚石晶体，按箭头所示 将所有原子平移，晶体能 复原吗？
这种所谓的“点阵”有一个致命错误：它本身就违反点 阵的数学定义，并不是点阵！更别说是金刚石晶体的点阵.
正确做法如下：
金刚石的点阵：立方面心
正当空间格子的标准:
空间格子净含点阵点数：
空
1. 平行六面体
所有顶点原子： 0，0，0 (前)后面心原子： 0，1/2，1/2 左(右)面心原子： 1/2，0，1/2 (上)下面心原子： 1/2，1/2，0
四、晶面与晶面指标
1 晶面 晶体的空间点阵可划分为一族平行而等间距
的平面点阵，晶面就是平面点阵所处的平面。
晶面 = 平面点阵 + 结构基元 各个晶面的方向及结构基元排列情况不同， 表现出的性质也不相同。为了区分不同的晶面 就产生了晶面符号也叫晶面指标。
12
6
3
54
12
6
3
54
，
AB
关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧 密的堆积方式。
第一种是将球对准第一层的球。 下图是此种六方 紧密堆积的前视图
12
A
6
晶体结构与倒格子基础知识PPT课件
氦是最不活泼的元素；是唯一不能在标准大气压下固 化的物质。25个大气压下的熔点是-272.2°C（绝对零度 是-273.15°C ）。
2019/10/21
.
12
几种常见的晶体
范德瓦耳斯相互作用：
假定有两个全同的惰性气体原子，如果认为它们的电 荷分布是“刚性”的，则原子之间的相互作用将是零， 因为球对称分布的电子电荷的静电势与原子核电荷的 静电势相互抵消。这时原子间不存在库仑力，因而不 能聚集在一起。实际上，原子中电子的电荷分布并不 是理想的球对称的，两个原子靠近相互感生偶极矩， 这种感生矩使得原子之间相互吸引，这种作用即为范 德瓦耳斯相互作用。
2019/10/21
.
16
几种常见的晶体
金属晶体
金属晶体最大的特点是电导率高，是因为金属晶体中 存在大量的可自由运动的电子（称为传导电子），通 常是金属的价电子。金属倾向于结晶为比较紧密的密 堆积结构，如六角密堆积（hcp）﹑面心立方（fcc） ﹑体心立方（bcc）。
碱金属元素形成的晶体都是体心立方晶体。
2019/10/21
.
6
倒格子基础知识
简单立方晶格的倒格子（初基）：
设初基平移矢量
a1=ax； a2=ay； a3=az， 其中x、y、z是单位矢量。
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）=a3 ,可得
b1= (2π/a)x；b2= (2π/a)y； b3= (2π/a)z； 因此简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方晶格，晶
对于面心立方晶格的倒格子（体心立方晶格）有八个 最短的G矢量（倒格矢）： (2π/a)(±x±y±z)
b1、 b2 、 b3是其中的三个。 实际上八个最短的G矢量即为体心立方晶格原点与最
2019/10/21
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几种常见的晶体
范德瓦耳斯相互作用：
假定有两个全同的惰性气体原子，如果认为它们的电 荷分布是“刚性”的，则原子之间的相互作用将是零， 因为球对称分布的电子电荷的静电势与原子核电荷的 静电势相互抵消。这时原子间不存在库仑力，因而不 能聚集在一起。实际上，原子中电子的电荷分布并不 是理想的球对称的，两个原子靠近相互感生偶极矩， 这种感生矩使得原子之间相互吸引，这种作用即为范 德瓦耳斯相互作用。
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几种常见的晶体
金属晶体
金属晶体最大的特点是电导率高，是因为金属晶体中 存在大量的可自由运动的电子（称为传导电子），通 常是金属的价电子。金属倾向于结晶为比较紧密的密 堆积结构，如六角密堆积（hcp）﹑面心立方（fcc） ﹑体心立方（bcc）。
碱金属元素形成的晶体都是体心立方晶体。
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倒格子基础知识
简单立方晶格的倒格子（初基）：
设初基平移矢量
a1=ax； a2=ay； a3=az， 其中x、y、z是单位矢量。
原胞体积V= a1 ·（a2 × a3 ）=a3 ,可得
b1= (2π/a)x；b2= (2π/a)y； b3= (2π/a)z； 因此简单立方晶格的倒格子仍然是简单立方晶格，晶
对于面心立方晶格的倒格子（体心立方晶格）有八个 最短的G矢量（倒格矢）： (2π/a)(±x±y±z)
b1、 b2 、 b3是其中的三个。 实际上八个最短的G矢量即为体心立方晶格原点与最
晶体学基础PPT课件
14
2.1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：空间点阵中节点列的方向。空间中任两节点的 连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。
晶面：空间中不在一直线任三个阵点的构成的平面， 代表了晶体中原子列的方向。 c
阵点坐标 op ua vb wc
b
a
15
1. 晶向指数
c
求法：
1）确定坐标系
[101]
3! 4 4组，如{111} 3!
d）h k l 有一个为0，应除以2，则有
3! 4 12组，如{1 2 0} 2
有二个为0，应除以22，则有
3! 2!22
4
3组，如{1
0
0}
24
3.六方晶系指数
三坐标系 a1，a2，c
120°
四轴坐标系 a1，a2，a3，c
120°
120°
（h k i l ) [u v t w]
晶胞 原胞
差别：晶胞能完整反映晶体内部原 子或离子在三维空间分布；原胞一 般不能保持晶体结构的对称性
8
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵
• 简单晶胞（初级晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点 • 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
9
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵
第二章 固体结构 The structure of Solids
气态
物质
液态 固态
晶体：原子在空间呈有规则的周期性重复排列 非晶体： 原子在空间无规则排列
金的原子力 显微照片
1
高分辨率电镜直接观察晶体中原子的排列
2
※ 2.1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子、离子）在三维空 间呈周期性重复排列，即存在长程有序
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a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b = 0 倒易点阵的基矢垂直于正点阵异名矢量构成的平面。
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单位
格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
19
2020年4月14日7时35分
a b c , V
W
E
12
经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到 此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相 对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。
13
1.4 倒易点阵
[uvtw]; 点阵参数：a、b、c、α、β、γ，基矢量a、b、c，任意矢量R可
表示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与
c，c与a，a与b之间的夹角。
15
二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立 起来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶
立方二维点阵与其倒易点阵的关系：
Z
立方晶格的倒易变换
0.25 Å-1
Y
1Å
b
(010)
020 120 220 X H220
(220)
(110) (100)
(210)
c
a
正晶格
b* 010
110
210
H110
H210
C*
100
200
000 a*
倒易晶格
26
2020年4月14日7时35分
27
2020年4月14日7时35分
7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
➢ 极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
8
D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2020年4月14日7时35分
球面投影与极射赤面投影之间的关系： 球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径； 球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径； 水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身； 水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆； 倾斜小圆的投影为椭圆； 直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。
5
晶体的球面投影
球面坐标：
如果此球面具有像地球仪那样的经纬线，而且以φ表示经度，ρ表 示纬度，那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标φ和ρ在 这里将有一致的表达。
球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的两个晶面法线之间 的夹角。面间夹角就是它的补角。 方位角φ: 0 ~ 360 极距角ρ: 0 ~ 180, 从北极开始
6
2020年4月14日7时35分
2. 晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平 投影和极射赤平投影。
➢ 心射极平投影：
定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点， 以球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点。 缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影 平面只能记录球面上部分晶面极点。 应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。
d(20) d(10)
d(02) d(01)
18
2020年4月14日7时35分
三、倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
设有一正点阵S，它由三个基矢a，b，c来描述，即S=S(a，b， c)。现引入三个新基矢a*，b*，c*，由它们描述倒易点阵 S*=S*(a*，b*，c*)。则新基矢a*，b*，c*与正点阵基矢a， b，c的关系为： a*·a = b*·b =c*·c =1，
a * bc sin 1 V a cos
b c a ， b * ac sin 1
V
V b cos
c a b ， c * ba sin = 1
V
V c cos
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与 c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则 a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
4
一、晶体的球面投影和极射赤面投影
1. 晶体的球面投影：各晶面法线之投影。设想以晶体的中心为球心， 任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。
大园: 过球心的平面 小园: 平面半径小于球的半径
1.正点阵 2.倒易点阵 3.倒易矢量的基本性质 4.正倒空间的关系 5.广义晶带理论
14
2020年4月14日7时35分
一、正点阵
概念：晶体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周 期性排列；与晶体结构相关，描述的是晶体中原子的分布规律， 是实际物质空间，所在空间为正空间；
分类：7大晶系、14种晶胞类型; 晶面、晶向表征方法：米勒指数（hkl）、[uvw]或（hkil）、
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
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概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*
kb*
lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
g* hkl =1/dhkl
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证：设ABC平面是正点阵中平行晶面(hkl)组中距原点最近的平面， 它在三个晶轴上的截距分别为a/h、b/k、c/l。由图可知，有矢量关 系式AB = OB-OA，所以：AB = b/k – a/h，
则g*hkl·AB = ( ha*+kb*+lc*)·(b/k – a/h) = h/k a*·b –a*·a +b*·b –k/h b*·a + l/k c*·b –l/h c*·a = 0 所以g*hkl ⊥AB，同理g*hkl ⊥BC，
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极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶
向间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到
限制。
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2. 乌氏网：(Wulff net)
以同时过NS和EW的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的 交点，即前后极点F或L，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。 南北轴NS和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后 轴FL的投影为乌式网的中心； 经线的投影为一簇以N、S为端点的大圆弧； 纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。 实际使用的乌式网直径为20 mm，圆弧间隔均为2° 乌式网的应用：1.夹角测量；2.晶体转到；3.投影面转换
故g*hkl⊥ABC平面， 即g*hkl⊥(hkl)晶面。
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设n为沿着g*hkl方向的单位矢量，则n = g*hkl / |g*hkl|。由图知，dhkl等 于a/h在n方向上的投影，即
dhkl = a/h·n = a/h·( ha*+kb*+lc*)/ |g*hkl| = 1/ |g*hkl|
面在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射
现象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
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2. 倒易点阵坐标系的建立：
➢ 从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该 法线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
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目录
晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单位
格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
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a b c , V
W
E
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经纬线坐标网
乌式网
四、标准极射赤面投影图（标准极图）
定义：以晶体的某一简单晶面为投影图，将各晶面的球面投影再投影到 此平面上去所形成的投影图。
在测定晶体取向、如织构中非常有用，标明了晶体中所有重要晶面的相 对取向和对称关系和对称关系，可方便地定出投影图中所有极点的指数。
13
1.4 倒易点阵
[uvtw]; 点阵参数：a、b、c、α、β、γ，基矢量a、b、c，任意矢量R可
表示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与
c，c与a，a与b之间的夹角。
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二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立 起来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶
立方二维点阵与其倒易点阵的关系：
Z
立方晶格的倒易变换
0.25 Å-1
Y
1Å
b
(010)
020 120 220 X H220
(220)
(110) (100)
(210)
c
a
正晶格
b* 010
110
210
H110
H210
C*
100
200
000 a*
倒易晶格
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
➢ 极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
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D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
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球面投影与极射赤面投影之间的关系： 球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径； 球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径； 水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身； 水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆； 倾斜小圆的投影为椭圆； 直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。
5
晶体的球面投影
球面坐标：
如果此球面具有像地球仪那样的经纬线，而且以φ表示经度，ρ表 示纬度，那么光学测角仪所记录的晶体各晶面的球体坐标φ和ρ在 这里将有一致的表达。
球面上任意两结点之间的弧度严格表示相应的两个晶面法线之间 的夹角。面间夹角就是它的补角。 方位角φ: 0 ~ 360 极距角ρ: 0 ~ 180, 从北极开始
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2. 晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平 投影和极射赤平投影。
➢ 心射极平投影：
定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点， 以球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点。 缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影 平面只能记录球面上部分晶面极点。 应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。
d(20) d(10)
d(02) d(01)
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三、倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
设有一正点阵S，它由三个基矢a，b，c来描述，即S=S(a，b， c)。现引入三个新基矢a*，b*，c*，由它们描述倒易点阵 S*=S*(a*，b*，c*)。则新基矢a*，b*，c*与正点阵基矢a， b，c的关系为： a*·a = b*·b =c*·c =1，
a * bc sin 1 V a cos
b c a ， b * ac sin 1
V
V b cos
c a b ， c * ba sin = 1
V
V c cos
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与 c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则 a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
4
一、晶体的球面投影和极射赤面投影
1. 晶体的球面投影：各晶面法线之投影。设想以晶体的中心为球心， 任意长为半径，作一球面；然后从球心出发（注意：不是从每个晶 面本身的中心出发），引每一晶面的法线，延长后各自交球面于一 点，这些点便是相应晶面的球面投影点（晶面极点）。
大园: 过球心的平面 小园: 平面半径小于球的半径
1.正点阵 2.倒易点阵 3.倒易矢量的基本性质 4.正倒空间的关系 5.广义晶带理论
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一、正点阵
概念：晶体的空间点阵。反映了晶体中的质点在三维空间中的周 期性排列；与晶体结构相关，描述的是晶体中原子的分布规律， 是实际物质空间，所在空间为正空间；
分类：7大晶系、14种晶胞类型; 晶面、晶向表征方法：米勒指数（hkl）、[uvw]或（hkil）、
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
正空间的晶面(hkl)可用倒空间的一个点hkl表示，正空间 中同一根晶带轴[uvw]的所有晶面可用倒空间的一个倒易 阵 面 (uvw) * 来 表 示 ， 广 义 晶 带 中 的 不 同 倒 易 阵 面 可 用 (uvw)N*表示。
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概念：晶体的投影是指将构成晶体的晶向和晶面等几何元素以一 定的规则投影到投影面上，使晶向、晶面等几何元素的空间关系 转换成其在投影面上的关系。
分类：球面和赤平面，对应的投影为球面投影和极射赤面投影。 关系的确定：通过晶体的投影可获得晶体的晶向、晶面等元素之
间的关系。此关系通常由极式网和乌式网确定。
求得其相应倒易点阵参数，从而建
立其倒易点阵。
c
a b V
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四、倒易点阵的基本性质
根据定义在倒易点阵中，从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量，记为g*hkl
g* hkl
ha*
kb*
lc*
可以证明: 1. g*矢量的方向与晶面相垂直
g* //N(晶面法线) 2. g*矢量长度等于其对应晶面 间距的倒数
g* hkl =1/dhkl
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证：设ABC平面是正点阵中平行晶面(hkl)组中距原点最近的平面， 它在三个晶轴上的截距分别为a/h、b/k、c/l。由图可知，有矢量关 系式AB = OB-OA，所以：AB = b/k – a/h，
则g*hkl·AB = ( ha*+kb*+lc*)·(b/k – a/h) = h/k a*·b –a*·a +b*·b –k/h b*·a + l/k c*·b –l/h c*·a = 0 所以g*hkl ⊥AB，同理g*hkl ⊥BC，
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极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶
向间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到
限制。
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2. 乌氏网：(Wulff net)
以同时过NS和EW的平面为投影面，投影光源为投影面中心法线与投影球的 交点，即前后极点F或L，经纬线坐标网的极射平面投影即为乌式网。 南北轴NS和东西轴EW的投影分别过乌式网中心的水平直径和垂直直径。前后 轴FL的投影为乌式网的中心； 经线的投影为一簇以N、S为端点的大圆弧； 纬线的投影是一组圆心位于南北轴上的小圆弧。 实际使用的乌式网直径为20 mm，圆弧间隔均为2° 乌式网的应用：1.夹角测量；2.晶体转到；3.投影面转换
故g*hkl⊥ABC平面， 即g*hkl⊥(hkl)晶面。
22
2020年4月14日7时35分
设n为沿着g*hkl方向的单位矢量，则n = g*hkl / |g*hkl|。由图知，dhkl等 于a/h在n方向上的投影，即
dhkl = a/h·n = a/h·( ha*+kb*+lc*)/ |g*hkl| = 1/ |g*hkl|
面在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射
现象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
16
2020年4月14日7时35分
2. 倒易点阵坐标系的建立：
➢ 从正点阵的原点O出发，作任一晶面（hkl）的法线ON，在该 法线上取一点Phkl ，使OPhkl长度正比例与该晶面间距dhkl的倒数， 则点阵称为该晶面的倒易点，用hkl表示，所有晶面的倒易点便 构成了倒易点阵。
第2章 晶体学基础
参考教材： The Science and Engineering of
Materials
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晶体及其基本性质 晶向、晶面及晶带 晶体的间隙 晶体的缺陷 晶体的投影 倒易点阵