三角形中的三角函数
初中三角函数常用公式大全
初中三角函数常用公式大全一、基本关系式：1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a，b，c分别为三角形ABC的三边，A，B，C为对应的角，R为三角形的外接圆半径。
2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有c²=a²+b²-2abcosC。
3. 正弦公式：在任意三角形ABC中，有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
4. 余弦公式：在任意三角形ABC中，有cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(c²+a²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab。
二、常用比值关系：1. 任意角的正弦公式：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边。
2. 任意角的余弦公式：在直角三角形中，cosθ=邻边/斜边。
3. 任意角的正切公式：在直角三角形中，tanθ=对边/邻边。
4. 任意角的余切公式：在直角三角形中，cotθ=邻边/对边。
5. 任意角的正割公式：在直角三角形中，secθ=斜边/邻边。
6. 任意角的余割公式：在直角三角形中，cscθ=斜边/对边。
三、特殊角的值：1. π/6的正弦和余弦值：sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/22. π/4的正弦和余弦值：sin(π/4)=cos(π/4)=√2/23. π/3的正弦和余弦值：sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/24. π/2的正弦和余弦值：sin(π/2)=1，cos(π/2)=0。
四、和差化积公式：1. sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB。
2. cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB。
3. tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
三角函数：三角形的基本性质
三角函数：三角形的基本性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们与三角形的基本性质密切相关。
在本文中，将介绍三角函数的定义和常见性质，以及它们与三角形的关系。
一、三角函数的定义和常见性质1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，斜边长度为c，则角A的正弦函数定义如下：sin(A) = a / c正弦函数的值域为[-1, 1]，且满足三角恒等式：sin(A) = 1 / csc(A)2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
设三角形ABC中，角A的邻边长度为b，斜边长度为c，则角A的余弦函数定义如下：cos(A) = b / c余弦函数的值域也为[-1, 1]，且满足三角恒等式：cos(A) = 1 / sec(A)3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个常见概念，它表示一个角的对边与邻边的比值。
设三角形ABC中，角A的对边长度为a，邻边长度为b，则角A的正切函数定义如下：tan(A) = a / b正切函数的定义域为所有不等于90度的角，值域为实数集。
4. 三角函数的周期性三角函数都具有周期性，即在一定区间内重复出现相同的值。
正弦函数和余弦函数的周期为2π（或360度），而正切函数的周期为π（或180度）。
二、三角函数与三角形的关系1. 正弦定理（Sine Rule）在三角形ABC中，角A、对边a的正弦函数值等于角B、对边b的正弦函数值，也等于角C、对边c的正弦函数值的比例。
即：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c这个定理可用于求解三角形的边长或角度，提供了便利的计算方法。
2. 余弦定理（Cosine Rule）余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
三角形三个内角三角函数关系
三角形三个内角三角函数关系三角形是一种三边和三角度角的形状。
对于任何三角形，它的三个内角之和总是等于 180 度。
假设我们把这三个内角记为 A、B 和 C，那么：A +B +C = 180在三角形中，我们可以使用三角函数来描述角度和边的关系。
在这篇文章中，我们将探讨三角形三个内角与三角函数之间的关系。
首先，我们需要知道三角函数的定义。
在直角三角形中，我们定义三角函数为：sin(A) = opposite / hypotenusecos(A) = adjacent / hypotenusetan(A) = opposite / adjacent其中，opposite 表示角 A 的对边长度，adjacent 表示角 A 的邻边长度，hypotenuse 表示斜边长度。
在非直角三角形中，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理来求解角度和边的关系。
这些公式可以表示为：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：a = b + c - 2bc cos(A)正切定理：tan(A) = (b sin(A)) / (c - b cos(A))其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边，A、B 和 C 分别表示相应的内角。
利用这些公式，我们可以发现三角形的三个内角与三角函数之间存在一定的关系。
例如，我们可以利用余弦定理来表示角 A 的余弦值：cos(A) = (b + c - a) / 2bc同样地，我们还可以利用正弦定理和正切定理来表示角 A 的正弦值和正切值。
这些公式可以表示为：sin(A) = (a / 2R) = √[(s - b)(s - c) / sc]tan(A) = 2R sin(A) / (b - c)其中，R 表示三角形的外接圆半径，s 表示三角形的半周长。
在实际应用中，我们可以利用这些公式来求解各种三角形问题，例如求解三角形的面积、周长、角度以及边长等。
锐角、钝角等三角形的三角函数
锐角、钝角等三角形的三角函数三角形是初中数学中比较基础的一个重点，而其中的三角函数更是其中的重中之重。
在三角形中，角度相当于灵魂，而三角函数则是角度与边长之间的桥梁，略一掌握，很容易就能大大提升我们的数学水平。
在三角函数中，最为常见的莫过于正弦、余弦、正切三大基础函数。
在接下来的文章中，我们将主要讨论锐角、钝角等三角形的三角函数。
一、锐角三角形锐角三角形指的是三个内角均小于90度的三角形，根据勾股定理可以得到，该三角形的最长边对应的角度最大（即90度），并且除该角度外，其余两个角度均为锐角。
1、正弦函数正弦函数指的是一个角度和其对边比例的函数，即sinθ=对边/斜边。
在锐角三角形中，老师经常以最大的角度为θ，用sinθ=对边/斜边计算其他两条边。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为35度，BC边的长度为20cm，求AB边的长度。
我们可以先设AB=x，则有sin35°=x/20，得到x=20sin35°≈11.56cm。
因此，AB边的长度大约为11.56cm。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为50度，AC边的长度为25cm，求BC边的长度。
正切函数指的是一个角度的对边与邻边比例的函数，即tanθ=对边/邻边。
在锐角三角形中，我们经常使用该函数来计算两条邻边之间的夹角。
钝角三角形指的是三个内角中至少有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，我们经常需要使用余弦函数来计算斜边或者其他两边的长度。
由于角BAC是一个钝角，因此我们无法直接计算sin110度或者cos110度。
我们不妨考虑其补角，即70度。
由于三角形ABC中角BAC和补角CAB之和为180度，因此角CAB为70度。
总结通过以上例子，我们可以发现，在锐角三角形和钝角三角形中，三角函数的应用是十分广泛的。
熟练掌握三角函数的使用方法和计算技巧，准确地应用到实际问题中去，能够让我们在数学学习中事半功倍，也是我们在物理、工程、天文等领域中必不可少的基础。
三角函数在三角形中的对应边
三角函数在三角形中的对应边
三角函数是中学数学中的重要内容之一，它在三角形中有着广泛的应用。
在三角形中，每一个角都对应着三条边，分别为斜边、对边和邻边。
而三角函数正是通过这些对应关系来定义和计算的。
对于一个任意的三角形ABC，假设角A对应的边为a，角B对应的边为b，角C对应的边为c。
则根据正弦定理、余弦定理和正切定义，可以得到以下三角函数的定义：
正弦(sin)：sinA = a/c, sinB = b/c, sinC = a/b
余弦(cos)：cosA = b/c, cosB = a/c, cosC = b/a
正切(tan)：tanA = a/b, tanB = b/a, tanC = a/c
这些三角函数在三角形中有着广泛的应用，比如可以用来计算角度、边长、面积等。
同时，在解决三角形相关问题时也可以利用这些函数来辅助求解。
因此，掌握三角函数在三角形中的对应关系是学习数学的重要一步。
- 1 -。
直角三角形中的三角函数关系
直角三角形中的三角函数关系在平面直角坐标系中，以直角为顶点的三角形称为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
在直角三角形中，三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
正弦函数是指直角三角形斜边与夹角的正弦值之间的关系。
以直角三角形的直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正弦值为直角三角形斜边对应夹角的正弦值。
正弦函数可以用以下公式表示：sinθ = o / h其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，h代表斜边长度。
余弦函数指直角三角形斜边与夹角的余弦值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的余弦值为直角三角形斜边对应夹角的余弦值。
余弦函数可以用以下公式表示：cosθ = a / h其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，h代表斜边长度。
正切函数指直角三角形斜边与夹角的正切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的正切值为直角三角形斜边对应夹角的正切值。
正切函数可以用以下公式表示：tanθ = o / a其中，θ表示夹角，o代表直角边上的对边长度，a代表直角边上的邻边长度。
余切函数是指直角三角形斜边与夹角的余切值之间的关系。
以直角三角形的一条直角边为底，另一条直角边为斜边的对边，则夹在直角边和斜边之间的角的余切值为直角三角形斜边对应夹角的余切值。
余切函数可以用以下公式表示：cotθ = a / o其中，θ表示夹角，a代表直角边上的邻边长度，o代表直角边上的对边长度。
正割函数是指直角三角形斜边与夹角的正割值之间的关系。
以直角三角形的一个直角边为底，斜边为斜边的对边，另一个直角边为底，则夹在直角边和斜边之间的角的正割值为直角三角形斜边对应夹角的正割值。
正割函数可以用以下公式表示：secθ = h / a其中，θ表示夹角，h代表斜边长度，a代表直角边上的邻边长度。
三角函数定理公式大全
三角函数定理公式大全在数学中，三角函数是一组基本的函数，用于描述角度和边长之间的关系。
三角函数定理是描述三角形中角度和边长之间的关系的公式集合。
三角函数定理被广泛应用于三角形的计算和解决各种实际问题。
在本篇文章中，我们将介绍三角函数的各种定理公式。
1. 正弦定理（Sine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。
2. 余弦定理（Cosine Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：c² = a² + b² - 2ab*cosCb² = a² + c² - 2ac*cosBa² = b² + c² - 2bc*cosA这意味着一个三角形的任意一边的平方与其他两边的平方以及其夹角的余弦值有关。
3. 正切定理（Tangent Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a这意味着一个三角形的任意一边的长度与其他两边的长度之间的比率与对应的角的正切值成比例。
4. 正割定理（Secant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：secA = 1/cosAsecB = 1/cosBsecC = 1/cosC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的余弦值的倒数成比例。
5. 余割定理（Cosecant Rule）：在任意三角形ABC中，边长a，b，c与对应的角A，B，C之间满足以下关系：cosecA = 1/sinAcosecB = 1/sinBcosecC = 1/sinC这意味着一个三角形的任意一边的长度与对应的角的正弦值的倒数成比例。
三角形中的三角函数
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若 (a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; (2)y=2sin2B+sin(2B+ 6 ) 取最 大值时, 求 B 的大小.
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc. b2+c2-a2 = 1 . 故由余弦定理得 cosA= 2bc 2 ∵A 是锐角三角形的内角, ∴0<A< 2.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 充要 条件. 2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_____ 3.在 △ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= - 1 2 . 4. △ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= 60 .
法二: 角换边
B
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数, 而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB, 证明 sinAsinB 为有理数即可(由正弦定理可证). 或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22) =cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数, 且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
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或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2) =cos23cos22-sin23sin22 =cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22)
=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B) 为有理数,
=
3 5
×
12 13
-
4 5
×
5 13
=
16 65
.
11.锐角 △ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边. (1)若
(a+c)(a-c)=b(b-c), 求 A 的大小; 大值时, 求 B 的大小.
(2)y=2sin2B+sin(2B+
6
)
取最
解: (1)∵(a+c)(a-c)=b(b-c), ∴b2+c2-a2=bc.
三角形中的有关公式
设 △ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,
1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.
注 和与第三个角的半角总互余;
锐角三角形三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
,
则 C=_3_0__.
6.在 △ABC 中, a=60, b=1, 其面积为 3 , 则 △ABC 外接圆的 直径是_2___3_9__.
3
7.在 则 cos2
8.在
△ABC
B+C 2
=
△ABC
中,
1 3
,
中,
bAa2B,+b=c,21c的, 是B最C角=大2A值, ,则B为角, C92C的.的对取边值, 范a=围3是, _(c0_o,_s_A6_=]_.13
<cosAcosC≤
1 4
.
即
cosAcosC
的取值范围是
(-
1 2
,
1 4
].
13.已知锐角 △ABC 中,
sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
.
(1)求证:
tanA=2tanB; (2)设 AB=3, 求 AB 边上的高.
(1)证:
∵sin(A+B)=
3 5
,
sin(A-B)=
1 5
B=
3
时取等号.
∴B= 3.
12.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围.
解: ∵△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,
∴2B=A+C 且 A+B+C=180º. ∴B=60º, C=120º-A.
∴cosAcosC=cosAcos(120º-A)
这一特性: A+B=-C, sin(A+B)=sinC,
三角形中含有边角混合关系的问题时,
常sin运A用+2B正=弦co定s C2理; (、2)余求弦解
定理实现边角互化.
应用举例
应用一: 解三角形
例1 设△ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的
倒数也成等差数列, 求三内角. A=B=C=60
(正三角形时取等号).
例2 已知 △ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.
证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,
∴cos5 即 -cosC 为有理数,
而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,
5 13
<
1 2
,
∴60º<B<90º, 且sinB= 1-cos2B
=
12 13
.
又sinA=
3 5
<
2 2
,
∴0º<A<45º或 135º<A<180º.
∵A+B<180º, ∴0º<A<45º. ∴cosA=
1-sin2A
=
4 5
.
∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
tanA+tanB 1-tanAtanB
=-
3 4
.
将tanA=2tanB代入上式并整理得:
2tan2B-4tanB-1=0.
解得: tanB=1+
6 2
(负值舍去).
∴tanA=2tanB=2+ 6 . 设 AB 边上的高为 CD, 则:
3=AB=AD+DB=
CD tanA
+
CD tanB
=
3CD 2+ 6
断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 △ABC 三边 a, b, c
的比.
直角三角形; 8:15:17
应用三: 三角形的证明
例1 在 △ABC 中,
求证:
(1)
a-ccosB b-ccosA
=
ssiinnBA;
(2)a2-2abcos(60+C)=c2-2bccos(60+A);
,
9.设 O 是锐角三角形 ABC 的外心, 若 C=75, 且 △AOB,
△BOC, △COA 的面积满足关系式 S△AOB+S△BOC= 3 S△COA,
求 A. 45
10.在 △ABC 中,
已知 sinA=
3 5
,
cosB=
5 13
,
求 cosC 的值.
解:
∵在 △ABC 中,
cosB=
且 cos0, cos5 为有理数知: cos 为有理数.
课后练习
1. △ABC 中, A, B 的对边分别为a, b, 且 A=60, a= 6, b=4, 那 么满足条件的 △ABC ( C ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
2.在 △ABC 中, A>B 是sinA>sinB 成立的_充__要__条件.
,
∴
sinAcosB+cosAsinB= sinAcosB-cosAsinB=
3 5 1 5
, ,
sinAcosB= cosAsinB=
2 5 1 5
, ,
tanA tanB
=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
由已知
2
<A+B<,
sin(A+B)=
3 5
,
∴tan(A+B)=-
3 4
.
即
情额娘不要太费心，您保重好身体是最重要的。”“放心吧。你踏实办差吧。”“谢额娘，那儿子先告辞了。”“行，去吧。”目送四哥远去 的身影，十四阿哥立即从椅子上蹦起身，挤到了额娘的暖炕上：“额娘，四哥说的那个西泰的女儿，额娘得给儿子留着！”“怎么，你也看上 了？”“儿子都不知道那丫头长什么样了儿呢！只是，四哥看上的人，准是什么好处，儿子得先下手为强。”“你呀，从小就跟你四哥争，什 么都争。这回倒好，都不知道是什么东西呢，就先争上了。”“儿子不管，反正额娘壹定要先给儿子留着。”“额娘留不留那是后话，关键是 那丫头能不能摞牌子，如果被你皇阿玛看上了，你有几个胆子跟你皇阿玛抢诸人？”“额娘，您就放心吧，是不是皇阿玛的诸人，过不了几天， 儿子就知道了。”“就算不是你皇阿玛的诸人，那么多姑娘，你干嘛非跟你四哥抢？”“额娘，您不想想，四哥什么时候主动看上过什么诸人。 这回跟您提的，他哪儿是看上了那姑娘啊，分明看上的是西泰啊！四嫂的娘家在朝中早就没有什么势力，其它侧福晋、格格们的娘家，没壹个 上三品的，四哥现在急于招兵买马，这回，不但在朝堂上拉拢了西泰，府里还多了壹个诸人，这只赚不赔的买卖，谁不惦记着？”“就你贼！ 算计完你皇阿玛，就算计你四哥。”“儿子不管，只要儿子拿到了名单，如果那上面没有伊尔根觉罗氏，额娘壹定要给儿子留好了。”“行， 行！”王爷出了永和宫，才初春，已经淌湿了壹身的汗。不知道十四弟会不会按照他预期的想法去行动，但是他只能赌壹把了，不管是输是赢， 他都奉陪到底。壹回到府里，他立即把秦顺儿叫到了跟前：“告诉粘竿处的莫吉，派几个得力的奴才，盯死了八爷、十四爷和赫奕。”“从现 在开始？”“对”“爷是想要什么情报？”“今年选秀入选秀女的名单。”“啊？爷怎么会……？”“这也是你该知道的？规矩都被你就饭吃 了？还是想挨板子？”“是，是，奴才该死，奴才该死。”秦顺儿吓得屁滚尿流地退下去了，只是他实在是不明白，爷要过的东西多了去了， 但是他给爷当差这么多年来，爷唯壹没有要过的东西就是诸人。怎么这壹次爷要的居然是入选秀女的名单？第壹卷 第三十二章 喜讯王爷的 计划是经过深思熟虑的。十四弟如果中了他的计，必然也会需要得到这张名单，必然会去找赫奕。而十四弟与八弟是死党，即使他从赫奕的手 中拿不到，求到八弟的头上，八弟必会助他壹臂之力，如愿以偿。因此，由十四弟出面寻这个名单，要远比他自己出面强多了。自己所要做的， 只是螳螂捕蝉、黄雀在后而已。但这个计划能够实施的最大前提就是，十四弟会象以往那样，对他这个四哥看上的任何东西，都要不遗余力地 去
能有两解.
3.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA, 弦定理鉴定三角形的形状.
cosA=
b2+c2-a2 2bc
等,
常选用余
4.射影定理: a=bcosC+ccosB.
5.面积公式: 切圆半径).
S=
12aha=
12absinC=
12r(a+b+c)(其中
r
为三角形内
特别提醒: (1)求解三角形中的问题时, 一定要注意 A+B+C=