初中数学专题训练--整式方程--含有字母系数的一元一次方程
(完整版)初一数学一元一次方程练习题(含答案)
初一数学一元一次方程练习题(含答案)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列方程中，属于一元一次方程的是( )A. B. C D.2.已知ax=ay，下列等式中成立的是()A.x=yB.ax+1=ay-1C.ax=-ayD.3-ax=3-ay3.一件商品提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则应降价()A.40%B.20?5%D.15%4.一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是()A.a米B.(a+60)米C.60a米D.(60+2a)米5.解方程时，把分母化为整数，得()。
A、B、C、D、6.把一捆书分给一个课外小组的每位同学,如果每人5本,那么剩4本书,如果每人6本,那么刚好最后一人无书可领,这捆书的本数是()A.10B.52C.54D.56千米1小时还有3一条山路，某人从山下往山顶走7.才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程.设上山速度为x 千米/分钟，则所列方程为()A.x-1=5(1.5x)B.3x+1=50(1.5x)C.3x-1=(1.5x)D.180x+1=150(1.5x)8.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为( )A.约700元B.约773元C.约736元D.约865元9.下午2点x分,钟面上的时针与分针成110度的角,则有()A. B. C. D.10.某商场经销一种商品由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,则经销这种商品原来的利润率为()A.15%B.17%C.22%D.80%二、填空题(每小题3分，共计30分)11.若x=-9是方程的解，则m= 。
12.若与是同类项，则m= ，n= 。
的代数y用含，y=得y的代数式表示x用含方程13.式表示x得x=。
一元一次方程测试题一元整式方程
⼀元⼀次⽅程测试题⼀元整式⽅程⼀元⼀次⽅程测试题-⼀元整式⽅程整式和⼀元⼀次⽅程整式和⼀元⼀次⽅程⼀．解答题1．如果⽅程的解与⽅程4x﹣=6x+2a ﹣1的解相同，求式⼦的值．2．下⾯是马⼩哈同学做的⼀道题：解⽅程：解：①原⽅程可化为：；②去分母，得5﹣2=﹣25；③去括号，得50x+150﹣8x﹣20=﹣25；④移项，得50x﹣8x=﹣25+150﹣20；⑤合并同类项，得42x=105；⑥系数化为1，得；上⾯的解题过程中出现了错误的步骤有；请把正确的解答写在右⾯．3．解⽅程：．第1页．﹣=1．；x﹣﹣1；．．．．．．﹣=．x﹣=2﹣；．11．已知A=x﹣2x+1，B=2x﹣6x+3．求：A+2B．2A﹣B．4．计算：(3)2﹣3﹣；﹣2﹣(6)4a+2﹣．(7)2﹣5．已知A=2x+3xy﹣2x﹣1，B=﹣x+xy﹣1：求3A+6B；若3A+6B的值与x⽆关，求y的值．2222222222223222．(2)+﹣2 222第2页⼀元整式⽅程教学⽬标1、知道⼀元整式⽅程与⾼次⽅程的有关概念，知道⼀元整式⽅程的⼀般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的⽅程的过程,理解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的概念，掌握它们的基本解法.3、通过解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程,体会分类讨论的⽅法，了解由特殊到⼀般、⼀般到特殊的辨证思想.教学重点及难点重点:理解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的概念及解法.难点: 解含字母系数的⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程中的分类讨论.教学流程设计教学过程设计⼀、问题引⼊11．思考根据下列问题列⽅程：买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；买a本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；⼀个正⽅形的⾯积的4倍等于16平⽅厘⽶，求这个正⽅形的边长；⼀个正⽅形的⾯积的b倍等于s，求这个正⽅形的边长.说明为了更好地使学⽣进⾏联系和⽐较已学过的⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程与含字母系数⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程，增加了、两个问题，也为解含字母的⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程埋下伏笔.2．讨论你所列出的⽅程之间有什么区别和联系?⼆、新课学习11、归纳概念12在⽅程ax12和bx s中，x是未知数;字母a、b是项的系数，s是常数项，它们都表⽰已知数，我们称这样的⽅程是含字母系数的⽅程，这些字母叫做字母系数.、问题中的⽅程就分别是含字母系数的⼀元⼀次⽅程和⼀元⼆次⽅程.2．讲解例题例题1 解下列关于x的⽅程：(学⽣进⾏尝试性地类⽐解题)(3a2)x2(3x);3、思考含字母系数的⽅程与不含字母系数的⽅程在解的过程中存在什么区别吗？4、结论含字母系数的⼀元⼀次和⼀元⼆次⽅程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使⽤等式性质和根的判别式时，往往需要进⾏分情况进⾏讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.说明通过学⽣⾃主尝试解含字母系数⽅程,充分暴露学⽣忽略等式性质中⾮零条件的限制及根判别式⾮负的要求，在分情况进⾏讨论的思维上的缺陷,教师再进⾏解释和引导,同时强调是在字母不能确定的时候才需讨论,否则不必要,从⽽使学⽣对这⼀思想的认识更为清晰和牢固.有⼀块边长为10分⽶的正⽅形薄铁⽪，在它的四个⾓上分别剪去⼤⼩⼀样的⼀个⼩正⽅形，然后做成⼀个容积为48⽴⽅分⽶的⽆盖长⽅体物件箱.设⼩正⽅形的边长为x分⽶，根据题意列⽅程；某⼚xx年产值为100万元，计划到2016年产值增长到万元.设每年的平均增长率为x,根据题意列⽅程. bx211x2(b1).说明增加问题2是为了提供更多的素材，帮助学⽣寻找共性，感受概念，从⽽为接下去的归纳概念提供更多的直观认识.四、新课学习21、归纳概念2①如果⽅程中只有⼀个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个⽅程叫做⼀元整式⽅程;②⼀元整式⽅程中含未知数的项的最⾼次数是n(n是正整数),这个⽅程叫做⼀元n次⽅程;其中次数n⼤于2的⽅程统称为⼀元⾼次⽅程,简称⾼次⽅程.2．讲解例题例题2 判断下列关于x的⽅程,哪些是整式⽅程?这些整式⽅程分别是⼀元⼏次⽅程?1(1)x2a3x10;2x21(4);2x3五、巩固练习(2)4x3810;(5)2x a22a3;x(3) 3a2x5x1; a(6)x47x280.课本练习1、2、3六、课堂⼩结通过本堂课你有什么收获?稿件----⼀元整式⽅程的解法⼋年级第三周市⼋初级中学凌永刚200010 黄浦区复兴东路123号⼀元整式⽅程的解法【⽅程结构图】：⼀次⽅程整式⽅程⼆次⽅程有理⽅程⾼次⽅程代数⽅程分式⽅程⽆理⽅程【例题分析】：⼀、解下列关于x的⽅程：(1)(3a1)x3(1x)(2)b2x213x2分析：对于字母系数的⽅程需要讨论字母系数的取值范围与⽅程的解的关系. 解：(1)(3a1)x33x(3a2)x 32时，此⽅程⽆解； 323当3a+2≠0即a≠-时，x=. 33a2当3a+2=0即a=-bx3x 1x=1x=2222221 2b 3b23∵b+3＞0，∴x=±2. b32⼆、解下列⽅程(1)2(12x)(4)2x3432(2)2x43x25 (3)3x35x2x0 6x26x180 (5) (x 2–x) 2–8 (x 2–x)+12=0分析：⾼次的⽅程的基本解法：因式分解降次.解：(12x)16 412x2，解得x1=31，x2=-. 22说明：运⽤开平⽅的⽅法。
八年级数学含字母系数的一元一次方程知识精讲试题
初二数学含字母系数的一元一次方程人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数：含字母系数的一元一次方程几何：直角三角形性质及应用［教学目的］1. 理解并掌握含字母系数一元一次方程的解法。
2. 会讨论字母系数方程的解法。
3. 掌握直角三角形的性质。
二. 重点、难点：1. 重点：代数：掌握字母系数一元一次方程解法。
几何：直角三角形的性质。
2. 难点：代数：对字母系数一元一次方程的讨论。
几何：直角三角形性质的应用。
［内容概要］1. 含字母系数的一元一次方程解法。
2. 直角三角形性质。
3. 直角三角形性质及应用。
【典型例题】代数内容见名师面授几何直角三角形性质：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线。
求证：CM AB =12证明：延长CM 至点D ，使MD ＝CM ，连结AD ∴=CD CM 2AM BM AMD BMC MD MC =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪（中线定义）（对顶角相等）（辅助线作法）∴≅∴=∠=∠∴∴∠+∠=︒∆∆AMD BMC SAS AD BCD DCBAD BCDAC BCA ()//180又 ∠=︒ACB 90∴∠=︒∴∠=∠=∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∴=∴=DAC DAC BCA AC CA DAC BCA AD CB DAC BCA SAS DC BA AB CMCM AB90212∆∆()直角三角形性质：〔1〕直角三角形两锐角互余。
〔2〕直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。
〔3〕直角三角形中斜边大于直角边。
〔4〕直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半。
〔5〕直角三角形中一直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角是30°。
例1. ：如图，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、N 分别为AC 、BD 中点。
求证：MN ⊥BD分析：题中出现了直角三角形，想想有什么性质。
初一上数学真题专题练习---含参数的一元一次方程
含参数的一元一次方程【真题精选】1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝62．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣64．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1 5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3 6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0 7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k ＝，该方程的解x＝．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．210．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8 12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣418．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b ＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．含参数的一元一次方程参考答案与试题解析一．试题（共20小题）1．（2020秋•昌平月考）下列等式变形正确的是（）A．若4x＝2，则x＝2B．若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣2C．若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）+2（x+1）＝3D．若＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6【分析】根据等式的性质即可解决．【解答】解：A、若4x＝2，则x＝，原变形错误，故这个选项不符合题意；B、若4x﹣2＝2﹣3x，则4x+3x＝2+2，原变形错误，故这个选项不符合题意；C、若4（x+1）﹣3＝2（x+1），则4（x+1）﹣2（x+1）＝3，原变形错误，故这个选项不符合题意；D、若﹣＝1，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，原变形正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了等式的性质．熟知等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．2．（2020秋•西城期末）下列等式变形正确的是（）A．如果a＝b，那么a+3＝b﹣3B．如果3a﹣7＝5a，那么3a+5a＝7C．如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6D．如果2x＝3，那么x＝【分析】根据等式的性质和各个选项中的式子，可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：如果a＝b，那么a+3＝b+3，故选项A错误；如果3a﹣7＝5a，那么3a﹣5a＝7，故选项B错误；如果3x＝﹣3，那么6x＝﹣6，故选项C正确；如果2x＝3，那么x＝，故选项D错误；故选：C．【点评】本题考查等式的性质，解答本题的关键是明确等式的性质，会用等式的性质解答问题．3．（2020秋•朝阳区校级期中）下列方程是一元一次方程的是（）A．x2﹣1＝4B．C．3（x﹣1）＝2x+3D．x﹣4y＝﹣6【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．是一元一次方程，故本选项符合题意；D．是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．4．（2021秋•海淀月考）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（）A．a≠0B．a≠1C．a≠﹣1D．a≠±1【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案．【解答】解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零．5．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠3【分析】根据方程有解确定出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2021有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．6．（2021秋•海淀月考）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（）A．a＝0，b＝0B．a＝0，b≠0C．a≠0，b＝0D．a≠0，b≠0【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．【解答】解：∵方程ax＝b有无数个解，∴未知数x的系数a＝0，∴b＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，x前面系数为0时方程有无数个解是解题的关键．7．（2021秋•海淀月考）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝3x﹣2无解，则a的值是．【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．【解答】解：原式可化为：（2a﹣3）x+2﹣a＝0，∵方程无解，∴可得：2a﹣3＝0，2﹣a≠0，故a的值为．故填．【点评】本题考查一元一次方程的解，难度不大关键是掌握无解情况下各字母的取值情况．8．（2020秋•西城区校级期中）已知关于x的方程（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，则k＝﹣1，该方程的解x＝﹣2．【分析】由一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．可得|k|＝1，k﹣1≠0，求出k的值，再解方程即可．【解答】解：∵（k﹣1）x|k|+k＝3为一元一次方程，∴|k|＝1，k﹣1≠0，∴k＝±1，k≠1，∴k＝﹣1，∴﹣2x﹣1＝3，移项，得﹣2x＝4，解得x＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．【点评】本题考点一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键．9．（2020•西城期中）关于x的方程（m﹣1）x|m|+3＝0是一元一次方程，则m的值是（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．10．（2020•西城月考）已知（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+7＝0是关于x的一元一次方程，则m 的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．以上答案都不对【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：由题意，得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．11．（2020秋•西城区校级期中）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（）A．10B．﹣4C．﹣6D．﹣8【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【解答】解：依题意，得2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，解得，k＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．12．（2020•西城月考）若方程2x+1＝﹣1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解，则a的值为﹣．【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值．【解答】解：方程2x+1＝﹣1，解得：x＝﹣1，代入方程得：1+2+2a＝2，解得：a＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2020•西城月考）已知关于x的方程2x﹣a＝1与方程＝﹣a的解的和为，求a的值．【分析】首先解两个关于x的方程，利用a表示出方程的解，然后根据两个方程的解的和是，列方程求得a的值．【解答】解：解2x﹣a＝1得x＝，解＝﹣a，得x＝．由题知+＝，解得a＝﹣3．【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，正确解关于x的方程是解决本题的关键．14．（2020秋•朝阳区校级期中）已知关于x的方程kx﹣1＝2（x+1）的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k的值为3或1或﹣1或5．【分析】先求方程的解得x＝，再由已知可得k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，求出k的值即可．【解答】解：kx﹣1＝2（x+1），去括号得，kx﹣1＝2x+2，移项、合并同类项，得（k﹣2）x＝3，解得x＝，∵方程的解为整数，∴k﹣2＝±1或k﹣2＝±3，∴k＝3或k＝1或k＝5或k＝﹣1，故答案为：3或1或﹣1或5．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，并由方程解的情况列出k满足的等式是解题的关键．15．（2019秋•丰台区校级期中）若关于x的一元一次方程（m﹣1）x﹣3＝0的解是正整数，求整数m的值．【分析】解方程得：x＝，x是整数，则m﹣1＝±1或±3，据此即可求得m的值．【解答】解：（m﹣1）x﹣3＝0，解得：x＝，∵解是正整数，∴m﹣1＝1或3，解得：m＝2或4．故整数m的值为2或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m﹣1＝±1或±3是关键．16．（2019秋•密云区期末）已知方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．（1）求m，n满足的条件．（2）若m为整数，且方程的解为正整数，求m的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义求m，n满足的条件；（2）先根据m为整数且方程的解为正整数得出m+1＝1或m+1＝3，解一元一次方程可以得出m的值．【解答】解：（1）因为方程（m+1）x n﹣1＝n+1是关于x的一元一次方程．所以m+1≠0，且n﹣1＝1，所以m≠﹣1，且n＝2；（2）由（1）可知原方程可整理为：（m+1）x＝3，因为m为整数，且方程的解为正整数，所以m+1为正整数．当x＝1时，m+1＝3，解得m＝2；当x＝3时，m+1＝1，解得m＝0；所以m的取值为0或2．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是求出n的值．17．（2020秋•通川区期末）若关于x的方程x﹣6＝（k﹣1）x有正整数解，则满足条件的所有整数k值之和是（）A．0B．1C．﹣1D．﹣4【分析】根据方程的解为正整数，可得（k﹣2）是6的约数，根据约数关系，可得k的值．【解答】解：解x﹣6＝（k﹣1）x，得x＝．由x＝是正整数，得2﹣k＝6时，k＝﹣4，2﹣k＝3时，k＝﹣1，2﹣k＝2时，k＝0，2﹣k＝1时，k＝1，∴﹣4﹣1+0+1＝﹣4．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用6的约数是解题关键．18．（2020•西城月考）已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值．【解答】解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．19．（2019秋•通州区期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，4}＝4．按照这个规定，那么方程max{x，﹣x}＝2x+1的解为（）A．x＝﹣1B．x＝C．x＝1D．x＝﹣1或【分析】方程利用题中的新定义变形，计算即可求出解．【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，方程变形得：x＝2x+1，解得：x＝﹣1，不符合题意；当x＜﹣x，即x＜0时，方程变形得：﹣x＝2x+1，解得：x＝﹣，综上，方程的解为x＝﹣，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2019秋•海淀区校级期中）我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．【分析】（1）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案；（3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解．【解答】解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．【点评】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．。
初中数学专题训练--整式方程--一元一次方程
一元一次方程的典型例题一例 国庆节即将来临，学校组织七年级学生参加“国庆专题展”，计划租借42座的客车16辆，恰好坐满．但由于126名学生准备骑自行车前往，所以学校要改变租车方案．（1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？（2）若自行车的速度是10千米／时，出发1小时后，客车以40千米／时的速度行驶，结果全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？解：（1）设学校实际租借客车x 辆，则可以乘坐42x 名学生．列方程164242126⨯=+x ．（2）设客车行驶了x 小时，则自行车行驶了)1(+x 小时．列方程x x 4010)1(=⨯+．说明：（1）学生总数是题中较明显的相等关系，由此列方程；（2）“同时到达指定地点”表明全体学生在同一时刻到达，由此可设客车行驶时间为x 小时，则自行车行驶的时间为)1(+x 小时，而两者路程相同，这是此问题中的相等关系．另外，还可以理解为相同的时间里，客车比自行车多行了10)110(=⨯（千米）．可见，在实际问题中找到相等关系是列方程解决实际问题的关键，依据数量关系列方程，打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程比列算式更直接、更方便，具有更多的优越性．一元一次方程的典型例题二例 观察下列各式，哪几个是等式？哪几个是方程？哪几个是一元一次方程？ ①23-=x ②2839-=- ③02=-x x ④92-x ⑤01=+xy ⑥31212=-y ⑦2=x ⑧22>+x 解：①②③⑤⑥⑦是等式；①③⑤⑥⑦是方程；①⑥⑦是一元一次方程．说明：等式、方程和一元一次方程是层层包含的关系，等式是用“＝”连接，表示相等关系的式子，方程是含有未知数的等式，而一元一次方程是含有一个未知数，并且末知数的指数都是1（次），可见一元一次方程属于方程的一种，方程又属于等式的一部分，所以区分三者必须理解它们之间的相互关系．一元一次方程的典型例题三例 根据下列条件列方程：（l ）某数的3倍比7大2；（2）某数的31比这个数小1； （3）某数与3的和是这个数平方的2倍；（4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；（5）某数的4倍与3的差比这个数多1．分析：要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，解：（1）设某数为x ，则有：273=-x ；或 273+=x ；或723=-x ；（2）设某数为x ，则有：x x =+131；或 131=-x x ；或131-=x x ; （3）设某数为x ，则有：223x x =+；或322-=-x x ；或322-=x x ；（4）设某数为x ，则有：x x 392=+；或 932-=-x x ；或 923=-x x ；（5）设某数为x ，则有 134-=-x x ；或 x x =+-134；或 314+-=x x 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：大数－小数=差；小数十差=大数；大数一差=小数．一元一次方程的典型例题四例 判断下列各式哪些是一元一次方程．（1）2143=x ； （2）23-x ； （3）1325171-=-x y ； （4）1352+-x x ； （5）y y x 213-=+； （6）.2712y y =-分析： 判断一个数学式子是不是一元一次方程，首先看它是不是方程，其次再看它含有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少．解：（1）是，因为2143=x 是方程，且方程只含有一个未知数x ，且含未知数的项最高次数是1．（2）不是．23-x 不是方程．（3）不是．因为1325171-=-x y 虽然是方程但含有两个未知数x 、y ． （4）不是．因为1352+-x x 不是方程．（5）不是．因为y y x 213-=+含有两个未知数．（6）不一元一次方程的典型例题五例 甲、乙两个工程队共有30人，其中乙队人数比甲队人数的2倍还多6人，求甲、乙两队各有多少人？分析：设甲队有x 人，乙队人数比甲队的2倍还多6人，用代数式表示：解：设甲队有x 人，依题意有x +(2x +6)=30如果x=1，x +(2x +6)的值是9)612(1=+⨯+如果x=2，x +(2x +6)的值是12)622(2=+⨯+如果x=3，x +(2x +6)的值是15)632(3=+⨯+类似计算下去可得如果x=8，x +(2x +6)的值是9)682(8=+⨯+所以甲队的人数是8乙队人数为：8×2+6=22答：甲队有8人，乙队有22人．说明：如果这个题设乙队有x 人，则甲队的人数是26-x 人，显然所列代数式比设甲队有x 人复杂而且容易出错．所以列方程解应用题时，在认真审题的基础上，第一个关键步骤就是如何“设未知数”．估算在实际生活中经常用到，可以根据计算的结果适当调整带入的数以便快捷的得到近似值．是．因为.2712y y =-中未知数最高次数为2次． 一元一次方程的典型例题六例 判断0和4是不是方程)1(596)12(3-+=++x x x x 的解．分析：根据方程解的意义，将数带入方程两侧判断是否相等．解：（1）如果0是方程的根，那么把0分别代入原方程的左边和右边，方程两边的数值应该相等．左边=,306)102(3=⨯++⨯右边=5)10(509-=-+⨯∴ 左边≠右边，∴ 0=x 不是方程的解．（2）把4=x 分别代入原方程的两边．左边=x x 6)12(3++=5146)142(3=⨯++⨯⨯=，右边=)14(549)1(59-⨯+⨯=-+x x 51=∵左边＝右边，∴4=x 是方程的解．说明：我们在检验某数是不是方程的解时，应把这个数分别代入原方程的左边、右边，而不是代入原方程本身．一元一次方程的典型例题七例 检验1=x 及0=x 是否是方程)12(2)1(3+=+x x 的解．分析：将1=x 及0=x 代入方程，若使方程左右两边的值相等，则是，否则就不是． 解：将1=x 代入原方程，左边6)11(3=+⨯=，右边6)112(2=+⨯⨯=。
初中数学专题训练--整式方程--一元二次方程根与系数的关系
例1 如果21,x x 是方程01422=+-x x 的两个根，不解方程，求2221x x -的值. 解：∵ 21,x x 是方程01422=+-x x 的两根， ∴ 21,22121=⋅=+x x x x . 22))((.221424)()(2121222122122122121±=-+=-∴±=⨯-±=-+±=-±=-x x x x x x x x x x x x x x说明 题中没有明确21x x >，因此21x x -的值可能为正，也可能为负.例2 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.解：设方程0122=--x x 的两根是21,x x . 则 1,22121-=⋅=+x x x x .设所求的方程为02=+-q py y ，它的两根分别是121+x 和122+x 则 [][]2)(2)12()12(2121++-=+++-=x x x x p 6)222(-=+⨯-=，1122)1(41)(24)12)(12(212121=+⨯+-⨯=+++=++=x x x x x x q∴ 所求作的方程是0162=+-y y .例3 a 取何值时，方程03)3(22=-+--a x xa x ，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0>∆.解：设方程03)3(22=-+--a x xa x 的两根是21,x x ， 则 .3,3222121-=⋅-=+a x x a x x （1）依题意，有[]⎩⎨⎧=-=+>----=∆)2(032)1(0)3(4)32(2122a x x a a由（1）得 47<a . 由（2）得 23=a ，∴ 23=a 时，方程两根互为相反数.（2）依题意，得[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅>----=∆)2(.13)1(,0)3(4)32(22122a x x a a由（1）得 47<a ，由（2）得 2,221-==a a ， ∴ 2-=a 时，方程两根互为倒数.说明 方程02=++c bx ax 的两根互为相反数，也可由条件0=b 且c a 、异号来确定. 例4 已知关于x 的方程01222=+-+m mx x 的两个实数根的平方和是417，求m 值. 解：设方程的两根是21,x x . 则 212,22121+-=⋅-=+m x x m x x . 41721222,4172)(2212212221=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-∴=-+=+m m x x x x x x解这个方程，得3,1121=-=m m .当11-=m 时，,0238)11()12(2422<⨯--=+-⨯-=∆m m ∴ 舍去11-=m .当3=m 时，,0)5(8)3()12(2422>-⨯-=+-⨯-=∆m m∴ 3=m .说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由0>∆确定了m 的取值范围，然后求出m 的值.而例2中的0≥∆是一个一元二次不等式08162≥-+m m ，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m 的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围.分析 题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ， 则 .1,23221221m x x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 例 6 关于x 的方程01432=---m mx x ① 与04)69222=+-+-m x m x ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m 的值.分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m 的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m 的方程，求出m 的值.解：设方程①的两个实数根为βα,， 则 .143,--==+m m αββα ∴.22314322)(22222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=+m m m m αββαβα把方程②变形为[][]0)2()2(2=+--+m x m x解这个方程，得 .2,2221+=-=m x m x 若1x 为整数根，根据题意，得222232--=++m m m .解这个方程，得1-=m . 此时232211=---=x 不是整数根，不符合题意，舍去. 若2x 为整数根，根据题意，得22232+=++m m m . 解这个方程，得21,021-==m m . 当0=m 时，方程②的2202=+=x 是整数，且0)1(4021>-⨯-=∆，方程①有两个实数根，符合题意.当21-=m 时，方程②的232212=+-=x 不是整数，不符合题意，舍去. ∴ 0=m .说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是22--m 和2+m 后，由于不知道m 的取值范围，所以不能盲目地认为2+m 是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m 的值.求出21,0,1-==-=m m m 后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m 为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m 的值.典型例题五例 已知⊙O 的面积为π，ABC ∆内接于⊙O ，abc 分别是三角形三个内角A 、B 、C 的对边，且A c b a sin ,222++、B sin 是方程[][]03)13()13(2=+-+---x m x m 的两根.（1）判定ABC ∆的形状； （2）求m 的值；（3）求ABC ∆的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解 （1）由222c b a =+，知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C .（2）由题意，得由（1）知，ABC ∆是直角三角形且︒=∠90C ，所以1sin sin 22=+B A ，于是B A B A B A sin sin 2)sin (sin sin sin 222-+=+1)13(32)13()13(2=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ，即 .33.632)432(+=∴-=-m m（3）将33+=m 代入原方程，得.03)32(42=++-x x解之，得 23,2121==x x . 23sin ,21sin ==∴B A 或21sin ,23sin ==∴B A .由圆的面积π，求得该圆的半径为1，所以2=c .解Rt ABC ∆，得3,1,2===b a c 或1,3,2===b a c .说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ， （1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅---+=+.)13(3sin sin ,)13()13(sin sin m B A m m B A分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k 分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k 的取值范围.解 [])42(4)32(2----=∆k k0)52(2520422≥-=+-=k k k ， ∴无论k 取任何实数，方程都有两个实数根. 设该方程的两根为21,x x ，则由韦达定理，得.42,322121-=-=+k x x k x x（1）若使k x x ,0,021>>应满足条件：⎩⎨⎧>-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧>>∴.2,23k k ∴当2>k 时，方程有两个正根.（2）若使0,021<>x x 且k x x ,21>应满足条件：⎩⎨⎧<-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>∴.2,23k k ∴当223<<k 时，两根异号，且正根的绝对值较大. （3）若使k x x ,3,321<>应满足条件：0)3)(3(21<--x x ，即 09)(32121<++-x x x x ..27,09)32(342><+---∴k k k∴当27>k 时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式∆恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0≥∆或0>∆了，否则，每个条件组里都必须考虑∆的限制条件.典型例题七例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x 的方程01)1(2=++-mx x m ，①有两个相等的实数根.（1）求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n m m 122+的值. 解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，⎩⎨⎧=--=≠-∴.0)21(4,0121n m n ∆ .01,0)1(42>-≠-=∴n m n m 则且由方程②，有.0.0)1)(3(8.03,08,001).)(3(8)642(4)32441(4)321(4)32(442222222222222222>∴>-+∴>+>∴≠>--+=-+=-+-+=-++=+---=∆∆n n m n m m n n n m n n m n n m n m m n m m m 且∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由.41)1(422m n n m =--=可得 将412m n =-代入方程①得.01422=++mx x m 解得 .221mx x -== ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，由根的定义，得.03222)2(2222=+--⋅-⋅n m mm m m 整理，得 .0322=+--n m 即.03)1(422=+-=-n n.14)42(284 )1244()12(1274222222=+=+=+-=+=+∴=+∴n n n n n n m n n m m n n 解法二：由解法一得m2是方程②的一个根. 设方程②的另一根为0y . 由根与系数的关系可得.220mm y =+.032.0220=+--∴=∴n m y以下同解法一.解法三：),1(42-=n m方程②为 032)1(42)1(422=+-----n n my y n ③∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为1y ， ∴1y -为方程①的根..01)1(121=+--∴my y n由方程③变形，得()[].0324211421121=+--++--n n my my y n.0324221=+--∴n n my又由解法一可知 .21my =.7422=+∴n n以下同解法一.典型例题八例 (北京市宣武区,2002) 若关于x 的一元二次方程04)(332=+++ab x b a x 的两个实数根1x 、2x 满足关系式：)1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x .判断4)(2≤+b a 是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例. 证明：∵ 关于x 的一元一次方程04)(332=+++ab x b a x 有两个实数根， ∴ 0≥∆，即[]0434)(32≥⨯⨯-+ab b a ，016)(32≥-+ab b a . ①∵ 1x 、2x 为方程的两个实数根， ∴ 34),(2121abx x b a x x =⋅+-=+. ∵ )1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x ， ∴ 12121222121+++=+++x x x x x x x x ，.13)(,121221212221=-+=-+x x x x x x x x∴ []1343)(2=⨯-+-abb a ， 14)(2=-+ab b a ， ∴ .1)(42-+=b a ab ② 把②代入①，得[]01)(4)(322≥-+++b a b a ，∴ 4)(2≤+b a .典型例题九例 如果方程012=++kx x 的一个根是32-，另一个根是α，求2)32(+-α的值.分析：)32(32--=+-αα是方程的两根之差，若设32-=β，则有44)()()32(,1,2222-=-+=-=+-=-=+k k αββαβαααββα，只要求出k 的值就行了.解：由题中条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+.1)32(,)32(ααk 解之，得另解：将32-=x 代入方程，得01)32()32(2=+-+-k ，即 )23(4)32(-=-k ， ∴.4-=k 于是，有.124164)()()32(.142122122122121=-=-+=-=+-⎩⎨⎧==+x x x x x x x x x x α说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.典型例题十例 已知方程023)2(2=-++-k x k x 的两个实根为21,x x 且232221=+x x ，求k 的值.分析：这里仅知1=a ，但由23),2(-=+-=k c k b ，可得出c b ,之间的一个等量关系，再利用已知条件232221=+x x ，故可列出方程组来解之.解：根据根与系数的关系及已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+）（）（）（3.232,231 ,222212121x x k x x k x x 由（3）得2122122212x x x x x x －）（+=+.12)32()32(.4,3222==+-∴⎩⎨⎧-=+=ααk.23)23(2)2(2=--+=k k解得 5=k 或3-=k . 当5=k 时，[],03 )23(4)2(2<-=--+-=∆k k原方程无实数根，不合题意. 当3-=k 时，[].3,045 )23(4)2(2-=∴>=--+-=∆k k k 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件0≠a 及0≥∆，否则可能得出错误的结果.典型例题十一例 已知一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之和为p ，两根的平方和为q ，两根的立方和为r ，求cp bq ar ++的值.分析：运用韦达定理求解.解 设方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x ab x x 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∴,ab p -= 2122122212)(x x x x x x q -+=+=22222a ac b a c a b -=⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=， ))((212221213231x x x x x x x x r -++=+=[].333)()(3322122121aabcb ac a b a b x x x x x x +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=∴cp bq ar ++.023232332233=--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅++-⋅=a abcabc b abc b a b c a ac b b a abc b a说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.设方程的两根为21,x x ，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∵21,x x 是方程的根，代入原方程，得.0,0222121=++=++c bx ax c bx ax①×1x ，得,012131=++cx bx ax ②×2x ，得,022232=++cx bx ax③＋④，得,0)()()(2122213231=+++++x x c x x b x x a 即0=++cp bq ar .典型例题十二例 已知关于x 的一元二次方程.0)2(21)3(222=+++-m x m x （1）试证：无论m 取任何实数，方程均有两个正根； （2）设21,x x 为方程的两个根，且满足217212221=-+x x x x ，求m 的值.分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式0≥∆，且0,02121>>+x x x x . （1）证明 [])2(214)3(222+⨯-+-=∆m m ,01)2(542224>++=++=m m m 设21,x x 为方程的两个根，，由韦达定理，得.0)2(21,03221221>+=>+=+m x x m x x 故无论m 为何实数，该方程均有两个正根. （2）解 ∵217212221=-+x x x x ， .2173)(21221=-+∴x x x x 217)2(23)3(222=+-+∴m m ，即059224=-+m m .解之，得212=m 或52-=m （舍）. 22±=∴m . 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为)0(02≠-++a c bx ax ，其判别式ac b 42-=∆，两根为21,x x ，则该方程有两个正根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有两个负根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有一正根和一负根的条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>=>∆.0,021a c x x 若正根的绝对值大，则再加上条件021>x x . 若正根的绝对值小，则再加上条件021<+x x . 若两根互为相反数，则再加上021=+x x .典型例题十三例：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。
初中数学一元一次方程练习题60道Word版含解析
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
4．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解 =______．
5．（1）
（2）
6．如果方程 的解与方程 的解相同，求式子 的值．
7．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每人每小时生产疫苗500剂，但受某些因素影响，某车间有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，该车间其余工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天能完成预定任务．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
35．如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10.动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t 秒．
16．一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？
17．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 ，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 ．已知水流的速度是 ，求船在静水中的平均速度．
18．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．
10．新冠疫情肆虐春城期间，全市有大批志愿者不畏艰险加入到抗疫队伍中来．“大白”们的出现，给封控小区居民带来了信心，为他们的生活提供了保障．已知某社区在甲小区原有志愿者23名，在乙小区原有志愿者17名．现有来自延边州支援该社区的志愿者20名，分别去往甲小区和乙小区支援，结果在甲小区的志愿者人数比乙小区志愿者人数的三分之二还多5名，求延边州志愿者去往甲小区的人数．
人教版七年级数学讲义 第8节 含字母系数的一元一次方程
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．【例1】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵【巩固】请指出下列关于的方程中的参数⑴； ⑵； ⑶【例2】（1）x=2是方程2x+a-9=0的解，则a 的值是 。
（2）已知方程2（x+1）=3(x-1)的解为x=a+2,则a 的值是 。
x ax b =xn c m=+y 21y ax -=xm n y-=0ay b c -+=模块一 参数模块二 同解方程含字母系数的一元一次方程知识精讲典型例题若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式．两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【例3】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同． 解析：法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-.法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解， 把解代入另一个方程．【例4】（1）已知方程3（x-1）=4x-5与关于x 的方程2x+a-9=0的解相同，求a 的值。
（2）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-9=0的解相同，求a 的值（3）已知关于x 的两个方程3（x-1）=4x-a 与2x+a-2=0的解互为相反数，求a 的值知识精讲典型例题（4）已知关于x 的方程3（x-1）=4x-a 的解比方程2x+a-9=0的解大2，求a 的值【例5】若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．分类讨论--解含字母系数方程含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．⑴当时，，原方程有唯一解； ⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解； ⑶当且时，原方程无解．分类讨论产生的原因→等式的性质②等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式， 所得结果仍是等式．若，则，． ax b =a b 0a ≠bx a=0a =0b =0a =0b ≠a b =am bm =a bm m=(0)m ≠模块三 解含参的一元一次方程知识精讲能力提升由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。
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典型例题一例01．关于x 的方程b ax =在下列条件下写出解的情况：①当0≠a 时，解的情况___________.②当0=a 时，⎩⎨⎧≠=_______. 0._______0方程解情况方程解情况b b分析 对于方程b ax =.①当0≠a 时，方程有惟一一个解，解为abx =； ②当0=a 时，00,0=⋅=x b . 有无数个解，x 可为任意实数； 当0=a ，0≠b 时，方程无解. 说明 本题是很重要的基础知识.典型例题二例02．由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______. 分析 因))(()(b a b a x b a -+=+，当0≠+b a 时，.b a x -=解答 0≠+b a .说明 0≠+b a 是解本题的关键.典型例题三例03．已知d n a a n )1(1-+=，则=n ______. 分析 因d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(1-=-，da a n n 11-=-. 故.11+-=da a n n 说明 公式变形实质上就是解含字母已知数的方程.典型例题四例04．方程a bxb a x -=-（b a ≠）的解______. 分析 移项，得a b bxa x -=-，.)(a b aba b x -=- 故 当b a =时，00=⋅x ，x 可为任何数； 当b a ≠时，0≠-a b ，故.ab x = 解答 .ab x =说明 解含有字母系数的一元一次方程时，一定要注意用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子不能为零. 因此必须讨论.典型例题五例05．已知关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数，则a 的取值范围是_____. 分析 1)32(=-x a ，因为方程有根，所以032≠-a ，ax 321-=. 又因0<x ，故.0321<-a 故.32,032><-a a解答 32>a .说明 解字母系数方程与解数字系数方程步骤一样.典型例题六例06．在cb a 111+=（c b a ,,都是非零实数且b a ≠）中，如果已知b a ,，则=c _______. 分析 原式两边同乘以abc ，得 ab ac bc +=移项 ab c a b =-)(（※） ∵b a ≠，∴0≠-a b ∴.ab abc -=说明 这里c 是未知数，b a ,是已知字母系数，我们求c 实际上就是解关于c 的一元一次方程. 在中考中部分考生因为搞不清楚谁是已知字母系数，谁是未知数，所以丢掉了目标，就会产生错误. 同时也有考生在解题过程中不运用题给条件b a ≠，得到（※）式后，一步就得ab abc -=，反映了思维的不周密及要领模糊. 本题即属于公式变形题型.典型例题七例07．解关于x 的方程：.k x khh x +-=-分析 这里显然x 是未知数，字母系数是h ，k ，但并未说明h ，k 之间的关系. 所以我们把原方程整理成b ax =的形式后，要进行分类讨论.解答 ∵0≠k ，∴方程两边同乘以k ，得2k hx hk kx +-=-，移项、合并同类项得)()(k h k x k h +=+，（1）当0≠+k h 时，k x =；（2）当0=+k h 时，方程有无穷多组解.说明 本题运用了分类讨论思想对0≠+k h ，0=+k h 两类情况进行了讨论，反映了思维的周密性.典型例题八例08．解关于x 的方程：mxn n m x -=-22（n m -≠） 分析 这里x 是未知数，m ，n 是已知数，容易把x 求出来.解答 由所给方程可知0≠m ，0≠n ，从而0≠mn ，方程两边同乘以mn ，得nx n m mx -=-33，移项，得 33n m nx mx +=+， 即 ))(()(22n mn m n m x n m +-+=+ ∵n m -≠，∴0≠+n m . 两边同除以n m +，得22n mn m x +-=.典型例题九例09．确定实数k 的值，使方程组⎩⎨⎧=-=-)2( 46)1( 33ky x y x 有实数解，且0<x ，0<y .分析 可以用加减法或代入法解这个方程组，并注意对字母系数的讨论. 解答 )2(2)1(-⨯，得 .2)2(=-y k 当2≠k 时，22-=k y ；当2<k 时，.0<y )2()1(-⨯k ，得 43)63(-=-k x k . 当2≠k 时，)2(243--=k k x由2,0<<k x 得 .34,043>>-k k ∴ 当234<<k 时，方程组⎩⎨⎧=-=-4633ky x y x 有实数解，并且.0,0<<y x .典型例题十例10．解方程65879854--+--=--+--x x x x x x x x 解答 65879854--+--=--+--x x x x x x x x 分拆得611811911511-++-+=-++-+x x x x ， 消去常数得61819151-+-=-+-x x x x ， 左右分别相加得)6)(8(142)9)(5(142---=---x x x x x x0)]9)(5()6)(8)[(142(=------x x x x x ， 0)142(3=-x ,7=x经检验7=x 是原方程的根.说明 本题考查一类特殊的分式方程的解法. 适当移项，分别通分，可使解题简便. 不要笼统地去分母，因为，去分母有时会使项数增多，次数升高. 即使是要合并同类项，由于“繁”，所花时间也多，我们应设法化简. 如果一个分式的分子的次数不低于分母的次数，就一定可化成一个整式与分式的和的形式. 在本题中，方程两边各减去2，左右分别通分，再去分母即可.典型例题十一例11．若01=--+b a ab ，试判断11-a ，11+b 是否有意义？ 分析：判断分式11-a ，11+b 是否有意义，须看1-a ，1+b 是否为零，由条件中等式左边因式分解，及bc a =型数量关系，可判断出1-a ，1+b 与零的关系.解：将01=--+b a ab 的左边因式分解；0)1()(=+-+b a ab 0)1()1(=+-+b b a 0)1)(1(=-+a b∴01=+b 或01=-a ∴分式11-a 或11-b 无意义. 说明 bc a =型数量关系常与因式分解、分式的概念等知识综合命题.典型例题十二例12．某人提着一筒水上楼，上到一层楼时，这人做的功为0W ，问这人提着这筒水上到n 层，做了多少功？分析：该人提着水上楼时，人对水筒的拉力是一定的，由物理上的求功公式s F W ⋅=，可知：当F 一定是，W 与s 成正比.解：由求功公式s F W ⋅=知，W 与s 成正比∵某人提着这筒水上到一层时做的功为0W∴这人提着这筒水上到n 层时做的功为0nW 说明 在物理学上也常用到bc a =型数量关系.选择题1．选择题 （1）已知a x ay =++12，用x 的代数式表示y ，得（ ） （A ）a x y 3+= （B ）a x y -= （C ）a ax y 3+= （D ）a ax y -=（2）已知公式ah S 21=中，字母均为正数，则a 为（ ） （A ）hS 2 （B ）S h 2 （C ）S h 2 （D ）hS 2（3）如果y x k y x k ++=++1)(，且1≠k ，则y x +等于（ ） （A ）1 （B ）1-（C ）k （D ）k -（4）若a 、b 、S 、k 都是正数，则式子SbR b a =-可变形为（ ） （A ）S RRb a += （B ）R RaS b -=（C ）SR aSb +=（D ）aSSR b +=2．选择题 （1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）已知b a 11-=，c b 11-=，用含a 的代数式表示c ，应为（ ）（A ）b c -=11 （B ）c a -=11（C ）a a c -=1 （D ）aa c 1-=（3）若39=+yx ，39=+x y ，则x x 9+等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）3 （4）若0υυ+=gt ，且t gt S 0221υ+=，则t 等于（ ） （A ）υυ+02S （B ）02υυ-S （C ）υυ-02S（D ）υS 2（5）若34=n m ，且149=t r ，则mr nt ntmr 743--的值为（ ） （A ）215- （B ）1411- （C ）411- （D ）14113．选择题（1）若b a abcm -=，则b 等于（ ） （A ）ac b a m )(- （B ）m ma abc -- （C ）c +11 （D ）acm ma +（2）若413=a ，43=b ，31=d ，且0≠b ，0≠d ，a d 4≠，则从公式)(4)3(c b dc b a ++=中求出c 的值为（ ）（A ）3827 （B ）27111（C ）3827- （D ）27111- （3）关于x 、y 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+ay x a yx ,332的解是（ ）（A ）⎩⎨⎧==ay ax 34（B ）⎩⎨⎧-=-=a y a x 34 （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ay a x 511516 （D ）⎩⎨⎧==a y a x 1716（4）设y x P +=，y x Q -=，则式子QP QP Q P Q P +---+等于（ ） （A ）xy y x 22-（B ）xy y x 222-（C ）xy y x 22+（D ）xyy x 222+参考答案： 1．（1）D （2）A （3）A （4）C 2．（1）D （2）D （3）D （4）A （5）B 3．（1）D （2）C （3）A （4）A填空题1．填空题（1）关于x 的方程b a x =-5的解为___________ （2）当a__________时，关于x 的方程b ax =的解为ab x = （3）公式)(21c b a S ++=中，c =__________ （4）已知梯形面积h b a S )(21+=，已知S ，b ，h ，且0≠h ，则a =________（5）当b a ≠时，关于x 的方程22)(b a x b a -=-的解为__________2．填空题（1）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则其解为__________ （2）公式at +=0υυ中，已知1υ，0υ，a ，且0≠a ，则t =__________ （3）若012=-+x x ，则xx 1-=__________ （4）若mfl mh a -=，则f =___________ （5）公式Sd D L 4)(22-=π中，S =__________3．填空题（1）已知关于x 的方程bax a b x --=-2中，0≠+b a ，则x =__________ （2）已知关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，则解为___________ （3）关于x 的方程11+=-x mx )1(≠m 的解为___________（4）若m fl mh a -=，则f =___________ （5）若nm nm x n m n m +-=-+-1，且n m ≠，则x =___________参考答案：1．（1）b a x +=5（2）0≠（3）b a S --2（4）b hS-2（5）b a + 2．（1）1221f f f f -（2）a 0υυ-（3）1-（4）am l h m -2（5）L d D 4)(22-π3．（1）b a +（2）1221f f f f -（3）12-m （4）l aml h m -2（5）n m m -2解答题1．解关于x 的方程（1）325=-y x （2）543-=x y （3）b x x a 14347+=- （4）1=+by ax )0(≠a （5）x b x a -=+)1()2(-≠a （6）)()1(x n n x n +=- （7）22a bxb ax +=+)(b a ≠ （8）)()(22m x n n x m -=-)(22n m ≠ （9）ay bx by ax 22+=+)2(b a ≠（10）2224)()(a a x a x =--+)0(≠a2．解关于x 的方程 （1）011=--+b x a x )(b a ≠ （2）bax a b x --=-2)0(≠+b a（3）1=-++ba xb a x )0(≠a （4）x x a 22)1(2-=- （5）)()(b x b a x a +=+)(b a ≠ （6）x abb a x a b b a 2)(--=+)0(≠+b a（7）n m nmxx +=-)(n m ≠ （8）2222)()(x b a x b a x =-++++)0(≠a 3．已知：t t x +-=11，tty 2332--=，用x 的代数式表示y参考答案：1．（1）532+=y x （2）3204+=y x （3）b a x 2-=（4）a by x -=1（5）2+=a bx（6）2n x -=（7）b a x +=（8）nm mn x +=（9）y x =（10）a x =2．（1）b a b a -+ （2）b a + （3）a b a 222- （4）1 （5）b a --（6）b a b a +- （7）mn n m n -+2 （8）a b a 222+-3．1515+-x x 解答题1．公式变形（1）已知nD S S 21=，求2S （2）已知ld D M 2-=，求D （3）已知)(l r r A +=π，求l （4）已知Ir nIRE +=，求I （5）已知2021at t S -=υ，求0υ（6）已知h r V 231π=，求h2．公式变形（1）从公式)1(0at L L +=中，求出0L ，t 和a （2）在公式21111R R R +=中，求出R 、1R ，2R （3）公式[]d n a nS )1(21-+=υ中，求d（4）已知212211c c c c ++=υυυ，求1c（5）已知2)(1n n a a n S +=，d n a a n )1(1-+=，用n S 、1a 、n a 表示d参考答案：1．（1）1nDS （2）d Ml +2（3）r r A -π（4）nr R nE +（5）tat S 222+（6）23r V π 2．（1）at L +1，00aL L L -，00tL L L -（2）2121R R R R +，R R RR -22，R R RR -11（3）)1(21--n n n a S υ（4）1222υυυυ--c c （5）nn n a a S a a ---12122一、填空题1．已知53=-a a x ，则________=x ． 2．在公式at +=0υυ中，00≠⋅⋅t υυ，则________=a ，________=t ． 3．方程()()121222≠--=-a a a x a 的解为_____________． 4．把一个公式从一种形式变成另一种形式叫____________，在公式υ111+=u f 中，已知u 、υ且0≠+υu ，则_________=f ． 二、选择题：1．已知方程()222--=-m m x m 的解为1+=m x ，则m 的值为（ ）A ．2=mB ．2≠mC ．2-=mD ．2-≠m2．已知公式()0180≠=n Rn l π，用l 、n 表示R 的式子是（ ） A ．180l n R π= B ．l n R π180= C ．πn l R 180= D ．ln R 180π=3．已知()()111≠-+=n d n a a n ，则d 的值为（ ） A ．11--n a a n B ．n a a n --11 C ．11a a n n -- D ．11a a n n -- 4．当n m ≠时，方程()()m x n n x m +=+22的解x 的值为（ ） A ．n m m + B ．n m n + C ．n m n m +- D ．nm mn+- 三、计算题初中数学精品设计 1．解下列关于x 的方程：（1）b a x =+2； （2）()b a bx ax ≠-=+53；（3）()()021211≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++m m x m ； （4）()()()222222b a b x b a x a ≠-=-． 2．在公式()211d n n na S n -+=中，已知n S 、n 和1a ，且0≠n 、1≠n ，求d ． 四、公式变形（以下所有字母均不为0）：1. 已知)(2h r r A +=π，求h ；2. 已知t v S S 00+=，求0v ；3. 已知2121at t v S +=，求1v ； 4. 已知])1([211d n a n S -+=，求d ；答案：一、1．a 58；2.av v t v v 00,--；3.12--a a ；4.公式变形，v u uv +； 二、1.B ；2.C ；3.A ；4.D;三、1.（1）2a b x -=；（2）b a x --=8；（3）1=x ；（4）b a b ab a x +++=22 2.nn na S d n --=2122 四、（1）r rr A -π2；（2）t S S v -=00；（3）at at s v 212-=；（4）)1(21--=n n na S d。