FDTD概况
FDTD算法概述
前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n
1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
fdtd有限时域差分在光电中的应用
fdtd有限时域差分在光电中的应用FDTD（有限时域差分）是一种计算电磁波传播和相互作用的数值方法，广泛应用于光电领域。
它通过将时间和空间分割为离散单元，利用数值迭代来模拟电磁波在介质中的传播和相互作用，能够从微观的角度来研究光电现象，为理论和实验研究提供重要支持。
FDTD在光电中的应用非常广泛，可以涵盖许多研究领域。
下面将详细介绍FDTD在光电中的几个典型应用。
首先是FDTD在光传输和光波导中的应用。
光传输是指光在介质中传播的过程，而光波导是一种能够通过总反射将光束限制在特定区域内传输的波导结构。
FDTD可以用来模拟光在各种类型波导中的传播过程，研究它们的传输特性，比如模式的传播损耗、模式耦合等。
利用FDTD，可以优化光波导的设计，提高光传输的效率。
其次是FDTD在光电器件设计中的应用。
光电器件是将光与电相互转换的设备，包括太阳能电池、光纤通信器件等。
通过FDTD，可以对光电器件的结构进行仿真优化，预测其性能，并提供对实验的指导。
例如，FDTD可以用来设计太阳能电池的纳米结构，提高其吸收效率和光电转换效率；还可以模拟光纤中的光耦合、衍射、色散等效应，优化光通信器件的传输性能。
第三是FDTD在光学成像中的应用。
FDTD可以用来研究光在介质中的散射、吸收、折射等过程，模拟光在不同材料中的传播行为，从而对光学成像的原理和性能进行分析。
FDTD在计算机辅助医学成像、光学显微成像等领域的研究中有着广泛应用。
例如，可以利用FDTD模拟光在人体组织中的散射和吸收过程，研究光学成像技术在肿瘤检测和诊断中的应用。
此外，FDTD还可以应用于光电材料和光子晶体的研究。
光电材料是一种能够将光子能量转换为电子能量的材料，广泛应用于光伏发电、光传感等领域。
利用FDTD，可以模拟光在光电材料中的光吸收、载流子的产生和传输等过程，为光电材料的性能优化提供理论指导。
光子晶体则是一种具有周期性介质结构的材料，能够调控光的传播和能带结构。
fdtd 弯曲损耗
FDTD（时域有限差分法）是一种用于模拟电磁波传播和散射的数值方法。
在光纤或其它波导中，由于弯曲带来的传输损耗是光纤光学中常见的问题。
当光纤被弯曲时，会有附加的传输损耗。
这个损耗被称为弯曲损耗。
通常情况下，一旦光纤达到某一个临界曲率半径后，损耗便会迅速上升。
这个临界曲率半径对于不同的光纤差别很大：对于具有较好导波特性的光纤（即具有高数值孔径的光纤），这个临界值就很小（几毫米）；但是对于普通模式面积很大的单模光纤，这个临界值通常很大（几十厘米）。
弯曲损耗对于波长越长的分量的影响越大。
在长波段高的弯曲损耗通常都会限制单模光纤的可传输光的波长范围。
另外，弯曲还会导致双折射。
以上内容仅供参考，建议查阅专业光纤书籍获取更全面和准确的信息。
FDTD软件介绍及案例分析一
由于不完美的滤色片,finite-sized入射光thescattering 折射、绕射内同时进行图像传感器像素,来料绿色的光照亮 的矽光电二极体上方的照亮象素,相邻像素。figurebelow向 下的显示能力在矽基板上的焊剂在像素所示。当接收的信号 是最亮的在过去的两个中间的绿sub-pixels残余信号观测, 照亮sub-pixels红色、蓝色、绿色sub-pixels附近。
一：公司背景介绍
1、公司介绍 • FDTD Solutions软件由加拿大Lumerical Solutions公司出品。
该公司成立于2003年，总部位于加拿大温哥华。用户用该 公司软件已发表大量高影响因子论文，并被许多国际著名 大公司和学术团队所使用 • FDTD Solutions：基于矢量3维麦克斯维方程求解，采用时 域有限差分FDTD法将空间网格化，时间上一步步计算，从 时间域信号中获得宽波段的稳态连续波结果，独有的材料 模型可以在宽波段内精确描述材料的色散特性，内嵌高速、 高性能计算引擎，能一次计算获得宽波段多波长结果，能 模拟任意3维形状，提供精确的色散材料模型
三：FDTD Solutions软件应用范围
1、应用范围：
8
四：FDTD Solutions软件应用实例库
1、FDTD Solutions应用实例库 • CMOS图像传感器像素设计 • 深紫外线（DUV）光刻仿真 • DVD表面分析 • LED光提取 • 纳米粒子散射 • 纳米线栅偏振器 • 光子晶体VCSEL • SPR纳米光刻 • 薄膜太阳能器件 • 波导微腔
FDTD介绍
FDTD 研究历史和现状
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题, 并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并
行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电
磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、 瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在 计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深 入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设 f (i,j,k)代表电场或磁
场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为 f (i,j,k)= f (i x ,j y ,k z )= (i,j,k)
差分格式
Yee网格如图2.2所示，主要表示的是电场和磁场在空间各节 点的排布。由图可以看出每个电场的分量周围有四个磁场分量， 相应的每个磁场分量周围也有四个电场分量。这种空间的设置 方式能够实现空间坐标的差分计算，并且考虑到电磁场在空间
高的计算精度且无论以何种角度入射均无反射。
FDTD 方法介绍
FDTD具有以下基本要素：差分格式、数值特性和吸收边界 条件。其计算过程如下：
差分格式
对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分 格式为：
式中，i, j, k 分别为x，y，z，方向的网格编号。
差分格式
首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成 多个网格单元，其中 x, y , z 分别表示在x、y、z坐标方向
好多种吸收边条件都已经被提出来了。一般吸收边界应满足以下
条件：便于执行；计算精度够满足大多数的工程需求；通用性强； 数值稳定。
吸边界条件
目前构造吸收边界条件主要有两种思路：一种是从电磁波方程出发构造 透射边界条件，最常用的是 Mur 吸收边界和廖氏吸收边界；另一种是在边 界上吸收材料建立的吸收边界，例如完全匹配层(PML)，电磁波在无反射地 进入吸收材料后，一般会被哀减掉的。其中 Mur 吸收边界具有构造简单、
FDTD基本介绍
配合FDTD_getting_started看1. 介绍用FDTD Solutions进行模拟是很简单的。
首先，创建一个FDTD Simulation Project文件（扩展名为*.fsp）。
它包含了关于物理结构，光源，监测器，模拟参数的细节。
保存这个工程文件然后运行模拟。
运行完后，结果数据会加到fsp文件，用于分析。
模拟的通常步骤如下图所示。
在接下来的章节中有更详细的描述。
1.1 什么是FDTD？时域有限差分方法已经成为目前最新的在复杂几何条件下解决麦克斯韦方程的方法。
它是一个完全的矢量方法，既给出时域也给出频域的信息，它给电磁学和光子学的所有类型问题都提供了独特的视角。
这个方法在空间和时间上都是离散的。
电磁场和目标结构材料都在一种用所谓的Yee元胞组成的独立的网孔中来描述。
麦克斯韦方程在离散的时域中解决，所用时间步长和光通过网孔尺寸所用时间有关。
当网孔大小趋于零时，这个方法确切的描述了麦克斯韦方程。
供模拟的结构可以有各种各样的电磁材料特性。
多种源可以加入到模拟中，连续迭代（重复）可以使电磁场随时间传播。
一般的，模拟运行后会直到在模拟区域基本上没有电磁场剩下才停止。
时域信息可以在任何空间点被记录。
这些数据可以在模拟的时候记录下来，也可以作为一系列快照在任何用户定义的时间记录下来。
任何空间点的频域信息可能可以通过对该点时域信息的傅里叶变换得到。
因而在一个简单的模拟中得到的基于能流和模型文件的频率可能分布在很广的频率范围。
另外，FDTD获取的近场结果可能被转成远场的，这对于研究散射是很重要的。
1.2 第一步：创建物理结构版图编辑器（图略）用Structures列表创建几何结构。
他们的特性用EDIT编辑。
工具栏，在左边。
用Aligning按钮安排对象的位置。
材料特性：可自行定义或从数据库中选择。
1.3 第二步：设置模拟区域和时间用ADD SIMULATION REGION设置：模拟区域，其大小和位置，网格精度，合适的边界条件。
光子晶体能带fdtd
光子晶体能带fdtd
时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）是一种用于求解电磁场问题的数值方法。
它在光子晶体能带计算中具有重要的应用。
光子晶体是一种周期性结构，其周期性排列的介电常数可以对光的传播产生调控作用。
通过改变光子晶体的结构参数，可以实现对光的频率和传播方向的控制，从而产生光子能带结构。
在使用 FDTD 方法计算光子晶体能带时，我们将光子晶体的结构在空间和时间上进行离散化，将电磁场表示为离散的场分量。
通过迭代求解麦克斯韦方程组，我们可以获得电磁场在空间和时间上的演化。
FDTD 方法的优点包括计算效率高、易于实现、适用于复杂结构等。
它可以有效地处理光子晶体中的周期性结构和边界条件，并且可以提供关于能带结构、能带隙、传输特性等重要信息。
然而，FDTD 方法也存在一些局限性，例如在处理高折射率对比度和长波长情况时可能会遇到数值不稳定和精度问题。
此外，FDTD 方法对于大型光子晶体结构的计算可能会消耗大量的计算资源。
总的来说，FDTD 方法是一种常用的数值技术，用于研究光子晶体的能带结构和光学特性。
它在光子晶体设计、光电子器件模拟和光学波导等领域具有广泛的应用。
随着计算技术的不断发展，FDTD 方法也在不断改进和优化，以满足更复杂的光子晶体研究需求。
FDTD基本介绍
FDTD基本介绍配合FDTD_getting_started看1. 介绍用FDTD Solutions进行模拟是很简单的。
首先，创建一个FDTD Simulation Project文件（扩展名为*.fsp）。
它包含了关于物理结构，光源，监测器，模拟参数的细节。
保存这个工程文件然后运行模拟。
运行完后，结果数据会加到fsp文件，用于分析。
模拟的通常步骤如下图所示。
在接下来的章节中有更详细的描述。
1.1 什么是FDTD？时域有限差分方法已经成为目前最新的在复杂几何条件下解决麦克斯韦方程的方法。
它是一个完全的矢量方法，既给出时域也给出频域的信息，它给电磁学和光子学的所有类型问题都提供了独特的视角。
这个方法在空间和时间上都是离散的。
电磁场和目标结构材料都在一种用所谓的Yee元胞组成的独立的网孔中来描述。
麦克斯韦方程在离散的时域中解决，所用时间步长和光通过网孔尺寸所用时间有关。
当网孔大小趋于零时，这个方法确切的描述了麦克斯韦方程。
供模拟的结构可以有各种各样的电磁材料特性。
多种源可以加入到模拟中，连续迭代（重复）可以使电磁场随时间传播。
一般的，模拟运行后会直到在模拟区域基本上没有电磁场剩下才停止。
时域信息可以在任何空间点被记录。
这些数据可以在模拟的时候记录下来，也可以作为一系列快照在任何用户定义的时间记录下来。
任何空间点的频域信息可能可以通过对该点时域信息的傅里叶变换得到。
因而在一个简单的模拟中得到的基于能流和模型文件的频率可能分布在很广的频率范围。
另外，FDTD获取的近场结果可能被转成远场的，这对于研究散射是很重要的。
1.2 第一步：创建物理结构版图编辑器（图略）用Structures列表创建几何结构。
他们的特性用EDIT编辑。
工具栏，在左边。
用Aligning按钮安排对象的位置。
材料特性：可自行定义或从数据库中选择。
1.3 第二步：设置模拟区域和时间用ADD SIMULATION REGION设置：模拟区域，其大小和位置，网格精度，合适的边界条件。
fdtd激光泵浦能量密度
fdtd激光泵浦能量密度
FDTD (Finite-Difference Time-Domain) 是一种计算电磁波行为
的数值方法，它使用网格化的空间和时间步长来模拟电磁波的传播。
激光泵浦能量密度是指激光泵浦光束在单位面积上的能量分布密度。
在FDTD模拟中，激光泵浦能量密度可以通过以下步骤计算：
1. 在仿真区域中定义一个合适的单位面积区域，以便于计算能量密度。
通常这个区域选择为激光泵浦光束在空间中的照射区域。
2. 将激光泵浦光束的能量进行离散化，将其分成若干个小体积元，并计算每个小体积元上的能量。
3. 对于每个小体积元，计算其包含的能量，并除以单位面积得到能量密度。
这可以通过测量或计算小体积元内的光强度来实现。
4. 将能量密度结果可视化，以了解激光泵浦能量在空间中的分布情况。
需要注意的是，FDTD方法是对电磁波的时域行为进行模拟的，而能量密度通常是在稳态或近稳态下进行计算的。
因此，在FDTD模拟中，通常要考虑激光泵浦光束的脉冲宽度、重复频
率和持续时间等参数的影响，并考虑平均化处理来获得更准确的能量密度结果。
时域有限差分
时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。
它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。
本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。
一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。
至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。
经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。
二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。
它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。
在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。
根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。
在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。
另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。
三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。
其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。
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FDTD Solutions流程
FDTD Solutions仿真设计流程主要包括物理结构建模，设置光源，设置仿 真区域，添加监测点，选择分析函数，设置网格精度等。 结构建模：可以选择软件自带的结构，包括结构菜单(Structures)和目标库 (Object labrary)。前者携带简单的常见的几何模型，后者携带工业常用的 结构模型，如果需要仿真的模型结构复杂，可以先由三维建模软件建模后 导入到FDTD Solutions结构中。选好模型后可以设置模型的几何参数 （Geometry），材料属性（Material），旋度（Rotations）和图形绘制 （Graphical rendering）。 材料库：FDTD Solutions结构中包含很多光学材料以及色散模型。材料参 数来源于已公布的光学材料参数，色散模型包括很多已经验证的理论模型， 如Drude模型。 激励源：软件包括散射光源，平面光源，高斯光源，点光源等。选择光源 后需要设置光源的几何属性，光学属性，频域或时域属性。
t n t
上述六个式子离散：用i∆x,j∆y,k∆z,代表坐标x,y,z。
电场和磁场的抽样点在时间轴上相差半个时间步 电场和磁场的抽样点在空间轴上相差半个空间步
H x H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 t t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 E y E y z z E z E zn i, j 1 / 2, k E zn i, j 1 / 2, k y y
空间分量取样 电磁场分量 时间轴取样
X坐标
Ex E节点 i+1/2
Y坐标
j
Z坐标
k
Ey
Ez Hx
i
i i i+1/2 i+1/2
j+1/2
j j+1/2 j j+1/2
k
k+1/2 k+1/2 k+1/2 k
n
H节点
Hy Hz
n+1/2
时间离散和空间离散
麦克斯韦方程组无法直接求出解析解，因此使用 FDTD差分离散可以求出数值解。以Yee元胞为时空抽 样方式，在空间上建立矩形差分网格，在时刻nΔt时刻， F(x,y,z)可以写成 F (i, j , k ) F (idx形式。用中心 , jdy , kdz ) 差分取二阶度，进行时间离散和空间离散。
1 1 1 ] 1 2 2 2 (x) (y ) 开域电磁过程，在网格截断处必 须给与相应的边界条件。常用的边界条件有Mur吸收 边界、完全匹配层PML、period周期边界、Bloch边界、 Metal边界。
FDTD SOLUTONS 应用
将连续微分离散：∂→∆
H x H x x, y, z , t t 2 H x x, y, z , t t 2 t t E y E y x, y, z z 2 , t E y x, y, z z 2 , t z z E z E z x, y y 2 , z , t E z x, y y 2 , z , t y y
↓↓
E xn 1 i 1 / 2, j , k E xn i 1 / 2, j , k i 1 / 2, j , k n E x i 1 / 2, j , k t i 1 / 2, j , k Hy 1 i 1 / 2, j , k
其他式子离散化
H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k t E xn i 1, j 1, k E xn i 1 / 2, j , k 1 i 1 / 2, j 1 / 2, k y
2
, j, k )
( x) 2
第一个式子离散化
H x 1 E y E z t z y
n 1 / 2 n 1 / 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H i , j 1 / 2 , k 1 / 2 H x ↓↓ x t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 Ey 1 i, j 1 / 2, k 1 / 2 z
YEE元胞
Yee元胞最初由Yee提出，方法是对电磁场E、H分量 在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E （或H）场分量周围有四个H（或E）场分量环绕，应 用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程 转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求 解空间电磁场。 Yee元胞抽象模型：将电场线，磁场线分段并转化为 定向微电荷，微磁荷，呈空间晶格排布。随时间变 化，微电荷，微磁荷转移形成散射波。
t 1 E zn i 1, j , k 1 / 2 E zn i, j , k 1 / 2 i 1 / 2, j , k 1 / 2 x E xn i 1 / 2, j , k E xn i 1 / 2, j , k 1 1 i 1 / 2, j , k 1 / 2 z
电磁辐射通过复杂介质的传播，完整的矢量模 型 表层入射，深层传播 颗粒散射：吸收计算，以及截至面下波长 波导装置：潜入损耗和回波损耗，频率相应 谐振腔：分析共振模型和相应常数衰减
FDTD SOLUTONS 仿真总成
仿真模型可以有广泛的电磁材料性能 仿真环境可以模拟光源（光场）特性 仿真分析可以设置仿真区域、仿真网格、监测 点
FDTD光学算法 近紫外，可见光，红外，太赫兹，短波，中波
FDTD研究概况
FDTD电磁波时域有限差分
时域 时域是真实世界，是惟一实际存在的域。描 述数学函数或物理信号对时间的关系。 差分 差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程 不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程， 就可以求出近似的解来。 电磁场时域有限差分 电磁场时域微分方程离散化，空间离散以及时 间离散。
FDTD——将电场磁场划分到一个晶格的节点上 离散分析，时间上每次取一个（或者半个）时 间步。 抽象模型：将电场线，磁场线分段并转化为定 向微电荷，微磁荷，呈空间晶格排布。随时间 变化，微电荷，微磁荷转移形成散射波。 处理边界问题主要使用平均法。
FDTD理论基础
电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间 间隔相差半个时间步。电场和磁场在空间排布 上相差半个空间步，两者随时间交替转化。电 磁场时间和空间相互独立，使麦克斯韦旋度方 程离散后构成显式差分方程，计算简便。
n n dt
F n (i, j , k ) F n 2 (i, j , k ) F n 2 (i, j , k ) ( t ) 2 t t
1 1
F n (i, j , k ) F n (i x
1
2
, j , k ) F n (i x
1
n 1 i, j 1 / 2, k E yn i, j 1 / 2, k i, j 1 / 2, k n Ey E y i 1 / 2, j , k t i, j 1 / 2, k
H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 1 i, j , k 1 / 2 y Hy 1 i, j , k 1 / 2
FDTD理论基础
FDTD以麦克斯韦方程为基础，以有限差分为处 理方式。相对于矩量法，有限元法比较简单。 处理色散和边值问题时比较复杂。
H E t
E H E t
主要进行时域分析
主要进行边值计算
E
B 0
微分方程标量形式
H x 1 E y E z E x 1 H y H z E x t z y t z y H y 1 E z E x E y 1 H z H x E y t x z t x z H z 1 E x E y E z 1 H x H y E z t y x t y x
整合
1 H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k i, j 1 / 2, k x H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 1 i, j 1 / 2, k z
n i 1, j 1 / 2, k E yn i, j 1 / 2, k 1 Ey 1 i 1 / 2, j 1 / 2, k x
整合
E x 1 H y H z E x t z y
n 1 / 2
E zn 1 i, j , k 1 / 2 E zn i, j , k 1 / 2 i, j , k 1 / 2 n E x i, j , k 1 / 2 t i, j , k 1 / 2
i 1 / 2, j, k 1 / 2 H yn1/ 2 i 1 / 2, j, k 1 / 2
n 1 / 2
i 1 / 2, j, k 1 / 2 H yn1/ 2 i 1 / 2, j, k 1 / 2
z
1 H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k H zn 1/ 2 i 1 / 2, j 1 / 2, k i 1 / 2, j , k y