FDTD介绍
FDTD算法概述
前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n
1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
fdtd光吸收谱
FDTD（有限差分时域）方法可以用来模拟和计算吸收光谱。
通过FDTD仿真能够得到非均匀网格尺寸下的光吸收和散射场监视器，进而可以获得纳米颗粒在光照条件下的吸收和
散射光谱。
FDTD方法基于麦克斯韦的电磁波理论和有限差分法，通过离散化空间并将偏微分方程转换为差分方程来模拟电磁波在介质中的传播过程。
在计算光吸收谱时，可以通过设置合适的边界条件和源来模拟入射光与介质相互作用的过程，并计算反射光和透射光的强度以及吸收光的能量。
FDTD方法具有灵活性和通用性，可以应用于各种不同的光学问题，如光吸收、散射、反射、折射等。
它还可以模拟复杂的光学系统，如光子晶体、微纳结构等。
此外，FDTD 方法还可以结合其他数值方法，如谱FDTD方法或平面波展开法，来提高计算精度和效率。
需要注意的是，FDTD方法的计算精度和稳定性与空间网格尺寸、时间步长以及边界条件的选取等因素有关。
在实际应用中，需要根据具体问题和计算资源进行合理的参数设置和误差分析。
FDTD介绍范文
FDTD介绍范文FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种电磁场数值模拟方法，可以用于求解Maxwell方程组。
它是一种基于有限差分的时域方法，将时域的Maxwell方程组进行离散化，然后在离散化的网格上进行数值计算。
FDTD方法的特点是简单易实现、计算稳定、准确度高，因此在电磁学领域得到了广泛应用。
FDTD方法最早于1966年由Kane Yee提出，它的基本思想是将Maxwell方程组从连续的时域转化为离散的时域。
具体而言，FDTD方法将空间和时间均分成离散的网格，然后在这些网格上计算电磁场的演化。
根据Maxwell方程组的形式和物理意义，可以将其离散为电场和磁场的更新方程。
通过不断迭代更新电场和磁场的数值，FDTD方法可以模拟出电磁场在时域中的传播和变化过程。
FDTD方法的核心是使用差分格式对Maxwell方程组进行离散化。
一般情况下，FDTD方法采用中心差分格式，即将每个场分量的二阶导数表示为差分形式。
例如，电场的二阶导数可以近似为中心差分形式：∂^2E/∂x^2 ≈ (E(i+1,j,k) - 2E(i,j,k) + E(i-1,j,k))/(∆x)^2、这样，就可以将Maxwell方程组中的导数项用离散形式表示，然后将离散的方程用迭代逐步计算的方法求解。
FDTD方法的计算过程可以简要概括为以下几个步骤：首先，需要定义模拟区域的网格大小和时间步长。
然后，在每个时间步长内，计算电场和磁场的分量在各个网格点上的更新。
这个更新过程基于Maxwell方程组的离散形式，通过差分格式计算每个场分量在下一个时间步长的值。
在更新的过程中，还需要考虑介质的性质，比如介电常数和磁导率等。
最后，通过反复迭代，可以得到电磁场在时域中的演化过程。
FDTD方法的优点之一是简单易实现。
由于FDTD方法的数值计算是基于离散差分格式的，因此在编程实现时非常直观和容易理解。
另外，FDTD 方法的计算稳定性较好，能够模拟复杂的电磁场变化。
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
FDTD概况
E zn 1 i, j , k 1 / 2 E zn i, j , k 1 / 2 i, j , k 1 / 2 n E x i, j , k 1 / 2 t i, j , k 1 / 2
i 1 / 2, j, k 1 / 2 H yn1/ 2 i 1 / 2, j, k 1 / 2
FDTD——将电场磁场划分到一个晶格的节点上 离散分析，时间上每次取一个（或者半个）时 间步。 抽象模型：将电场线，磁场线分段并转化为定 向微电荷，微磁荷，呈空间晶格排布。随时间 变化，微电荷，微磁荷转移形成散射波。 处理边界问题主要使用平均法。
FDTD理论基础
电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间 间隔相差半个时间步。电场和磁场在空间排布 上相差半个空间步，两者随时间交替转化。电 磁场时间和空间相互独立，使麦克斯韦旋度方 程离散后构成显式差分方程，计算简便。
2
, j, k )
( x) 2
第一个式子离散化
H x 1 E y E z t z y
n 1 / 2 n 1 / 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H i , j 1 / 2 , k 1 / 2 H x ↓↓ x t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 Ey 1 i, j 1 / 2, k 1 / 2 z
t n t
上述六个式子离散：用i∆x,j∆y,k∆z,代表坐标x,y,z。
电场和磁场的抽样点在时间轴上相差半个时间步 电场和磁场的抽样点在空间轴上相差半个空间步
H x H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 H xn 1/ 2 i, j 1 / 2, k 1 / 2 t t n i, j, k 1 / 2 E yn i, j, k 1 / 2 E y E y z z E z E zn i, j 1 / 2, k E zn i, j 1 / 2, k y y
FDTD基本介绍
FDTD基本介绍配合FDTD_getting_started看1. 介绍用FDTD Solutions进行模拟是很简单的。
首先，创建一个FDTD Simulation Project文件（扩展名为*.fsp）。
它包含了关于物理结构，光源，监测器，模拟参数的细节。
保存这个工程文件然后运行模拟。
运行完后，结果数据会加到fsp文件，用于分析。
模拟的通常步骤如下图所示。
在接下来的章节中有更详细的描述。
1.1 什么是FDTD？时域有限差分方法已经成为目前最新的在复杂几何条件下解决麦克斯韦方程的方法。
它是一个完全的矢量方法，既给出时域也给出频域的信息，它给电磁学和光子学的所有类型问题都提供了独特的视角。
这个方法在空间和时间上都是离散的。
电磁场和目标结构材料都在一种用所谓的Yee元胞组成的独立的网孔中来描述。
麦克斯韦方程在离散的时域中解决，所用时间步长和光通过网孔尺寸所用时间有关。
当网孔大小趋于零时，这个方法确切的描述了麦克斯韦方程。
供模拟的结构可以有各种各样的电磁材料特性。
多种源可以加入到模拟中，连续迭代（重复）可以使电磁场随时间传播。
一般的，模拟运行后会直到在模拟区域基本上没有电磁场剩下才停止。
时域信息可以在任何空间点被记录。
这些数据可以在模拟的时候记录下来，也可以作为一系列快照在任何用户定义的时间记录下来。
任何空间点的频域信息可能可以通过对该点时域信息的傅里叶变换得到。
因而在一个简单的模拟中得到的基于能流和模型文件的频率可能分布在很广的频率范围。
另外，FDTD获取的近场结果可能被转成远场的，这对于研究散射是很重要的。
1.2 第一步：创建物理结构版图编辑器（图略）用Structures列表创建几何结构。
他们的特性用EDIT编辑。
工具栏，在左边。
用Aligning按钮安排对象的位置。
材料特性：可自行定义或从数据库中选择。
1.3 第二步：设置模拟区域和时间用ADD SIMULATION REGION设置：模拟区域，其大小和位置，网格精度，合适的边界条件。
fdtd激光泵浦能量密度
fdtd激光泵浦能量密度
FDTD (Finite-Difference Time-Domain) 是一种计算电磁波行为
的数值方法，它使用网格化的空间和时间步长来模拟电磁波的传播。
激光泵浦能量密度是指激光泵浦光束在单位面积上的能量分布密度。
在FDTD模拟中，激光泵浦能量密度可以通过以下步骤计算：
1. 在仿真区域中定义一个合适的单位面积区域，以便于计算能量密度。
通常这个区域选择为激光泵浦光束在空间中的照射区域。
2. 将激光泵浦光束的能量进行离散化，将其分成若干个小体积元，并计算每个小体积元上的能量。
3. 对于每个小体积元，计算其包含的能量，并除以单位面积得到能量密度。
这可以通过测量或计算小体积元内的光强度来实现。
4. 将能量密度结果可视化，以了解激光泵浦能量在空间中的分布情况。
需要注意的是，FDTD方法是对电磁波的时域行为进行模拟的，而能量密度通常是在稳态或近稳态下进行计算的。
因此，在FDTD模拟中，通常要考虑激光泵浦光束的脉冲宽度、重复频
率和持续时间等参数的影响，并考虑平均化处理来获得更准确的能量密度结果。
时域有限差分
时域有限差分时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain，简称FDTD）是一种基于有限差分方法的数值模拟技术，用于求解电磁场的时域行为。
它在电磁学仿真建模中有着重要的作用，广泛应用于电磁屏蔽、电磁兼容、发射器设计、天线特性测试、雷达和无线通信等诸多领域。
本文将从介绍FDTD的历史背景、基本思想及特点出发，重点讨论它的基本框架及其基本算法，并以此来深入剖析它的优势及应用场景，以期激发更多的研究者更好的应用FDTD去解决实际的问题。
一、FDTD的历史背景时域有限差分法始于20世纪50年代，其有名的开创者是美国科学家Yee在1966年提出的。
至此，它比传统时域分析方法（如横波模型）具有更强的计算能力，有利于模拟电磁场以及其他物理场。
经过Yee的提出，FDTD的理论基础也在不断的完善，其在电磁仿真领域的应用也更加普及，它的算法也得到了不断的改进和优化，有利于优化电磁仿真技术，并使它更容易被应用在电磁学仿真中。
二、FDTD基本思想及特点时域有限差分法基于有限差分法，用于求解电磁场的时域行为。
它采用基于欧拉方程（Maxwell-Faraday）的电磁场表示，将欧拉方程空间和时间解分，从而简化时域求解中的计算工作。
在做时域积分的时候，它采用的是一种求近似解的方法。
根据反文本定理，这种求近似解的方法能够准确地表示电磁场的时变行为，从而正确地描述电磁场在空间和时间上的变化规律。
在求解电磁场的时候，它把分析的小单元划分成不同的网格，每个网格为一个小空间，把大量的电磁场计算转换成了大量的有限差分的计算，从而极大地简化了电磁场的模拟，节约了计算时间。
另外，FDTD还具有计算简单、模拟效率高、模拟准确等优点，因此在电磁学仿真中非常受到重视。
三、FDTD的基本框架及其基本算法FDTD的基本框架由应变和电场两个部分构成，两个部分相互协作，用来计算空间上电磁场的变化过程，以及对应的时间变化过程。
其基本算法由三个步骤构成：（1）横电场更新，先从欧拉方程计算横电场；（2）纵电场更新，再从欧拉方程计算纵电场；（3）应变更新，最后从欧拉方程计算应变。
fdtd相对光强与绝对光强
fdtd相对光强与绝对光强FDTD（Finite Difference Time Domain）是一种用于模拟电磁波传播和散射的数值方法。
在FDTD模拟中，光强通常是指电磁波的功率密度或电场强度的平方。
相对光强和绝对光强是描述光强的两种方式：
相对光强是描述某一点处的光强相对于另一参考点的光强的比值。
通常，参考点可以是背景或其他特定位置。
通过比较不同位置或不同条件下的相对光强，可以了解电磁波的分布和变化情况。
绝对光强则是描述某一点处的光强的实际数值，不依赖于其他参考点。
绝对光强通常用于评估电磁波的实际能量或强度。
在FDTD模拟中，可以通过电场强度的平方来计算绝对光强，即$I = \epsilon_0 \omega^2 E^2$，其中$I$ 是光强，$\epsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\omega$ 是角频率，$E$ 是电场强度。
而相对光强则可以通过将当前位置的光强与参考点的光强进行比较来计算。
需要注意的是，在模拟过程中，由于数值误差和稳定性限制，绝对光强和相对光强的计算可能会受到一定的影响。
因此，在进行模拟时，应该根据具体需求选择合适的计算方式，并注意控制模拟的精度和稳定性。
FDTD介绍解析
FDTD介绍解析FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种时域有限差分方法，用于求解电磁波在介质中传播的问题。
它是一种直接的数值求解方法，通过离散化时空域，将电磁波的偏微分方程转化为差分方程，利用时间步进的方式进行数值计算，从而得到电磁波在空间中的传播情况。
FDTD方法最早由美国伊利诺伊大学的Kane S. Yee于1966年提出，是时域有限差分方法中最为广泛应用的一种。
它的优点是简单易实现，计算效率高，适用于各种不规则场景和介质。
因此，在电磁学、光学、天线、无线通信等领域中得到了广泛应用。
FDTD方法的基本思想是将时空域离散化，将电磁场的偏微分方程转换为差分方程。
在FDTD方法中，空间域被划分为一个有限的网格，时间域被划分为离散的时间步长。
通过迭代计算，根据已知的初值条件和边界条件，在每个时间步长内更新场量的数值。
FDTD方法主要包括以下几个关键步骤：1.空间网格的划分：将求解区域按照一定精度进行离散，通常采用矩形网格，也可以根据具体问题选择其他形式的网格。
2. 时间步长的确定：根据Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，确定时间步长，保证波的传播速度不超过网格尺寸的倒数。
较小的时间步长可以提高求解的精度，但会增加计算量。
3.电场和磁场的更新：通过差分方程更新电场和磁场的数值。
根据麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场的更新公式。
其中，电场的更新公式涉及磁场的数值，磁场的更新公式涉及电场的数值。
4.边界条件的处理：为了模拟无限大的介质，需要对边界进行特殊处理。
常见的边界条件有吸收边界条件和周期性边界条件等。
吸收边界条件可以避免反射和波的传播超出边界，周期性边界条件可以模拟波的周期性传播。
5.辅助量的计算：在求解过程中，可以根据需要计算一些辅助量，如场强、功率流密度等。
这些辅助量可以用于分析电磁波传播的特性和效果。
FDTD方法的应用非常广泛。
在电磁学中，可以用于计算二维或三维空间中的电磁场分布、辐射特性、散射特性等。
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FDTD 研究历史和现状
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题, 并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并
行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电
磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、 瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在 计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深 入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设 f (i,j,k)代表电场或磁
场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为 f (i,j,k)= f (i x ,j y ,k z )= (i,j,k)
差分格式
Yee网格如图2.2所示，主要表示的是电场和磁场在空间各节 点的排布。由图可以看出每个电场的分量周围有四个磁场分量， 相应的每个磁场分量周围也有四个电场分量。这种空间的设置 方式能够实现空间坐标的差分计算，并且考虑到电磁场在空间
高的计算精度且无论以何种角度入射均无反射。
FDTD 方法介绍
FDTD具有以下基本要素：差分格式、数值特性和吸收边界 条件。其计算过程如下：
差分格式
对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分 格式为：
式中，i, j, k 分别为x，y，z，方向的网格编号。
差分格式
首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成 多个网格单元，其中 x, y , z 分别表示在x、y、z坐标方向
好多种吸收边条件都已经被提出来了。一般吸收边界应满足以下
条件：便于执行；计算精度够满足大多数的工程需求；通用性强； 数值稳定。
吸边界条件
目前构造吸收边界条件主要有两种思路：一种是从电磁波方程出发构造 透射边界条件，最常用的是 Mur 吸收边界和廖氏吸收边界；另一种是在边 界上吸收材料建立的吸收边界，例如完全匹配层(PML)，电磁波在无反射地 进入吸收材料后，一般会被哀减掉的。其中 Mur 吸收边界具有构造简单、
散现象称为数值色散，它将会影响计算精度。分析数值色散问题
的方法是把单色平面波的一般形式代入差分方程中，从而 推导出频率与时间、空间步长之间的关系，也就是数值色散关系。 均匀无耗各向同性媒质中，空间的差分方程数值色散关系为
数值色散和解的稳定性
与数字色散关系相对应，无耗介质中的平面波，其色散关系解
时域有限差分 (FDTD)
第四周
时域有限差分 (FDTD)
一、 FDTD研究的背景和意义 二、 FDTD研究历史和现状 三、FDTD的主要应用和技术 四、FDTD 算法介绍（主要）
一、 FDTD 研究的背景和意义
随着当代半导体制作工艺的发展, 电子设备越来越趋向于小 型化和复杂化,其工作环境也日益复杂,同时电磁环境效应问题
内存需求小、大多数情况下不额外消耗内存、吸收效率高等特点，但是在
一阶近 Yee 网格划分时角区域存在的误差较大，而二阶编程相对来说较复 杂，对于三维结果发散的现象有可能会出现；相对于 Mur，完全匹配层 (PML)构造复杂、内存需求较大，但是其可以吸收任意入射角、频率、偏振
态的入射电磁波，实用性比较强，在入射角度上吸收效果较好。同时具有
这种代替才有意义。收敛性是指当离散间隔趋于零时，差分方
程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。稳 定性是指寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方
程的数值解与原方程的严格解的差为有界。
数值色散和解的稳定性
数值色散
在采用差分方程来近似微分方程时，即使是在非色散媒质中， 在 FDTD 计算的过程中也会出现色散现象，而且波的相速度会随 着波长、方向、空间步长的不同而发生变化。将这种非物理的色
FDTD 方法介绍
通常情况下，FDTD方法是把 Maxwell 方程式在时间和空间 领域上进行差分化。利用蛙跳式(Leap frog algorithm)--空间领域
内的电场和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电
磁场的变化，达到数值计算的目的。用该方法分析问题的时候 要考虑研究对象的几何参数，材料参数，计算精度，计算复杂
三、 FDTD 的主要应用
FDTD 应用 天线——阻抗、辐射、效率、匹配
由蜂窝电话，寻呼机，无线局域网引起的生物电磁效应——SAR
核磁共振成像设计 FCC 认可的医疗植入通讯服务（MICS） 微波电路、波导、光纤、S参数
电磁兼容（EMC）和电磁干扰（EMI）、屏蔽、耦合
析式为 说明只要时间和空间步长足够小，数值色散就可以减小到任意 的程度，但是这也带来一些弊端，如大大增加了计算机存贮空间、 CPU 时间和累积误差。因此，应根据问题的具体性质和实际条件 来选取适当的时间和空间步长。
数值色散和解的稳定性
选取步长一般需要满足以下表达式
其中
指的是指计算频带内整个计算空间各种媒质中的最 时，数值色散引起的
定性条件。Courant稳定性条件是：FDTD的算法和迭代式决定了在一个时 间步长内，某场分量最远只能传播一个空间步长的距离，其最大速度由此 可以确定。这表明对于三维情况，时间间隔必须小于波通过Yee元胞对角线
长度的三分之一所需要的时间；对于二维情况，时间间隔必须小于波通过
Yee元胞对角线长度的二分之一所需要的时间。对于一个给定的初值问题， 与它相容的差分方程的收敛性与稳定性是互为充要条件的。
纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段,即由成熟
转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有 效方法之一,是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法, 它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似, 从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电 磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
三、 FDTD 的主要应用
散射，雷达辐射截面RCS 传播
光学
地质学和逆散射 特殊的材料，包括非线性、色散、负指数和各向异性材料
等离子体（耗尽和重新注入）
雷电、电磁脉冲
FDTD 的优势
简单：不涉及格林函数、矩阵、渐近函数和基函数 一次计算既可得到宽频带的仿真结果
吸收边界条件
基于时域有限差分法原理对通信车体进行划分时，由于计算机 容量有限，所以需要用边界条件将问题空间截断，实现在有限区
域内进行 FDTD 的计算。为了使网格截断处不会引起波的明显反
射，在截断边界处必须给出吸收边界条件。最开始采用的是差值 边界，后来采用的是 Mur 吸收边界，最近几年采用的是完全匹配 层吸收边界。随着科学和技术的发展，吸收效果越来越好。目前
变得也越来越重要。虽然在应用电磁数值仿真技术方面做了很
多研究, 但是实际应用的数值方法仍存有挑战性,特别是如何使 用和如何发展现有的电磁场数值技术以适应电大尺寸和多尺度
问题仿真。
二、 FDTD 研究历史和现状
19“年,K.5.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限 差分法(FiniteDifferenee一TimeDomain,简称FDTD)。经历了二十 年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。（具体发展过程略）上世
小波长。实际证明在中等网格大小为0.1 误差就已经很小了。
解的稳定性
满足一定关系的时间步长与空间步长在 FDTD 中它们并不 是相互独立的，在取值时必须避免数值结果的不稳定。这种不
稳定性主要表现在：在解差分方程时，时间步数的继续增加，
会引起计算结果无限地增加。
解的稳定性
其中式(2-13)表示了空间和时间离散间隔之间应当满足的关系，即Courant稳
任一时刻可依次计算出一个点，并行算法可以计算多个点。这 一关系构成了 FDTD 方法的基本迭代步骤。通过这些运算可
以交替算出电场与磁场在各个时间步的值
数值色散和解的稳定性
由于 FDTD 方程只是原 Maxwell 旋度方程的一种近似，在计 算中存在误差。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的，
数），因此更适合解决有少量导体的问题（例如小天线）
在低频，FDTD 的时间步长可能远小于正弦波的周期，因此 需要的时间步长很多。我们已经想方设法让XFdtd 更加有效地
处理这些问题，然而，我们也可以选择有限元法来计算低频段
电小尺寸问题
FDTD 方法介绍
■ 直接从时域求解麦克思维方程 ■ 把几何结构划分成网格空间 ■ 网格尺寸远小于波长 ■ 网格尺寸远小于物体轮廓 ■ 随时间逐步迭代
材料类型广泛：电介质和磁介质，色散材料，非线性和各向异性材料
普通的几何结构（不是由结构外形指定计算机内存） 因此适合分析电大尺寸问题 非常适合并行处理 多CPU并行计算 并行（MPI）
FDTD 的缺点
高Q值、强谐振结构、窄带问题 矩量法无需计算自由空间的场值（使用自由空间格林函
度，计算稳定性等多方面的问题。其优点是能够直接模拟场的
分布，精度比较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。
FDTD 方法介绍
原理：
FDTD方法就是对空间的电磁场E、H 分量在空间和时间上采 取交替抽样的离散方式，每一个E(或H)有四个H（或E）场分 量环绕，应用这种方式将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转 化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进的求解空间电磁场。
互相正交、铰链的关系，也满足了Maxwell方程的积分形式，
能够很好地模拟电磁场传播过程。
差分格式
差分格式
差分格式
差分格式
由此可以看出该算法的特点是：在每一个网格点上，各场 的分量新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值和该点周围邻
近点上另外一场量的场分量早 1/2 个时间步长时刻的值。因此