FDTD方法

： UPML吸收边界 中
σ κ的
的
吸收边界条件
FDTD计算区域中 σ 和κ 的特殊取值，如图所示：
吸收边界条件
直角坐标系中旋度的表达式：
∂f y ∂f x ∂f x ∂f z ∂f z ∂f y − ∇ ×f = ( − )i + ( − )j + ( )k ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
基 本 公 式
远场计算
利用时域电磁流直接在时域进行远场外推，得到远场点的时 域值，这对于计算目标的宽频带远场特性比较有效，但显然这种 方法需存储多个时间步的远场时域值，随着场点数目增多，所需 内存也越来越大。
先将时域电磁流在FDTD方法的迭代过程中利用离散傅立叶 变换(DFT）转化为频域电磁流，然后再在频域进行远场外推， 这样可以避免存储时域远场值。但这仅适合在较少的工作频率 点上求远场，否则频域电磁流的存储量也会很大。
与这两种场量对应的时域电、磁流分别为： 1 n− n− 1 ) ) J z 2 (i, j , k ) = x × y H y 2 (i, j , k ) ) ) n M yn (i, j , k ) = − x × z E y (i, j , k )
(7.4 - 3) (7.4 - 4)
对于典型的二端口网络电路。其四个S参数为：
U 式中， i ,inc (t ) 和 U i ,ref (t )(i = 1,2)是指每个端门的入射电压和反射电压； 是 U i ,trans (t )(i = 1,2) 指相对于其他入射波端口 i 的传输电压端口的传 输电压。各个端门的时域电压值由参考面上的时域电场积分可以 获得。
逆时针积分
周向电流源激励，如图所示：
其缺点： 由于电流源馈电模型中线天线馈电点处被定义为理想导 体以符合电流存在的物理条件，因此它无法像电压源激励方 式那样可以直接地计算出馈电点处的输入电压，从而导致这 种馈电方式无法直接获得天线的输入阻抗参数。
矩形波导的激励方法
把矩形波导看作为传输线
不采用基带高斯脉冲信号的 原因：
直流分量，幅度最大
f0
基带高斯脉冲的另一表示：
调制高斯脉冲的另一表示：
两者相似之处： 区别之处：基带高斯脉冲在直流时达到峰值而调制高斯 脉冲在中心频率 f 0 处具有峰值
设定一个脉冲宽度为T的信号的有用带宽为BW，在带宽边隙处 其值为峰值的10％(功率的1％)。所以估计出FDTD方法所能模 拟频带宽度与激励脉冲宽度的关系，具体有：
& = ε sz H , G = ε sx H , G = ε s y H & & & & & 其中： Gx x y y z z sx sy sx
激励源
激励源的模拟：选择合适的入射波函数形式以及用适当
方法将其加入到FDTD方法的迭代方程中
分两类：（分类依据：激励源随时间变化） 随时间周期变化的波源——时谐场源 对时间呈脉冲形式的波源——脉冲源
s & & Dx = ε z E x sx
& & ⇒ s x D x = εs z E x
其它电场分量的迭代方程可以类似地得到. 另一方面，由磁通量密度B推导磁场分量H的迭代方程的过程也 与此类似.
& & ∂E z ∂E y − ∂z ∂y κ y & ∂E & ∂E x − z = jω 0 ∂z ∂x & 0 & ∂E y ∂E x − ∂x ∂y
取t0=4T，使信号在初始时刻t＝0时趋于零，这样就可以求得 高斯脉冲的全部参数。
FDTD方法中激励源的实现 方法中激励源的实现
三种方法： 线天线的激励方法 矩形波导的激励方法 微带结构的激励方法
线天线的激励方法
δ 电压源激励，如图所示：
GAP处的电场设置： E n (i, j , k ) = z U s (t ) ∆z
吸收边界条件
UPML中的时谐场麦克斯韦旋度方程可写为：
& & ∇×H = jωε E, ∇×E = − jωε H s& s&
基 本 公 式
− sx 1 s = 0 0
(7.1 1) -
0 sx 0
0 s y 0 0 sx 0 0 sx sz s y 0
∂ = ∂x fx
i
∂ ∂y fy
j
∂ ∂z fz
k
3 1
3 3
3 1
& = ε sz E , D = ε sx E , D = ε s y E & & & & & 其中： Dx x y y z z sx sy sx
& & ∂H z ∂H y − ∂z ∂y κ y & & ∂H x ∂H z − = jω 0 ∂z ∂x & 0 & ∂H y ∂H x − ∂x ∂y
FDTD方法的几个关键问题 方法的几个关键问题
问题: 问题
FDTD模拟的有限空间等效成无限空间 设置合适的激励源 频域参量与远场特性
吸收边界条件
有限空间与无限空间等效方法： -----吸收边界条件处理 吸收边界条件处理的目的：(ABC：Absorb Boundary Condition） 为了波在边界处保持“外向行进”的特征，以 模拟电磁波无反射地通过截断边界，向无限远处传 播。关键问题是如何截断开域问题的计算区域。
S参数提取 参数提取
利用FDTD方法获得微波电路散射参数的方法 -----------傅立叶变换 对于一个N端口网络来说，S参数可以表示成为N×N的矩阵： S矩阵中每一个元素可以用下式计算：
U 式中，F是傅立叶变换的标记；m，n＝l，2，…，N； m (t )和U n (t ) 分别是m和n端口的时域电压值： Z 0 m 和 Z 0 n 分别为连接到m端口 和n端口的传输线阻抗值。
其能量主要分布在低频端，而且直 流频率信号的能量最大，但波导一 般工作在高频端(比如BJ一100矩形 波导的主模TE10模的工作频率范围 是8．2一12．5GHz)。
正弦调制高斯脉冲波形，其时频域表达式为：
注意：只要适当选择 f 0、 t0、 T ，就可以使调制高斯脉冲信号 的主要频谱分量落在波导主模工作频段范围内。
吸收边界条件
近似ABC要求：（理想ABC难以实现）
能够模拟向外传播的波 引入的反射应足够小，对计算结果的影响 可忽略 保证算法稳定
吸收边界条件
吸收边界条件分类：
微分方程推导出的吸收边界--- Mur G提出的Mur吸收 边界 吸收媒质构成的吸收边界--- Berenger J．P．提出的理 想匹配层(PML：Perfectly Matched Layer）和Gedney S．D．提出的单轴各向异性完全匹配层(UPML: Uniaxial PML) PML:将电磁场分量在吸收边界区域分裂，并对各个分裂 的场分量赋以不同的损耗，这样就能在FDTD的网格边 界得到一种非物理的有耗吸收媒质，在一定条件下，模 拟空间与理想匹配层间、理想匹配层内部间完全匹配， 模拟区域内的外行电磁波可以无反射地进入有耗媒质， 并在其行进中衰减，从而有效吸收模拟区域内出射的外 行波。 UPML:在数学上等价于分裂场量的PML（UPML直接基 于麦克斯韦方程）
采用傅立叶变换将瞬态场变换到频域场。其傅立叶变 换的一般表达：
由于（7.4-2a）公式可获得惠更斯面上每个时刻的各等效 电场分量．这相当于获得了间隔为△t的 E (t , r ′) 的时域采样值， 将（7.4-5）右端的积分用求和代替：
式中，n为时间步，N为入射波脉冲激励下FDTD计算区域得到 完整响应所需的总时间步，其右端因子 exp(− j 2πfn∆t ) 的 f 则取所关心的一个或几个频率。
(7.4 - 1)
FDTD方法,由于电场和磁场各分量分别处于Yee网格的不 同位置，因此在远场计算时要将它们算换到惠更斯面（也可称 虚拟电磁流面）上各个网格的中心。
一般情况下，惠更斯面上的网格中心等效场可以通过各网 格中心周围的场值的平均值来求得，从而进一步利用该等效场 即可获得等效电磁流。
的 以 一 个 侧 网 格 拟 为 例 流 面 上 磁 电 虚 右
取 f 0 = 10.0GHz , t 0 = 10.0ns, T =
t0
4
如如如如：
能量分布在高频区域
TE10模沿着波导宽边x方向按照正弦函数规律变化，沿着z 向保持不变，因此时域模拟时，为了尽可能地接近这个主 模的空间分布，可以设置激励信号按照如下形式变化：
微带结构的激励方法
激励方法：（类似于波导的激励方法） 只需对(距边界一定距离处的)横截面上的a’b’c’d’区域内 垂直于地板的电场分量Ez的迭代公式进行修改即可，其它 位置处的场分量仍进行正常迭代
0
κz
0
& & 0 Dx σ y 0 0 Dx & 1 & 0 Dy + 0 σ z 0 Dy ε & & 0 0 σ x Dz κ x Dz
∂H z ∂H y ∂ 1 − = ( κ y + σ y ) Dx ε ∂y ∂x ∂t
考虑电场分量和磁场分量的计算时刻相差上△t／2，于是有
由（7.4-6）式，便可得到外推电磁流面上各网格单元处等效 电磁场的频域值，也就得到了各等效电磁流分量的频域值。 若以（7.4-3）、（7.4-4）式中的等效电磁流分量为例， 得到频域值分别为：
) )& J&z ( f , i, j , k ) = x × yH y ( f , i, j , k ) ) )& M& y ( f , i, j , k ) = − x × z E z ( f , i, j , k ) (7.4 - 7) (7.4 - 8)