半导体中电子运动及有效质量
1.3半导体中电子运动及有效质量
mn +*
因而，外层电子在外力作用下可以获得
较大的加速度。
0
-
⑤ 对于带顶和带底的电子,有效质量恒定。
k
1/2 a
k
k
二、半导体中的电子
1.速度V
晶体中作共有化运动的电子平均速度:
以一维情况为例
设E(k)在k=0处取得极值，价带顶和导带底为极值点：
❖ 引入有效质量后，若能定出其大小，则 能带附近的E(k)与k的关系便可以确定
半导体中的电子的平均速度
根据量子力学概念：电子的运动可以看成波包的运动，波包的 群速就是电子的平均速度。波包有许多频率相差不多的波组成
称m*为电子的有效质量
F外 = m*a
F外 + F内 = m0a m*的特点：
◆决定于材料 ◆与电子的运动方向有关 ◆与能带的宽窄有关
内层:带窄, m*大；外层:带宽,m*小
❖ 在经典牛顿第二定律中
,式中f是外
合力， 是惯性质量。但半导体中电子在
外力作用下，描述电子运动规律的方程中
出现的是有效质量 ，而不是电子的惯
§1.3 半导体中电子（在外力下）的运动、 有效质量
半导体中电子运动速度、加速度
电子的有效质量
一、自由空间的电子:
对自由空间的电子:
从粒子性出发,它具有一定的质 量m0和运动速度V。
从波动性出发,电子的运动看成频 率为ν、波矢为K的平面波在波矢 方向的传输过程。
V2
P=m0v v=P/m0=hk/m0
有效质量的意义
❖ ①有效质量概括了晶体内部势场的作用, 使得在解决半导体中电子在外力作用下的 运动规律时，可以不涉及到半导体内部势 场的作用。但只有在能带极值附近才有意 义.
半导体中电子的运动, 有效质量
三、半导体中电子的运动，有效质量1、半导体中E(k)与k的关系晶体中电子的能量形成能带，E(k)与k的关系如图所示。
但它只给出定性的关系，必须找出E(k)的函数，才能得到定量的关系。
而得到E(k)的函数是十分繁难的。
在前面介绍本征激发的时候，我们知道；对于半导体来说，起作用的常常是接近于能带底部或顶部（也即能带极值附近）的电子。
这样，我们只需掌握能带极值附近的E(k)与k 的关系就行了。
一维情况：设能带底位于k=0，能带底附近k很小。
将E(k)在k=0附近按泰勒级数展开，取至k2项（略去高次项）有：E(k) = E(0) + (dE/dk)k=0k + (d2E/dk2)k=0k2/2 + …...k=0时，能量极小，所以(dE/dk)k=0= 0因而：E(k) = E(0) + (d2E/dk2)k=0k2/2E(0)是导带底能量，对给定半导体，它是一定值对比于自由电子的能量形式E=h2k2/2m0可以看出两者具有相同的能量形式，只是用有效质量代替了电子质量m0。
引入了有效质量后，如果能定出其大小，则能带极值附近E(k)与k的关系便确定了。
下面考虑三维情况：k = k0+ δk泰勒展开并略去高次项E(k) = E0(k0) + (∂E/∂k x)k0δk x+ (∂E/∂k y)k0δk y+ (∂E/∂k z)k0δk z+1/2{(∂2E/∂k x2)k0δk x2+ (∂2E/∂k x ∂k y)k0δk xδk y + (∂2E/∂k x ∂k z)k0δk xδk z + ……+ (∂2E/∂k y2)k0δk y2 + …...+ ……+ ……+ (∂2E/∂k z2)k0δk z2}E(k)-E(0)=h 2{(k x -k x0)2/m x *+(k y -k y0)2/m y *+(k z -k z0)2/m z *}/2因而用能带极值处电子的有效质量代替自由电子质量后，晶体中的电子在能带极值附近具有与自由电子相同的能量形式。
西北大学 半导体物理课件01
E
B
C -K V D2 K D1 0 K K
三、电子的加速度
可以推出，在外力作用下，晶体中电子的运动规律为：
a=
这正是牛顿第二定律的形式。
1 ⋅f ∗ m
�
引入有效质量这一概念的意义在于：它概括了晶体内部势场对电子的作
用，使得在解决晶体或半导体中电子在外力作用夏的运动规律时，可以不涉 及到内部势场对电子的作用，而直接按照牛顿第二定律由外力求出电子的加 速度。
三、半导体中电子的状态和能带
2、晶体中电子的运动状态——布洛赫波
晶体中作共有化运动的电子，要受到周期性势场V(x)的作用，其薛定谔方程 （一维）为： h 2 d 2ψ (x)
2m 0 dx 2 + V(x)ψ (x) = Eψ (x)
布洛赫已经证明，该方程的解为： ψ k (x) = e 称为布洛赫函数，或布洛赫波。
二、回旋共振的原理
等能面是球面时，有效质量各向同性，只能观察到一个吸收峰，且其 位置与
B 的方向无关。
但等能面为椭球面时，吸收峰与
B 的方向有关：
设 B 相对于椭球主轴的方向余弦分别为 α , β , γ ，即 B = (α i + β j + γ k ) B ， 式中 i, j, k分别为沿主轴方向的单位矢量。最后可解得电子的回旋共振频率：
N =3 + N =2 N =1 原子间距逐渐减小
允 带 禁 带 允 带 禁 带 允 带
原子外壳层交叠的程度最大，共有化运动显著，能级分裂的很厉害，能带很宽； 原子内壳层交叠程度小，共有化运动很弱，能级分裂的很小，能带很窄。
二、晶体中能带的形成
3、能带重组（轨道杂化）
以硅为例：
空 带 （导 带 ） 4N个 态 满 带 （价 带 ） 4N个 态 4N个 电 子 8N个 态 2N个 电 子 6N个 态 3p2 3s2 外壳层
半导体物理学复习讲义 引论~第三章
1.3晶向和晶面
晶体各向异性 将布拉维格子看成互相平行等距的直线族 每一直线族定义一个方向，称为晶向 如沿晶向的最短格矢为
l1a1 l2a2 l3a3
该晶向可记为：
l1, l2 , l3
1.3晶向和晶面
将布拉维格子看成互相平行等距的平面族，也称为晶面 如某平面族将基矢分成
1. 恒量 2. V为正空间体积
考虑自旋，k空间态密度：
状态密度定义
单位能量间隔内的状态数目：
考虑自旋，k空间态密度：
E-k 关系
能量空间状态密度
能量变化 dE
k状态变化 dk
k空间体积变化 dΩ
状态数变化 dZ
球形等能面状态密度求解
导带E- k关系：
k k0
E E dE
k k dk
1.1半导体的晶格结构和结合性质 1.2半导体中的电子状态和能带 1.3半导体中电子的运动
有效质量 空穴
1.4本征半导体的导电机构
1.5回旋共振
1.6硅和锗的能带结构 1.10宽禁带半导体
1.1.1金刚石结构和共价键
特点：
每个原子和周围的4个最近邻原子形成一个正四面体
顶角原子和中心原子形成共价键
1.2半导体中的电子状态和能带
1.2.1原子的能级和晶体的能带
电子壳层：1s,2s,2p,3s,3p,3d,4s
……
电子的共有化运动
最外层电子的共有化运动最为显著
公有化运动导致简并能级出现分裂
由于原子数量巨大，分裂后能级之间差距微小，形
成能带，称为允带
S:非简并态， P:三重简并
1.2.1原子的能级和晶体的能带 几个名词：
三、原子结合类型
半导体物理课件：第一章 半导体中的电子状态
14
1.1 半导体的晶格结构和结合性质
4. 闪锌矿结构和混合键
与金刚石结构的区别
▪ 共价键具有一定的极性 （两类原子的电负性不 同），因此晶体不同晶面 的性质不同。
▪ 不同双原子复式晶格。
常见闪锌矿结构半导体材料 ▪ Ⅲ-Ⅴ族化合物 ▪ 部分Ⅱ-Ⅵ族化合物，如硒化汞，碲化汞等半金属材料。
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量子力学认为微观粒子（如电子）的运动须用波 函数来描述，经典意义上的轨道实质上是电子出 现几率最大的地方。电子的状态可用四个量子数 表示。 （主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数）
▪ 能级存在简并
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1.2 半导体中的电子状态和能带
▪ 电子共有化运动
原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用 下，分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层 不同支壳层的电子分别用 1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s…等符号表示，每一壳层对 应于确定的能量。
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1.2 半导体中的电子状态和能带
▪ 金刚石结构的第一布里渊区是一个十四面体。
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1.2 半导体中的电子状态和能带
3. 导体、半导体、绝缘体的能带
能带产生的原因：
▪ 定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相 互作用，使能级分裂形成能带。
▪ 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中 运动，其能量不连续形成能带。
•结果每个二度简并的能级都分裂为二个彼此相距 很近的能级；两个原子靠得越近，分裂得越厉害。
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1.2 半导体中的电子状态和能带
▪ 内壳层的电子，轨道交叠少，共有化运动弱，可忽略 ▪ 外层的价电子，轨道交叠多，共有化运动强，能级分
半导体物理学复习提纲(重点)
第一章 半导体中的电子状态§1.1 锗和硅的晶体结构特征 金刚石结构的基本特征§1.2 半导体中的电子状态和能带 电子共有化运动概念绝缘体、半导体和导体的能带特征。
几种常用半导体的禁带宽度； 本征激发的概念§1。
3 半导体中电子的运动 有效质量导带底和价带顶附近的E(k ）~k 关系()()2*2nk E k E m 2h -0=; 半导体中电子的平均速度dEv hdk=; 有效质量的公式：222*11dk Ed h m n =。
§1。
4本征半导体的导电机构 空穴空穴的特征：带正电；p n m m **=-；n p E E =-；p n k k =-§1。
5 回旋共振§1.6 硅和锗的能带结构 导带底的位置、个数； 重空穴带、轻空穴第二章 半导体中杂质和缺陷能级§2。
1 硅、锗晶体中的杂质能级基本概念：施主杂质，受主杂质,杂质的电离能，杂质的补偿作用。
§2。
2 Ⅲ—Ⅴ族化合物中的杂质能级 杂质的双性行为第三章 半导体中载流子的统计分布热平衡载流子概念§3。
1状态密度定义式：()/g E dz dE =；导带底附近的状态密度：()()3/2*1/232()4ncc m g E VE E h π=-；价带顶附近的状态密度：()()3/2*1/232()4p v Vm g E V E E hπ=-§3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布 Fermi 分布函数：()01()1exp /F f E E E k T =+-⎡⎤⎣⎦；Fermi 能级的意义：它和温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关.1）将半导体中大量的电子看成一个热力学系统，费米能级F E 是系统的化学势；2）F E 可看成量子态是否被电子占据的一个界限。
3）F E 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况,通常就说费米能级标志了电子填充能级的水平。
1.3 半导体中电子的运动 有效质量(雨课堂课件)
4、有效质量的意义
(1) 讨论：有效质量概括了半导体内部势场的作用。
对于
f mna
1) 加速度a应是内部势场和外电场作用的综合结果
2) f只是外电场对电子的作用力
3) 内部势场对电子的作用效果概括在有效质量 m
n 中。
结论：引进有效质量的意义在于，它概括了半导体内部势场的作
mn*--电子有效质量
h2 k 2
E k -E 0 =
2mn
与自由电子形式相同
导带底Ec
禁带宽度Eg
价带顶Ev
由有效质量公式可以见到：
(1)对于能带顶的情形，由于E(k) < E(0)，故 mn* < 0;
(2)对于能带底的情形，由于E(k) > E(0)，故 mn* > 0。
a
2
2 2 h
dt h dt dk h dk dk dt h dk dt h dk dt
令
1 d 2E 1
2
2
h dk
mn
1
则有 a f ，即
mn
n
f m a
(1-34)
说明：引进有效质量后，半导体中电子所受的力与加速度的关
§1.3 半导体中电子的运动 有效质量
Electronic movement in semiconductor, Effective
mass
教学目标：
➢ 掌握有效质量的意义及计算公式
电子惯性质量m0；相对论质量 m m0
1 v c
能带中电子有效质量？
第一章-半导体中的电子态
36
1、自由电子波函数和能量
E 2k2 2m0
自由电子能量与波矢的关系图
37
2、晶体中电子的波函数和能量
2、晶体中电子的波函数和能量
3、布里渊区和能带
E-k关系 晶体中电子处在不同的k状态,具有不同的能量E(k) 由于周期势场的微扰,在布里渊区边界处,能量出现不连
续,形成能带.
1.1.2 闪锌矿型结构与混合键
思考: 左图的一个晶胞包含几个原子?几个第III族原子?几个第V族原子?
14
1.1.3 纤锌矿结构 （Wurtzite structure）
II-VI族化合物、电负性差异较大的III-V化合物通常属于纤锌矿结构。 属六方晶系，AB型共价键晶体，其中A原子作六方密堆积（堆
d＝内d找xd到yd粒z子
的概率，则：
dW x, y, z,t CΨ x, y, z,t2 d
32
薛定谔方程
薛定谔方程
i
(r,t) [
2
2 V (r )] (r ,t)
t
2
拉普拉斯算符
2＝ 2 2 2 x2 y 2 z 2
薛定谔方程描述在势场 U(r)中粒子状态随时间的变化，也称微观粒子 波动方程。只要知道势场的具体形式就可求解该方程得到粒子波函数的 具体形式，从而得出粒子的运动状态和能量状态。
m m 由于价带顶的 * 0,因此 * 0
n
p
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未满导带
对于不满带，只有部 分电子状态电子占据， 电子可以在电场的作 用跃迁到能量较高的 空状态，导致电子在 布里渊区状态中的分 布不再对称，形成宏 观电流。
62
有电场时导带电子能量和速度分布
导体
有未被填满的价带。
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有效质量的意义
❖ ①有效质量概括了晶体内部势场的作用, 使得在解决半导体中电子在外力作用下的
运动规律时，可以不涉及到半导体内部势
场的作用。但只有在能带极值附近才有意 义.
❖ ② 若知道了 (可通过回旋共振实验来测量) 有效质量, 则可得到能带极值附近的能带 结构.
❖ ③能带电子运动的速度和加速度都与能带
结构E(k)有关; 对能带极值附近的电子, 在
引入mn*后, 可简单作为自由电子来处理.
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有效质量的特点
① 决定于材料； ② mn*只在能带极值附近有意义;
E
③ mn*可正可负;
在能带底部附近，E(k)曲线开口向上，d2E/dk2>0，
mn*>0;
1/2
在能带顶部附近，E(k)曲线开口向下， a
原子及其它电子的势场作用。当电子在外
力作用下运动时，它一方面受到外电场力
f的作用，同时还和半导体内部原子、电
子相互作用着，电子的加速度应该是半导
体内部势场和外电场作用的综合效果。
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❖ 但是，要找出内部势场的具体形式并且求得 加速度遇到一定的困难，引进有效质量后可 使问题变得简单，直接把外力f和电子的加速 度联系起来，而内部势场的作用则由有效质 量加以概括。因此，引进有效质量的意义在 于它概括了半导体内部势场的作用，使得在 解决半导体中电子在外力作用下的运动运动 规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作 用。
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半导体中的电子的平均速度
根据量子力学概念：电子的运动可以看成波包的运动，波包的 群速就是电子的平均速度。波包有许多频率相差不多的波组成
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称m*为电子的有效质量
F外 = m*a
F外 + F内 = m0a m*的特点：
◆决定于材料 ◆与电子的运动方向有关 ◆与能带的宽窄有关
0
v
d2E/dk2<0， mn*<0;
0
④ mn*大小与能带宽窄有关;
内层:能带窄, d2E/dk2小, mn*大； 外层:能带宽, d2E/dk2大, mn*小.
mn +*
因而，外层电子在外力作用下可以获得
较大的加速度。
0
-
⑤ 对于带顶和带底的电子,有效质量恒定。
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k
1/2 a
k
k
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内层:带窄, m*大；外层:带宽,m*小
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❖ 在经典牛顿第二定律中
,式中f是外
合力， 是惯性质量。但半导体中电子在
外力作用下，描述电子运动规律的方程中
出现的是有效质量 ，而不是电子的惯
性质量 。这是因为外力f并不是电子
受力的总和，半导体中的电子即使在没有
外加电场作用时，它也要受到半导体内部
§1.3 半导体中电子（在外力下）的运动、 有效质量
半导体中电子运动速度、加速度
电子的有效质量
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1
一、自由空间的电子:
对自由空间的电子:
从粒子性出发,它具有一定的质 量m0和运动速度V。
从波动性出发,电子的运动看成频 率为ν、波矢为K的平面波在波矢 方向的传输过程。
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2
V2
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3
P=m0v v=P/m0=hk/m0
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二、半导体中的电子
1.速度V
晶体中作共有化运动的电子平均速度:
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5
以一维情况为例
设E(k)在k=0处取得极值，价带顶和导带底为极值点：
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6
❖ 引入有效质量后，若能定出其大小，则 能带附近的E(k)与k的关系便可以确定
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