电磁学第8、9章作业分析2007

第八章作业分析（2007/05/23）

8.2 三个电量为q-的点电荷各放在边长为r的等边三角形的三个顶点上，点电荷Q(Q>0)

Q之值应为多大？

q

-

解：由题

2

2

2

14

1

r

q

f

f⋅

=

=

πε

，

2

)

3

2

(

4h

qQ

f

πε

=，而f

f3

=，r

h

2

3

=，联立解之：q

Q

3

3

=

8.5 一个电偶极子的电矩为l

P q

=，证明此电偶极子轴线上距其中心为r(r>>l)处的

一点的场强为3

4/

2r

P

Eπε

=。

解：由题

2

4

1

+

+

⋅

=

r

q

E

πε

，

2

4

1

-

-

⋅

=

r

q

E

πε

，而2

2

2

2

2

r

l

r

r+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

=-

+

由对称性可知

+

E、-E的

沿中垂线方向方量相互抵消，只剩平行于l的方向，则：

3

2

1

4

2

cos

2

+

+

+

+

⋅

=

⋅

⋅

4

2

=

=

r

ql

r

l

r

q

E

E

πε

πε

θ

而r>>l，即t+≈r

∴

3

4r

p

E

πε

=

8.7 有一长度为L，电荷线密度为λ的均匀带电直线段, 求直线的延长线上距近端为R

的P点处的场强。

x dx x0

解：取线地dx 有：dx dq λ=

∴ 20

41x dx

dE λπε⋅

=

∴ )

(44102

L R R L

x dx

E L R R

+⋅

=

⋅

=⎰

+πελλπε 方向沿带电直线

8.9 如图8-43，一个细的带电塑料圆环，半径为R ，所带电荷线密度λ和θ有θλλsin 0=的

关系，求在圆心处的电场强度的方向和大小。

解：取线元dl ，有：θd R dl ⋅=

∴ )(sin 41410002

R d R

R Rd E d

-⋅⋅=

⋅

=

θθλπεθ

λπε

∴ 0cos sin 420

00

=-

=⎰

θθθπελπd R

E x

R

d R E y 00220

004sin 4ελ

θθπελπ-=-=⎰

8.11 如图8-45所示，有宽度为L ，电荷面密度为σ的无限长均匀带电平面，求在与

带电平面共面的P 点处的场强。

dx x x

解： 取宽度为dx 的无限长，其在P 点的场强为：

x

a L dx r dE -+⋅⋅=⋅=

1

21200πεσπελ

方向均垂直于带长方向且向外 ∴ ⎰

+=-+⋅=L L

a

L x R L dx E 0

00ln 22πεσπεσ

8.13 (1) 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，通过此立方体的每一面的E 通量各

是多少？

(2) 若电荷移至正立方体的一个项点上，那么通过每个平面的E 通量又各是多

少？

解：(1) 由对称性可知立方体的六个面对中心完全对称，应平分总通量

6εφq

e =

(2) 若移至某一顶点则与该顶点相连的三个面由于E

始终在面内所以0=e φ，而另三个

面的通量可用补的思想，设法把此顶点置于一个更大的立方体中心，则此时那三个

面完全对称地占了总通量的241

461=

⨯，即024εφq e =

8.15 在图8-47所示的空间内电场强度分量为2/1bx E x =，0==c y E E ，其中

/C m N 8001/2-⋅=b ，试求：

(1) 通过正立方体的E 通量；

(2) 正立方体的总电荷是多少？设a =10cm ；

解：(1) 与x 轴方向平行的四个面0=e φ，另两个面中靠近原点的那个面正通量为：

53.2211-=⋅⋅-=⋅-=a x b S E x e φN.m 2/c ；

同理另一个正通量为：/C m .N 58.32222==x b a e φ ∴ 总通量 05.112=+=e e e φφφ N.m 2

/C (2) 由高斯定理：0

εφq

e =

∴1201029.9-⨯==e q φε C