2021届全品高考复习方案：第49讲 双曲线
【高三】2021届高考数学考点提纲双曲线专项复习
【高三】2021届高考数学考点提纲双曲线专项复习双曲线（一）[学习目标]1、掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程；2.了解其简单的几何性质。
【自主学习】1.双曲线的定义(1)平面内与两定点f1，f2的常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．注：① 当2A=F1F2时，点P的轨迹为②2a＞f1f2时，p点轨迹不存在．2.双曲线的标准方程(1)标准方程：，焦点在轴上；，焦点在轴上。
地点：A0，B0(2)双曲线的标准方程的统一形式：3.双曲线的几何性质（讨论）(1)范围：，．（2）对称性：对称轴方程为；对称的中心是(3)顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．（4）偏心率=，和，【前热身】：1.假设双曲线的偏心率为2，焦点为（-4,0），（4,0），双曲线方程为2、标数[2021安徽卷]双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )a、 2b.22c.4d.423、标数[2021江西卷]若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________4.比例尺【北京卷2022】已知双曲线x2-y2b2=1（b>0）的渐近线方程为y=2x，则b=___例题分析：例1：找到符合下列条件的双曲线标准方程（1）经过点a(2，)、b(3，-2)（2）通过点，通过点。
例2．已知：双曲线的方程是16x2－9y2＝144（1）求出双曲线的焦坐标、偏心率和渐近方程；(2)、设f和f是双曲线的左右焦点，点p在双曲线上且=32，找到FPF的大小。
【当堂检测】1.通过双曲线x2-y2=8的左焦点F1在左分支上有一个弦PQ。
如果PQ=7且F2是双曲线的右焦点，则△ pf2q是2、已知-=1的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，求双曲线的方程。
3.设f和f为双曲线X2-=1的左右焦点，点P在双曲线上，3=4，求PFF的面积。
4、已知动圆与圆c：（+4）+=2外切，与圆c:（-4）+=2内切，求动圆圆心的轨迹方程。
高三数学双曲线复习教案(2021学年)
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双曲线课题双曲线备注三维目标掌握双曲线的定义和基本性质,能灵活解决双曲线有关应用问题培养学生数形结合的思想，良好的运算能力重点双曲线的定义和基本性质难点灵活解决双曲线有关应用问题辨析（1)平面内到点F1（0,４）,Ｆ2(0，-4）距离之差的绝对值等于８的点的轨迹是双曲线.（× ）(2)方程mx2-ny2＝1（ｍn>0)表示焦点在ｘ轴上的双曲线.（×)（3)双曲线方程m2x2-n2y2＝λ(ｍ〉0,ｎ＞0，λ≠0)的渐近线方程是m2x2－n2y2＝0,即mx±ny=0.( √ )(４）等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于。
( √ )(5）若双曲线a2x2-b2y2=1(ａ＞0,ｂ>0）与b2x2-a2y2=1(a〉0，ｂ〉０）的离心率分别是e1，e2,则12+22=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．( √)考点自测1．若双曲线a2x2-b2y2=1 (ａ〉0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）A。
Ｂ．５ C。
ﻩ D.22.设双曲线a2x2－9y2=１（a>0）的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )Ａ.4 B.3 C．2 Ｄ．１3．双曲线4x2-y２＝1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．52B。
54C.55D．55４.已知双曲线C１:a2x2－b2y2=１（a〉0,b〉0)与双曲线C2：4x2－16y2=1有相同的渐近线,且Ｃ１的右焦点为Ｆ(,0）,则a=__＿_____，b＝________。
2021人教A版高考数学总复习《双曲线》
4.(2019·北京卷)已知双曲线ax22－y2＝1(a>0)的离心率是 5，则 a＝(
)
A. 6
B.4
C.2
D.1
2
解析 由双曲线方程ax22－y2＝1，得 b2＝1，∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝ac22＝a2a＋2 1＝1＋a12.
结合 a>0，解得 a＝1. 2
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)已知 F 是双曲线 C：x2－y2＝1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 45
x20＝596， y20＝295，所以
P
2
14，5 33
，
所以 S△OPF＝12|OF|·y0＝12×3×53＝52.
答案 B
6.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2－by22＝1(b>0)经过点(3，
4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
解析 因为双曲线 x2－by22＝1(b>0)经过点(3，4)，所以 9－1b62＝1(b>0)，解得 b＝ 2，
焦距.其数学表达式：集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为
常数且 a>0，c>0：
(1)若 a<c，则集合 P 为双曲线；
(2)若 a＝c，则集合 P 为两条射线；
(3)若 a>c，则集合 P 为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
即双曲线方程为 x2－y2＝1，其渐近线方程为 y＝± 2x. 2
答案 y＝± 2x
考点一 双曲线的定义及应用
【例 1】 (1)(2020·滨州质检) x2＋（y－3）2－ x2＋（y＋3）2＝4 表示的曲线方
2021年高考总复习《双曲线的离心率计算》讲义
双曲线的离心率计算一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法. 三：典例分析：例1. 已知双曲线12222=-by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.【变式】1. 双曲线12222=-by a x 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______ 2. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45例2．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【变式】1.设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________（2）.2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为AB ．2C D例3．已知点21,F F 分别为双曲线12222=-by a x 的左右焦点，直线l 是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点P ，点P 在l 上的射影为Q ，使得||||||211F F PQ PF ≤+成立，求双曲线离心率的取值范围.12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C四．练习题1．已知双曲线()2222:10 ,0x y C a b a b-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3 C ．2 D ．32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段1F B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B C ．2 D ．33．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A ．1BC ．3D ．24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12e <≤B ．2≥eC ．1e <≤D ．e ≥5．斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．e <B ．1e <<C ．1e <<D ．e >6．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1BC ．2D ．4+7．设点(),,0A F c 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ,若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）A B ．3 C D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3BC ．43D ．39．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于,A B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．5210．已知12F F 、分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1,2D ．()2,+∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若12F A AB =，10F A AO ⋅=则C 的离心率为______. 12．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于,A B 两点，若2BF FA =，则双曲线的离心率为__________．13．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过双曲线C 的右焦点F 作C 的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 与y 轴交于点P ，且4FM PM =，则双曲线C 的离心率为__________．。
高考数学总复习第八章解析几何课时作业49双曲线文(含解析)新人教A版
高考数学总复习第八章解析几何课时作业49双曲线文（含解析）新人教A 版课时作业49 双曲线1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( A )A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3， 故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨取F (3m ＋3，0)，一条渐近线为y ＝1mx ，化成一般式即为x －my ＝0， 由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋－m2＝3，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F 1、F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( D )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k ＞0)，即x 24k －y 25k＝1， ∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1， 故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.方法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ， ∴b a ＝52②. 联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.4．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( B )A ．32B ．16C ．84D ．4解析：由题意知F 2(c,0)， 不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上， 由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ， 所以|OM |＝c 2－b 2＝a . 由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52， 所以a ＝8，b ＝4，c ＝45， 所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( B )A ．3B ．2C ．－3D ．－2解析：由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知 cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点， 得|ab |a 2＋b 2＜12a ，即c ＞2b ，即c 2＞4b 2， 又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2＞4(c 2－a 2)， 即c 2＜43a 2，所以e ＝c a ＜233，又知e ＞1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)．解析：对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为4|OF |＝|AF |＋|BF |， 所以4×p 2＝y 1＋p 2＋y 2＋p2，即y 1＋y 2＝p .①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2a 2－y2b2＝1消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2pb2a2.②由①②可得b a ＝22， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于4.解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|， ∴|BA |＝|BF 1|，∴△BAF 1为等腰三角形， ∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形． ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2. ∴S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.10．(2019·河南天一大联考)已知F 1(－c,0)、F 2(c,0)为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，过双曲线C 的左焦点的直线与双曲线C 的左支交于Q ，R 两点(Q 在第二象限内)，连接RO (O 为坐标原点)并延长交C 的右支于点P ，若|F 1P |＝|F 1Q |，∠F 1PF 2＝23π，则双曲线C 的离心率为576. 解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝x －2a ， 作Q 关于原点对称的点S ，连接PS ，RS ，SF 1. 因为双曲线关于原点中心对称， 所以|PO |＝|OR |，S 在双曲线上， 所以四边形PSRQ 是平行四边形，根据对称性知，F 2在线段PS 上，|F 2S |＝|QF 1|＝x ， 则∠F 1PS ＝2π3，根据双曲线的定义，有|F 1S |＝x ＋2a ，所以在△PF 1S 中，由余弦定理得(x ＋2a )2＝x 2＋(2x －2a )2－2·x (2x －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得x ＝73a ，所以|PF 2|＝13a ，所以在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×73a ×13a ，整理可得e ＝c a ＝576.11．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解：(1)若双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k 2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|＞|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1＞x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又因为－2＜k ＜2，且k ≠±1， 所以当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2. 12．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2， 将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.13．焦点在x 轴上的双曲线C 1的离心率为e 1，焦点在y 轴上的双曲线C 2的离心率为e 2，已知C 1与C 2具有相同的渐近线，当e 21＋4e 22取最小值时，e 1的值为( C )A ．1 B.62C. 3D ．2解析：设双曲线的方程分别为C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1，C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1，由题设b 1a 1＝a 2b 2，则e 1＝1＋b 21a 21，e 2＝1＋b 22a 22，由此可得(e 21－1)(e 22－1)＝1，即e 21e 22＝e 21＋e 22，故e 22＝e 21e 21－1，所以e 21＋4e 22＝e 21＋4e 21e 21－1＝5＋e 21－1＋4e 21－1≥9(当且仅当e 21－1＝4e 21－1时取等号)，e 21－1＝2⇒e 1＝3时取等号．14．(2019·山西太原五中月考)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( B )A ．1 B.12 C.13D.23解析：如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 因为∠F 1AF 2＝23π，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.设|BF 2|＝m ，由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|. 又知∠BAF 2＝π3，所以△BAF 2为等边三角形，边长为4a ， 所以S △ABF 2＝34|AB |2＝34×(4a )2＝43a 2， 所以S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12，故选B.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为53.解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .当P ，F 1，F 2三点不共线时， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，即e 2＝179－89cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴e ＝c a ＝53，综上，e 的最大值为53.16．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝ 1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.因为33＜k ＜1，所以－2＜1－3k 2＜0.所以m ＜－2 2. 所以m 的取值范围为(－∞，－22)．。
高考数学一轮复习课时规范练49双曲线理北师大版
课时规范练49 双曲线基础巩固组1.(河北衡水中学适应性考试,3)已知双曲线=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.x2-=1D.=12.(全国3,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.23.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,2)D.(,3)4.(湖北华中师范大学第一附属中学押题,6)已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点为M,且|F1M|=3,则双曲线C的实轴长为()A. B.3 C. D.35.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A.-B.-C.-D.-6.(湖北省调研,6)已知双曲线C:-y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=5,则|PF2|=()A.1B.3C.1或9D.3或77.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=18.已知点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.,+∞C.1,D.1,9.(湖北省冲刺,14)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足|PA|=6+|PB|,则|PB|的最小值为.10.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.11.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则|PA|+|PB|=.综合提升组12.已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关13.(四川成都双流中学模拟,11)若F(c,0)是双曲线=1(a>b>0)的右焦点,过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率e=()A. B. C. D.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.15.(四川梓潼中学模拟二,16)若双曲线=1(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正三角形的面积等于c2(其中O为坐标原点,c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率的取值范围是.创新应用组16.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M是它们的一个公共点,且|MF1|>|MF2|,线段MF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为()A.6B.3C. D.参考答案课时规范练49 双曲线1.D由双曲线-=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,可得2=,解得m=2,所以双曲线的标准方程是-=1.故选D.2.D∵双曲线C的离心率为,∴e==,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到c的渐近线距离d==2.3.A由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2-1=,∴|AB|=.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,∴tan∠AF2F1=<,e=>1.∴<,e-<.解得e∈(1,),故选A.4.B设F2M的中点为N,坐标原点为O,则ON=|F1M|=,∵点F2到渐近线的距离为b,∴+b2=c2,∴c2-b2=,∴a2=,∴a=,∴2a=3.故双曲线的实轴长为3,故选B.5.A由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴·=+-3<0.①又-=1,∴=2+2.代入①得<,∴-<y0<.6.C由双曲线的方程及其渐近线方程可得=⇒a=2,因为c2=a2+b2=4+1=5,所以c=,所以c-a=-2<1,由双曲线的定义可得||PF2|-5|=4,所以|PF2|=1或9,故选C.7.D∵双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.8.C由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤a,由e=>1可得1<e≤,故选C.9.2因为|PA|=6+|PB|,所以|PA|-|PB|=6<|AB|,因此动点P在以A,B为左、右焦点的双曲线的右支上,a=3,c=5.从而|PB|的最小值为c-a=2.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,11.2不妨设点P在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2,又|PA|2+|PB|2=36,所以2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2.12. A取点P(2,0),则M(2,1),N(2,- 1),∴·=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴·=4-1=3.故选A.13.C设∠AOF=α⇒tan α==,tan 2α==,所以BA=×OB=,所以△OAB的面积为×OB×AB==××a⇒12(a2-b2)=7ab,解得=,所以该双曲线的离心率e=.故选C.14.2该双曲线的右准线方程为x==,两条渐近线方程为y=±x,得P,,Q,-,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2×=2.15.[2,+∞)由题意,以|OP|为边长的正三角形,所以其面积为S=|OP|·|OP|sin 60°=|OP|2,由点P为双曲线上一点,得|OP|≥a,所以S=|OP|2≥a2,又因为以|OP|为边长的正三角形的面积等于c2,所以c2≥a2, 得≥2,即e≥2,所以双曲线的离心率的取值范围是[2,+∞).16.A设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),双曲线方程为-=1(a2>0,b2>0).∵线段MF1的垂直平分线过点F2,∴|F1F2|=|F2M|=2c.又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得a1-a2=2c,∴+=+===4++≥4+2=6,当且仅当=时等号成立,∴+的最小值为6.。
2021年高考数学一轮复习 9.4双曲线
2021年高考数学一轮复习 9.4双曲线A组xx年模拟·基础题组1.(xx浙江桐乡一中等四校期中联考,8)点P是双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与圆C 2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1、F2分别为双曲线C1的左、右焦点,则双曲线C1的离心率为( )A.+1B.C.D.-12.(xx福建漳州3月,3)焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.(xx河南开封一模,9)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.4.(xx北京西城一模,6)“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(xx宁夏银川一中三模)已知双曲线kx2-y2=1(k>0)的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直,则双曲线的离心率是( )A. B. C.4 D.6.(xx北京朝阳一模,12)双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点到其渐近线的距离为2,则b= ,此双曲线的离心率为.B组xx年模拟·提升题组限时:30分钟1.(xx湖北华中师大附中期中,9)若双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,点P是双曲线在第一象限内的点.若直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,且β=kα(k>1),那么α的值是( )A. B. C. D.2.(xx北京东城一模,7)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.3.(xx湖北宜昌4月,6)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,△ABF2是正三角形,那么双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.34.(xx湖北黄冈一模)已知F2、F1是双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B.C.2D.5.(xx山东青岛5月,9)双曲线C:-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为( )A. B.1+ C.2 D.2+6.(xx广东惠州5月,7)已知F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,)B.(,)C.(,2)D.(2,+∞)7.(xx湖南六校4月联考)已知双曲线T:-=1(a,b>0)的右焦点为F(2,0),且经过点R,△ABC 的三个顶点都在双曲线T上,O为坐标原点,设△ABC三条边AB,BC,AC的中点分别为M,N,P,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,k i≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为-1,则++的值为( )A.-1B.-C.1D.A组xx年模拟·基础题组1.A 由题意知,双曲线C1的焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),其中c满足c2=a2+b2,且c>0.因为2∠PF1F2=∠PF2F1,所以|PF1|>|PF2|.又因为点P是双曲线C1:-=1与圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,所以点P在双曲线的右支上,不妨设点P在第一象限,因为c2=a2+b2,所以F1、F2在圆C2:x2+y2=a2+b2上,且F1F2为圆C2的直径.所以∠F1PF2=90°,又2∠PF1F2=∠PF2F1,∴∠PF2F1=60°,又|F1F2|=2c,∴|PF2|=c,又由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+c,∵在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a+c)2+c2=(2c)2,可得e2-2e-2=0,解得e=1+(e=1-舍去).2.B 设所求双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为焦点为(0,6),所以|3λ|=36,又焦点在y轴上,所以λ=-12,选B.3.B |PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).4.A 若方程-=1表示双曲线,则(m-8)(m-10)>0,解得m>10或m<8,故“m<8”是“方程-=1表示双曲线”的充分而不必要条件,故选A.5.A 易知双曲线kx2-y2=1(k>0)的渐近线y=x与直线2x+y-3=0垂直,∴·(-2)=-1,得k=,∴a2==4,又b2=1,∴c2=a2+b2=5,∴e2==,∴e=.故选A.6.答案2;解析易知双曲线的焦点坐标为(±,0),渐近线方程为y=±bx,所以由题意知=2,即b=2,∴离心率为e===.B组xx年模拟·提升题组1.D ∵双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),即-=1(a>0),又双曲线的左顶点为A,右顶点为B,∴A(-a,0),B(a,0),设P(m,n)(m>0,n>0),则直线PA的斜率为k PA=;直线PB的斜率为k PB=,∴k PA·k PB=.(1)∵P(m,n)是双曲线x2-y2=a2(a>0)上的点,∴m2-n2=a2,得n2=m2-a2,代入(1)式得k PA·k PB=1.∵直线PA、PB的倾斜角分别为α,β,∴tan α=k PA,tan β=k PB,∴tan α·tan β=1,又由P是双曲线在第一象限内的点,知α,β均为锐角,∴α+β=,又β=kα(k>1),∴α=.故选D.2.C 由双曲线方程可知其渐近线方程为y=±x,不妨取其中一条渐近线y=x,即bx-ay=0,由题意可知圆心(2,0)到直线bx-ay=0的距离为1,即=1.化简得a2=3b2,即=.所以离心率e===,故选C.3.B 由△ABF2是正三角形,可得∠AF2F1=30°,在Rt△AF1F2中,F1F2=2c,∴AF1=c,AF2=c.根据双曲线的定义可得AF2-AF1=2a=c,∴e==.故选B.4.C 如图,设F2关于渐近线ax-by=0的对称点为P,PF2的中点为M,则OM∥PF1,∴PF2⊥PF1,又|PF1|=c,|F1F2|=2c,∴∠F1F2P=30°,∴|PF2|=c,而|PF2|=2|F2M|=2·=2b,∴3c2=4b2=4c2-4a2,即c2=4a2,得e=2.5.B 抛物线的焦点为F,且c=,所以p=2c.根据对称性可知公共弦AB⊥x轴,所以AB的方程为x=,所以不妨取A.又因为双曲线左焦点F1的坐标为,所以AF1==p,又AF=p,所以由双曲线的定义知p-p=2a,即(-1)×2c=2a,所以==+1,选B.6.D 如图所示,过点F2(c,0)且与渐近线y=x平行的直线为y=(x-c),与另一条渐近线的方程y=-x联立得解得即点M.∴|OM|==.∵点M在以线段F1F2为直径的圆外,∴|OM|>c,即>c,得>2.∴双曲线离心率e==>2.故双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).故选D.7.B 由已知得,c=2,a=,故b2=c2-a2=,故双曲线方程为-=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),将A(x1,x2),B(x2,y2)代入双曲线方程并作差得,=,则2x M=y M k1,同理可得,2x N=y N k2,2x P=y P k3.由已知得,++=-1,即++=-1,故++=-.' z35611 8B1B 講= ~40438 9DF6 鷶34634 874A 蝊*24364 5F2C 弬z。
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。