压轴训练2
高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． 综上，F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，得k ＝F ′(x )＝x －a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥－12x 20＋x 0(0<x 0≤3)恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)， 化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3， 解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3， 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和(－a ，＋∞)．综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. 当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()－a ，＋∞. (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)， 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )单调递增－2单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2， ∴a ≥－2，即a 的取值范围是[－2，＋∞)． 4．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1，不符题意； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1，不符题意． 综上，m 的取值范围是[－1,1]．5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0， 故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点； 当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝ －a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14.a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。
中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)
中考数学复习专题四几何变换压轴题试题(2)类型一图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.(1)如图1，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求证：MN＝AC；(2)如图2，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P.连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】 (1)连接BD，由∠BAD＝60°，得到△ABD为等边三角形，进而证明点E是AB的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．1．(20__·潍坊)边长为6的等边△ABC中，点D，E分别在AC，BC边上，DE∥AB，EC＝2.(1)如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．(2)如图2，将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．(结果保留根号)图1 图22．(20__·成都)如图1，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tan C＝3，求AE的长；②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．(20__·苏州)如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为____．【分析】作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，由∠B＝60°，BD＝BE，得到△BDE是等边三角形，由对称的性质得到△B′DE也是等边三角形，从而GD＝B′F，然后利用勾股定理求解．、3．(20__·安徽)在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝30 cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2)，再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为40或cm.图1 图24．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求的值．类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题．与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．(20__·青岛)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6) ，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式．【分析】 (1)根据勾股定理求出AC的值，然后分类讨论：当AP＝PO时，求出t的值；当AP＝AO时，求出t的值；(2)过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，分别用t表示出EH，DN，DG，再利用面积的和差计算即可．5．(20__·常德)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F.(1)如图1，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；(2)如图2，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M.求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图1 图2参考答案【例1】 (1)如图，连接BD，设BD交AC于点O，∵在菱形ABCD中，∠D AB＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∵DE⊥AB，∴点E为AB的中点．∵AE∥CD，∴＝＝.同理＝.∴M，N是线段AC的三等分点，∴MN＝AC.(2)∵AB∥CD，∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.∵∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝60°.当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°.∵DE＝DF＝，∠DEG＝∠DFP＝90°，∴△DEG≌△DFP，∴DG＝DP，∴△DGP是等边三角形．则S△DGP＝DG2.由DG2＝3，又∵DG＞0，解得DG＝2.∴cos∠EDG＝＝＝，∴∠EDG＝60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积是3.同理，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也是3.综上所述，当∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积是3.【变式训练】1．解：(1)当CC′＝时，四边形MCND′为菱形．理由：由平移的性质得CD∥C′D′，DE∥D′E′.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACC′＝180°－60°＝120°.∵CN是∠ACC′的角平分线，∴∠NCC′＝60°.∵AB∥DE，DE∥D′E′，∴AB∥D′E′，∴∠D′E′C′＝∠B＝60°，∴∠D′E′C′＝∠NCC′，∴D′E′∥CN.∴四边形MCND′为平行四边形．∵∠ME′C′＝∠MCE′＝60°，∠NCC′＝∠NC′C＝60°，∴△MCE′和△NCC′为等边三角形，故MC＝CE′，NC＝CC′.又E′C′＝2，CC′＝，∴CE′＝CC′＝，∴MC＝CN，∴四边形MCND′为菱形．(2)①AD′＝BE′.理由：当α≠180°时，由旋转的性质得∠ACD′＝∠BCE′.由(1)知AC＝BC，CD′＝CE′，∴△ACD′≌△BCE′，∴AD′＝BE′.当α＝180°时，AD′＝AC＋CD′，BE′＝BC＋CE′，即AD′＝BE′.综上可知，AD′＝BE′.②连接CP，在△ACP中，由三角形三边关系得，AP<AC＋CP，∴当A，C，P三点共线时AP最大，如图所示．此时，AP＝AC＋CP.在△D′CE′中，由P为D′E′中点，得AP⊥D′E′，PD′＝，∴CP＝3，∴AP＝6＋3＝9.在Rt△APD′中，由勾股定理得AD′＝＝＝2.2．解：(1)在Rt△AHB中，∠ABC＝45°，∴AH＝BH.∵∠BHD＝∠AHC＝90°，DH＝CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD＝AC.(2)①在Rt△AHC中，∵tan C＝3，∴＝3.设CH＝_，则BH＝AH＝3_，∴BC＝BH＋CH＝4_＝4，∴_＝1，∴AH＝3，CH＝1.由旋转的性质知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，∴∠EHA＝∠FHC，＝＝1，∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，∴tan∠EAH＝tan C＝3.如图，过点H作HP⊥AE于点P，则HP＝3AP，AE＝2AP.在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，即AP2＋(3AP)2＝9.∴AP＝，∴AE＝.②由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形，设AH交CG于点Q，∴∠GAH＝∠HCG，∴△AGQ∽△CHQ，∴＝，∴＝，∠AGQ＝∠CHQ＝90°.∵∠AQC＝∠GQH，∴△AQC∽△GQH.又∵旋转角为30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，∴∠QAG＝30°，∴＝＝＝＝2.【例2】如图，作DF⊥B′E于点F，B′G⊥AD于点G，∵∠B＝60°，BD＝BE＝4，∴△BDE是边长为4的等边三角形．∵将△BDE沿DE所在的直线折叠得到△B′DE，∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，∴GD＝B′F＝2.∵B′D＝4，∴B′G＝＝2.∵AB＝10，∴AG＝10－6＝4，∴AB′＝＝2.故答案为2.【变式训练】3．40或4．(1)证明：由折叠的性质知，DG＝FG，ED＝EF，∠AED＝∠AEF，∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠AED，∴∠FGE＝∠AEF，∴FG＝FE，∴DG＝GF＝EF＝DE，∴四边形DEFG为菱形．(2)解：设DE＝_，根据折叠的性质，EF＝DE＝_，EC＝8－_，在Rt△EFC中，FC2＋EC2＝EF2，即42＋(8－_)2＝_2.解得_＝5，CE＝8－_＝3.∴＝.【例3】(1)∵在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝10 cm.①当AP＝PO时，如图，过点P作PM⊥AO，∴AM＝AO＝.∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴＝，∴AP＝t＝.②当AP＝AO时，t＝5.∵0＜t＜6，∴t＝或t＝5均符合题意，∴当t＝或t＝5时，△AOP是等腰三角形．(2)如图，过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PAO＝∠ECO.∵点O是对角线AC的中点，∴AO＝CO.又∵∠AOP＝∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE＝AP＝t.∵△CEH∽△CAB，∴＝，∴EH＝.∵S△ADC＝AD·DC＝DN·AC，∴DN＝＝.∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN，∴＝，即＝.∴QM＝，∴DG＝－＝.∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴＝＝，∴FQ＝，∴S＝S△OEC＋S△OCD－S△DFQ＝OC·EH＋OC·DN－DG·FQ＝－t2＋t＋12，即S与t的函数关系式为S＝－t2＋t＋12.【变式训练】5．证明：(1)在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴△ABE≌△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，则BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴＝＝，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴＝.由①知GM＝2MC，∴AG＝2NC.∵∠BAC＝∠AEB＝90°，∴∠ABF＝∠CAN＝90°－∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴＝.∵AB＝2AG，∴＝，∴2CN·AG＝AF·AC，∴AG2＝AF·AC.。
中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练(二)
2022年中考一轮复习数学几何专题：四边形压轴训练（二）1．【实验操作】如图1是一张矩形纸片，点E在边AB上，把△BCE沿着直线CE对折，点B恰好落在对角线AC上的点F处．【性质探究】如图2，连接DF，若点E，F，D在同一直线上．（1）请写出图中与边DC相等的线段并说明理由．（2）若AE＝2，求EF的长．【迁移应用】（3）如图3，延长EF交边AD于点G，若DG：AG＝n，且AE＝2，求BE的长（请用含n的代数式来表示）．2．（1）问题提出如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，线段AD，BE之间的数量关系为，∠AEB的度数为；（2）问题探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）问题解决如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．3．定义：在四边形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我们把这样的四边形称为余对角四边形．【问题探索】问题：如图1，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝BC，∠ACB＝60°．求证：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：因为AC＝BC，∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，将△CBD绕点C顺时针方向旋转60°，得△CAE，连接DE．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．【问题推广】已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝k⋅BC，tan∠ACB＝．（1）如图2，当k＝1时，类比前面问题的解决，探究DA、DB、DC三者之间关系，并说明理由．（2）如图3，当AD＝，BD＝，DC＝5时，则k的值为；【灵活运用】如图4，已知AC、BD是余对角四边形ABCD的对角线，AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝．4．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（﹣2，0），连接AB，点C是线段OA上一点，以OC为边作正方形OCDE，如图1．（1）问题发现图1中，线段BE与AC的数量关系是，位置关系是．（2）问题探究如图2，将正方形OCDE绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AC，BE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展应用若OC＝1，将正方形OCDE绕点O旋转，当B，E，C三点共线时，请直接写出线段AC 的长．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．（1）求证：△EGF≌△EDF；（2）求证：BG＝CD；（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．6．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．7．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，现将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F．（1）如图1，求证：四边形BEFE′是正方形；（2）连接DE，①如图2，若DA＝DE，求证：F为CE′的中点；②如图3，若AB＝15，CF＝3，试求DE的长．8．在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG，E（2，0），B（0，2）．（Ⅰ）如图①，求BE的长；（Ⅱ）将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形OB′C′D′．①如图②，当点B′恰好落在线段D'G上时，求B'E的长；②将正方形OB'C'D'绕点O继续逆时针旋转，线段D'G与线段B'E的交点为H，求△GHE与△B'HD'面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标（直接写出结果）．9．已知，如图①将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平；再如图②，将图①中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．（Ⅰ）如图①，填空：若AD＝3，则ED的长为；（Ⅱ）如图②，连接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅲ）如图②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接写出结果即可）10．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC 边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，请直接写出DE的长．11．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，求PC的长．12．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E 处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．13．如图，点E是正方形ABCD的边BA延长线上一点，连接DE，过点A作AH∥DE交CD于点H，交BC延长线于点F，点M、N分别是DE、AH的中点，连接AM、DN．（1）求证：四边形AMDN是菱形；（2）若S菱形MADN：S正方形ABCD＝1：3，求CF：AB的值．14．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题．（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在，请求出t值；如果不存在，请说明理由；（4）如果△COQ是等腰三角形，请直接写出所有符合题意的时刻：．15．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．性质探究：（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．问题解决：（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE 的中线OH的长．。
2021年中考数学压轴题专项训练三角形含解析2
20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。
常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。
2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。
3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。
接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。
题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。
解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。
②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。
③若a0，函数f(x)单调递增。
2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。
在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。
2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。
2021年中考数学二次函数压轴题专练2
压轴题综合练：《二次函数》1．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）2．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．3．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只）2 3 4 5 6销量q（只）70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为．4．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．5．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．7．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．8．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE ：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB ＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020•十堰）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x 天（x 为整数）的生产成本为m （元/台），m 与x 的关系如图所示．（1）若第x 天可以生产这种设备y 台，则y 与x 的函数关系式为 ，x 的取值范围为 ；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．11．（2020•湖北）把抛物线C 1：y ＝x 2+2x +3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2．（1）直接写出抛物线C 2的函数关系式；（2）动点P （a ，﹣6）能否在抛物线C 2上？请说明理由；（3）若点A （m ，y 1），B （n ，y 2）都在抛物线C 2上，且m ＜n ＜0，比较y 1，y 2的大小，并说明理由．12．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x 为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）13．（2020•荆门）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．14．（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．15．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？16．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件） 4 5 6y（件）10000 9500 9000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．17．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．18．（2020•武汉）将抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1，再将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．（1）直接写出抛物线C 1，C 2的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线C 1（对称轴l 右侧）上，点B 在对称轴l 上，△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y ＝kx （k ≠0，k 为常数）与抛物线C 2交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线y ＝﹣x 与抛物线C 2交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．19．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．参考答案1．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），令y＝0，得到x＝1，∴C（0，1），∴OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°．（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，∴∠NME＝∠MDF，∵NM＝DM，∴△MEN≌△DFM（AAS），∴NE＝MF，EM＝DF，∵∠CAO＝45°，AN＝t，AM＝3t，∴AE＝EN＝t，∴EM＝AM﹣AE＝2t，∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，∴D（4t﹣1，2t），∴﹣（4t﹣1）2+（4t﹣1）+1＝2t，∵t＞0，故可以解得t＝，经检验，t＝时，M，N均没有达到终点，符合题意，∴D（2，）．（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，∵M（，0），D（2，），B（4，0）∴FM＝2﹣＝，DM＝，BM＝，BD＝，∴DF＝2MF，∵OC＝2OE，∴tan∠OCE＝tan∠MDF＝，∴∠OCE＝∠MDF，∴∠OCP＝∠MDB，∴∠ECG＝∠FDB，∴tan∠ECG＝tan∠FDB＝，∵EC＝，∴EG＝，可得G（，），∴直线CP的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P（，），C（0，1），∴PC＝，当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，∴OK＝2OC＝2，∴点K与F重合，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P （5，﹣）， ∴PC ＝， 当＝或＝时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ ＝或， ∴Q （0，﹣）或（0，﹣）．当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （，﹣），Q （0，﹣）或（0，），当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠DMB 时，同法可得P （1，），Q （0，）或（0，）， 当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠MDB 时，同法可得P （，），Q （0，）或（0，）， 当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （﹣，﹣），Q （0，﹣）或（0，﹣）．2．解：（1）把A （﹣3.1）代入y ＝﹣x 2+kx ﹣2k ，得﹣9﹣3k ﹣2k ＝1．解得k ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +4；（2）如图1，设C （t ，﹣t 2﹣2t +4），则E （t ，﹣﹣t +2），设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣3，1），（0，4）代入得到，，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +4，∵E （t ，﹣﹣t +2）在直线AB 上， ∴﹣﹣t +2＝t +4，解得t 1＝t 2＝﹣2，∴C（﹣2，4）．（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），二次函数的顶点N（，﹣2k），①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若＞2时，则k＞4，∵M（2﹣，0），H（2，﹣4），∴MI＝，HI＝4，∴tan∠MHI＝＝，∴∠MHI＝30°，∵∠MHN＝60°，∴∠NHI＝30°，即∠GNH＝30°，由图可知，tan∠GNH＝＝＝，解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．若＜2，则k＜4，同理可得，∠MHI＝30°，∵∠MHN＝60°，∴NH⊥HI，即﹣2k═﹣4，解得k＝4（不符合题意舍弃）．③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．3．解：（1）根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．即有W＝，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x＝5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，故当x＝20时，W有最大值为：300元；由495＞300，可知：第5天时利润最大为495元．（3）根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），∴1250m≥2000，解得m≥．则m的取值范围为m≥．故答案为：m≥．4．（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，∴OA＝OC＝，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE＝AB，BC＝2OE，∴E（，﹣1），∴EM＝，∴OE＝＝＝，∴BC＝2OE＝，在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE ＝，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON＝2，DN＝1，∴D（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，解得：a＝，∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，∴DE＝＝＝，tan∠DEG＝＝，∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG＝∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP＝，∵S△AOB＝＝，∵S△EPQ ＝S△OAB，∴＝，即，解得：x＝或﹣；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP＝，同理得：，解得：x＝或﹣；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．5．解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m﹣m2＝，∴m＝或m＝0（舍），∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．6．解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，∴x≤10，∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，综上所述：w＝；（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元，当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，∴当x＝28时，w有最大值为46400元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；（3）∵40000＞18000，∴10＜x≤30，∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，∴x1＝20，x2＝36，∴当20≤x≤36时，w≥40000，又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30，此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∴对称轴为直线x＝﹣＝28+a，∵a＜4，∴28+a＜30，∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元∴（28+a﹣6﹣a）[﹣100×（28+a）+5000]﹣2000＝42100，∴a1＝2，a2＝86，∵a＜4，∴a＝2．7．解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴，解得b＝1，∴c＝3，∴二次函数的解析式为；（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）∴点A（2，0），顶点B（2，4），∴AB＝AC＝4，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1＝45°；∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，设点M的坐标为（m，0），∴点F（m，6﹣m），又∵∠2＝45°，∴直线EF与x轴的夹角为45°，∴设直线EF的解析式为y＝x+b，把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：b＝6﹣2m，直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，∵直线EF与抛物线只有一个交点，∴，整理得：，∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m＝，点M的坐标为（，0）．当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（，0）．（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，∵，由（2）知∠BCA＝45°，∴PG＝GC＝1，∴点G（5，0），设点M的坐标为（m，0），∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴EM＝PM，∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，∴∠HEM＝∠GMP，在△EHM和△MGP中，，∴△EHM≌△MGP（AAS），∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1，∴点H（m﹣1，0），∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）；∴EA＝＝，又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0），∴点D（4，2），∴ED＝＝，∴EA＝ED．当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0，解得：m＝或m＝，∴CM＝或CM＝．8．解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）如图1中，连接AC，BC．∵S △ACE ：S △CEB ＝3：5，∴AE ：EB ＝3：5，∵AB ＝4，∴AE ＝4×＝，∴OE ＝0.5，设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，则有，解得， ∴直线EC 的解析式为y ＝﹣6x +3．（3）由题意C （0，3），D （1，4）．当四边形P 1Q 1CD ，四边形P 2Q 2CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1， 当y ＝1时，﹣x 2+2x +3＝1，解得x ＝1±，∴P 1（1+，1），P 2（1﹣，1），当四边形P 3Q 3DC ，四边形P 4Q 4DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为﹣1， 当y ＝﹣1时，﹣x 2+2x +3＝﹣1， 解得x ＝1±，∴P 1（1+，﹣1），P 2（1﹣，﹣1），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．（4）如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF +FH 的值最小．∵H （0，），B （3，0），∴直线BH 的解析式为y ＝﹣x +，∵x ＝1时，y ＝，∴F （1，），设K （x ，y ），作直线y ＝，过点K 作KM ⊥直线y ＝于M ．∵KF ＝，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴（x ﹣1）2＝4﹣y ， ∴KF ＝＝＝|y ﹣|，∵KM ＝|y ﹣|，∴KF ＝KM ，∴KG+KF＝KG+KM，根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝时，GK+KM的值最小，最小值为，此时K（2，3）．9．（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，当时，y＝4，∴D（1，4）；（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0）．设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C（0，3），B（3，0）代入，得，解得，∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．∴．∴．把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G（m，﹣m+3）．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即．解得m＝2或m＝﹣3．∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m＝﹣3，（舍去）．∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，∴；（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，∵点D（1，4），B（3，0），∴y DB＝﹣2x+6．∵点A（﹣1，0），点C（0，3），∴y AC＝3x+3，联立得，∴，∴．设，把（﹣1，0）代入，得b＝，∴，联立得，∴，∴，∴＝，，∴AN＝HN．∴∠H＝45°．设点P（n，﹣n2+2n+3）．过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴．∴OP2＝OB•OS．∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．∴n＝0或或n＝3（舍去）．（0，3），，．∴P110．解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；（2）设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，∵800＞0，∴w随x的增大而增大，＝800×6+8000＝12800．∴当x＝6时，w最大值当6＜x≤12时，设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：，解得：，∴m与x的关系式为：m＝50x+500，∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）＝﹣100x2+400x+14000＝﹣100（x﹣2）2+14400．∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，∵12800＞11900，∴当x＝6时，w最大，且w＝12800元，最大值答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．（3）由（2）可得，1≤x≤6时，800x+8000＜10800，解得：x＜3.5则第1﹣3天当天利润低于10800元，当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，∴第9﹣12天当天利润低于10800元，故当天销售利润低于10800元的天数有7天．11．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．12．解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，解得，，即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，，解得，，即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）设当月第x天的销售额为w元，当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．13．解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣3），设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝4k﹣3，∴k＝，∴直线AB解析式为：y＝x﹣3，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线顶点坐标为（，﹣）；（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），∴BD＝＝x，PD＝（x﹣3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+2x，∴PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，∵＜x＜4，﹣＜0，∴当x＝时，PD+BD有最大值为，此时，点P（，﹣）；（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，联立方程组可得：，∴x 2﹣2（m +）x +m 2﹣＝0，设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2）， ∵直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点， ∴x 1，x 2是方程x 2﹣2（m +）x +m 2﹣＝0的两根，∴x 1+x 2＝2（m +）， ∵点A 是MN 的中点， ∴x 1+x 2＝8， ∴2（m +）＝8， ∴m ＝，∴平移后的抛物线L '解析式为y ＝（x ﹣）2﹣＝x 2﹣x +．14．解：（1）由题意得：，解得：．∴a ＝1，b ＝30；（2）由（1）得：y ＝x 2+30x ，设A ，B 两城生产这批产品的总成本为w ， 则w ＝x 2+30x +70（100﹣x ） ＝x 2﹣40x +7000， ＝（x ﹣20）2+6600， ∵a ＝1＞0，由二次函数的性质可知，当x ＝20时，w 取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A 城生产20件，B 城生产80件；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为（20﹣n ）件，从B 城运往C 地的产品数量为（90﹣n ）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，由题意得：，解得10≤n≤20，∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），整理得：P＝（m﹣2）n+130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．15．解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，设直线AB'的解析式为y＝kx+m，∴，∴，直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，联立①②并解得：x＝3或﹣2，故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠MNC＝90°，∴∠MNO+∠CNH＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠MNO＝∠NCH，∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，解得：m＝﹣n2+n；②m＝﹣n2+n，∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，而m＞0，故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．16．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．17．解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；答案的第（2）小题，tan∠AED＝OC/OE＝（4a﹣6）/（3/a﹣2）应改在此处添加绝对值符号，或者将4a﹣6改为6﹣4a（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，故点C、E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），则CE＝＝；（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；则PF＝﹣t2﹣3t+，由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，∵FH⊥DE，JF∥y轴，故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，∴△FJH∽△ECO，故，则FH＝，f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；∴当﹣5＜m＜﹣3时，f max＝﹣m2﹣4m+；当﹣3≤m＜0时，f max＝．18．解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A（4，﹣2）或（5，3）；（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴x E+x F＝k，∴M（），把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，∴，∴N（，），设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线MN的解析式为：，当x＝0时，y＝2，∴直线MN：经过定点（0，2），即直线MN经过一个定点．19．解：（1）令x ＝0，得y ＝﹣x +2＝2，∴A （0，2），令y ＝0，得y ＝﹣x +2＝0，解得，x ＝4，∴C （4，0），把A 、C 两点代入y ＝﹣x 2+bx +c 得， ，解得，∴抛物线的解析式为，令y ＝0，得＝0， 解得，x ＝4，或x ＝﹣2，∴B （﹣2，0）；（2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1，设M （a ，），则N （a ，）， ∴＝，∵， ∴S 四边形ABCM ＝S △ACM +S △ABC ＝， ∴当a ＝2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8，此时M 的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．。
中考压轴题分解训练2
中考压轴题分解训练2——线束定理一、线束定理文字描述：两条平行直线被共点的三条直线所截，截得的线段对应成比例。
图像：如下图1图2 符号描述：∵ AC //DF ∴AB DE BC EF=二、定理证明教材中，该定理没有直接介绍，因此，我们不能直接使用， 以上定理仅仅是作为助记的模式。
当然，本题的证明也非常方便。
具体过程如下：∵ AC //DF∴,AB OB OB BC DE OE OE EF== ∴ AB BC DE EF =，即AB DE BC EF =三、例题分析线束定理研究的是平行线中“横杠”的关系，对于比较复杂 的构型中，平行直线上的线段比问题，往往收有奇效。
例题1：求证：三角形的三条中线交于一点。
思路点拨：本题是课本上的中线定理，大家都很熟悉，但是真的要 同学们进行证明，却有很多同学写不出清晰的证明。
首先，我们注意到本题的考察点是三线共点，这类问题一般都 没有直接的证法处理，退而求其次，我们使用间接证法。
改写：△ABC 中，E 、F 为AC 、AB 的中点，BE 和CF交于点G ，射线AG 和BC 交于点D ，求证：D 为BC 的中点。
（1）使用线束定理，需要一组平行线，连接EF ，利用中位线的性质，得到EF //BC ，提供了基本素材。
（2）从中抽提出基本结构，应用线束定理进行处理由(1)，(2)BD CD BD CD CD BD⇒=⇒=，得证。
例题2：过凸四边形ABCD 的对角线交点O 作AB 的平行线交DA 、CB及DC 的延长线分别于E 、F 、G 。
求证：GF GE GO ⋅=2。
//(1)EF BCFH BD HE CD∴= //(2)EF BCFH CD HE BD ∴=思路剖析：本题条件中，除了相交以外，最重要的就是EF //AB ，而所求的 结论是一条平行线段上的线段比关系。
因此我们尝试使用线束定理 进行求解。
为了使用线束定理，我们将本题补齐，构造出线束定理的结构 来进行研究。
2022年中考数学二次函数压轴突破 专题02 将军饮马模型(教师版含解析)
将军饮马模型考情分析：通过全国中考试题分析来看，将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x 轴的交点.考法主要有以下几种：1.求取最小值时动点坐标2.求最小值.3.求三角形或四边形周长最小值.模型一：两定点一动点如图，A,B 为定点，P 为l 上动点，求AP+BP 最小值解析：作点A 关于直线的对称点A'，连接P A'，则P A '=P A ，所以P A +PB =P A '+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，P A'+PB =A'B ，此时为最小值(两点之间线段最短)PBAA 'ABP 折点端点A 'P BA如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 和OB 上的动点，求△PMN 周长最小值解析：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点，则△PMN 的周长为PM +MN +NP =P'M +MN +NP ''，当P '、M 、N 、P ''共线时，△PMN 周长最小．模型三：两定点两动点如图，P 、Q 为两定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求四边形PQMN 的最小值.解析：∵PQ 是条定线段，∴只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可， 分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称， PM +MN +NQ =P 'M +MN +NQ '，当P '、M 、N 、Q '共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
BBBB如图，P 为定点，M 、N 分别为OA 、OB 上的动点，求PM +MN 最小值。
解析：作点P 关于OA 对称的点P '，PM +MN =P 'M +MN ，过点P '作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ， 得PM +MN 最小值(点到直线的连线中，垂线段最短)模型五：将军饮马有距离例一、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 上两动点，BC 为定值，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；平移AB 至CE ,则变成求CE+CD 的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A 、D 为定点，B 、C 为直线l 1 、l 2上两动点，BC ⊥l 1，求AB+BC+CD 最小值？解析：BC 为定值，只需求AB+CD 最小即可；BB平移CD至BE，则变成求AB+BE最小，基本将军饮马.经典例题剖析：例一：如图1(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点(1,0)A、(5,0)B、(0,4)C三点．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC+的值为最小的点P坐标(请在图1中探索)；【分析】(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，即可求解；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，即可求解；【解答】解：(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：2(1)(5)(65)y a x x a x x=--=-+，则54a=，解得：45a=，抛物线的表达式为：224424(65)4555y x x x x=-+=-+，函数的对称轴为：3x=，顶点坐标为16(3,)5-；(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA PC+的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y kx b=+得：054k bb=+⎧⎨=⎩，解得：454kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线BC的表达式为：445y x=-+，当3x =时，85y =， 故点8(3,)5P ；例二：如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，与x 轴另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上找一点E ，使EC ED +的值最小，求EC ED +的最小值；【分析】(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)，将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，即可求解； 【解答】解：(1)直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,3)， 将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：223y x x =-++，令0y =，则1x =-或3，故点(1,0)A -； (2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接CD '交x 轴于点E ，则此时EC ED +为最小，函数顶点D 坐标为(1,4)，点(0,3)C '-，将C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线C D '的表达式为：73y x =-， 当0y =时，37x =， 故点3(7E ，0)，则EC ED +的最小值为DC '=例三：如图，以D 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+． (1)求抛物线的表达式；(2)在直线BC 上有一点P ，使PO PA +的值最小，求点P 的坐标；【分析】(1)先求得点B 和点C 的坐标，然后将点B 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得到关于b 、c 的方程，从而可求得b 、c 的值；(2)作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '，则OP AP +的最小值为AO '的长，然后求得AO '的解析式，最后可求得点P 的坐标；【解答】解：(1)把0x =代入3y x =-+，得：3y =，(0,3)C ∴． 把0y =代入3y x =-+得：3x =，(3,0)B ∴，将(0,3)C 、(3,0)B 代入2y x bx c =-++得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得2b =，3c =．∴抛物线的解析式为223y x x =-++．(2)如图所示：作点O 关于BC 的对称点O '，则(3,3)O '． O '与O 关于BC 对称，PO PO ∴='．OP AP O P AP AO ∴+='+'．∴当A 、P 、O '在一条直线上时，OP AP +有最小值．设AP 的解析式为y kx b =+，则033k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：34k =，34b =．AP ∴的解析式为3344y x =+． 将3344y x =+与3y x =-+联立，解得：127y =，97x =，∴点P 的坐标为9(7，12)7．例四：如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；【分析】(1)由于条件给出抛物线与x 轴的交点(1,0)A -、(3,0)B ，故可设交点式(1)(3)y a x x =+-，把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．(2)由于点A 、B 关于对称轴：直线1x =对称，故有PA PB =，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆=+最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x =代入即求得点P 纵坐标．【解答】解：(1)抛物线与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ∴可设交点式(1)(3)y a x x =+- 把点(0,3)C 代入得：33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴抛物线解析式为223y x x =-++(2)在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC点P 在抛物线对称轴直线1x =上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴=PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +=最小 (1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C221310AC ∴=+=，223332BC =+=1032PAC C AC CB ∆∴=+=+最小设直线BC 解析式为3y kx =+把点B 代入得：330k +=，解得：1k =-∴直线:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴点(1,2)P 使PAC ∆的周长最小，最小值为1032+专题训练1．(2020秋•马山县期中)如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、(1,0)B ，与y 轴交于点C ，直线122y x =-经过点A 、C ．抛物线的顶点为D ，对称轴为直线l ． (1)求抛物线的解析式；(2)设点G 是y 轴上一点，是否存在点G ，使得GD GB +的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用一次函数的性质求得点A 、C 的坐标，然后把点A 、B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；(2)利用轴对称-最短路径方法得点G ，先计算B D '的解析式，令0x =可得点G 的坐标． 【解答】解：(1)如图1，对于直线122y x =-，令0y =，得4x =，令0x =，得2y =-，∴点(4,0)A ，点(0,2)C -，将(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -代入抛物线解析式得：164002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线解析式为215222y x x =-+-；(2)存在．如图3，取点B 关于y 轴的对称点B '，则点B '的坐标为(1,0)-，连接B D '，直线B D '与y 轴的交点G 即为所求的点．22151592()22228y x x x =-+-=--+，∴顶点5(2D ，9)8，设直线B D '的解析式为(0)y kx d k =+≠， 则05928k d k d -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：928928k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B D '的解析式为992828y x =+， 当0x =时，928y =， ∴点G 的坐标为9(0,)28． 2．(2019•遵义)如图，抛物线21:2C y x x =-与抛物线22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，它们相交于O ，C 两点，且分别与x 轴的正半轴交于点B ，点A ，2OA OB =．(1)求抛物线2C 的解析式；(2)在抛物线2C 的对称轴上是否存在点P ，使PA PC +的值最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；【分析】(1)1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，将点A 的坐标代入2C 的表达式，即可求解；(2)作点C 关于1C 对称轴的对称点(1,3)C '-，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小，即可求解；【解答】解：(1)令：220y x x =-=，则0x =或2，即点(2,0)B ，1C 、22:C y ax bx =+开口大小相同、方向相反，则1a =-，则点(4,0)A ，将点A 的坐标代入2C 的表达式得：0164b =-+，解得：4b =，故抛物线2C 的解析式为：24y x x =-+；(2)联立1C 、2C 表达式并解得：0x =或3，故点(3,3)C ，作点C 关于2C 对称轴的对称点(1,3)C '，连接AC '交函数2C 的对称轴于点P ，此时PA PC +的值最小为：线段AC '的长度=此时点(2,2)P ；3．(2020秋•金乡县期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，A 点的坐标为(1,0)-．(1)求二次函数的解析式；(2)若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC ∆的周长．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，进而求解．【解答】解：(1)(1,0)A -，(0,3)C -在2y x bx c =++上， 则103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；(2)点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点Q ，连接AQ ，则此时QAC ∆的周长最小，理由：QAC ∆的周长AC AQ QC AB AQ QC BC CQ =++=++=+为最小，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为3y x =-，当1x =时，32y x =-=-，即点(1,2)Q -，则QAC ∆的周长最小值BC AC =+==．4．(2020秋•房县期中)如图，抛物线213y x mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴1x =．(1)求出抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；(2)在对称轴上方是否存在点D ，使三角形ADC 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标；若不存在．说明理由(使用图1)；【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小，进而求解；【解答】解：(1)抛物线与y 轴交于点(0,1)C -，且对称轴x l =， 则11231m n -⎧-=⎪⎪⨯⎨⎪=-⎪⎩，解得231m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线解析式为212133y x x =--， 令2121033y x x =--=，得：11x =-，23x =， (1,0)A ∴-，(3,0)B ；(2)在对称轴上存在D 使三角形形DAC 的周长最小，连接CB 交对称轴于点D ，此时三角形DAC 周长最小．设BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B 、(0,1)C -分别代入上式得：130b k b =-⎧⎨+=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故直线BC 的解析式为113y x =-， 当1x =时，23y =-， 所以点D 的坐标为2(1,)3-； 5．(2020秋•青羊区校级期中)如图，抛物线25()2y a x h =-+经过点(1,0)A ，(0,3)C ． (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；【分析】(1)根据函数的对称性即可求解；(2)A、B两点关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，则P点即为所求，进而求解；【解答】解：(1)由抛物线表达式知，函数的对称轴为52x=，而点(1,0)A，根据点的对称性，则512(1)42xB=+⨯-=，故点B的坐标为(4,0)；(2)存在，理由：抛物线经过点(1,0)A，(4,0)B，A∴、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC ∴与对称轴的交点即为所求的点P ，此时PA PC BC +=，∴四边形PAOC 的周长最小值为：OC OA BC ++，(1,0)A ，(4,0)B ，(0,3)C ，设直线BC 解析式为y kx n =+，把B 、C 两点坐标代入可得403k n n +=⎧⎨=⎩，解得343k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为334y x =-+， 由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为52x =， 当52x =时，39348y x =-+=， 故点P 的坐标为5(2，9)8； 6．(2019•柳州)如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E 关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点． (1)求抛物线的解析式；(2)求BDP ∆周长的最小值；【分析】(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，即可求解；(2)过点B 作直线3y x =-的对称点B '，连接BD 交直线3y x =-于点P ，直线B B '交函数对称轴与点G ，则此时BDP ∆周长BD PB PD BD B B =++=+'为最小值，即可求解；【解答】解：(1)直线3y x =-，令0x =，则3y =-，令0y =，则3x =，故点A 、C 的坐标为(3,0)、(0,3)-，则抛物线的表达式为：2(3)(1)(43)y a x x a x x =--=-+，则33a =-，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：243y x x =-+-⋯①；(2)连接DB '交于直线于P ；此时三角形BDP 周长BD PB PD BD DB =++=+'为最小值，(2,1)D ，则点(2,1)G -，即：BG EG =，即点G 是BB '的中点，过点(3,2)B '-，BDP ∆周长最小值BD B D =+'7．(2019•荆州)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(6,0)，(4,3)，经过B ，C 两点的抛物线与x 轴的一个交点D 的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若AOC ∠的平分线交BC 于点E ，交抛物线的对称轴于点F ，点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标；【分析】(1)由平行四边形OABC 的性质求点B 坐标，根据抛物线经过点B 、C 、D 用待定系数法求解析式．(2)由OE 平分AOC ∠易证得COE AOE OEC ∠=∠=∠，故有CE OC =，求得点E 坐标，进而求得直线OE 解析式．求抛物线对称轴为直线7x =，即求得点F 坐标．作点E 关于x 轴的对称点点E '，由于点P 在x 轴上运动，故有PE PE '=，所以当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小．用待定系数法求直线E F '解析式，即求得E F '与x 轴交点P 的坐标．【解答】解：(1)平行四边形OABC 中，(6,0)A ，(4,3)C6BC OA ∴==，//BC x 轴610B C x x ∴=+=，3B C y y ==，即(10,3)B设抛物线2y ax bx c =++经过点B 、C 、(1,0)D∴10010316430a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：19149139a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为211413999y x x =-+-(2)如图1，作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P (4,3)C5OC ∴= //BC OAOEC AOE ∴∠=∠ OE 平分AOC ∠AOE COE ∴∠=∠OEC COE ∴∠=∠5CE OC ∴==59E C x x ∴=+=，即(9,3)E∴直线OE 解析式为13y x = 直线OE 交抛物线对称轴于点F ，对称轴为直线：149712()9x =-=⨯-7(7,)3F ∴点E 与点E '关于x 轴对称，点P 在x 轴上 (9,3)E '∴-，PE PE '= ∴当点F 、P 、E '在同一直线上时，PE PF PE PF FE ''+=+=最小 设直线E F '解析式为y kx h =+ ∴93773k h k h +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：8321k h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线8:213E F y x '=-+ 当82103x -+=时，解得：638x = ∴当PE PF +的值最小时，点P 坐标为63(8，0)．。
专题02 二次函数解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年九年级数学期末复习压轴题训练
专题02 二次函数解答题压轴训练（原卷版）1．已知二次函数y1＝ax2+4ax+4a﹣1的图象是M．（1）求M关于点R（1，0）中心对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为，求a的值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接P A、PB．（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．3．已知一次函数y1＝x﹣1，二次函数y2＝x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．5．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1，和y2＝x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．6．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2﹣2nx+1，若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．7．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t＝﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．8．已知：抛物线C1：y＝ax2经过点（2，），抛物线C2：y＝x2．（1）求a的值；（2）如图1，直线y＝kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C2，C1于M，N两点．求证：MO＝MN．9．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2）（1）当x分别取﹣1，0，1时对应的函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．（2）对于m，当x＞k时，y随x的增大而增大，求k的最小整数值．（3）若函数过（a，b）点和（a+6，b）点，求b的取值范围．10．对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）＝，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）＝＝﹣12．（1）如果M（2x，1）＝M（1，﹣1），求实数x的值；（2）若令y＝M（x+，x﹣），则y是x的函数，当自变量x在﹣1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．11．已知二次函数y＝2x2+m．（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．12．已知抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）上．（1）求出当实数a变化时，抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．13．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果则＜x＞＝n．如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝（π为圆周率）；②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为；（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞＝m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞＝＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞＝的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜＞＝n的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．14．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标．16．已知直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点．（1）若点A的横坐标为2，求b﹣k的值；（2）若点A的横坐标为m，抛物线顶点的纵坐标为n，点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m﹣k的大小．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x 轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y 轴上时，求△EGP的面积．18．直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线表达式；（2）点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．19．已知函数y＝．（1）|k|＝2，请画出符合条件的函数图象；（2）k的值分别取k1，k2时，得到两个函数，，其中k1＜k2且k1+k2＝0，y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的；（3）在（2）的条件下，请求出当y1＜y2时，x的取值范围．20．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y 轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．22．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．（1）求a的值；（2）求a18+323a﹣6的值．23．已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；（2）若二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；①求二次函数y1的解析式；②已知一次函数y2＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y3＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3＝ax2+bx+c的解析式．24．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；（1）求证：b2＞2（b+2c）；（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S△ABC＝8；（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线的对称轴上一动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E．则x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使S△QBE＝15？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴的另一个交点为C．（1）求出此抛物线的表达式及点C坐标；（2）如图1，AB的中点记为D，∠MDN＝30°，将∠MDN绕点D在AB的左侧旋转，DM与射线BO交于点E，DN与射线AO交于点F．设BE＝m，AF＝n（m＞0，n＞0），求m关于n的函数关系式．（3）当∠MDN的边经过点C时，求m，n的值（直接写出结果）．29．如图（1），抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，已知A、C两点的坐标为A（﹣1，0），C（0，3）．点P是抛物线上第一象限内一个动点．（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△OBP≌△OCP，若存在，求点P的坐标；（3）如图2，y轴上有一点D（0，1），连结DP交BC于点H，若H恰好平分DP，求点P的坐标；（4）如图3，连结AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F关于直线AP轴对称，求点E的坐标．30．如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），C（4，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为抛物线第四象限上一点，AP交y轴于Q，设点P的横坐标为t，求线段BQ的长d与t的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，D为抛物线第一象限上的一点，过D作y轴的平行线，分别交BP、AP于M、N，过P作PH⊥直线DM于H，连接AD交BP于E，若MN＝NH，∠DEP+∠ABO＝90°，求点D的坐标．31．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．32．如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．。
2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二：与角的度量有关的压轴题(附答案
2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二:与角的度量关系相关的压轴题(附答案)方法提炼:1.将角的度量关系转化为边的数量,利用边的数量关系求解问题的答案｡2.利用角的度量关系,寻找问题中的特殊角,结合三角函数求解｡3.利用角的度量关系,构建图形的全等､相似,利用图形的全等､相似的性质求解典例引领:例:如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S:S△CDF=4:3时,求点D的坐标.△COF(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.解:(1)∵OB=OC=4,∴B(4,0),C(0,4),把B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+3x+c,得,解得∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)如图1,设直线BC解析式为y=kx+b,则,解得∴直线BC解析式为y=﹣x+4,令点D､F的横坐标分别为x D,x F,∵S△COF:S△CDF=4:3,∴S△COF=S△COD,即OC•x F=×OC•x D,∴x D=x F,设点D横坐标为7t,点F横坐标为4t,∵点F在直线BC上,∴F(4t,4﹣4t),设直线OF解析式为y=k′x,则4﹣4t=4tk′,∴k′==,∴直线OF解析式为y=x,∵点D在直线OF上,∴D(7t,7﹣7t),将D(7t,7﹣7t)代入y=﹣x2+3x+4中,得7﹣7t=﹣(7t)2+3×7t+4,解得:t1=,t2=,∴D的坐标为(1,6)或(3,4);(3)①当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图2,作BE的垂直平分线交OB于F,连接EF,在∠BEO内部作射线EP交x轴于G,交抛物线于P,使∠PEB=∠EFO,过点G作GH⊥BE于H,则BF=EF,设BF=EF=m,∴OF=OB﹣BF=4﹣m在Rt△OEF中,∠EOF=90°,∵OE2+OF2=EF2∴22+(4﹣m)2=m2,解得:m=,∴BF=EF=,OF=4﹣=,∴tan∠OBE===,tan∠OFE===,∵BF=EF∴∠BEF=∠OBE∵∠OFE=∠BEF+∠OBE∴∠OFE=2∠OBE∵∠PEB=2∠OBE∴∠PEB=∠OFE∴tan∠PEB==tan∠OFE=,设GH=4a,则EH=3a,∴BE===2,BH=2﹣3a∵=tan∠∠OBE=,∴=,解得:a=,∴GH=,BH=∴BG==∴OG=OB﹣BG=4﹣=∴G(,0),设直线EG解析式为y=k″x+b″,则,解得∴直线EG解析式为y=x﹣2,联立方程组,解得:(舍去),,∴P(,),②当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图3,过点E作EF⊥y轴,作点B关于直线EF 的对称点G,连接BG交EF于F,射线EG交抛物线于点P,∵E(0,﹣2),∴直线EF为:y=﹣2∵B(4,0),∴G(4,﹣4)∴直线EG解析式为y=﹣x﹣2,解方程组,得,(不符合题意,舍去),∴P(,);③当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图4,在y轴正半轴上截取OF=OE=2,作射线BF交抛物线于P,在△BOE和△BOF中,∴△BOE≌△BOF(SAS)∴∠PBO=∠OBE∴∠PBE=2∠OBE易求得直线PF解析式为y=﹣x+2,联立方程组,解得(不符合题意,舍去),,∴P(﹣,);④当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图5,过点E作EF⊥BE交直线BP于F,过F 作FG⊥y轴于G,由①知:tan∠PBE==,BE=2∴EF=∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°∴∠FEG=∠OBE∴△EFG∽△BEO∴==,即==∴FG=,EG=∴OG=OE+EG=2+=∴F(,﹣)易求得直线BF解析式为y=x﹣22,联立方程组,解得(舍去),∴∴P(﹣,﹣);综上所述,符合条件的点P的坐标为:(,)､(,)､(﹣,)､(﹣,﹣).跟踪训练:1.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一点,且位于第一象限,当△ABP的面积为3时,求出点P的坐标;(3)过B作BC⊥OA于C,连接OB,点G是抛物线上一点,当∠BAG+∠OBC=∠BAO时,请直接写出此时点G的坐标.2.如图,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),顶点为D,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式及D点坐标;(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点E,使得∠ECA=2∠CAB,如果存在这样的点E,求出△ACE面积,如果不存在,请说明理由.3.如图1,抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.(1)求b的值;(2)如图2,点P是第一象限内抛物线y=﹣+bx+c上一点,连接PO,若tan∠POA=,求点P的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,过点P的直线y=﹣x+m与x轴交于点F,作CF=OF,连接OC交抛物线于点Q,点B在线段OF上,连接CP､CB､PB,PB交CF于点E,若∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,求点Q的坐标.4.如图,抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A､B(A在B左侧),交y轴于点C,直线y=﹣x+6经过点B､C.(1)求抛物线解析式;(2)点P为第一象限抛物线上一点,连接P A交BC于点D,设点P的横坐标为t,的值为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,点E为线段OB上一点,连接CE,过点O作CE的垂线交BC于点G,连接PG并延长交OB于点F,若∠OGC=∠BGF,F为BE中点,求t的值.5.抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),交x轴于A(﹣1,0),B两点,点P是第一象限内抛物线上一动点.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1已知直线l的解析式为y=x﹣2,过点P作直线l的垂线,垂足为H,当PH=时,求点P的坐标;(3)如图2,当∠APB=45°时,求点P的坐标.6.已知抛物线y=x2﹣mx﹣m﹣1与x轴交于A､B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求点A､B的坐标;(2)点D是抛物线上一点,且∠ACO+∠BCD=45°,求点D的坐标;(3)将抛物线向上平移m个单位,交线段BC于点M,N,若∠MON=45°,求m的值.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣1,0),D(﹣3,0),C(﹣4,3),四边形ABCD是平行四边形.现将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,得到▱A1B1C1D1,抛物线M经过点A1,C1,D1.(1)若抛物线M的对称轴为直线x=4,求抛物线M的解析式;(2)抛物线M的顶点为E,若以A,E,C1为顶点的三角形的面积等于▱ABCD的面积的一半,求n的值;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使得∠C1P A=∠C1EA?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A､B,交y轴于点C,A､B两点横坐标为﹣1和3,C点纵坐标为﹣4.(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求D点坐标,并求△BCD面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,求出点Q的坐标,不存在说明理由.9.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A､B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线y=﹣2x+6经过B､C两点,连接AC.(1)求抛物线的解析式:(2)点P是第一象限抛物线上一点,P点横坐标为t,连接PC､PB,设△PBC的面积为S,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围):(3)在(2)问的条件下,当S=3且t<2时,连接PB,在抛物线上是否存在一点Q,使∠PBQ=∠ACB?若存在求出Q点坐标,若不存在,说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A､B两点,与y轴交于C点,B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.D为线段AB上一点.(1)求抛物线的解析式及A点坐标.(2)若点D在线段OB上,过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E,求出点E到直线BC的距离的最大值.(3)D为线段AB上一点,连接CD,作点B关于CD的对称点B′,连接AB′､B′D①当点B′落坐标轴上时,求点D的坐标.②在点D的运动过程中,△AB′D的内角能否等于45°,若能,求此时点B′的坐标;若不能,请说明理由.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c交x轴于点A､点B,交y轴于点C.直线y=﹣x+2经过于点C､点B,(1)求抛物线的解析式;(2)点D为第一象限抛物线上一动点,过点D作y轴的平行线交线段BC于点E,交x轴于点Q,当DE=5EQ时,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,点M为第二象限抛物线上一动点,连接DM,DM交线段OC于点H,点F在线段OB上,连接HF､DF､DC､DB,当HF=,∠CDB=2∠MDF时,求点M的坐标.12.已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣1,0)､B两点,与y轴交于点C,且过点P(5,12).(1)求抛物线的解析式.(2)如图,点Q为线段CP上一动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,连接CD,PD,若S△QDC:S△QDP=2:3,求直线PD的解析式.(3)过点B的直线交抛物线于M,是否存在点M使∠ABM=∠PCO,若存在,求出点M的坐标.若不存在,说明理由.13.如图1,抛物线C1:y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)与x轴交于点A､B(A在B的左侧),与y轴交于点C,连接AC､BC,S△ABC=3.(1)求m的值;(2)如图2,将射线BC绕点B顺时针方向旋转交抛物线C1第二象限的图象于点D,连接DC.当x轴恰好三等分△DBC的面积时,求此时点D的横坐标;(3)将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,如图3,C2的对称轴l交抛物线C2于E,交直线y=4于F,直线y=4交C2于点G､H(G在H的左侧),点M､N分别从点G､H同时出发,以1个单位长度/秒向点F运动.设点M运动时间为t(秒),点M､N到达F时,运动停止,点W在l上,WF=,连MW､NE.当∠MWF=3∠FEN时,求t的值.参考答案1.解:(1)将点A､B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=﹣1,b=4,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x…①;(2)过点P作直线m交x轴于点M,过点P作PH⊥AB于点H,过点A作AN⊥直线m,在AB下方作直线n距离直线AB的长度为PH,△ABP的面积S=AB×PH=×3×PH=3,解得:PH==AN,直线AB的倾斜角为45°,故直线m､n所在直线的k值为:﹣1,则AM=AH=2,故点M(6,0),则直线m的表达式为:y=﹣x+6…②,同理直线n的表达式为:y=﹣x+2…③,联立②①并解得:x=2或3,联立③①并解得:x=(舍去);综上,点P的坐标为:(3,3)或(2,4)或(,);(3)∵BC=AC=3,故∠BAO=45°=∠BAG+∠OBC,①当点G在AB上方时,如图2(左侧图),设抛物线对称轴交x轴于点M,连接BM,OC=OM=1,故∠CBM=∠OBC,则∠CAB=45°=∠CBM+∠MBA=∠OBC+∠ABM,而45°=∠BAG+∠OBC,故∠ABM=∠GAB,则AG∥BM,直线BM表达式中的k值为:3,故直线AG的表达式为:y=﹣3x+b,将点A的坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣3x+12…④;联立①④并解得:x=3或4(舍去4);②当点G在AB下方时,如图2(右侧图),∠BAG+∠OBC=∠BAO=45°,而∠BAG+∠GAC=45°,∴∠OBC=∠GAC,而tan∠OBC===tan∠GAC,则直线AG的表达式为:y=﹣x+b′,将点A坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣x2+…⑤,联立⑤①并解得:x=或4(舍去4).综上,点P的坐标为:(3,3)或(,).2.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),∴,∴∴抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+,∴顶点D(﹣2,)(2)如图,过点C作CM∥AB,过点E作EF⊥CM,设点E(m,﹣m2﹣2m+)∵y=﹣x2﹣2x+交y轴交于点C,∴点C(0,),∴OC=,∵CM∥AB,∴∠MCA=∠CAB,∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF+∠MCA,∴∠ECF=∠CAB,且∠AOC=∠EFC=90°,∴△CEF∽△ACO,∴,∴=∴m=0(不合题意),m=﹣3,∴点E(﹣3,4),∴S△AEC=×(+4)×3+×4×2﹣×5×=.3.解:(1)∵抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.∴c=0,0=﹣×144+12b+c∴b=;(2)如图2,过点P作PE⊥OA于点E,∵c=0,b=,∴抛物线解析式为:y=﹣+x∵点P是第一象限内抛物线y=﹣+x上一点,∴设点P(m,﹣m2+m),(m>0)∵tan∠POA==,∴=,∴m=8,∴点P(8,4);(3)连接OP,∵直线y=﹣x+m过点P(8,4),∴m=,∴直线解析式为y=﹣x+,当y=0,x=,∴点F(,0),∵∠BEF=∠BCF+∠PBC,且∠BEF=2∠BCF,∴∠PBC=∠BCF,∵∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,∴∠EFB=180°﹣2∠PCB﹣2∠PBC,∵OF=CF,∴∠COF=∠PCB+∠PBC=∠OCF,∵∠CPB=180°﹣∠BCP﹣∠PBC,∴∠CPB+∠COF=180°,∴点O,点B,点P,点C四点共圆,∴∠PBA=∠OCP,∠OCB=∠OPB,∠BCP=∠BOP,∵∠PBA=2∠PCB,∠PBA=∠OCP=∠OCB+∠BCP,∴∠OCB=∠BCP,∴∠BPO=∠POB,∴OB=PB,设点B(a,0)∴OB=BP=a,∴a=∴a=7∴点B(7,0)设过点O,点B,点P,点C四点的圆的圆心M(,y),∵MO=MP,∴()2+y2=(8﹣)2+(4﹣y)2,∴y=,∴M(,),设点C(a,n)∵MO=MC,OF=CF,∴(a﹣)2+(b﹣)2=()2+()2 ①,(a﹣)2+b2=()2 ②,∴由①②组成方程组可求b=a,设直线OC解析式为:y=kx,且过点C(a,b)∴b=ka,∴k=∴直线OC解析式为:y=x,∴x=﹣+x∴x1=0(不合题意舍去),x2=4,∴点Q(4,4)4.解:(1)直线y=﹣x+6经过点B､C,则点B､C的坐标分别为:(6,0)､(0,6),则c=6,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:b=2,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+6…①;(2)点P(t,﹣t2+2t+6),将点P､A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线AP的表达式为:y=﹣(t﹣6)x+(6﹣t),将上式与直线BC的表达式联立并解得:x=,故点D(,+6),则=,则d==﹣1=﹣t2+t(0<t<6);(3)设OE=a,则点E(a,0),设OG交CE于点H,∵∠ECO+∠COH=90°,∠COH+∠HOE=90°,∴∠HOE=∠OCH, tan∠OCH===tan∠HOE,则直线OH的表达式为:y=x…②,联立①②并解得:x=,故点G(,),则BG==,则CG=BC﹣BG=,∵OB=OC=6,故∠OCB=∠OBC=45°,而∠OGC=∠BGF,则△CGO∽△BGF,即:,即:,解得:BF=a,F为BE中点,则OE=EF=FB,故a=2,故点F(4,0),点G(,);将点F､G的坐标代入一次函数表达式并解得:直线FG的表达式为:y=3x﹣12…③,联立①③并解得:x=﹣1(舍去负值),故t=﹣1+.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),A(﹣1,0),∴,∴,∴抛物线的解析式的解析式为y=x2﹣1;(2)过点P作y轴的平行线交直线l于点M,∵直线l的解析式为y=x﹣2,∴直线与y轴的夹角为45°,∴∠PMH=45°,∵PH⊥MH,PH=,∴PM=7,设P(a,a2﹣1),则M(a,a﹣2),∴PM=a2﹣1﹣a+2=7,∴a1=3,a2=﹣2(舍去),∴P(3,8);(3)如图2,在y轴上取点D(0,1),则△ABD为等腰直角三角形,∵AO=BO=1,∠ADB=90°,∴=,以点D为圆心､AD长为半径画圆,则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°,连结PD,设P点坐标为(m,m2﹣1),∴PD==,∴m2+(m2﹣2)2=2,解得:,(舍去),m3=1(舍去),m4=﹣1(舍去),∴P(,1).6.解:(1)﹣m﹣1=﹣3,解得:m=2,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①,令y=0,解得:x=3或﹣1,故点A､B的坐标分别为:(﹣1,0)､(3,0);(2)①当点D在BC下方时,∵∠ACO+∠BCD=45°,则AC⊥CD,则直线CD的表达式为:y=x﹣3…②,联立①②并解得:x=0或,故点D(,﹣);②当点D(D′)在BC上方时,过点D作DE⊥BC交BC于点H,交CD′于点E,直线BC的表达式为:y=x﹣3…③则ED的表达式为:y=﹣x+…④,联立③④并解得:x=,故点H(,﹣),点E的坐标为:(,﹣),则直线CE的表达式为:y=3x﹣3…⑤,联立①⑤并解得:x=0或5(舍去0),故点D(D′)的坐标为:(5,12),综上,点D的坐标为:(,﹣)或(5,12);(3)如图2,抛物线平移后的图象为虚线部分,则抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3+m(m>0),设点M､N的坐标分别为:(x1,y1)､(x2､y2),则x1+x2=3,x1x2=m,x2=,∵∠MON=45°=∠OCM,∠ONM=∠ONM,∴△NOM∽△NCO,∴NO2=MN•CN,而NO2=(x22+y22),MN=(x2﹣x1),CN=x22,即(x22+y22)=2x2(x2﹣x1),即2x1x2=x22﹣y22,而y2=x2﹣3,故=+m,解得:m=(﹣1+)(不合题意的值已舍去).7.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标为:(﹣2,3),即点B在AD的中垂线上,过点A､D的二次函数表达式为:y=a(x+1)(x+3)=a(x2+4x+3),将点C的坐标代入上式并解得:a=1,则过A､C､D的抛物线为:y=x2+4x+3=(x+2)2﹣1,抛物线M的对称轴为直线x=4,相当于将上述抛物线向右平移了6个单位,故抛物线M的表达式为:y=(x﹣4)2﹣1;(2)将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,则点C1､E的坐标分别为:(n﹣4,3)､(n﹣2,﹣1),点A(﹣1,0),连接C1E交x轴于点M,将点C1､E的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线C1､E的表达式为:y=﹣2x+(2n﹣5),则点M的坐标为:(,0),S△AEC1=×AM×(y C1﹣y E)=(+1)×4=S▱ABCD=×2×3=3,解得:n=3;(3)存在,理由:由(2)知点C(﹣1,3),点A(﹣1,0),则AC⊥x轴,故点A､C1､E作圆Q,则点Q在AC1的中垂线上,设点Q(m,),则此时,∠C1P A=∠C1EA,由QC1=QE得:(m+1)2+(3﹣)2=(m﹣1)2+(1+)2,解得:m=1,则点Q(1,),设点P(0,t),由QP=QE得:1+(﹣t)2=()2,解得:t=,故点P的坐标为:(0,).8.解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣4,解得:a=,故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣4;(2)过点D作y轴的平行线交BC于点N,由B､C的坐标可得直线BC的表达式为:y=x﹣4,设点D(x,x2﹣x﹣4),点N(x,x﹣4),S△BCD=×OB×ND=3×(x﹣4﹣x2+x+4)=﹣2x2+6x,∵﹣2<0,故S有最大值,此时,x=,点D(,﹣5);(3)存在,理由:直线BC的表达式为:y=x﹣4,抛物线的对称轴为:x=1,故点H(1,﹣),过点Q作QM⊥BC于点M,tan∠OCB==tanα,∠QBC=45°,设QM=3x,则HM=4x,MB=3x,BH=HM+MB=7x==,解得:x=,QH=5x=,则y Q=y H+=﹣,故点Q(1,).9.解:(1)直线y=﹣2x+6经过B､C两点,则点B､C的坐标为:(3,0),(0,6),将点B､C的坐标代入抛物线表达式并解得:b=1,c=6,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+6…①;(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(t,﹣t2+t+6),则点H(t,﹣2t+6),S=×PH×OB=(﹣t2+t+6+2t﹣6)=﹣t2+t(0<t<3);(3)S=3,即:﹣t2+t=3,解得:t=1或2(舍去2),故点P(1,6),而点B(0,3),则直线PB的表达式为:y=﹣x+9,则点M(0,9),tan∠BMO=,过点A作AL⊥BC于点L,S△ABC=OC×AB=×BC×AL,即3×5=×AL×3,解得:AL=,sin∠ACB==,则∠ACB=45°=∠MBQ,设BQ交y轴于点H,过点H作HN⊥MB于点N,tan∠BMO=,∠MBQ=45°,设:HN=x,则BN=x,MN=3x,MB=4x=,解得:x=,HB=x=,则OH2=BH2﹣OB2=,则点H(0,),则BH的函数表达式为:y=﹣x+…②,联立①②并解得:x=﹣(不合题意值已舍去),则点Q(﹣,).10.解:(1)∵B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.∴B(3,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴抛物线的解析式为,令y=0,,解得x1=﹣2,x2=3,∴A(﹣2,0),(2)设E点到直线BC的距离为d,E点横坐标为m,F(m,m﹣3),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴∠OBC=45°,如图1,过点E作EH⊥BC于点H,则△EFH为等腰直角三角形,∴EH=,EF=y F﹣y E=m﹣3﹣(,=(0≤m≤3),=,当时,EF的最大值为,∴d=EF==.即E到BC的最大距离为.(3)①点B′在以C为圆心,CB为半径的圆C上;(Ⅰ)当B′点落在x轴上时,D1(0,0);(Ⅱ)当B′点落在y轴上时,如图2,CB′=CB=3,∵∠OB′D=45°∴OD=OB'=3﹣3,∴;②分别画出图形进行讨论求解:(Ⅰ)∠B′DA=45°时,如图2,OB′=3﹣3,B′(0,3﹣3)(Ⅱ)如图3,连接CB′,∠B′DA=∠CBD=45°,∴DB′∥BC,可得四边形DB′CB是菱形,B′(﹣3,﹣3).(Ⅲ)∠B′AD=45°,如图4,连接CB′,过点B′分别作坐标轴的垂线,垂足为E､F,设线段FB'的长为m,B′E=AE=2﹣m,可得CF=5﹣m,在直角三角形CFB'中,m2+(5﹣m)2=(3)2,解得m=,故B′(),(Ⅳ)如图5,∠AB′D=45°,连接CB',过点B′作y轴的垂线,垂足为点F,由轴对称性质可得,∠CB′D=∠CBD=45°,所以当∠AB′D=45°时,点A在线段CB′上,∴,设线段FB′的长为2m,FC=3m,(2m)2+(3m)2=(3,解得:m=,B′(﹣,综合以上可得B′坐标为(0,)或或()或(﹣).11.解:(1)针对于直线y=﹣x+2,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,则0=﹣x+2,∴x=4,∴B(4,0),将点B,C坐标代入抛物线y=ax2+x+c中,得∴,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;(2)如图1,由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,设点D坐标为(m,﹣m2+m+2),∵DE⊥x轴交BC于E,直线BC的解析式为y=﹣x+2,∴D(m,﹣m+2),∴DE=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+m,DQ=﹣m+2,∵DE=5EQ,∴﹣m2+m=5(﹣m+2),∴m=3或m=4(点B的横坐标,舍去),∴D(3,3);(3)如图2,由(2)知,D(3,3),由(1)知,B(4,0),C(0,2),∴DB=,DC=,BC=2,∴DC=DB,DB2+DC2=BC2,∴△BDC是等腰直角三角形,∴∠BDC=90°,∵BDC=2∠FDM=90°,∴∠FDM=45°,过点D作DP⊥y轴于P,则DQ=DP,OP=3,∴CP=1=BQ,∴△DPC≌△DQB(SAS),在CP的延长线取一点G,使PG=QF=n,∴OF=3﹣n,OG=3+n,∴△DPG≌△DQF(SAS),∴DG=DF,∠PDG=∠QDF,∴∠FDG=∠PDG+∠PDF=∠QDF+∠PDG=∠PDQ=90°∴∠GDM=90°﹣∠FDM=45°=∠GDM,∵DH=DH,∴△GDH≌△FDH(SAS),∴GH=FH=,∴OH=OG﹣GH=3+n﹣=n+,在Rt△HOF中,根据勾股定理得,(n+)2+(3﹣n)2=,∴n=1或n=(此时,OH=n+=2,所以点H与点C重合,舍去),∴H(0,),∵C(3,3),∴直线CH的解析式为y=x+①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2②,联立①②解得,或(由于点M在第二象限,所以舍去),∴M(﹣,).12.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣1,0)､P(5,12)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)如图1,过点P作PN⊥y轴,QM⊥y轴,∵S△QDC:S△QDP=2:3,∴,∴,∵PN⊥y轴,QM⊥y轴,∴QM∥PN,∴△CQM∽△CPN,∴,∵PN=5,∴QM=2,∵QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,∴D点的横坐标为2,把x=2代入y=x2﹣2x﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,∴D(2,﹣3),设直线PD的解析式为y=kx+b,∴,解得:,∴直线PD的解析式为y=5x﹣13; (3)如图2,过点P作PN⊥y轴,∵P(5,12),C(0,﹣3),∴CN=OC+ON=12+3=15,PN=5,∴,∵∠ABM=∠PCO,∴,如图2,若点M在x轴上方,∵OB=3,∴在y轴上取E(0,1),tan∠OBE=,设直线BE的解析式为y=mx+n,∴,解得:m=﹣,∴直线BE的解析式为y=﹣,∴,解得:x1=3,,∴M(﹣),如图3,当点M在x轴下方,同理取点D(0,﹣1),求得直线BD的解析式为y=x﹣1,∴,解得:,∴M(﹣,﹣),综合以上可得M点的坐标为(﹣或(﹣).13.解:(1)在y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)中,令x=0,得y=﹣2m,∴C(0,﹣2m),令y=0,得x2+(m﹣2)x﹣2m=0,解得:x1=2,x2=﹣m,∴A(﹣m,0),B(2,0),∴AB=2﹣(﹣m)=m+2,OC=2m∵S△ABC=3∴(m+2)•2m=3,解得:m1=1,m2=﹣3(不符合题意)∴m=1;∴抛物线C1:y=x2﹣x﹣2(2)如图2,设D(t,t2﹣t﹣2),CD交x轴于K,作DT⊥x轴于T,由(1)得:B(2,0),C(0,﹣2)∵当x轴恰好三等分△DBC的面积时,有S△BDK=S△BCD或S△BDK=S△BCD ∴=或=,①当=时,=∴DT=OC∴t2﹣t﹣2=×2,解得:t1=,t2=,∵点D在第二象限,∴t<0∴t=,②当=时,=2∴DT=2OC∴t2﹣t﹣2=2×2,解得:t1=3,t2=﹣2,∵t<0∴t=﹣2综上所述,当x轴恰好三等分△DBC的面积时,点D的横坐标为或﹣2;(3)如图3,取WE中点T,过点T作TR⊥EF交EN于点R,连接WR,WN,由题意知:抛物线C1:y=x2﹣x﹣2=﹣,将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,∴新抛物线C2解析式为y=(x﹣)2﹣=x2﹣3x,对称轴为:直线x=,顶点E(,﹣),∴F(,4),EF=在y=x2﹣3x中,令y=4,则4=x2﹣3x,解得:x1=﹣1,x2=4∴G(﹣1,4),H(4,4)∴GH=5∵GM=NH=t,WF=,∴MF=NF=﹣t,WE=﹣=5,WT=TE=WE=,∵∠EFM=∠EFN=90°,WF=NF∴△MWF≌△NWF(SAS)∴∠MWF=∠NWF∵∠MWF=3∠FEN∴∠NWF=3∠FEN∵∠NWF=∠FEN+∠ENW∴∠ENW=2∠FEN∵WT=ET,TR⊥EF∴RW=RE∴∠FEN=∠EWR∴∠NRW=2∠FEN∴∠ENW=∠NRW∴RW=WN∴RE=WN由勾股定理得:EN2=EF2+NF2=+,WN2=WF2+NF2=+,∵△ERT∽△ENF∴=,即ER=EN∴ER2=EN2=[+],∴[+]=+,解得:t1=(不符合题意,舍去),t2=,故t=(秒).。
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中考压轴训练2
1、如图8所示，R 1的阻值为20欧，开关S 闭合后电流表A 的示数为2.7安，电流表A 1的示数为1.8安，求：
①电源的电压 ②电表R 2的阻值
③电流通过电阻R 2每分钟所做的功 ④电阻R 1、R 2的电功率之比
2、如图9所示电路，电源电压保持不变，闭合开关S ，当变阻器滑片P 在中点a 处时，电压表读数为3伏，电流表读数为0.6安培；当滑片P 在b 端时，电压表读数为5伏，电流表读数为0.5安，请根据测得的数据计算出与电路有关的5个物理量。
3、如图10所示，正方体木块漂浮在水面上，有总体积的1/5露出水面，不可伸长的悬线处于松弛状态，已知绳可能承受的最大拉力为5N ，木块边长为0.1米，容器底面积为0.03米2，容器底有一阀门K ，求： ①木块的密度；
②打开阀门使水缓慢流出，当细绳断裂的一瞬间关闭阀门，此时木块排开水的体积为多少？ ③在绳断后，木块再次漂浮时，容器底受到水的压强与断绳的瞬间相比，窗口底受水的压强怎样变化？改变了多少？（g 取10牛/千克，提示：相互作用的两个力总是等大的）
4、如图11所示电路图中，小灯泡L 上标有“8V 3.2W ”字样，滑动变阻器的最大值为40欧，R 1的阻值为18欧，求：
①小灯泡L 的电阻
②S 、S 1、S 2均闭合时，电压表的示数为9伏，求电源电压及电阻R 1上消耗的电功率 ③断开S 1、S 2，闭合S ，若接入电路中的电压表的量程改为0-3伏，电流表的量程为0-0.6安，为了保证两表均不超过量程，且小灯泡两端的电压不超过其额定电压，滑动变阻器的阻值变化范围为多少？
图
8
图9
图10
图11
5、一个实验用的电动机跟电流表串联后接在6V 直流稳压电源上，闭合开关后电动机并没有转动，这时电流表的读数为5A ，检查发现电动机轴上的齿轮被卡住了，排除故障后，让电动机带动轻负载转动，这时电流表的读数为1A ，由此可以求出电动机做机械功的功率为多少W ？
6、从商店买来一个电热毯，使用中有时感到温度太高，现想用一个开关和一个电阻把它改为两档，使电热毯单位时间的发热量，或为原来的数值，或为原来的一半，厂家说明书上只写着额定电压为220V ，没有其他电器指标，请你设计一个方案，完成这项改装，要求： （1）画出电路图；
（2）导出所用电阻大小的计算式； （3）指明安装时必须注意的问题。
7、如图所示，电源电压为9V 保持不变，灯L 上标有“6V 6W ”字样，滑动变阻器R 1的最大阻值为40Ω，R 2=20Ω，灯泡的电阻不变。
求：
（1）灯泡的电阻。
（2）当S 1断开，S 2闭合，滑动变阻器的滑片在最左端时，电路中的电流。
（3）电路工作时消耗的最小功率。
8.如图所示的电路，电源电压不变，滑动变阻器的最大阻值为20Ω。
闭合开关，当滑动变阻器的滑片P 滑到a 端时，小灯泡完全熄灭，电流表的示数为0.3 A ；当滑动变阻器的滑片P 滑到b 端时，小灯泡恰好正常发光，电流表示数为0.8 A 。
求
（1）电源电压。
（2）灯泡正常发光1min 消耗的电能。
（3）灯泡正常发光时，电路的总电阻。