2.1一元二次方程学案
2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案
第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。
[小初高学习]一元二次方程教育学习学案及教案和测试题
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一元二次方程教案和测试题本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课题2.1、花边有多宽（一）课型新授课教学目标．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点一元二次方程的概念教学难点如何把实际问题转化为数学方程学情分析本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。
通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。
教学后记教学内容及过程教师活动学生活动引入新课、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？2、趣味数学：先观察下面等式：02＋112＋122＝132＋142你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？3、梯子移动如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。
如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？问题①如果设花边的宽为x米，那么地毯中央长方形图案的长为米，宽为米。
根据题意，可得方程。
问题②如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为，，，。
根据题意，可得方程。
问题③由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m。
根据题意，可得方程。
探索新知三个方程化简后，教师可引导学生类比一元一次方程观察这三个的特点，然后进行汇总，归纳，学生容易漏掉二次项系数不为0的要点，教师可给予必要的引导。
北师大版九年级上一元二次方程学案
资丘镇中心学校九年级数学学案 <<一元二次方程>> 课 题：2.2配方法(2)一. 学习目标(要逐字逐句看,看清楚,记心中,时间1分钟)1.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤;2.会用配方法解二次项系数不为1的一般的一元二次方程.二．自学指导(要用心去看,用心去自学,理解、思考，时间)1. 回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤;2. 请认真看P.56的内容．思考：在例2中，①这个方程的特征与前面例1有何不同?通过怎样变形能使它和例子的特征一样? ②用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是什么?10分钟后，比谁能做出与例2类似的习题．五．课堂作业必做题：1．用配方法解方程2x 2－4x －1=0①方程两边同时除以2得_________ _②移项得__________________③配方得_________________ _④方程两边开方得______ ____________⑤x 1=__________,x 2=__________2.将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x +m )2=n 的形式（1）2x 2+3x －2=0 (2)41x 2+x －2=03.用配方法解下列方程(1)x 2+5x －1=0 (2)2x 2－4x －1=0选做题：4．2x 2－2x +1的值（ ）A 恒大于0B 恒小于0C 恒等于0D 可能大于0,也可能小于05.如图，在△ABC 中，∠B =90°点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.思考题:6.已知a=2009x+2010,b=2009x+2011,c=2009x+2012,则多项式a 2+ b 2+ c 2 －ab －bc －ac 值是多少？课 题: 2.1花边有多宽一．学习目标 １、会判断怎样的方程是一元二次方程２、会把一元二次方程化为一般形式并指出它的二次项的系数，一次项的系数，常数项二、指导自学请认真看P46—48的内容1 思考问题（1）问题（2）问题（3）可以列出怎样的三个方程2 说说三个方程有什么共同特征（1）方程中含几个未知数？（2）化简后的形式如何？（3）等号两边是整式吗？5分钟后，看谁能回答五、课堂作业必做题 1.一元二次方程的一般形式是__________.2.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.方程(x +1)2=2x ，方程2x 2=－8，方程5(x 2－2x +1)=－32x +2呢3.若ab ≠0，则a 1x 2+b1x =0的常数项是__________. 4.如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.二、选择题5若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是A.2B.－2C.0D.不等于26.若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =07.关于x 2=－2的说法，正确的是A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解选做题8.关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.9．现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
中职数学2.1一元二次方程学案
1、一元二次方程 学案学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。
导学流程 一、自主学习1、概念学习：（1）一元二次方程：________________________________________________________________________;(2)一元二次方程的一般形式：______________________________,其中，____是二次项系数, ____ 是一次项系数, ____是常数项。
（3）方程的解：___________________________________________________________________________;（4）解方程：_____________________________________________________________________________.2、自学教科书例题，做到练习本上。
二、精讲点拨我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)当二次项系数为1时，加的常数是________________________________________________；(2)依据的公式是________________________________________________。
三、合作交流1、用配方法解下列方程：（1）x 2 ＋2x －3＝0； （2）x 2-4x-3＝0. （3）x 2 -6x ＋10＝02、总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？四、深入探究用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03522=--x x这两道题与前面的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。
21.2.1配方法解一元二次方程
1
配方法解一元二次方程
学习过程 【自主学习】
（一）复习：知识回顾：完全平方公式： 和 1.解下列方程:
(1)2
430x -= （2）2
693x x -+=
2．填上适当的数，使下列等式成立：
(1) 212x x ++____ = 2
(6)x + (2) 2
4x x -+____ = (x -___)2
(3) 28x x ++____ = (x +____)2 （4）22
____)(_____4
5
+=++
x x x 由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：
（二）探索新知：请阅读教材第3２页，解方程2
450x
x +-=，完成下面框图：
2450x x +-=
归纳总结：
1、通过配成＿＿＿＿＿＿＿形式来解一元二次
方程的方法，叫做配方法。
2、配方是为了降次．．，把一个一元二次方程化为______________方程来解。
三．自学课本例题1: 1.观察方程（1）的解题过程，归纳用配方法
解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是： ①、移项，把＿＿＿＿＿移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
2．观察方程（2）（3）的解题过程，归纳：方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以____________，将方程的二次项系数化为____。
2。
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
高中数学新人教B版必修第一册 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学案
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系素养目标·定方向课程标准学法解读掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程．求解一元二次方程的方法：利用等式性质及恒等关系式求解，进而探求解方程的方法.必备知识·探新知基础知识1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解集 判别式的符号 解集Δ＝b 2－4ac >0 __⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b ＋b 2－4ac 2a ，－b －b 2－4ac 2a __ Δ＝b 2－4ac ＝0 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a Δ＝b 2－4ac <0∅思考1：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac适合用于所有的一元二次方程吗？提示：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时适用．2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝－ba ；x 1x 2＝c a.思考2：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？提示：先把方程化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，然后验证，是否满足a ≠0，Δ＝b 2－4ac ≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．基础自测1．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( C ) A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x ＋2)2＝9 C ．(x －1)2＝6D ．(x －2)2＝9解析：因为x 2－2x －5＝x 2－2x ＋1－6＝0，所以(x －1)2＝6. 2．解下列方程，最适合用公式法求解的是( D ) A ．(x ＋2)2－16＝0 B ．(x ＋1)2＝4 C ．12x 2＝8D ．x 2－3x －5＝0解析：公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程． 3．一元二次方程x 2－x ＝12的根的判别式的值是__3__.4．若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是__(－∞，4]__.解析：因为一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k ≥0，即k ≤4. 5．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝__－2__.解析：因为x 1，x 2是方程x 2－2x －1＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2.关键能力·攻重难类型 求一元二次方程的解集 ┃┃典例剖析__■典例1 用适当的方法求下列方程的解集．(1)x 2－2x －8＝0；(2)2x 2－7x ＋6＝0； (3)(x －1)2－2x ＋2＝0.思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程． 解析：(1)方法一：移项，得x 2－2x ＝8， 配方，得(x －1)2＝9，由此可得x －1＝±3， ∴x 1＝4，x 2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}． 方法二：原方程可化为(x －4)(x ＋2)＝0， ∴x －4＝0或x ＋2＝0，∴x 1＝4，x 2＝－2， ∴方程的解集为{－2,4}．(2)原方程可化为(x －2)(2x －3)＝0， ∴x －2＝0或2x －3＝0，∴x 1＝2，x 2＝32，∴方程的解集为{2，32}．(3)原方程可化为(x －1)2－2(x －1)＝0. 因式分解，得(x －1)(x －1－2)＝0，∴x －1＝0或x －3＝0，∴x 1＝1，x 2＝3，∴方程的解集为{1,3}． 归纳提升：一元二次方程的常见解法(1)开平方法：如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p ，从而通过降次转化为一元一次方程．(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1：用二次项系数去除方程两边，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式； ②移项：把常数项移至方程右边，将方程化为x 2＋px ＝－q 的形式；③配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数，把方程化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式；④用直接开平方法解变形后的方程． (3)因式分解法 ①平方差公式法； ②完全平方公式法； ③提取公因式法； ④十字相乘法．(4)公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式为：当b 2－4ac ≥0时，x 1，x 2＝－b ±b 2－4ac 2a.┃┃对点训练__■ 1．求下列方程的解集：(1)4x 2－4x －1＝0；(2)x 2－7x ＋10＝0.解析：(1)方程的两边同时加上2，得4x 2－4x ＋1＝2， 即(2x －1)2＝2，∴2x －1＝±2， ∴x 1＝1＋22，x 2＝1－22.∴方程的解集为{1－22，1＋22}．(2)∵x 2－7x ＋10＝(x －2)(x －5)， ∴原方程可化为(x －2)(x －5)＝0， 从而可知x －2＝0或x －5＝0， 即x ＝2或x ＝5.∴方程的解集为{2,5}． 类型 一元二次方程根与系数关系的应用 ┃┃典例剖析__■典例2 已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －3＝0.(1)对于任意的实数m ，判断方程根的情况，并说明理由；(2)若x ＝－1是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．思路探究：(1)根据判别式的意义判断根的情况；(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根．解析：(1)Δ＝m 2－4×1×(－3)＝m 2＋12， ∵m 2≥0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实根． (2)设方程的另一个根为x 2， ∴－1×x 2＝－3，解得x 2＝3. ∵－1＋3＝m ，∴m ＝2.归纳提升：一元二次方程根的情况 1．一元二次方程的判别式方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为实数，且a ≠0)： 当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＝b 2－4ac <0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系(1)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实数根分别为x 1，x 2，则有：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .(2)以两个实数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. ┃┃对点训练__■2．(1)已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是( A ) A ．x 2－7x ＋12＝0 B ．x 2＋7x ＋12＝0 C ．x 2＋7x －12＝0 D ．x 2－7x －12＝0(2)已知方程x 2－5x －7＝0的两根分别为x 1，x 2，求下列式子的值：①x 21＋x 22；②x 1x 2＋x 2x 1. 解析：(1)因为一元二次方程中， x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12， 又因为x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，令a ＝1，则b ＝－7，c ＝12， 所以原方程为：x 2－7x ＋12＝0. (2)由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－7.①x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝52－2×(－7)＝25＋14＝39. ②x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝－397. 易混易错警示 忽略Δ＝b 2－4ac ≥0而导致错误┃┃典例剖析__■典例3 已知关于x 的方程x 2－(k －1)x ＋k ＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值．错因探究：本题在求出k ＝5或k ＝－1后，容易忽略对Δ＝b 2－4ac 的检验．解析：设方程的两实根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝k －1，x 1·x 2＝k ＋1.又x 21＋x 22＝4，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴(k －1)2－2(k ＋1)＝4，即k 2－4k －5＝0， ∴k ＝5或k ＝－1.当k ＝5时，b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4(k ＋1)＝－8<0，不符合题意，舍去； 当k ＝－1时，b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4(k ＋1)＝4>0，∴k 的值为－1.误区警示：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的．利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的字母的值要代入Δ＝b 2－4ac 来验证．学科核心素养 运用一元二次方程根与系数关系的变形公式解题 ┃┃典例剖析__■与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形：(1)x 21＋x 22＝(x 21＋2x 1x 2＋x 22)－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； (3)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2； (4)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；(5)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2； (6)(x 1＋k )(x 2＋k )＝x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋k 2.[特别提醒] 应用这几个代数式的变形进行求解时，勿忘记两个前提条件：(1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；(2)方程有实数根，即Δ≥0.典例4 已知：关于x 的方程x 2－(m －1)x －2m 2＋m ＝0.(1)求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x 1，x 2，且x 21＋x 22＝2，求m 的值．思路探究：(1)证明根的判别式Δ≥0，即可证明方程有实数根；(2)由根与系数的关系把x 21＋x 22用含有字母m 的代数式表示出来，然后组成新的含有m 的一元二次方程，求解即可得m .解析：(1)证明：∵Δ＝[－(m －1)]2－4×1×(－2m 2＋m )＝(3m －1)2≥0， ∴无论m 取何值，方程总有实数根．(2)由(1)可知无论m 取何值，方程总有实数根，由方程的根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m －1，x 1x 2＝－2m 2＋m ，∵x 21＋x 22＝2，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －1)2－2(－2m 2＋m )＝5m 2－4m ＋1＝2，∴5m 2－4m －1＝0，即(m －1)(5m ＋1)＝0， 解得m 1＝1，m 2＝－15，即m 的值为－15或1.课堂检测·固双基1．已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A ) A ．2 B ．0 C ．0或2D ．0或－2解析：因为x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，所以4－4m ＋4＝0，所以m ＝2.2．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a >0，得a <2.又a －1≠0，所以a <2且a ≠1. 3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__. 解析：依题意，得2×12－3k ×1＋4＝0，即2－3k ＋4＝0.解得，k ＝2.4．若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝__－1__，x 21＋x 22＝__3__.解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝－11＝－1，x 1·x 2＝c a ＝－11＝－1，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－1)2－2×(－1)＝1＋2＝3.5．已知关于x 的方程x 2－2x ＋m －1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； (2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(m －1)>0， 即4－4m ＋4>0，解得m <2. (2)设方程的另一个实数根为x 2， ∵5＋x 2＝2，∴x 2＝－3.∴当方程有一个实数根是5时，另一个根为－3.。
第22章一元二次方程学案
23.1 一元二次方程学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）81x（2）)242=xx=-x(5)1(3+【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±43、要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k=_______.4、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
(好)第22章_一元二次方程_全章学案
第二十二章一元二次方程一、教材内容一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．二、课标要求1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.三、教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2－4ac>0，b2－4ac=0，b2－4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．四、教学重点与难点教学重点:1. 一元二次方程及其它有关的概念.2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.教学难点:1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．五、课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程5课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结3课时22.1.1 《一元二次方程（1）》学案学习目标：1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
北师大数学九年级上册-2-一元二次方程 预习学案
2.1认识一元二次方程「引入课」一元二次方程的引入视频助学学习数学视频【一元二次方程的引入】．「概念课」一元二次方程的定义学习目标理解并掌握一元二次方程的定义视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【一元二次方程的定义】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程？你能举出一个例子吗？（00:00-03:35）1.形如x2 + 3x =18 的，等号两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．2.请举一个视频中未出现的一元二次方程的例子．3. x2-12x+1 = 0 是一元二次方程吗？，原因是．引导问题2 判断一元二次方程有哪些注意事项？（03:35-05:15）4.判断一元二次方程时，首先要进行．5.x (x + 2 )=x2- 4 是一元二次方程吗？，原因是．6.○1ax2 +bx +c = 0 是关于x 的一元二次方程的条件是，二次项的系数不能为．○2(m- 3)x2+ 3x = 6 是关于x 的一元二次方程的条件是．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标☐理解一元二次方程的一般形式「概念课」方程的一般形式☐学会将一元二次方程整理成一般形式视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【方程的一般形式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的一般式？（00:00-04:11）1.就是一元二次方程的．其中二次项是，一次项是，常数项是．2.二次项系数a = 5 ，一次项系数b =-2 ，常数项c =-1的一元二次方程是．3.5x2+9 = 0 的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是．引导问题2 如何将一个一元二次方程整理成一般形式？（04:11-07:21）4.整理方法与解一元一次方程类似，包含去分母、去括号、移项、合并同类项等，结果中等号左边要按x 的（填写“升幂”或“降幂”）排列○1将5-3x=-2x2化为一般式，得．○2将x (x - 2)= 4 x2- 3x 化为一般式，得．x2 x +1 -x -1○3将-=化为一般式，得．3 2 2线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」一元二次方程的解学习目标学会应用一元二次方程的解视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【一元二次方程的解】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的解？（00:00-03:08）1.使一元二次方程左右两边相等的的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的．2.一元二次方程的解既有可能是，也有可能是，它们统称方程的．3.括号中的哪些数是方程x2 -x = 0 的解？（-1；0 ；1；2 ）．它们叫做方程的．引导问题2 一元二次方程的根有哪些应用？（03:08-04:39）4.关于x 的方程x2 -mx + 4 = 0 的一个根是2 ，m 的值是多少？第一步：把根带入原方程．第二步：解新方程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标2.2用配方法求解一元二次方程「概念课」直接开平方法理解并掌握用直接开平方法解一元二次方程视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【直接开平方法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何解简单的一元二次方程？（00:00-03:17）1.○1已知x2=25，则x =；○2已知(x +1)2 = 9 ，则x =？2.在解一元二次方程的过程中，无论哪种方法都会用到的转化思想，降低了的次数，也就降低了解方程的难度．引导问题2 什么是直接开平方法？（03:17-04:39）3.一般地，运用的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法．4.具体方法是将方程整理成(ax +b)2 =c 的形式．○1(ax +b)2 =正数，则方程．○2(ax +b)2 = 0 ，则方程．○3(ax +b)2 =负数，则方程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标能够运用完全平方公式配完全平方视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【配完全平方】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何配完全平方式？（00:00-04:22）1.我们曾经学过的完全平方公式：，它有另一种写法：x2± 2bx +b2=(x ±b)2 ，表示x 的二次项系数为的完全平方式，b 表示．配完全平方式（简称：）主要是根据这个式子进行的．2.将横线中填入数字使式子变成完全平方式．x2+8x+=(x)2 ；○1x2+2x+=(x)2 ；○2○3x2-6x+=(x)2 ．引导问题2 配完全平方式有什么规律？（04:22-07:41）3.在未知数的二次项系数为1时，配方所需的常数项是，写在完全平方括号里的数是．二次项系数不为1时要先将二次项，再按上面的步骤配方．4.将横线中填入数字使式子变成完全平方式．x2+8x+=(x)2 ；○1x2-x+=(x)2 ；○2○3x2-6x+=(x)2 ．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标理解并掌握用配方法解一元二次方程视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【配方法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何用配方法解一元二次方程？1. 解方程2x2 +x -8 = 0 ．第一步：移项．将方程中原有的常数项移到等号右边．得：第二步：系数化一．将项系数化一．得：第三步：配方．运用配方法将等号左边变成(x +b)2 的形式．得：第四步：开方．运用平方根的定义求出方程的根．得：2.运用上面的步骤解方程4x2 + 20x + 25 =0 ．移项．系数化一．配方．开方．3.根据配方后等号右边的情况判断根的个数．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：北师大版－九年级上册－一元二次方程学习目标2.3用公式法求解一元二次方程「概念课」推导求根公式理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【推导求根公式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是一元二次方程的求根公式？（00:00-01:35）1.将方程化为一般形式(a≠ 0 )，将a ，b ，c 代入式子x = 得到方程的根，这个式子就叫做一元二次方程的求根公式．引导问题2如何推导一元二次方程的求根公式？（01:35-07:33）2.求根公式是由一元二次方程的一般式经过法得到的．3. 给ax 2+bx +c = 0 (a≠ 0 )配方：第一步：移项．得：ax2 +bx = ．第二步：系数化一．得：x2 + = ．第三步：配方．得：当b2 - 4ac ≥ 0 时第四步：开方．得：4. 把方程2x2 + 5x - 3 = 0 中适当的系数代入求根公式，得x = ，x = ．1 2线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标「概念课」根的判别式会使用根的判别式判断方程根的情况视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【根的判别式】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是根的判别式？（00:00-01:21）1.求根公式x = 中，根号下面的式子，叫做根的判别式，用希腊字母表示．引导问题2 如何用根的判别式判断根的情况？（01:21-04:33）2.∆的值与方程根的情况有什么关系？方程∆ 与0 比-b ±∆在中2a根的情况x2 +x +1 = 0x2 + 2x +1 = 0x2 + 2x -1 = 03. 方程x2 - 7x +100 = 0 的根的情况是．引导问题3 根的判别式有哪些应用？（04:33-06:36）4.关于x 的一元二次方程kx2-6 x+1= 0 (k ≠ 0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．由题意得∆= = > 0 ，解得．k 的取值范围是．5.方程中的a 与c 异号，根的情况为．方程∆= 若根的命运ax 2+bx +c = 0 (a ≠ 0 ) ∆< 0∆= 0∆> 0线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」公式法学习目标理解并掌握用公式法解一元二次方程视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【公式法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 如何用公式法解一元二次方程？（00:00-04:29）1. 用公式法解方程：2x2 - 4x -1 = 0 ．第一步：确定a ，b ，c 的值．得a = ，b = ，c = ．第二步：代入判别式．得∆=b2 - 4ac = = ，∆ 0 ．第三步：代入求根公式．若∆≥ 0 ，代入求根公式求得实数根；若∆< 0 ，方程没有实数根．得：引导问题2 什么样的一元二次方程适合用公式法求解？（04:29-05:36）2.○1无法进行因式分解的方程．○2二次项系数不为，配方时较麻烦的方程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：攻略1. 计算判别式 ∆2.和 0 比大小攻略1. 计算判别式 ∆2.和 0 比大小攻略1. 计算判别式 ∆2.和 0 比大小攻略1. 计算判别式 ∆2.和 0 比大小能力目标判断含参方程解的情况「解题课」判断方程解的情况拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【判断方程解的情况】讲题． 1.k 为任意实数，判断关于 x 的方程的解的情况： x 2 - (2k + 2) x + 2k = 0 ．2.m 为任意实数，判断关于 x 的方程 x 2 - mx + 1m 2+m + 3= 0 的解的情况． 22 23. 若5k + 20 < 0 ，判断关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4x - k = 0 的解的情况4.k 为任意实数，判断关于 x 的方程 kx 2 - (3k - 1) x + 2 ( k - 1) = 0 的解的情况．检查梳理 看视频【判断方程解的情况】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．能力目标「解题课」根据解的情况求参数会用判别式求参数的取值范围拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【根据解的情况求参数】讲题． 1. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+ 2x - a = 0 有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．2. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2x - a = 0 有两个相等的实数根，求a的取值范围．3. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2x - a = 0 无实数根，求 a 的取值范围．4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - (4m + 1) x + 3m 2 + m = 0 有实数根，求m 的取值范围．5. 关于 x 的方程 x 2 + ⎛1+ 1 ⎫ x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取k ⎪ k⎝⎭值范围．检查梳理 看视频【根据解的情况求参数】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.分析解的情况 2.得到判别式与0 的大小 3. 解方程/不等式求参数攻略1. 分析解的情况2.得到判别式与0 的大小 3. 解方程/不等式求参数攻略1. 讨论二次项系数是否为 02. 利用解的情况得出判别式符攻略 讨论二次项系数是否为 0能力目标☐ 会用判别式求参数值☐ 会分类讨论二次项系数「解题课」分类讨论解的情况拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【分类讨论解的情况】讲题． 1. 如果关于 x 的方程( m + 1) x 2 - ( m + 2 ) x + 1 = 0 有两个实数根，求 m 的取值范围．2. 已知关于 x 的方程 kx 2 + ( 2k + 3) x + ( k + 1) = 0 ，则k 取何值时：○1 方程有两个不等的实数根？○2 方程有两个实数根？○3 方程没有实数根？○4 方程有实数根？检查梳理 看视频【分类讨论解的情况】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．学习目标2.4用因式分解法求解一元二次方程「概念课」因式分解法理解并掌握用因式分解法解一元二次方程视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【因式分解法】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是因式分解法？（00:00-02:51）1.解一元二次方程时，先，使方程化为两个一次式的乘积等于的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．并不是所有一元二次方程都能用因式分解法．2.用因式分解法解方程7x2 - 2.1x = 0 ．第一步：因式分解．将所有项移到等号左边，使等号右边得0 ．提出公因式，得：第二步：让两个因式分别等于0 ．得：第三步：得出结果．得：3.按上面的步骤解方程x2 + 5x = 0 ．引导问题2 因式分解的方法有哪些？（02:51-07:34）4.除了提公因式，还可以运用方法和、公式进行因式分解．5.用因式分解法解方程：○1x2-16x+60=0；○22x2 -13x -15 = 0 ．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：能力目标「解题课」活用降次解方程会运用 “先特殊后一般”的方法解方程拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【活用降次解方程】讲题． 1. 解方程 x 2- 5x + 6 = 0 ．2. 解方程 x 2- 5x -1 = 0 ．3. 解方程 x ( x - 8) = -16 ．4. 解方程 2 x ( x + 7 ) = 3 ( x + 7 ) ．5. 解方程 x ( x - 5) = 6 x + 12 ．检查梳理 看视频【活用降次解方程】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略 先特殊，后一般 1.特殊方法 直接开平方法因式分解法 2.一般方法 配方法 公式法能力目标☐学会用公式法解含参方程☐学会用因式分解法解含参方程「解题课」解含参方程拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【解含参方程】讲题．1. 解关于x 的方程：x2 - 2mx -m2 = 0 ．2. 解关于x 的方程：x2- 2mx -n2= 0 (m>n > 0 )．3. 解关于x 的方程：x2+(m+ 2 )x + 2m = 0 ．4. 解关于x 的方程：x 2+(2m -1)x +m 2-m = 0 ．攻略解含参方程1.系数、常数项为单项式：公式法2.系数与常数项为多项式：因式分解法5. 解关于x 的方程：(m+ 2 )x 2+ 2 x -m = 0 (m≠-2 )6. 解关于x 的方程：(k2-1)x2-2kx +1 = 0(k ≠±1)．检查梳理看视频【解含参方程】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．「解题课」分类讨论解含参方程能力目标会分类讨论解关于 x 的方程： ax 2+ bx + c = 0拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【分类讨论解含参方程】讲题． 1. 解关于 x 的方程( k + 1) x 2 + (3k - 1) x + 2k - 2 = 0 ．2. 解关于 x 的方程(k 2 + k )x 2 +(2k - 3)x -15 = 0 ．检查梳理 看视频【分类讨论解含参方程】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略 1.确定二次项系数是否为 0 2. 为 0 ： 解一元一次方程不为 0 ： 解一元二次方程-b-b学习目标2.5 一元二次方程的根与系数的关系「概念课」根与系数的关系理解并掌握韦达定理视频助学 请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【根与系数的关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空． 引导问题 1根与系数的关系是什么？什么是韦达定理？（00:00-04:14）1. 如果 x ， x 是方程ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) 的两个根，那么 x + x = ， 1212x 1 ⋅ x 2 = ．这两个关系式称为一元二次方程的根与系数的关系，被人们称为韦达 定理．引导问题 2 如何推导韦达定理？（04:14-06:27）2. 求根公式可得： x 1 = 2a ， x 2 =2ax 1 + x 2 =2a 2ax 1 + x 2= =3.x 1 ⋅ x2 =⋅ 2a 2ax 1⋅x 2=(-b +-b 4a 2 = =x 1 ⋅ x 2 = =引导问题 3 韦达定理有什么应用？（06:27-08:28）4. 下列方程的解为 x 1 ， x 2 ，求 x 1 + x 2 和 x 1 ⋅ x 2 的值．（1） x 2- 2015x +1024 = 0 ；（2） 2x 2-12x + 28 = 3 ．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问 预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：-b -b --b -b攻 略 韦达定理1. 先变形把要求式子凑出x 1 + x 2或x 1 ⋅ x 22. 再整体代入能力目标会运用韦达定理求值「解题课」利用韦达定理求值拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【利用韦达定理求值】讲题． 1. 已知方程 x 2 - 3x - 5 = 0 的两个根为 x ， x ，求下列式子的值：122211x 2 x 1○1 x 1 + x 2 ；○2 (4 x 1 - 3) (4 x 2 - 3) ；○3 + ；○4 x x + ；○5 x x x 1 - x 2 ． 1212检查梳理 看视频【利用韦达定理求值】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程． 线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略变形 把要求式子凑出x 1 + x 2或x 1 ⋅ x 2能力目标「解题课」利用韦达定理求值进阶学会先降次，再使用韦达定理拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【利用韦达定理求值进阶】讲题． 1. 已知方程 x 2 - 3x - 5 = 0 的两个根为 x ， x ，求 x 3 + x 3 的值．12122. 已知 x ， x 是方程 x 2 + x - 3 = 0 的两个根，求 x 3 - 4x 2 +19 的值．1212检查梳理 看视频【利用韦达定理求值进阶】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．学习目标2.6应用一元二次方程「概念课」递增递减问题能够用一元二次方程解决增长（降低）率问题视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【递增递减问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 列方程解应用题的基本步骤是什么？（00:00-00:48）1.列方程解应用题分为六步、、、、、．引导问题2 什么是递增递减问题？如何解决递增递减问题？（00:48-06:27）2.递增递减问题通常是：在一段时间内，一个数量按的速率增长或减小，已知变化前后的数量．求率或率．3.最近几年智能手机的普及率稳步提高．小李他们家所在的区，两年前有8 万人使用智能手机，今年有15.68 万人使用，每年增长率不变，求每年的增长率是百分之多少？第一步：审题．看清题目已知和要求的量．第二步：设x ．设为x ．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．4.使用座机电话的人越来越少，小李家所在的区两年前有20 万户人家有座机，今年只有18.05 万户了，每年减少率不变，求每年的减少率是百分之多少？5.递增递减问题可以总结出一个一般公式：现有量=⨯(1±)2 ．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」薄利多销问题学习目标能够用一元二次方程解决销售利润问题视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【薄利多销问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是薄利多销问题？如何解决薄利多销问题？1.薄利多销问题通常是：一种商品按现在的价钱能卖一部分，但销售能卖得更多．尽管单个商品利润少了一些，但会提高．不过如果降价过多，也会下降．2.一款耳机卖一副的利润是150元，现在每月销量60 副．市场调查发现，每降价1元，平均每月可多卖出1.2 副，厂商要求最多降价70 元．问要让每月总利润达到10920 元，需要降价多少？第一步：审题．总利润= ⨯ ．调价后总利润=（原利润-）⨯（+多卖的）．第二步：设x ．设为x ．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」图案面积问题学习目标能够用一元二次方程解决面积问题视频助学请．先．思．考．引．导．问．题．，再．看．视．频．【图案面积问题】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是图案面积问题？如何解决图案面积问题？1.图案面积问题通常是：一个长方形，求它的面积．由于种种原因，这个长方形不是完整的，会被各种间隔隔开，所以要先求出间隔的，才能解决问题．2.智能手机的主页面上排列着很多应用软件．比如一款智能手机的主页面上最多可以放24个应用，每行4 个，共6 行．为了美观和实用，行与行之间，列与列之间和屏幕四个边缘，都要留出空当．空当的宽度都相等．如果屏幕长100毫米，宽60 毫米，空当要设定成多宽才能把屏幕总面积的60% 留给应用呢？第一步：审题．将间隔都放在一起，应用都放在一起．第二步：设x ．设为x ．第三步：列方程．第四步：解方程．第五步：验根．按实际情况验根．第六步：答题．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：7 7攻略已知解，反求方程1. a (x-x1)(x-x2)= 0⎧x +x =-b2. ⎨ ⎪ 1 2a⎩x ⋅x =1 2caax2+bx +c = 0攻略已知解，反求方程1. a (x-x1)(x-x2)= 0⎧x +x =-b2. ⎨ ⎪ 1 2a⎩x ⋅x =1 2caax2+bx +c = 0能力目标会用韦达定理构造方程满分必学「解题课」用韦达定理反求方程拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【用韦达定理反求方程】讲题．1.已知一个一元二次方程的两个根为x1 =-2 ，x2= 5 ，写出一个满足要求的方程．2.已知一个一元二次方程的两个根为x1= 3 +，x2= 3 -，写出一个满足要求的方程．检查梳理看视频【用韦达定理反求方程】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．能力目标☐会利用韦达定理列方程☐会解含参方程组☐掌握降次法「解题课」用韦达定理求参数拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【用韦达定理求参数】讲题．1.已知关于x 的方程x2 + 4x +a = 0 有两个实数根x 、x ，且2x -x = 7 ，求实数a 的值．1 2 1 22.已知x 、x 是关于x 的方程4 x2-(3m - 5)x - 6m 2= 0 的两个实数根，且x =-3x ，1 2 1 2 2求m 的值．3.设k 为实数，关于x 的一元二次方程x2 +kx +k +1 = 0 的两个实根分别为x 、x ，且1 2x + 2x 2 =k ，求k 的值．1 2检查梳理看视频【用韦达定理求参数】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．能力目标☐ 会根据已知解求参数「解题课」二次方程与代数式求值☐ 会通过直接代入法、整体法或降次求值拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【二次方程与代数式求值】讲题． 1. 已知0 是关于 x 的二次方程( m - 2 ) x 2 + 3x + m 2 + 2m - 8 = 0 的解，求m 2 -1代数式m 2- 2m +1的值．2. 已知 x = 1 是关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4mx + m 2 = 0 的根，求代数式2m (m - 2) -(m + 3)(m - 3)的值．3. 已知 a 是方程 x 2 - 3x +1 = 0 的一个解，求 a 3 - a 2 - 5a + 8 的值．检查梳理 看视频【二次方程与代数式求值】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．攻略1. 直接代入2. 整体法3. 降次攻略 整数解的老思路1. 先判断解是否带根号2. 求出方程的解3. 根据解为整数求参数攻略 整数解的老思路1. 先判断解是否带根号2. 求出方程的解3. 根据解为整数求参数能力目标会根据整数解求参数拔高练习 不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【二次方程的整数解】讲题． 1. 已知关于 x 的方程 mx 2 + (3m + 1) x + 3 = 0 有两个整数解，求整数 m ．2. 若关于 x 的方程(6 - k ) (9 - k ) x 2 - (117 - 15k ) x + 54 = 0 的解都是整数，求符合条件的整数 k ．检查梳理 看视频【二次方程的整数解】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习 完成视频后相应的【专项练习】．能力目标会根据公共解求参数拔高练习不．看．视．频．先．试．试．！．做完再看数学视频【二次方程的公共解】讲题．1.若两个关于x 的一元二次方程x2 +x +a = 0 与x2 +ax +1 = 0 至少有一个公共的实数根，求a ．攻略1.设出公共解并代入方程2.根据问题对方程组变形2.已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 ，bx2 +cx +a = 0 ，cx2 +ax +b = 0 恰有一个公共的实数根，求a +b +c 的值．攻略1.设出公共解并代入方程2.根据问题对方程组变形检查梳理看视频【二次方程的公共解】，核．对．拔．高．练．习．标．准．答．案．并．订．正．，最后完整梳理一遍解题过程．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．。
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第二章 一元二次方程 花边有多宽（1）学习目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。
一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m ，宽为５m ．地毯中央长方形图案的面积为１８m 2。
根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
问题三：如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。
经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax 2+bx+c=0(a ≠0)，即它的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)。
应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a ≠0； (2) 若a ≠0(b 、c 可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。
判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。
简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a ≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。
三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、8一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。
(1)一变：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x 的一元二次方程，则m 应满足_________。
(2) 二变：若方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是关于x 的一元一次方程，则m 的值为__________。
3. m 为何值时，关于x 的方程()023112=-+-+mx x m m 是一元二次方程？四，课堂小练【基础训练】（100分）1、一元二次方程的一般形式是_________________（a ，b ，c 为常数，a ≠０）二次项系数、一次项系数、常数项分别是_____,______,______.2、填表方 程 二次项系数一次项系数常数项3x 2=5x-1 (x+2)(x -1)=6 4-7x 2=03、请在一元二次方程的后面打“√”(1)7x 2－6x ＝0 （ ） (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0 （ ） (3)2x 2－x31－1 ＝0 （ ） (4)x 2＋2x －3＝1＋x 2 （ ）4、如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？(只列方程)5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为8m ，宽为5m ．如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，则花边多宽? (只列方程)五，反思总结活动内容：让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？还有哪些困惑？ 课后练习：1. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A. ax 2+bx+c=0B. k 2x+5k+6=0C.02142333=--x x D. (m 2+3)x 2+2x-2=02. 若下列方程是关于x 的一元二次方程，求出m 的取值范围。
(1) ()()51122=---x m x m ； (2) ()0327124=++--mx xm m3. 某城市2003年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是（ ）A. 300(1+x)=363B. 300(1+x)2=363C. 300(1+2x)=363D. 363 (1-x)2=3004. 某种产品，原来每件产品成本是700元，由于连续两次降价，现在成本为448元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多少？若设每次降低成本的百分数为x ，则第一次降低成本后的成本为___________，第二次降低成本后的成本为____________，这样可列方程得__________________。
5. 已知：直角三角形的周长为62+，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积。
6. 如图 Y2—01①所示，用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图Y2—01②所示的底面积为1500cm 2的没盖的长方体盒子。
想一想：应怎样求出截去的小正方形的边长？若设小正方形的边长为x cm ，那么这个盒子的底部的长及宽分别为_______________cm 和________cm ，根据题意，可得方程__________________整理成一般形式得________________。
Y2—01第二章 一元二次方程 花边有多宽（2）学习目标：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，继续深化对一元二次方程的认识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
一， 复习回顾活动内容：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；()2221076x =++，即：01512x x 2=-+。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的x 吗？二， 情境引入活动内容：1、有一根外带有塑料皮长为100m 的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设地毯花边的宽为x(m)，得到方程：()()182x 52x 8=--，即：0111322=+-x x ；（1）x 可能小于0吗?说说你的理由．（2）x 可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流．（3）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．三， 做一做活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程()2221076x =++，把这个方程化为一般形式为01512x x 2=-+（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?（2）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （3）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几?四， 练习提高活动内容：五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。
您能求出这五个整数分别是多少吗？ 【基础训练】（100分） 1、把下列一元二次方程化为一般形式1)4(2=+x x _____________________,(x －2)2=5 ______________________, 2、方程012322=--x x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )A 、2、23、1- ； B 、2、 3-、1- ； C 、2、 21-、1- ； D 、2、 23-、3、082,0105,1,5)2)(1(42222=+=-=+=+-x x x y x x x 中, 一元二次方程的个数为 ( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 4、观察下列等式：73452331210122222222=-=-=-=-、、、，用含自然数n 的等式表示这种规律为5、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程． 【探究提高】（20分） 6．一名跳水运动员进行10m 跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m 以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系: h ＝10+2.5t-5t 2.那么他最多有多长时间完成规定动作. 五， 课堂小结活动内容：互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。
学习自评1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）①ax 2=bx ；②312232=--x x ；③ ()()0122=--x x ；④0212=--xx ；⑤112=--y y ；⑥()()8132-=+-x x xA. ①②④⑥B. ②C. ①②③④⑤⑥D. ②③2. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使矩形四周的草地的宽度都一样，求四周草地的宽度应为多少？设矩形四周留下草地的宽为x 米，根据题意下列方程不正确的是（ ） A. 48-(16x+12x-4x 2)=16 B. 16x+2x(6-2x)=32 C. (8-x)(6-x)=16 D. (8-2x)(6-2x)=163. 若关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1B. -1C. 1或-1D.214. 某地2004年外贸收入为2.5亿元，2006年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可列出方程为（ ）A. 2.5(1+x)2=4B. (2.5+x%)2=4C. 2.5(1+x)(1+2x)=4D. 2.5(1+x%)2=4 5. 若关于x 的方程()0322=-+-x xm m是一元二次方程，则m=_______________。