北京市中考数学总复习第五单元三角形课时训练19等腰三角形试题

课时训练(十九) 等腰三角形
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
2.如图K19-1,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是
()
图K19-1
A.AE=EC
B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC
D.∠EBC=∠ABE
3.[2017·昌平二模]如图K19-2,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=55°,点D是斜边AB的中点,那么∠ACD的度数为()
图K19-2
A.15°
B.25°
C.35°
D.45°
4.如图K19-3,AB∥CD,AC的垂直平分线交CD于点F,交AC于点E,连接AF.若∠BAF=80°,则∠CAF的度数为()
图K19-3
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
5.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边长的取值范围是()
A.1 cm<AB<4 cm
B.5 cm<AB<10 cm
C.4 cm<AB<8 cm
D.4 cm<AB<10 cm
6.[2017·门头沟二模]如图K19-4,在△ABC中,点D是BC边上一点且CD=CA,过点A作MN∥BC,∠CAN=48°,∠B=41°,则∠BAD=()
图K19-4
A.23°
B.24°
C.25°
D.26°
AB长为半径作弧,两弧相交于7.[2018·凉山州]如图K19-5,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于1
2
M,N两点;②作直线MN交BC于D,连接AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=()
图K19-5
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
8.[2018·师达中学月考]已知△ABC是等边三角形,边长为4,则BC边上的高是()
A.4
B.23
C.2
D.3
9.等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是.
10.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边长为.
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为.
12.[2018·房山一模]一个正方形和两个等边三角形的位置如图K19-6所示,则∠1+∠2+∠3的度数为.
图K19-6
13.在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= .
14.[2018·义乌]等腰三角形ABC中,顶角∠A为40°,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC的度数为.
15.[2018·丰台一模]如图K19-7,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:DE=DF.
图K19-7
16.[2018·通州一模]已知:如图K19-8,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.
(1)求∠AEC的度数;
(2)请你判断AE,BE,AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.
图K19-8
|拓展提升|
17.[2018·延庆期末]如图K19-9,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边的中线,点E是AC边的中点.如果点P是AD 上的动点,那么EP+CP的最小值为.
图K19-9
18.[2018·东城二模]如图K19-10所示,点P位于等边三角形ABC的内部,且∠ACP=∠CBP.
图K19-10
(1)∠BPC的度数为°;
(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.
①依题意补全图形;
②证明:AD+CD=BD;
(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.
参考答案
1.D
2.C[解析] ∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,因此选C.
3.C
4.B
5.B[解析] ∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,∴设AB=AC=x cm,则BC=(20-2x)cm,
∴220-2,
20-20,
解得5<x<10.故选B.
6.C
7.C
8.B
9.100°[解析] 根据三角形的内角和等于180°,又等腰三角形的一个内角为100°,所以这个100°的内角只能是顶角,故填100°.
10.5,5或6,4
11.63°或27°[解析] 在三角形ABC中,设AB=AC,BD⊥AC于点D.
①如图①,若三角形是锐角三角形,∠A=90°-36°=54°,
此时底角=(180°-54°)÷2=63°;
②如图②,若三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126°,
此时底角=(180°-126°)÷2=27°.
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°.
12.150°
13.2 [解析] 如图,过点C 作CG ⊥AB ,垂足为G ,连接AD ,则AG=BG=2.
∴CG= 2- 2= 42-22=2 . ∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ,
∴1
2AB×DE+1
2AC×DF=1
2AB×CG. ∴1
2×4×DE+1
2×4×DF=1
2×4×CG. ∴DE+DF=CG=2 3.
14.30°或110° [解析] 根据题意作出图形(如图),当点P 在AB 右侧时,连接AP.
∵AB=AC ,∠BAC=40°,∴∠ABC=∠C=70°, ∵AB=AB ,AC=PB ,BC=PA ,
∴△ABC ≌△BAP ,∴∠ABP=∠BAC=40°, ∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30°.
当点P'在AB 左侧时,同理可得∠ABP'=40°,
∴∠P'BC=40°+70°=110°.
故答案为30°或110°.
15.证明:连接AD.
∵AB=AC ,D 是BC 边上的中点,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF.
16.解:(1)∵点D是BC边的中点,DE⊥BC, ∴DE是BC的垂直平分线.
∴EB=EC.∴∠B=∠BCE.∵∠B=45°,
∴∠AEC=90°.
(2)AE2+BE2=AC2.
证明:∵∠AEC=90°,
∴△AEC是直角三角形.
∴由勾股定理,得AE2+EC2=AC2.
∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.
∴AE2+BE2=AC2.
17.33
18.解:(1)120
(2)①如图所示.
②证明:在等边三角形ABC中,∠ACB=60°,∴∠ACP+∠BCP=60°.
∵∠ACP=∠CBP,
∴∠CBP+∠BCP=60°.
∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP )=120°. ∴∠CPD=180°-∠BPC=60°. ∵PD=PC ,
∴△CDP 为等边三角形.
∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60°, ∴∠ACD=∠BCP.
在△ACD 和△BCP 中,
,
∠
∠ ,
, ∴△ACD ≌△BCP (SAS). ∴AD=BP.
∴AD+CD=BP+PD=BD.
(3)如图,作BM ⊥AD 于点M ,BN ⊥DC 交DC 的延长线于点N.
∵∠ADB=∠ADC-∠PDC=60°, ∴∠ADB=∠CDB=60°. ∴BM=BN= 3
2BD= 3.
又由(2)得AD+CD=BD=2,
∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD
=12AD ·BM+1
2CD ·BN
=3
(AD+CD)
2
×2
=3
2
=3.。