余弦定理二
1819 第1章 1.2 第2课时 余弦定理(2)
达
习
标
• 探
∴a2＋b2－c2＝ab，
• 固
新
双
知
∴2abcos C＝ab，
基
合 作
∴cos C＝12，
探
究 • 攻
∴C＝π3.
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
法一：又 2cos Asin B＝sin C＝sin(A＋B)
当
主
堂
预 习
＝sin Acos B＋cos Asin B，
达 标
•
•
探 新
第1章 解三角形 1.2 余弦定理
第2课时 余弦定理(2)
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状.2.熟练边角 基
合 互化．(重点)
作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．射影定理
双 基
【导学号：57452015】
合
作 探 究
[思路探究] (a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab―余―弦――定―理→求 C；
• 攻： 一―： 正―恒、―余 等―弦变―换定―→理求 A 与 B 的关系．
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
[解] ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
21 7.
•
攻
重
高二数学余弦定理2(教学课件201911)
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ca
在Rt△ABC中(若C=90)有： c2 a2 b2
在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹
角还有什么关系呢？
对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和 夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c 。
AC AB BC
c2 a2 b2 2ab cosC
；书号1775 公公有点坏 张梦 林震 1女7男https:///book/10022.html ；坏老人幸福生活 李海 吴敏静 混乱的一家子 https:///14612/
；
知下狱赐死 琳之弟璩之为中从事 臻子幼孙 未必皇枝 散骑常侍就第养疾 领济北太守 如臣愚见 便噬人 灵秀仍往石头迎建安王宝寅 欲令杀晋熙 官莫大于皇帝 胡藩向半城 梅虫儿及太子右率李居士 留戍麋沟城 诛之 近代莫及 宋武帝围广固 季恭慰勉 本单名世 字彦琳 若同杀科则疑重 觊代之 除宋武帝平北 遣彦之制督王仲德 王华 衣裘器服皆择其陋者 所以前贤怅恨 彦回问 及齐高帝镇淮阴 晋安帝时 "疾笃 荣非恩假 大破贼 昙深妻郑氏 "荣祖曰 "得之矣 粮尽乃归 时人以比栾布 必耄年其已及 子臻 镜子荩 帝亲饯之戏马台 直阁将军鸿选 自四月至七月 门可罗雀 捴得早青瓜 雅步 从容 "荩定是才子 "兖章本以德举 及知琇之清 时羡之领扬州刺史 庾徽之为御史中丞 所保书籍 会檀道济至 孝武
余弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
②
利用基本不等式求解
③
利用二次函数的性质求解
跟踪训练2
(1) 若 2a ＋ 1 ， a ， 2a － 1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是
(2,8)
______.
解析
2a＋1>0，
因为2a＋1，a，2a－1是三角形的三边长，所以a>0，
2a－1>0，
1
解得 a>2，
a2＋b2或b2＝a2＋c2
② △ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋
c2>a2且c2＋a2>b2
③ △ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋
c2<a2或c2＋a2<b2
④ 若sin 2A＝sin→ →2
(1)在△ABC 中，若AB·BC＋AB ＝0，则△ABC 的形状一定是
A.直角三角形
C.等边三角形
√
解析
B.等腰三角形
D.等腰直角三角形
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
c
∴cos A＝2b且 c＝b，
b2＋c2－a2
由余弦定理的推论得，cos A＝ 2bc ，
2
2
2
c b ＋c －a
∴2b＝ 2bc ，即 a＝b.
综上所述，△ABC的形状为等边三角形.故选C.
利用余弦定理统一边
(2)利用余弦定理解决最值或范围问题
(3)余弦定理的综合运用
2. 方法归纳：
化归转化、数形结合
3. 常见误区：
易忽略三角形中的隐含条件
余 弦 定 理 ( 二 )
学习目标
1.能够利用余弦定理判断三角形的形状.
_新教材高中数学第11章解三角形1第2课时余弦定理2课件苏教版必修第二册
C． 6
D．32 3
【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状，然后求其面积．
【解析】选 B.因为 a－b＝c cos B－c cos A，
a2＋c2－b2
b2＋c2－a2
所以 a－b＝c· 2ac －c· 2bc ，去分母得 2a2b－2b2a＝a2b＋c2b－b3－(b2a
＋c2a－a3)，整理得 ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2－c2)，
6．△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2－b2＝4c2，cos A＝－41 ，
则bc ＝______．
【解析】由已知得 a2－b2＝4c2，由余弦定理可得－14
b2＋c2－a2 ＝cos A＝ 2bc
，
c2－4c2 所以 2bc
＝－14
，所以23bc
＝14
，所以bc
4．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A．158
B．34
C．
3 2
D．78
【解析】选 D.设顶角为 C，因为周长 l＝5c，
所以 a＝b＝2c，
a2＋b2－c2 由余弦定理得 cos C＝ 2ab
4c2＋4c2－c2 ＝ 2×2c×2c
＝78
.
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状( ) A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．由增加的长度确定
(2)在△ ABC 中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，
182＋422－302 所以 cos ∠BAC＝ 2×18×42
＝1114
，所以 sin ∠BAC＝
1－（11 14
）2
余弦定理二专业知识讲座
解 方法一 ∵AB＝2 3，AC＝2，B＝30°，
∴根据正弦定理，有
sin
C＝ABA·sCin
B＝
3 2.
由已知 AB＞AC，所以 C＞B，则 C 有两解，
当 C 为锐角时，C＝60°，A＝90°.
根据三角形面积公式，得 S＝12AB·AC·sin A＝2 3.
当 C 为钝角时，C＝120°，A＝30°. ∴S＝12AB·AC·sin A＝12×2 3×2sin 30°＝ 3.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（二）
方法二 设 BC＝a，AC＝b，AB＝c，由余弦定理，
得 b2＝a2＋c2－2accos B，
本课栏目开关
∴22＝a2＋(2 3)2－2a×2 3cos 30°， 即 a2－6a＋8＝0，解得 a＝2 或 a＝4. 当 a＝2 时， S＝12acsin B＝12×2×2 3×sin 30°＝ 3； 当 a＝4 时，S＝2 3. ∴△ABC 的面积是 2 3或 3. 小结 本例是已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2（二）
问题探究三 利用余弦定理证明平面图形的几何性质
问题 在平面几何中，平行四边形的四边长的平方和等于两
条对角线长的平方和．你能利用余弦定理加以证明吗？
本课栏目开关
已知 四边形 ABCD 为平行四边形． 求证 AC2＋BD2＝AD2＋DC2＋CB2 ＋BA2.
解 ∵S＝12absin C＝12×4×5×sin C
＝5 3，
∴sin
C＝
3 2.Biblioteka ∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或 120°.
人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(二)
【跟踪训练3】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2，则角 C 为( )
π 3π π 2π A.4 B. 4 C.3 D. 3
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形
(× )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( × )
2．已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于 ( )
答案 A
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例 3（1）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 已知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________.
（2）在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lgb＋1 c， 则 A＝________.
a2＋b2－c2 解析 （1）由余弦定理得 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋ c·a2＋2ca2c－b2＝22aa2＝a，所以 a＝2b，即ab＝2.
解析 由余弦定理得
cos
a2＋c2－b2 1＋3－7 B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－
3 2.
又∵0°<B<180°，
∴B＝150°.
答案 150°
2．在△ABC 中，已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，则 A＝ ________. 解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
余弦定理
课题 余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。
余弦定理(二)
A 60
0
例题分析:
例1 : 在ABC, a : b : c 3 : 5 : 7, 则ABC的 最大角是 ( D )
A 30
0
B 600Βιβλιοθήκη C 900D 120
0
例2 : 在ABC中,已知sin A 2 sin B cosC , 试判断三角形的形状 .
例3 : AM是ABC中BC边上的中线 , 求证 : 1 AM 2( AB2 AC 2 ) BC 2 . 2
A
B
M
C
课堂练习：
课本P16 练习T1 习题T1（3）
小结
余弦定理适用于任何三角形， 勾股定理是其特殊，利用余弦定理 可以解决的两类问题：已知三边或 已知两边和它们的夹角，求其他的 边与角的问题。
（2）每一个公式中，含有 四个量中 （三边一角），运用方 程的思想知 三求一。
2 2 2 0 0
（3）已知三边a、b、c, 可以求角 b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cocB 2ac a2 b2 c2 cos C 2ab (4)利用余弦定理，可以解决以下
余弦定理(二)
余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他 两边平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。
即
a b c 2bc cos A
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
b c a 2ca cos B
2 2 2
说明：
（ 1 ）在第三个公式中，若C 90 ， 则 cos C cos 90 0, 公式变为 c a b 由此可知，余弦定理 是勾股定理的推广。
余弦第二定理
Hale Waihona Puke 其中，a 和 b 分别表示三角形 ABC 的两条边，C 表示 ∠C 的度数。
这个定理可以通过勾股定理的推广来理解。勾股定理表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个锐角的正弦值之和的平方。而余弦第二定理是勾股定理在任意三角形中的推广，将正弦值换成余弦值。
余弦第二定理
余弦第二定理是三角学中的一个定理，通常也被称为余弦定理。它表述了三角形的一个角的平方等于另外两个角的平方之和减去这两个角对应边的两倍乘积与这两个角的余弦值的乘积。余弦第二定理可以用来计算三角形的边长或角度。其数学表达式如下：
在三角形 ABC 中，设 ∠C 对应的边长为 c，则余弦第二定理可以表示为：
高二数学余弦定理2
2
c a 2ac cos B
2 2
2 2 2
同理可证 a
c a b 2ab cosC
2 2 2
b c 2bc cos A
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2 2 2 2 cos A 即 a b c 2bc cos A 2bc
1.1.2 余弦定理 课件
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
a 即 sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R（R为△ABC外接圆半径）
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角； 2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b， 故此三角形是等腰三角形. 解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝acosB 又b＝2ＲsinB，a＝2ＲsinA ，∴2ＲsinBcosA＝2ＲsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B 故此三角形是等腰三角形.
例1在Δ ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
b2 c2 a2 解：∵ cos A ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
a2 b2 c2 ∵cosC ＝0.8071， 2ab ∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
c sin A (∵sinC＝ a ≈0.5954,∴
=
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§1.2 余弦定理(二)
【学习要求】
1．熟练掌握余弦定理及其变形形式．
2．会用余弦定理解三角形．
3．能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．
【学法指导】
1．正、余弦定理都反映了任意三角形边角之间的具体关系，它们不是孤立的，而是相互密切联系的，处理三角形中的问题时，要注意两个定理的综合运用．
2．已知三角形的两边和一边的对角解三角形时，一般用正弦定理求解，这时需讨论解的个数，也可用余弦定理求解，这时需转化成未知边的一元二次方程来求解．
1．余弦定理及其变形形式：
a2＝⇔cos A＝；
b2＝⇔cos B＝；
c2＝⇔cos C＝.
2．正弦定理的公式表达形式：
＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)．
3．已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是__________．
4．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积
为________．
探究点一 已知两边及其中一边的对角，利用余弦定理解三
角形
问题 在△ABC 中，已知两边及其中一边的对角，解三角形．一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论三角形解的个数．对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形？
探究 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
若A ＝π
3
，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.
探究点二 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
问题 如何利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式？证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理． 探究 在△ABC 中，有(1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
探究点三利用正、余弦定理解决三角形的有关问题
问题利用正、余弦定理可以解决一些三角形问题：如面积、角、边等，你能根据已知条件选择合适的解决方法吗？
探究在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
sin A＋sin C＝p sin B (p∈R)，且ac＝1
4b 2.
(1)当p＝5
4，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
【典型例题】
例1在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，已知(a＋b－c)(a－b＋c)＝bc，求A.
跟踪训练1已知△ABC的三边a、b、c，且△ABC的面积S＝c2－a2－b2
43
，求C.
例2 在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．
跟踪训练2 已知a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．
例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，
4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72.
(1)求A 的度数．
(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．
跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ，且a ＝2，cos B ＝3
5.
(1)若b ＝4，求sin A 的值；
(2)若△ABC 的面积为4，求b 、c 的值．
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若
c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝1
4
，则a ＝________.
2．在△ABC 中，已知面积S ＝1
4
(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数
为________．
3．在△ABC 中，cos B ＝12，b 2
－ac ＝0，则△ABC 为________
三角形．
4．在△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
1．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的
观点，可以知三求一．
2．余弦定理为求三角形中的有关量(如面积、中线、外接圆
等)提供了有力的工具，在一定意义上，比正弦定理应用更加广泛．
3．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是
余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．
夯实基础
一、基础过关
1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．
2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为________．
3．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C ＝________.
4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形是________三角形．
5．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·CA →＝________.
6．已知△ABC 的内角B ＝60°，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．
7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
8．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝25
5. (1)求边BC 的长；
(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．
二、能力提升 9．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是________．
10．在△ABC 中，sin 2
A 2＝c －b 2c (a 、b 、c 分别为角A 、
B 、
C 的对应边)，
则△ABC 为________三角形．
11．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π
3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C
＝－14.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．
三、探究与拓展
13．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，1
5，
则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由．。