(优辅资源)版福建省福州市第八中学高一数学下学期期末考试试题
福建省福州八中09-10学年高一下学期期末考试(数学)
福州八中2009—2010学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每题有且只有一个选项是正确嘚，请把答案填在答卷相应位置上）1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．DAC ．BCD ．02．设sin α=-53,cos α=54，那么下列嘚点在角α嘚终边上嘚是A ．(-3,4)B ．(-4,3)C ．(4,-3)D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°嘚值是A ．32-B ．12C ．32D ．12- 4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内嘚图象如右图，此函数嘚解析式为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2嘚正三角形ABC 中，BC AB •为A ．32B ．32-C ．2D ．2-6．如图，ABCD 嘚对角线交点是O ，则下列等式成立嘚是A ．AB OB OA =+ B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-yx2 －20 125π－12π7．若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα嘚值是 A ．1813B ．223C ．1213 D ．61 8．函数f (x)是以π为周期嘚奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 嘚值为A ．4πB ．－4πC ．1D ．－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。
10．如图，单摆嘚摆线离开平衡位置嘚位移S(厘米)和 时间t(秒)嘚函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要嘚时间是______秒11．扇形OAB 嘚面积是1cm 2，半径是1cm ，则它嘚中心角嘚弧度数为 。
福建省福州八中2010届高一数学下学期期末考试试卷
福建省福州八中2010届高一数学下学期期末考试试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。
每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ ）A ．4B ．－3C ．54D ．53- 2．若0cos sin <αα，则角α的终边在（ ）A ．第二象限B ．第四象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒4．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是 （ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．π2 5．设a 3(,sin )2α=，b ()1cos ,3α=, 且a ∥b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．75︒ 6．下列各式中值等于12的是（ ）A ．015sin 45sin 15cos 45cos +B ．2tan 22.51tan 22.5οο-C ．22cossin 1212ππ-D7．若向量(1,1),(1,1),(1,2),a b c ==-=- 则=c（ ）A ．;2321b a+-B ．;2321b a-C ．;2123b a-D ．;2123b a+-8．已知1cos()3πα+=，2παπ<<，则sin 2α的值是（ ）A ．12B ．3C．9D．9二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）9．0000tan17tan 43tan 43++= 。
10．已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是11．已知8a =，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 三、解答题（本大题共3小题，共37分，请按照要求写清必要的步骤） 12．（本小题12分）已知(0,)θπ∈，1sin cos 2θθ+= 求 (1)θ⋅θcos sin ； (2) sin cos θθ-13．（本小题12分）设(3,1)OA =，(1,2)OB =-，OB OC ⊥，BC ∥OA ，试求满足OC OA OD =+的的坐标（O 为坐标原点）。
福州八中2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题及答案试题1
福州八中2012-2013学年高一下学期期末数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知ααcos 2sin =，则αtan2的值为（ ）A ．21B ．2C ．43 D ．－34 3．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89-B ．49-C ．49D ．894．化简++-的结果等于（ ）A ．B ．C ．SPD ．5．如果一扇形的弧长为π，半径等于2，则扇形所对圆心角为（ ）Ａ．πＢ．2πＣ．π2Ｄ．3π26. 化简)3tan()cos()2sin()tan()2sin(απαπαπαπαπ--++-= （ ）A.αcosB. －αsinC.αcos -D.αsin7.设1e 和2e 为不共线的向量，若21e ﹣32e 与k 1e +62e （k ∈R ）共线，则k 的值为 （ ） A ．k=4B ．k=-4C ．k=-9D ． k=98.12cos 212π-=（ ） A. 43-B.43 C.41 D. 41-9. 若向量a = (1，1)， b = (1，－1)， c =(－1，2)，则c 等于 （ ）A ．－21a +23b B ．21a － 23b C ．23a － 21b D ．－ 23a + 21b 10. 已知|a |=1，|b |=2，（a -b ）⊥，则a 与b的夹角是（ ）A ．300B ．450C ．600D ．900二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应的位置上.） 11. sin 43cos13cos 43sin13-=______________________.12. 已知,a b →→均为单位向量，它们的夹角为060，那么a b →→+=_______。
福建省福州八中09-10学年高一下学期期末考试数学
福州八中2019学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．C ．D ．2．设sin α=-53,cos α=54，那么下列的点在角α的终边上的是 A ．(-3,4) B ．(-4,3) C ．(4,-3) D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是A．B ．12 CD ．12- 4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2的正三角形ABC 中，∙为A ．32B ．32-C ．2D ．2-6．如图，ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 A ．=+B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-7．若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是 A ．1813B ．223C ．1213 D ．61x8．函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 的值为A ．4πB ．－4πC ．1D ．－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。
10．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和 时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是______秒11．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 。
2021-2022学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省福州市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知全集，集台和的关系U =R {|112}M x Z x =∈-≤-≤{}|21,N x x k k N *==+∈如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个B由韦恩图可得影部分表示的集合为，由交集、补集的概念即可得解.()U N M【详解】由题意，集台，{}{}{|112}|030,1,2,3M x Z x x Z x =∈-≤-≤=∈≤≤={}|21,N x x k k N *==+∈所以阴影部分表示的集合为，有3个元素.(){}U 0,1,2N M = 故选：B.2．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且，则（ ）52AB AM=CB =A ．B ．3522CA CM--3522CA CM - C ．D ．3522CA CM+3522CA CM -+ D【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以52AB AM = ()52CB CA CM CA-=-.3522CB CA CM=-+故选：D.3．某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，[]5,25[)5,9[)9,13[)13,17，，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）[)17,21[]21,25A ．频率分布直方图中a 的值为0.07B ．估计全部销售员工销售额的众数与中位数均为15C ．估计全部销售员工中销售额在17百万元以上的有12人D ．估计全部销售员工销售额的第20百分位数约为10.5D【分析】由各组的频率和为1，求出，然后再逐个分析判断即可a 【详解】由频率分布直方图可知，4(0.020.090.030.03)1a ⨯++++=解得，所以A 错误，0.08a =由频率分布直方图可知众数为15，因为前2组的频率和为，前3组的频率和为40.0240.080.40.5⨯+⨯=<，所以中位数在第3组，设中位数为，则40.0240.0840.090.760.5⨯+⨯+⨯=>x ，解得，所以B 错误，0.40.09(13)0.5x +-=14.1x ≈由频率分布直方图可知销售额在17百万元以上的频率为，所以4(0.030.03)0.24⨯+=全部销售员工中销售额在17百万元以上的约有人，所以C 错误，0.2420048⨯=因为第1组的频率为，前2组的频率和为，所以第20百分位数在第2组，设0.080.4第20百分位数为，则，解得，所以全部销售员工y 40.020.08(9)0.2y ⨯+-=10.5y =销售额的第20百分位数约为10.5，所以D 正确，故选：D 4．如图，为正方体，下列错误的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．平面B ．//BD 11CB D 11AC A D⊥C ．平面平面D ．异面直线与所成的角为60°1ADC ⊥11CB D 1A D 1AC D【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可.【详解】解：在正方体中，，平面，平1111ABCD A B C D -11//BD B D BD ⊄11CB D 11B D ⊂面，所以平面，故A 正确；11CB D //BD 11CB D 由，平面，平面，所以，11AD DA ⊥AB ⊥11ADD A 1DA ⊂11ADD A 1AB DA ⊥又，平面，所以平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂11ABC D 1DA ⊥11ABC D 又平面，所以，故异面直线与所成的角为，即B1AC ⊂11ABC D 11DA AC ⊥1A D 1AC 90︒正确，D 错误；又由，平面，平面，所以，11DC D C ⊥AD ⊥11DD C C 1D C ⊂11DD C C 1AD D C ⊥又，平面，所以平面，1AD DC D = 1,AD DC ⊂1ADC 1D C ⊥1ADC 又平面，所以平面平面，故C 正确；1D C ⊂11B D C 11B D C ⊥1ADC故选：D5．已知，且，成立的充分而不必要条件是（ ）0a >1a ≠3log 14a<A ．B ．C ．D ．13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1,14⎛⎫⎪⎝⎭30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ A【分析】分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a 的范围，根1a >10a >>据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.【详解】当时，在为单调递增函数，则恒成立，1a >log a y x =(0,)+∞3log 014a<<当时，在为单调递减函数，10a >>log a y x =(0,)+∞由，可得，解得，3log 14a<3log log 4a a a<304a <<综上使成立a 的范围是，3log 14a<30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，3log 14a<所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，30,(1,)4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 分析选项可得，只有A 符合题意，故选：A6．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，1485m ．21400km ．1575m ．相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水21800km ．库水位从海拔上升到）（ ）1485m ．1575m ． 2.65≈A ．B ．C ．D ．931.010m⨯931.210m⨯931.410m⨯931.610m⨯C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台157.5148.59MN =-=的体积．V 棱台上底面积，下底面积，262140.014010S ==⨯km m 262180.018010S '==⨯km m∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯'．(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯故选：C ．7．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出A =的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有B =C =一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列D =E =判断中正确的是（ ）A ．B ．()()()P A B P A P B +=+()()1P C P D +=C ．D ．()1P C E = ()()P B P C =C【分析】根据给定条件，计算判断A ，B ，D ；分析事件与(),(),(),()P A P B P C P D C 所含事件判断C 作答.E 【详解】依题意，，，而2222332266C C C 44(),()1C 15C 5P A P B +===-=16()()115P A P B +=>，A 不正确；()1P A B +≤，，B 不正确；2426C 311()1,()1()C 515P C P D P A =-==-=()()1P C P D +>事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与C E 没有白球的两个互斥事件和，事件是必然事件，因此，C 正确；C E ⋃()1P C E = 因，，则，即D 不正确.4()5P B =3()5P C =()()P B P C ≠故选：C8．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是A ．B ．4534C ．D18B【分析】设的最大角为，最小角为，可得出，，由题意得ABC ∆B C 1b a =+1c a =-出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以2B C =sin sin 22sin cos B C C C ==及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.a a cos C 【详解】设的最大角为，最小角为，可得出，，ABC ∆B C 1b a =+1c a =-由题意得出，，所以，，2B C =sin sin 22sin cos B C C C ∴==2cos b c C =即，即，2cos bCc =222b a b c c ab +-=将，代入得，解得，，，1b a =+1c a =-222b a b c c ab +-=1411a a a a ++=-+5a =6b ∴=4c =则，故选B.63cos 284b C c ===本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.二、多选题9．复数，，下列结论正确的是（ ）()21(1)iz m m =-+-R m ∈A ．若z 对应复平面上的点在第四象限，则1m <-B ．若z 是纯虚数，则1m =±C ．当时，z 是虚数1m ≠D ．当时，2m =10z =AC【分析】根据给定复数，利用复数的概念及几何意义，逐项分析、计算判断作答.【详解】复数，，()21(1)iz m m =-+-R m ∈对于A ，z 对应复平面上的点在第四象限，则，解得，A 正确；21010m m ⎧->⎨-<⎩1m <-对于B ，z 是纯虚数，则，解得，B 不正确；21010m m ⎧-=⎨-≠⎩1m =-对于C ，当时，复数z 的虚部，z 是虚数，C 正确；1m ≠10m -≠对于D ，当时，，则，D 不正确.2m =3i z =+||z ==故选：AC10．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）0a >0b >21a b +=A ．的最小值为B ．的最大值为22a b +15ab 18C ．的最大值为D ．的最小值为1a b +4311a b +AB【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.【详解】解：对于A ：由，，，则，0a >0b >21a b +=12a b =-所以，解得，1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以，22222221(12)541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，有最小值，故A 正确．25b =22a b +15对于B ：由，，，当且仅当，即，0a >0b >12a b =+≥18ab ≤2a b =12a =时等号成立，14b =所以的最大值是，故B 正确；ab 18对于C ：由，，，则，所以，解得，0a >0b >21a b +=12a b =-1200b b ->⎧⎨>⎩102b <<所以，因为，所以，111121a b b b b -==+-+-102b <<1112b -<-<-所以，所以，即，故C 错误；1211b -<<--1121b -<<-112a b <<+对于D ：112221233a b a b b a a b a b a b +++=+=+++≥+=+当且仅当，即，时取等号，故D 错误；2b aa b =b =1a =故选：AB11．函数（常数，）的部分图象如图所示，下列结论正()sin()f x A x ωϕ=+0A >0>ω确的是（ ）A ．(0)1f =B ．在区间上单调递增5π[,0]12-C ．将的图象向左平移个单位，所得函数是偶函数()f x π10D ．2π()()3f x f x =--BD【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.()f x 【详解】观察函数的图象知，，最小正周期满足，即()f x 2A =T 37ππ3π(41264T =--=，则，πT =2π2T ω==由得，，即，而，因此π()06f -=π2()π,Z 6k k ϕ⨯-+=∈ππ+,Z 3k k ϕ=∈(0)2sin 0f ϕ=>，π2π,Z3k k ϕ=+∈于是得，A 不正确；π()2sin(2)3f x x =+π(0)2sin 3f ==当时，，因此函数在上单调递增，B 正确；5012x π-≤≤πππ2233x -≤+≤()f x 5π[,0]12-因，则将的图象向左平移个单位，πππ8π()2sin[2()]2sin(2)1010315f x x x +=++=+()f x π10所得函数不是偶函数，C 不正确；，D 正确.2π2ππππ()2sin[2()]2sin[2π(22sin(2)()33333f x x x x f x -=-+=-+=-+=-故选：BD12．设函数的定义域为，且满足，，当()y f x =R ()(2)f x f x =-()(2)f x f x -=--时，，则下列说法正确的是（ ）(1,1]x ∈-2()1f x x =-+A ．B ．当时，的取值范围为(2022)1f =[]4,6x ∈()f x []1,0-C ．为奇函数D ．方程仅有5个不同实(3)y f x =+()lg(1)f x x =+数解BCD【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A ，B ，C ；作出函数()f x 、的部分图象判断D 作答.()y f x =lg(1)y x =+【详解】依题意，当时，，当时，，函数10x -<<()01f x <<01x ≤≤()01f x ≤≤的定义域为，有，()y f x =R ()(2)f x f x =-又，即，因此有，即()(2)f x f x -=--()(2)f x f x =---(2)(2)x x f f =----，(4)()f x f x +=-于是有，从而得函数的周期，(8)(4)()f x f x f x +=-+=()f x 8T =对于A ，，A 不正确；()()()()()2022252866201f f f f f =⨯+==-=-=-对于B ，当时，，有，则，45x ≤≤041x ≤-≤0(4)1f x ≤-≤()(4)[1,0]f x f x =--∈-当时，，，有，56x ≤≤423x -≤-≤-0(2)41x ≤-+≤0[(2)4]1f x ≤-+≤，当时，的取值范围为，B ()(2)[(2)4][1,0]f x f x f x =-=--+∈-[]4,6x ∈()f x []1,0-正确；对于C ，，函数(3)[(3)4](1)[2(1)](3)f x f x f x f x f x +=-++=--=---=--+为奇函数，C 正确；(3)y f x =+对于D ，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：()y f x =lg(1)y x =+方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，()lg(1)f x x =+()y f x =lg(1)y x =+观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程()y f x =lg(1)y x =+仅有5个不同实数解，D 正确.()lg(1)f x x =+故选：BCD方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题13．若，则___________.log 86x =2log x =120.5【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为，所以，即，即，log 86x =22log 86log x =223log 26log x =236log x =所以；21log 2x =故1214．若，，，则与的夹角大小为___________.1a = 12a b ⋅=()()12a b a b -⋅+= a b 4π45︒【分析】根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式计算可得；b【详解】解：因为，，1a =()()12a b a b -⋅+= 所以()()222212a b a b a b a b -⋅+=-=-=又，设与的夹角为，所以，12a b ⋅=a b θcos θ=因为，所以.[]0,θπ∈4πθ=故4π15．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，14，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则13p 56的值为________.p 23【分析】由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解【详解】该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：，解得．1151(1)436p ----=23p =故2316．集合有10个元素，设M 的所有非空子集{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---为每一个中所有元素乘积为，则iM ()1,2,,1023i = i M i m ()1,2,,1023i = ___________.1231023m m m m ++++=-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为可分为4类，分别分析4类子集中，所有i M 元素乘积，综合即可得答案.i m 【详解】集合M 的所有非空子集为可以分成以下几种情况iM ()1,2,,1023i = ①含元素0的子集共有个，这些子集中所有元素乘积；92512=0im =②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有个821255-=③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有个821255-=其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则的和为0，i m ④只含元素-1的子集1个，满足，1i m =-综上：所有子集中元素乘积.12310231m m m m ++++=- 故-1四、解答题17．已知是关于x 的实系数方程的一个复数根.11z =+20x mx n ++=(1)求实数，的值：m n (2)设方程的另一根为，复数，对应的向量分别是，，若向量与2z 1z 2z a bta b - 垂直，求实数的值.ta b +t (1)，；2m =-3n =(2)1t =±【分析】（1）由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系求解与的值；m n （2）求出的坐标，进一步求得与的坐标，再由向量垂直与数量积的关,a b ta b - + ta b 系列式求得实数的值．t【详解】(1)解：（1）是关于的实系数方程的一个复数根，11z = x 20x mx n ++=是关于的实系数方程的另一个复数根，21z ∴=x 20x mx n ++=由根与系数的关系可得，即；112m -=+=2m =-．2(11123n ==-=+=，；2m ∴=-3n =(2)解：由（1）知，，，a =(1,b =则，，(ta b t -=- (1,)ta b t +=+由与垂直，可得，ta b - + ta b ()()221220ta b ta b t t -⋅+=--+= 解得．1t =±18．已知函数，其中，且．()2cos sin f x x x xωωω=+06ω<<1122f π⎛⎫=⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若，且，求的值．(),126ππθ∈()56f θ=cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)递增区间为且；[,]63k k ππππ-+Z k ∈【分析】（1）由二倍角正余弦及辅助角公式可得，根据已知条1()sin(262f x x πω=-+件可得，，进而有，再应用正弦函数性质求单调增区间.66k ππωπ-=Z k ∈1ω=（2）根据已知求得，结合角的范围求得1sin(2)63πθ-=cos(26πθ-=及和角余弦公式求值即可.(22412)6ππθπθ-++=【详解】(1)由题设，，1cos 21()2sin(2262x f x x x ωπωω-=+=-+又，即，，故，11sin(661222f ππωπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-66k ππωπ-=Z k ∈61(0,6)k ω=+∈所以时，则，0k =1ω=1()sin(262f x x π=-+令，，可得，.222262k x k πππππ-≤-≤+Z k ∈63k x k ππππ-££+Z k ∈所以的单调递增区间为且.()f x [,63k k ππππ-+Z k ∈(2)由（1）知：，可得，15sin(2626πθ-+=1sin(263πθ-=又，则，故(),126ππθ∈2(0,66ππθ-∈cos(2)6πθ-=而cos 2cos[c (2)(2)cos sin(2os 12)sin 646464ππππππθθπθθ-⎛⎫+== ⎪-⎝-⎭+-=.13=19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD ∥BC ，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD ．E 为棱∠∠12AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .13【详解】【分析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M （M ∈平面PAB ），点M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC ∥ED ，且BC=ED.所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB.又EB 平面PBE ，CM 平面PBE ，⊂⊄所以CM ∥平面PBE.（说明：延长AP 至点N ，使得AP=PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA AD=A ，所以CD ⊥平面PAD.从而CD ⊥PD.所以PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH.易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE.于是CE ⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE.所以APH 是PA 与平面PCE 所成的角.∠在Rt △AEH 中，AEH=45°，AE=1，∠所以.在Rt △PAH 中，，所以sin APH= =.∠AH PH 13方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA AD=A ， 所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.∠所以PDA=45°.∠由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以 ,的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所AD AP示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）PEEC AP 设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).0,{0,n PE n EC ⋅=⋅= 20,{0,x z x y -=+=设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sinα==.||n AP n AP⋅⋅13=所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为 .13线线平行、线面平行、向量法.20．在对某中学高一年级学生身高的调查中，根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查，抽取了一个容量为40的样本，其中男生18人，女生22人，其观测数据（单位：）如下：cm 男生172.0174.5166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0172.5172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0174.0女生163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5(1)从身高在的男生中随机抽取2人，求至少有1人的身高大于174.5[]173.0,176.0的概率：cm (2)利用题目中所给数据和参考数据，计算出总样本的方差，并对该中学高一年级全体学生的身高方差作出估计（精确到0.1）.参考数据：，，，，1821129083.318i i y =≈∑170.5y =2221125799.422i i z =≈∑160.5z =，，其中男生样本记为，女生样本记为2170.529070.3≈2160.525760.3≈1218,,,y y y 2122,,,z z z (1)；710(2)，该中学高一年级全体学生的身高方差大约为52.1.52.1【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，再利用古典概率公式计算作答.（2）求出男生样本、女生样本方差，总样本平均数，再利用方差计算公式列式求解作答.【详解】(1)由给定数表知，身高在的男生共5人，记内的3[]173.0,176.0[]173.0,174.5名男生为，身高大于174.5的两名男生记为，123,,A A A cm 12,B B 从身高在的男生中随机抽取2人的样本空间：[]173.0,176.0，12131112232122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B Ω=共10个，至少有1人的身高大于174.5的事件为M ，则M 含有基本事件：cm ，共7个，11122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B 所以至少有1人的身高大于174.5的概率.cm 7()10P M =(2)男生样本方差，181822221111()170.529083.329070.313.01818yi i i i s y y y ===-=-=-=∑∑女生样本方差，222222221111()160.525799.425760.339.12222zi i i i s z z z ===-=-=-=∑∑设总样本的平均数为，方差为，则，x 2s 182218170.522160.51654040y z x +⨯+⨯===，1822182222222111111[()()][()()]4040i i i i i i i i s y x z x y y y x z z z x =====-+-=-+-+-+-∑∑∑∑181818222111()()2()()18()iii i i i y x y y y x y y y x ===-=-+--+-∑∑∑18182211()2()(18)18()i i i i y y y x y y y x ===-+--+-∑∑，22218018()1813.018(170.5165)778.5y s y x =++-=⨯+⨯-=222222222111()()2()()22()iii i i i z x z z z x z z z x ===-=-+--+-∑∑∑22222211()2()(22)22()i i i i z z z x z z z x ===-+--+-∑∑，22222022()2239.122(160.5165)1305.7z s z x =++-=⨯+⨯-=因此，，2778.51305.752.140s +==所以该中学高一年级全体学生的身高方差大约为.52.121．已知函数是偶函数.()3()log 91x f x kx=++(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；0x ≥()y f x x a =-+a (2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数()3()log 32x h x m m=⋅-()f x ()h x 的取值范围.m (1)(),0∞-(2)()1,+∞ 【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到()()f x f x -=k 的解析式；令，得，构造函数，将问题转()f x ()0f x x a -+=()a f x x -=-()()g x f x x =-化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；y a =-()y g x =a （2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+3x t =讨论的正根即可．2(1)210m t mt ---=【详解】(1)解：是偶函数，，()f x ()()f x f x ∴-=即对任意恒成立，33log (91)log (91)x xkx kx -+-=++R x ∈，23333912log (91)log (91)log log 3291x xxx x kx x---+∴=+-+===-+．1k ∴=-即，()3()log 91x f x x=+-因为函数有零点，即方程有实数根．()y f x x a =-+3log (91)2xx a +-=-令，则函数与直线有交点，3()log (91)2xg x x =+-()y g x =y a =-333()log (91)2log (91)log 9x x x g x x =+-=+- ，33911log log (1)99x x x +==+又，，1119x+>31()log (1)09x g x ∴=+>，所以，即的取值范围是．0a ∴->0a <a (),0∞-(2)解：因为，()()()3333391()log 91log 91log 3log log 333x xxxx x x f x x -+=⎛ =+-⎫⎪⎝⎭=+-=+又函数与的图象只有一个公共点，()f x ()h x 则关于的方程只有一个解，x ()33log (32)log 33x x x m m -⋅-=+所以，3233x x xm m -⋅-=+令，得，3(0)x t t =>2(1)210m t mt ---=①当，即时，此方程的解为，不满足题意，10m -=1m =12t =-②当，即时，此时，又，10m ->1m >()2244(1)410m m m m ∆=+-=+->12201mt t m +=>-，12101t t m -=<-所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当，即时，由方程只有一正根，则需10m -<1m <2(1)210m t mt ---=，244(1)(1)0202(1)m m mm ⎧--⨯-=⎪-⎨->⎪-⎩解得m =综合①②③得，实数的取值范围为：．m ()1,+∞ 22．如图，要测量河对岸的塔高．请设计一个方案，包括：（1）指出需要测量的AB 数据（用字母表示，并在图中标出）：（2）用文字和公式写出计算的长的步骤．AB 答案见解析.【分析】先在地面取两点，，保持，，在同一直线上，再测量的长度，C D B C D CD ，两点关于塔顶的仰角大小，而后利用正弦定理求出的长.C D AB 【详解】(1)如图，在地面取一点，测得塔顶的仰角，往远离河岸且保持C ACB α∠=与在同一直线上的方向移动的距离到达点，测得塔顶的仰角.BC m D ADB β∠=(2)在中，由正弦定理得，，ACD △sin sin AC CDADC DAC =∠∠即，.()sin sin AC mβαβ=-()sin sin m AC βαβ=-在中，因为，所以.ACB △AB BC ⊥()sin sin sin sin m AB AC αβααβ==-。
福建省福州八中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
福建省福州八中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．﹣2．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．•=2 B．||=|| C．⊥D．∥4．=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．105．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．6．函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．7．在△ABC中，若tan A•tan B＜1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．9．如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣C．﹣D．不确定10．设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递减B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递增D．g（x）在（，π）上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．tan600°=．12．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．13．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，则a边的长为．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．三、解答题：（本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）15．已知向量=（1，0），=（1，4）．（Ⅰ）若向量k+与平行，求k的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．16．已知函数R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值．17．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2﹣c2=ab，且．求sinB．一、选择题（5分×4=20分，请将答案填写在答卷上）18．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0D．﹣119．=（）A．﹣B．﹣C．D．20．设是两个非零向量，则有（）A．若|+|=||﹣||，则有⊥B．若•=0，则有|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在λ使得=λ成立D．若存在λ使得=λ成立，则|+|=||﹣||成立21．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．）22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．23．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：（本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）24．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且．（Ⅰ）求ac的值及△ABC的面积；（Ⅱ）若a=7，求角C的大小．25．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．福建省福州八中2017-2018学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知α为第二象限角，sinα=，则sin（π﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知可先求cosα，利用诱导公式及二倍角公式化简后即可得解．解答：解：∵α为第二象限角，sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴sin（π﹣2α）=sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角的正弦，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．2．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的值域，可得结论．解答：解：根据函数f（x）=|sinx|的最大值为1，可得B不正确，故选：B．点评：本题主要考查正弦函数的值域，属于基础题．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中正确的是（）A．•=2 B．||=|| C．⊥D．∥考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积以及向量的模，向量是否共线判断即可．解答：解：向量=（2，0），=（1，1），•=2×1+0×1=2．∴A正确，C不正确．||=2，||=，∴B不正确，∥，显然不正确．故选：A．点评：本题考查向量的数量积，向量的平行以及向量的模的求法，基本知识的考查．4．=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．5．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由tanα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵tanα=2＞0，∴α∈（﹣π，﹣），∴cosα=﹣=﹣，sinα=﹣=﹣，则sinα﹣cosα=﹣+=﹣点评：此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．6．函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．分析：先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．解答：解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法．属基础题．7．在△ABC中，若tan A•tan B＜1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：两角和与差的余弦函数；三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：将已知条件tanA•tanB＜1中的切化弦，逆用两角和的余弦判断即可．解答：解：∵tanA•tanB＜1，∴1﹣＞0，即==﹣＞0，∴＜0．∴A、B、C中必有一角为钝角，∴这个三角形是钝角三角形．故选：C．点评：本题考查三角形的形状判断，考查转化与分析、运算能力，属于中档题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合函数的图象，由函数的最值求出A，由周期求出ω，再由求出φ的值．解答：解：由图可知A=2，，故ω=2，又，所以，故，又，所以．故选：B．点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．9．如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣C．﹣D．不确定考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据=，=，把要求的式子化为+•（）+．再由题意可得=0，=﹣1，||=||=，从而得到要求式子的值．解答：解：∵=，=，∴=（）•（）=+++=+•（）+．∵由题意可得=0，=﹣1，||=||=，∴=+0﹣1=﹣，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，向量在几何中的应用，属于中档题．10．设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则（）A．g（x）在（0，）上单调递减B．g（x）在（，）上单调递减C．g（x）在（0，）上单调递增D．g（x）在（，π）上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵T==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：k，k∈Z，当k=0时，x∈[0，]，即g（x）在（0，）上单调递减．故选：A．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的单调性，周期性，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11．tan600°=．考点：诱导公式的作用．专题：计算题．分析：用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简．解答：解：∵tan600°）=tan60°=．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的诱导公式，诱导公式是数学三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数12．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：通过向量的垂直，其数量积为0，建立关于x的等式，得出x求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），则==，故答案为：．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．13．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，则a边的长为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，c，sinA的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出a的值即可．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，c=2，且△ABC的面积为，∴bcsinA=，即b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2=3，则a=，故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果．解答：解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2（）=当（k∈Z）即：由于：所以：当k=0时，θ=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数奇偶性的应用．属于基础题型．三、解答题：（本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）15．已知向量=（1，0），=（1，4）．（Ⅰ）若向量k+与平行，求k的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）首先得到k+与的坐标，然后根据平行的坐标关系得到关于k的等式，解之；（Ⅱ）利用（Ⅰ）k+与坐标，结合数量积公式写出表示向量的夹角为锐角的等价条件．解答：解：（Ⅰ）依题意得k+=（k，0）+（1，4）=（k+1，4），=（3，8）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵向量k+与平行∴8（k+1）﹣3×4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得k=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）得k+=（k+1，4），=（3，8），∵向量k+与平行的夹角为锐角∴（k+）（）=3（k+1）+4×8＞0，且8（k+1）≠3×4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴k＞﹣且k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了平面向量的平行的性质以及向量夹角问题；关键是利用坐标等价表示向量的位置关系．16．已知函数R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为9，求实数m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+）+m+2，利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，≤2x+≤，≤sin（2x+）≤1，从而可求得f（x）∈[3+m，4+m]，利用f（x）的最大值为9，可求实数m的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+m=+sin2x+3×+m=sin2x+cos2x+m+2=2sin（2x+）+m+2，由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．由2x+=+kπ（k∈Z）得，x=+，k∈Z，∴函数f（x）的对称轴方程是x=+，k∈Z．（Ⅱ）∵当x∈[0，]时，≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，∴3+m≤2sin（2x+）+m+2≤4+m∴4+m=9，解得m=5．∴实数m的值为5．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．17．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点．（1）求φ的值；（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2﹣c2=ab，且．求sinB．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点，结合0＜φ＜π求出φ的值．（2）利用余弦定理求出C的正弦函数与余弦函数值，通过求出A的正弦函数与余弦函数值，即可求解sinB．解答：（本小题满分12分）解：（1）由题意可得，即．…∵0＜φ＜π，∴，∴，∴．…（2）∵a2+b2﹣c2=ab，∴，…∴．…由（1）知，∴．∵A∈（0，π），∴，…又∵sinB=sin（π﹣（A+C））=sin（A+C），∴sinB=sinAcosC+cosAsinC==．…点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．一、选择题（5分×4=20分，请将答案填写在答卷上）18．设向量=（1，cosθ）与=（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）A．B．C．0D．﹣1考点：二倍角的余弦；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由两向量的坐标，以及两向量垂直，根据平面向量的数量积运算法则得到其数量积为0，得出2cos2θ﹣1的值，然后将所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将2cos2θ﹣1的值代入即可求出值．解答：解：∵=（1，cosθ），=（﹣1，2cosθ），且两向量垂直，∴•=0，即﹣1+2cos2θ=0，则cos2θ=2cos2θ﹣1=0．故选C点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19．=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．20．设是两个非零向量，则有（）A．若|+|=||﹣||，则有⊥B．若•=0，则有|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在λ使得=λ成立D．若存在λ使得=λ成立，则|+|=||﹣||成立考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据|+|=||﹣||，则有与反向，且||≥||；•=0，则有⊥；及向量共线的充要条件逐一判断四个答案的正误，可得结论．解答：解：若|+|=||﹣||，则与反向，且||≥||，故A错误；若•=0，则有⊥，进而有|+|=|﹣|，但|+|=||﹣||不一定成立，故B错误；若|+|=||﹣||，则有与反向，则存在λ使得=λ成立，故C正确；存在λ＞0得=λ成立，则与同向，此时|+|=||﹣||不成立，故D错误．故选：C点评：本题考查的知识点是向量共线的充要条件，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．21．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分．）22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．解答：解：由sinC=2sinB，由正弦定理可知：c=2b，代入a2﹣b2=bc，可得a2=3b2，所以cosA==，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于基本知识的考查．23．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=150m．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果．解答：解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，∴AC==100．△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，即，解得AM=100．Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150（m），故答案为：150．点评：本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．三、解答题：（本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）24．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，且．（Ⅰ）求ac的值及△ABC的面积；（Ⅱ）若a=7，求角C的大小．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积运算和平方关系、三角形的面积即可得出；（Ⅱ）利用余弦定理即可得出．解答：解：（Ⅰ）因为，所以cacosB=21，所以ac=35．又，所以．所以．即△ABC的面积为14．（Ⅱ）因为a=7，且ac=35，所以c=5．又，由b2=a2+c2﹣2accosB=32，解得所以．因为0＜C＜π，所以．点评：熟练掌握向量的数量积运算和平方关系、三角形的面积、利用余弦定理是解题的关键．25．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意可得A=2，T=12，代入点求ϕ，从而求解析式；（2）令由=1求解x，从而求景观路GO的长；（3）作图求S平行四边形OMPQ=OM•PP1====，从而求最值．解答：解：（1）由已知条件，得A=2，又∵，，∴．又∵当x=﹣1时，有y=2sin（﹣+φ）=2，∴φ=．∴曲线段FGBC的解析式为，x∈[﹣4，0]．（2）由=1得x=6k+（﹣1）k﹣4 （k∈Z），又x∈[﹣4，0]，∴k=0，x=﹣3．∴G（﹣3，1）．∴OG=．∴景观路GO长为千米．（3）如图，OC=，CD=1，∴OD=2，，作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，在△OMP中，，∴=．S平行四边形OMPQ=OM•PP1====θ∈（0，）．当时，即时，平行四边形面积最大值为．点评：本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，属于中档题．。
福建省福州八中高一数学下学期期末考试试卷
福建省福州八中2021-2021学年高一数学下学期期末考试试卷2. 在△ABC 中， a = 2 ,b =30A = , 则B=A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1503. 在等比数列{}n a 中，1240a a +=，3460a a +=，那么78a a +=A ．80B ．90C ．100D ．1354. ABC ∆中，C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2-+-=，则A cos 的值为A.12B.C. 12-D. 5. 在等差数列{}n a 中，假设11006100510041003=+++a a a a =18那么该数列的前2020项的和A ．18072B ．3012C ．9036D ．120486. 假设0＜a ＜1，那么不等式（x －a ）(x －1a)>0的解集为 A. (a ，1a) B ．(－∞，1a )∪(a ，+∞)C ．(1a，a )D.(－∞，a )∪(1a，+∞)7. 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项知足58k a <<，那么k =A. 9B.8C.7D. 68. 假设a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，那么=+ncm aA ．4B ．3C ．2D ．19. 设c b a 、、别离是ABC ∆中C B A ∠∠∠、、所对边的边长,那么直线(sin )0A x ay c ++=与0sin )(sin =+-C y B bx 的位置关系是A.垂直B. 平行C. 重合D.相交但不垂直10. 利用大体不等式求最值，以下各式运用正确的选项是A.4424=⋅≥+=xx x x y B.)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x xx x x y =⋅≥+= C. 43432343=⋅≥+=x x x x yD.410log 4lg 210log 4lg =⋅≥+=x x x x y二、填空题（此题共4小题，每题4分，共16分，请将所选答案写在答题卷上）11．假设变量x ，y 知足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数24z x y =+的最大值为___ __。
2022-2023学年福建省福州市八县(市)一中联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 满足z +4i ＝6+3i ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a →=（2，1），b →=（x ，1），且a →+b →与2a →−b →平行，则x 等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．2D ．﹣23．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则DF →=（ ）A ．13AB →−23AD →B ．23AB →−13AD →C ．−13AB →+23AD →D ．−23AB →+13AD →4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.55．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“2x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．127．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝2km ，CD ＝6km ，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°（B 、D 、E 在同一水平面上），山顶C 的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A ，C 之间的距离为（ ）A ．4√3kmB ．4√7kmC ．4√2kmD ．4√5km8．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ） A ．π2B ．√22π C ．π D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A ．A 与B 为互斥事件 B ．A 与B 为相互独立事件C ．P （A ∪B ）=12D ．P （AB ）=1410．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βC ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β11．已知2a ＝3b ＝6，则正确的有（ ） A ．a ＞bB ．a +b ＞4C ．ab ＞4D ．1a +1b＜112．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB →⋅OC →的可能值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为 ． 14．已知函数f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （f （﹣2））＝ ．15．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．若BD 、AC 所成的角为45°，且BD ＝2，AC ＝4，则EF 2的长为 ．16．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 为AA 1的中点，点F 在CC 1上（不与C 、C 1重合），三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为 ，当F 为CC 1的中点，几何体AED 1FCD 的体积为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知非零向量a →，b →夹角为θ，且a →=(1，0)． （1）当b →=(−1，√3)时，求θ；（2）若θ＝60°，且(a →+b →)⊥(a →−b →)，求|a →−2b →|．18．（12分）如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：BD ⊥PC ．19．（12分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足条件：___．在 ①acosB +√3asinB −c =0；②√3acosC =(2b −√3c)cosA ；③b ＝2a •sin （C +π6）．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．问题： （1）求角A 的大小；（2）求cos(π2−B)−2sin 2C2的取值范围．20．（12分）如图，一块正方体形木料ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的上底面有一点M ．（1）问：经过点M 在上底面面上能否画一条直线，使得与CM 垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由．（2）若正方体棱长为2，F 为线段BC 的中点，求AF 与面A 1BC 所成角的正弦值．21．（12分）近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示． （1）求a 的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．22．（12分）已知函数f （x ）＝log a （√2x 2+1−√2x ），a ＞1． （1）判断并证明函数f （x ）的奇偶性；（2）指出函数f （x ）的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；（3）设对任意x ∈R ，都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立；请问是否存在a 的值，使g （t ）＝a 4t ﹣2t +1最小值为−23，若存在求出a 的值．2022-2023学年福建省福州市八县（市）一中联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 满足z +4i ＝6+3i ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解：∵z +4i ＝6+3i ， ∴z ＝6+3i ﹣4i ＝6﹣i∴z 在复平面内对应的点为（6，﹣1），在第四象限． 故选：D ．2．已知a →=（2，1），b →=（x ，1），且a →+b →与2a →−b →平行，则x 等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．2D ．﹣2解：a →+b →=（2+x ，2），2a →−b →=（4﹣x ，1）． ∵a →+b →与2a →−b →平行，∴2（4﹣x ）﹣（2+x ）＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则DF →=（ ）A ．13AB →−23AD →B ．23AB →−13AD →C ．−13AB →+23AD →D ．−23AB →+13AD →解：设DF →=λDE →=λ(DC →+CE →)=λAB →+λCE →=λAB →−λ2BC →=λAB →−λ2AD →，∵A ，F ，C 三点共线，∴DF →=μDA →+(1−μ)DC →=(1−μ)AB →−μAD →，由平面向量基本定理得：{λ=1−μ−λ2=−μ，解得：{λ=23μ=13， ∴DF →=23AB →−13AD →． 故选：B ．4．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5解：随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数：569，684，989表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：310=0.3．故选：B ．5．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“2x ＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2＜1，解得﹣1＜x ＜1，若2x ＜1＝20，注意到y ＝2x 在定义域内单调递增，解得x ＜0， 故“﹣1＜x ＜1”是“x ＜0”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．6．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12解：有三件正品（用1，2，3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间Ω＝{（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）}， 恰有一件次品A ＝{（0，1），（0，2），（0，3）}， 由古典概型得P(A)=m n =36=12． 故选：D ．7．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝2km ，CD ＝6km ，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°（B 、D 、E 在同一水平面上），山顶C 的仰角为60°，∠AEC ＝150°，则两山顶A ，C 之间的距离为（ ）A ．4√3kmB ．4√7kmC ．4√2kmD ．4√5km解：因为AB ＝2，∠BEA ＝30°，所以AE ＝4； 因为CD ＝6，∠CED ＝60°，所以CE =4√3；在△AEC ，AC 2=42+(4√3)2−2×4×4√3⋅cos150°=112 所以AC =4√7．故选：B ．8．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（ ） A ．π2B ．√22π C ．π D ．2解：如图所示：由已知，连接BD 、B 1D 1，则BD ＝B 1D 1＝2， 因为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，所以△B 1C 1D 1为等边三角形．且BB 1⊥平面B 1C 1D 1，取B 1C 1的中点O ，连接D 1O ，则D 1O ⊥B 1C 1， 又D 1O ⊂平面B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1O ， 又B 1C 1∩BB 1＝B 1，所以D 1O ⊥平面BCC 1B 1，故平面BCC 1B 1截球面的截面圆的圆心是点O ，取BB 1、CC 1的中点E 、F ， 连接EF ，D 1E 、D 1F ，则D 1E =D 1F =√5， 故E 、F 在球面上，OE ＝OF =√2，EF ＝2，所以△OEF 为直角三角形，∠EOF ＝90° 球面与侧面BCC 1B 1 的交线是侧面上以O 为圆心，√2为半径的圆弧EF ̂=14×2√2π=√22π． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A ．A 与B 为互斥事件 B ．A 与B 为相互独立事件C ．P （A ∪B ）=12D ．P （AB ）=14解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚正面朝上”，事件B ＝“第二枚正面朝上”， 则P （A ）=12，P （B ）=12，A 与B 的发生互不影响，故A 与B 为相互独立事件，故A 错误，B 正确； 则P （AB ）＝P （A ）P （B ）=12×12=14，故D 正确； 又P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝1−14=34，故C 错误． 故选：BD ．10．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βC ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β解：若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，故A 正确； 若m ⊥α，α⊥β，则m ∥β或m ⊂β，故B 错误；若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n 或m 与n 异面，故C 错误；若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又n ⊂β，则α⊥β，故D 正确． 故选：AD ．11．已知2a ＝3b ＝6，则正确的有（ ） A ．a ＞bB ．a +b ＞4C ．ab ＞4D ．1a +1b＜1解：已知2a ＝3b ＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36， 因为log 26＞log 36，所以a ＞b ，故选项A 正确， 因为1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故选项D 错误；因为1a +1b =1＞2√1a ⋅1b ，所以ab ＞4，故选项B 正确； 因为1a +1b=a+b ab=1，整理得a +b ＝ab ，又ab ＞4，所以a +b ＞4，故选项C 正确．故选：ABC ．12．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB →⋅OC →的可能值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：如图令∠OAD ＝θ，θ∈（0，π2），由于AD ＝1，故OA ＝cos θ，OD ＝sin θ，如图∠BAx =π2−θ，AB ＝1，故x B ＝cos θ+cos （π2−θ）＝cos θ+sin θ，y B ＝sin （π2−θ）＝cos θ，故OB →=（cos θ+sin θ，cos θ），同理可求得C （sin θ，cos θ+sin θ），即OC →=（sin θ，cos θ+sin θ）， ∴OB →⋅OC →=（cos θ+sin θ，cos θ）•（sin θ，cos θ+sin θ）＝1+sin2θ， OB →⋅OC →=1+sin2θ∈（1，2]． 故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为 12 ．解：∵样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为3，∴数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的方差为：22×3＝12． 故答案为：12．14．已知函数f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，则f （f （﹣2））＝ 4 ．解：因为f(x)={1+log 2(2−x)，x ＜12x−1，x ≥1，所以f （﹣2）＝1+log 2（2﹣（﹣2））＝1+log 24＝3， 所以f （f （﹣2））＝f （3）＝23﹣1＝22＝4．故答案为：4．15．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．若BD 、AC 所成的角为45°，且BD ＝2，AC ＝4，则EF 2的长为 5±2√2． ． 解：取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，因为E 、F 分别是AB ，CD 的中点，所以FG =12BD =1，EG =12AC =2， 因为BD ，AC 所成的角为45°，所以∠EGF ＝135°或45°， 如图1，∠EGF ＝135°，则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos135°=1+4+2×2×√22=5+2√2； 如图2，∠EGF ＝45°，则EF 2=FG 2+EG 2−2FG ⋅EGcos45°=1+4−2×2×√22=5−2√2．故答案为：5±2√2．16．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 为AA 1的中点，点F 在CC 1上（不与C 、C 1重合），三棱锥A ﹣D 1EF 的体积为23，当F 为CC 1的中点，几何体AED 1FCD 的体积为83．解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1长为2，E 为AA 1的中点， 则S △AD 1D E =12A 1D 1⋅A 1E =12×2×1=1， F 为CC 1上一点，而CC 1∥平面ADD 1A 1，C 1D 1⊥平面ADD 1A 1， 则点F 到平面ADD 1A 1的距离为C 1D 1长，所以三棱锥A 1﹣D 1EF 的体积V A 1−D 1EF =V F−A 1D 1E =13S △A 1D 1E ⋅C 1D =13×12×1×2×2=23， 取DD 1的中点为O ，连接OE ，OF ，由于O ，E ，F 均为棱的中点，由正方体的结构特征可知OEF ﹣ADC 为直三棱柱， 故几何体ACFEDD 1可以分割为三棱柱OEF ﹣ADC 和三棱锥D 1﹣OEF ， 故几何体ACFEDD 1体积为V OEF ﹣ADC +V D 1−EOF =S △OEF •OD +13S △OEF •D 1O =43S △OEF •OD =43×12OE •OF •OD =43×12×2×2×1=83． 故答案为：23；83．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知非零向量a →，b →夹角为θ，且a →=(1，0)． （1）当b →=(−1，√3)时，求θ；（2）若θ＝60°，且(a →+b →)⊥(a →−b →)，求|a →−2b →|． 解：（1）当b →=(−1，3)时，a →⋅b →=(−1)×1+0×√3=−1，|b →|=√(−1)2+√32=2，cosθ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=(−1)1×2=−12， ∵0≤θ≤π， ∴θ=2π3．（2）∵(a →+b →)⊥(a →−b →)， ∴(a →+b →)⋅(a →−b →)=0， ∴|a →|=|b →|，∴|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√|a →|2+4|b →|2−4a →⋅b →=√1+4−4×1×1×12=√3．18．（12分）如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：BD ⊥PC ．证明：（1）法一：取PD 中点G ，连接FG ，AG ，在△PDC 中，因为F 、G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，FG =12CD ；因为E 是正方形ABCD 边AB 的中点， 所以AE ∥CD ，AE =12CD ，所以AE ＝GF ，AE ＝GF ；即四边形AEFG 是平行四边形，所以EF∥AG，又因为AG⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD；法二：取CD的中点M，连接EM，FM，因为E，F都是中点，由题意可得EM∥AD，FM∥PD，又AD⊂平面P AD，EM⊄平面P AD，所以EM∥平面P AD，同理可证得FM∥平面P AD，EM∩FM＝M，所以平面EFM∥平面P AD，而EF⊂平面EFM，所以可证得EF∥平面P AD；（2）因为正方形ABCD中，BD⊥AC，又平面ABCD⊥平面P AC，平面P AC∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC．19．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足条件：___．在①acosB+√3asinB−c=0；②√3acosC=(2b−√3c)cosA；③b＝2a•sin（C+π6）．这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．问题：（1）求角A的大小；（2）求cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围．解：（1）选择条件①：由正弦定理及acosB+√3asinB−c=0，得sin A cos B+√3sin A sin B﹣sin C＝0，因为sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，所以√3sin A sin B＝cos A sin B，因为sin B＞0，所以√3sin A＝cos A，即tan A=√33，又A∈（0，π），所以A=π6．选择条件②：由正弦定理及√3acosC=(2b−√3c)cosA，得√3sin A cos C＝（2sin B−√3sin C）cos A，所以√3（sin A cos C+cos A sin C）＝2sin B cos A，即√3sin（A+C）=√3sin B＝2sin B cos A，因为sin B＞0，所以√3=2cos A，即cos A=√32，因为A∈（0，π），所以A=π6．选择条件③：由正弦定理及b＝2a•sin（C+π6），知sin B＝2sin A•sin（C+π6），所以sin B＝2sin A•（√32sin C+12cos C）＝sin A•（√3sin C+cos C），因为sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以cos A sin C=√3sin A sin C，又sin C＞0，所以cos A=√3sin A，即tan A=√33，因为A∈（0，π），所以A=π6．（2）由（1）知，A=π6，所以B+C=5π6，所以cos(π2−B)−2sin2C2=sin B﹣（1﹣cos C）＝sin B+cos（5π6−B）﹣1＝sin B−√32cos B+12sin B﹣1=√3sin（B−π6）﹣1，因为0＜B＜5π6，所以−π6＜B−π6＜2π3，所以sin（B−π6）∈（−12，1]，所以cos(π2−B)−2sin2C2=√3sin（B−π6）﹣1∈（−√32−1，√3−1]，故cos(π2−B)−2sin2C2的取值范围为（−√32−1，√3−1]．20．（12分）如图，一块正方体形木料ABCD﹣A1B1C1D1的上底面有一点M．（1）问：经过点M在上底面面上能否画一条直线，使得与CM垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由．（2）若正方体棱长为2，F为线段BC的中点，求AF与面A1BC所成角的正弦值．解：（1）连接MC1，在上底面过M与C1M垂直即可，设为MP，即MP⊥C1M，证明如下：在正方体中，因为CC1⊥面A1B1C1D1，MP⊂A1B1C1D1，所以CC1⊥MP，而CC1∩MC1＝C1，所以MP⊥面MCC1，而MC⊂面MCC1，可得MP⊥MC；（2）作AE⊥A1B交于E，由正方体可知，E为A1B的中点，因为正方体的棱长为2，所以AE＝BE=12A1B=12•2√2=√2，由正方体可知BC⊥面AB1，AE⊂面AB1，所以AE⊥BC，而BC∩A1B＝B，所以AE⊥面A1BC，则EF为AF在面A1BC内的投影，即∠AFE为AF与面A1BC所成的角，在Rt△BEF中，F为BC的中点，则EF=√BE2+EF2=√2+1=√3，所以tan ∠AFE =AE EF =√2√3=√63． 21．（12分）近几年随着疫情的影响，经济发展速度放缓，投资渠道有限，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示． （1）求a 的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者年龄的上四分位数（第75百分位数）； （2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在[60，70]的概率．解：由题意，0.07+0.18+10a +0.25+0.2＝1，解得a ＝0.030， 因为前3组的频率和为10×（0.007+0.018+0.030）＝0.55＜0.75， 前4组的频率和为10×（0.007+0.018+0.030+0.025）＝0.80＞0.75， 所以所求上四分位数（第75百分位数）为50+10×0.75−0.550.25=58．（2）由频率分布直方图可知年龄在[40，50）和[60，70]的频率分别为0.3，0.2，所以年龄在[40，50）的投资者应抽取3人，记为A ，B ，C ，年龄在[60，70]的投资者应抽取2人．记为a ，b ，则任取2人，所有的情况为：（A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），（a ，b ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），共10种，满足条件的为（A ，a ），（A ，b ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，a ），（C ，b ），（a ，b ）共7种， 故至少有1人年龄在[60，70]的概率为P =710．22．（12分）已知函数f （x ）＝log a （√2x 2+1−√2x ），a ＞1． （1）判断并证明函数f （x ）的奇偶性；（2）指出函数f （x ）的单调性（只需用复合函数理由说明，不要求定义证明）；（3）设对任意x ∈R ，都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0成立；请问是否存在a 的值，使g （t ）＝a 4t ﹣2t +1最小值为−23，若存在求出a 的值．解：（1）函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数，证明：因为√2x 2+1＞√2x 2=√2|x|≥√2x ，∴√2x 2+1−√2x ＞0恒成立． 所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)的定义域为R ，关于原点中心对称． f(−x)=log a (√2x 2+1+√2x)=log a (√2x 2+1−√2x)−1 =−log a (√2x 2+1−√2x)=−f （x ），所以函数f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为奇函数．（2）由（1）知f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)=log a (√2x 2+1+√2x)−1=−log a (√2x 2+1+√2x)， 因为t =√2x 2+1+√2x 在R 是增函数， 又a ＞1，y ＝﹣log a t （t ≥1）为减函数，所以f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数．（3）因为对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)+f(√2sinx −t 2)≤0，所以对任意x ∈R 都有f(√2cosx +2t +5)≤−f(√2sinx −t 2)=f(t 2−√2sinx)， 由f(x)=log a (√2x 2+1−√2x)在R 上为减函数； 所以对任意x ∈R 都有√2cosx +2t +5≥t 2−√2sinx ， 所以对任意x ∈R 都有t 2−2t −5≤√2sinx +√2cosx ， 因为√2sinx +√2cosx =2sin(x +π4)≥−2，所以t 2﹣2t ﹣5≤﹣2即t 2﹣2t ﹣3≤0，解得﹣1≤t ≤3， 因为g （t ）＝a 4t ﹣2t +1＝a （2t ）2﹣2×2t ， 令n ＝2t ，则12≤n ≤8，令h （n ）＝an 2﹣2n ，它的对称轴为n =1a∈(0，1)， 当0＜1a ＜12，即a ＞2时，h （n ）＝an 2﹣2n 在[12，8]上是增函数，ℎ(n)min =ℎ(12)=a 4−1=−23，解得a =43∉(2，+∞)舍去， 当12≤1a ＜1即1＜a ≤2时，此时ℎ(n)min =ℎ(1a )=−1a =−23，解得a =32∈(1，2]， 所以a =32．。
福州八中2018—2019学年第二学期高一数学 期末考试
福州八中2018—2019学年第二学期高一数学 期末考试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2、若αβ、是两个相交平面，点A 不在α内，也不在β内，则过点A 且与α 和β 都平行的直线( )A ．只有1条B ．只有2条C ．只有4条D ．无数条3、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②4、等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8C ．±8D ．以上都不对5、在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S 为 ( ) A ．24 B ．48 C ．66 D ．1326、若a 、b 、c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b < B . 2211a b > C. 2211a bc c >++ D. ||||a c b c > 7、若A =(3)(7)x x ++，B =(4)(6)x x ++，则A 、B 的大小关系为( )A ．AB < B ．A B =C ．A B >D ．不确定8、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 18题图9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于 ( ) A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶310、已知12,0,=+>b a b a ，则t a b=+11的最小值是( )A ．3+B ．3-．1+．111、下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体侧面积为( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π12、l 、m 、n 为三条不同的直线，α为一平面，下列命题正确的个数是（ ） ①若l α⊥，则l 与α相交；②若m α⊂，n α⊂，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥； ③若l ∥m ，m ∥n ，l α⊥则n α⊥； ④若l ∥m ，m α⊥，n α⊥则l ∥n . A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13、已知a =(1,2), b =(x ,6)，且a ∥b ，则a —b = ．14、如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′.直线BA ′和CC ′的夹角是 .15、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为16、已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10 =_______.三、解答题(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（共10分）ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM ＝FN ，其中M ∈AC ，N ∈BF .求证：MN ∥平面BCE .18、（共10分）如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA∥面BDE；(2)求证：BD⊥平面PAC19、（共10分）在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝an2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.20、（共10分）长方体ABCD- A1 B1 C1D1中，AB=3、BC=A A1=4，点O是AC的中点，（1）求证：AD1∥平面DOC1；（2）求异面直线AD1与DC1所成角的余弦值．福州八中2018—2019学年第二学期高一数学期末考试1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.A11.B12.C13_____________14_____________15_____________16_____________17.18.19.20．(1)证明由已知a n＋1＝2a n＋2n，得b n＋1＝＝＝＋1＝b n＋1.∴b n＋1－b n＝1，又b1＝a1＝1.∴{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n＝n，＝b n＝n.∴a n＝n·2n－1.∴S n＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－S n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴S n＝(n－1)·2n＋1.。
福建省福州八中2016—2017学年高一下学期期末考试数学试题含答案
福州八中2016—2017学年第二学期期末考试高一数学 必修4考试时间：120分钟 试卷满分:150分 2017。
7.12Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1。
化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为 A 。
12B. 32 C ．－12D ．－322.设a n =211111123n n n n n ++++++++（n ∈N *），则a3= A .13B 。
11113456+++ C . 19 D. 111349+++ 3.若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A 。
1()2a b -B 。
1()2a b + C 。
1()2a b -+ D 。
1()2a b -+ 4. 若递增等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q等于A 。
2 B.12C 。
2或12 D 。
无法确定5。
若将函数f （x ）=2sinxcosx —2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A 。
－8πB 。
－58πC .－38πD.－34π 6.已知12(2,1),(1,3),(1,2),ee a ===-若1122a e e λλ=+,则实数对（λ1，λ2）为A 。
(1，1） B.(—1，1） C.（—1,—1）D 。
无数对7.在△ABC 中,2cos ab C =，则这个三角形一定是 A 。
等腰三角形B 。
直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形8。
已知α为锐角，且3cos(),cos245παα+== A.2425B 。
725C 。
－2425 D.±24259. 已知x =12π是函数f （x ）=3sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移34π个单位后得到函数g (x ）的图象，则函数g （x ）在[－4π，6π］上的最小值为A 。
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福州市2014-2015高一数学第二学期期末试题（带答案）必修4考试时间：120分钟 试卷满分：150分2015.7.7A 卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知α为第二象限角，54sin =α，则=-)2sin(απ A ．2425- B ．2425 C ．1225D ．1225-2. 已知函数()=sin f x x ,下列结论中错误的是A ．()f x 既偶函数,又是周期函数.B. ()f xC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称D. ()y f x =的图像关于(),0π中心对称3. 设向量(2,0),(1,1)a b ==，则下列结论中正确的是 A ．2=⋅b aB ．||||a b =C ．a b ⊥D ．//a b4. 若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为A ．52B. 2C. 5D. 105．已知αtan 0απ∈-（，），则sin αα的值是A B ．－3C D ．36.函数()()1cos f x x x =的最小正周期为A ．2πB ．32π C ．πD ．2π 7.在△ABC 中，若tan A ·tan B <1，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 8.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=C A ．6π B ．3πC ．6π-D ．3π-9.如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FE FD ∙的值是A.34- B. 89- C. 14- D. 不确定 10．设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移8π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递减 B. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递减C. ()02g x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增 D. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递增二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）11．= 600tan12. 设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则=a +b _________ 13．已知C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60∠A =，2c =，且C ∆AB 的面积为2，则a 边的长为 14．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，]2,2[ππθ-∈，且函数f (x )是偶函数，则θ的值为______ 三、解答题：(本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 15．(本小题10分)已知向量)4,1(),0,1(==.(Ⅰ) 若向量k +与2+平行，求k 的值；(Ⅱ) 若向量k +与2+的夹角为锐角，求k 的取值范围．16． (本小题12分)已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x m m R =+++∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程； （Ⅱ）当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为9，求实数m 的值．17. (本小题12分)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sinB ．B 卷（共50分）一、选择题(5分×4＝20分,请将答案填写在答卷上)18. 设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于A ．2 B ．12 C ．0 D ．-119．sin 47sin17cos30cos17-A ．2- B ．12-C ．12D ．220. 设a,b 是两个非零向量. A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B ．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D ．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|21.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．12-B ．12C ．D 二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分。
）22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知22,sin 2sin a b bc C B -==，则角A 为__________.23.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN＝________m.三、解答题：(本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 24.(本小题10分)在△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，53cos =B ，且21=⋅BC BA 。
（I ）求ac 的值及△ABC 的面积；（II ）若7=a ，求角C 的大小。
25．(本小题12分)如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈，[4,0]x ∈-的图像，图像的最高点为(1,2)B -．边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且C D E F ∥．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC 的函数表达式；（2）曲线段FGBC 上的入口G 距海岸线EF 最近距离为1千米，现准备从入口G 修一条笔直的景观路到O ，求景观路GO 长；（3）如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．Cy 2EQ P xDB F (- 4,0)福州八中2014—2015学年第二学期期末考试高一数学 必修4 试卷参考答案及评分标准A 卷（共100分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） ABABB ACBBA二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
） 11. ___3_______. 1213．__3______．14.6π。
三、解答题：(本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
) 15.解：(Ⅰ)依题意得)8,3()8,2()0,1(2),4,1()4,1()0,(=+=++=+=+b a k k b a k -------2分 ∵向量b a k +与b a 2+平行∴043)1(8=⨯-+⨯k ，---------------4分解得21=k --------------------5分 （Ⅱ）由（2）得)8,3(2),4,1(=++=+k k∵向量k +与2+的夹角为锐角∴084)1(3)2()(>⨯++⨯=+⋅+k k ,且43)1(8⨯≠+k --------8分 ∴335->k 且21≠k ------------10分 16. 解：（Ⅰ）22()sin cos 3cos f x x x xx m =+++1cos 21cos 22322x xx m -+=+⨯+………………………3分2cos 22x x m =+++2sin(2) 2.6x m π=+++………………………5分由222,262k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，………………………6分得,36k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ．∴函数()f x 的单调增区间为[,](36k k k ππ-+π+π∈Z)．…………7分由2,62x k k ππ+=+π∈Z 得,62k x k ππ=+∈Z ，∴函数()f x 的对称轴方程是,62k x k ππ=+∈Z .………………………8分（Ⅱ）∵当[0,]3x π∈时，2666x ππ5π≤+≤，………………………9分∴ 1sin(2)126x π≤+≤，………………………10分∴32sin(2m x +≤ ∴49m +=∴实数m 的值为5.…………………………………………12分17.解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分 0πϕ<<，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………………………………………………………5分（2）222a b c ab +-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==， ……………………………………………………7分sin C ∴==． …………………………………………8分由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 21222A f A A π∴=+==()0,A π∈， sin A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+，1sin sin cos cos sin 222B A C A C ∴=+=+=．……………12分 B 卷（共50分）一．选择题(5分×4＝20分,请将答案填写在答卷上) CCCD二、填空题（4分×2＝8分） 22．__3π________23. 150 ． 三、解答题24. (本小题10分) 解：（I ）因为21=⋅BC BA ，所以21cos =B ca ，所以35=ac 。
（2分）又53cos =B ，所以54sin =B 。
（3分） 所以14543521sin 21=⨯⨯==B ac S ABC △。
即△ABC 的面积为14。
（5分）（II ）因为7=a ，且35=ac ，所以5=c 。