四川省双流中学高一下期期中考试模拟考试数学试题

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2018-2019学年四川省成都市双流中学高一下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年四川省成都市双流中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知角α的角度数是50°，则角α的弧度数是（） A ．5rad 18B ．536rad C ．5 rad 18πD ．5 36rad π【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的换算可知1rad 180π︒=,求解即可.【详解】55050rad rad 18018ππα︒==⨯=Q , ∴角α的弧度数是5rad 18π.故选:C . 【点睛】本题考查角度制与弧度制的换算,难度容易. 2．()sin 240-︒=（）A ．12B ．12-C D ．【答案】C【解析】利用诱导公式即可求得. 【详解】由题意可得()()()sin 240sin 240360=sin120=sin 18060=sin 60=2-=-+-o o o o o o o .故选:C . 【点睛】本题考查利用诱导公式求值,考查计算能力,难度容易.3．已知()()()1,2,2,3,3,4a b c ===r r r .若ka b +r r 与c r 共线，则实数k 的值为（）A ．12-B ．1710-C ．1811-D ．1-【答案】A【解析】先由()()1,2,2,3,a b ==r r 求出ka b +r r 的坐标表示,再由ka b +r r 与c r共线,即可求出结果. 【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==r r 所以()=2,23ka b k k +++r r ,又()3,4c =r ,ka b +r r 与c r共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 故选:A . 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,30a b A ===︒，则B =（） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】D【解析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】4a b A B =<=∴<Q .所以角B 为锐角或钝角,由正弦定理可得,1sin 2sin 4b A B a===,所以60B ︒=或120B ︒=.故选:D . 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,难度较易.5．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得．【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1，设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 6．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin cos 5αα+=，则sin cos αα-=（）A ．75B ．75-C ．15D ．15-【答案】A【解析】由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知sin 0,cos 0αα><,221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得sin cos αα，即可.【详解】,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,sin 0,cos 0αα∴><,由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得4sin =53cos =5αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，所以7sin cos 5αα-=. 故选:A . 【点睛】本题考查三角函数值在各象限的符号,三角函数的基本关系式,难度较易. 7．函数2tan 34y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（） A ．,,412k k k Z ππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭B ．,,43123k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．3,,4343k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据正切函数的性质,列出不等式即可求出单调区间. 【详解】函数2tan 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈解得,43123k k x k Z ππππ-+<<+∈ 所以函数的单调递增区间,,43123k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭故选:B . 【点睛】本题考查了正切函数的性质与应用问题,难度较易. 8．已知tan 2,tan 34παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，则()tan αβ-=（） A ．34-B ．43-C ．34D ．43【答案】B【解析】由两角和的正切公式先求出tan α,再由两角差的正切公式求出()tan αβ-即可. 【详解】tan 11tan =2,tan ,41tan 3tan 3πααααβ+⎛⎫+=∴= ⎪-⎝⎭=Q Q ()13tan tan 43tan 1tan tan 113αβαβαβ--∴-===-++.故选:B . 【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式,考查学生的计算能力,难度较易. 9．已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．45 B ．25C ．45±D ．25±【答案】A【解析】由cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 410πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭Q ,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=.故选:A . 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易. 10．为了得到2sin 34y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以把2sin y x =的图象（） A ．先向左平移4π个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍B ．先向右平移4π个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，模坐标缩短到原来的13倍C ．先向右平移74π个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13倍D ．先向左平移74π个单位，再把图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍【答案】C【解析】将三角函数图象先作平移变换,再做伸缩变换即可求得,注意72sin =2sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】2sin y x =向左平移4π个单位或向右平移74π个单位得到72sin 3=2sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再把图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的13倍,即可得到2sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选:C . 【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换,考查了诱导公式的应用,属于基础题,难度较易.11．已知等差数列{}n a 满足127a =，143a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得0n S ≤的n 的最小值为（） A ．33 B ．32C ．31D ．30【答案】D【解析】计算得到312n a n =-，根据151615161,10a a a a ==-+=，,3100a a +=可得30=0S 即得到答案.【详解】127a =，143a =,则2d =-,所以312n a n =-,151615161301,10a a a a a a ==-+=+=，,可得290S >,30=0S ，310S <,所以0n S ≤的n 的最小值为30. 故选:D . 【点睛】本题考查了数列和0n S ≤的n 最小值，考查了等差数列的性质,确定数列通项的正负分界点是解题的关键,难度一般. 12．在中，内角的对边长分别为，已知，且＝，则（）A ．6B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：由题意，得，即，由正余弦定理，得，整理，得①．又②，联立①②得，故选C ．【考点】1、两角和与差的正弦；2、正余弦定理．二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =_________________.【答案】104【解析】由271224a a a ++=求得78a =,()11313713=132a a S a +=代入即可求得.【详解】271224a a a ++=Q ,78a ∴=,则()11313713=13=1042a a S a +=.故答案为:104. 【点睛】本题考查等差数列的性质,等差数列的求和公式,难度容易.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*121,n n a S n N +=+∈，则108a a =_________________. 【答案】9【解析】由*121,n n a S n N +=+∈,利用n a 与n S 的关系可证得{}n a 为等比数列,求出公比,即可解得. 【详解】*121,n n a S n N +=+∈Q , *-121,n n a S n N ∴=+∈,1-1-=2-22n n n n n a a S S a +∴=,即13n na a +=, {}∴n a 为等比数列,公比为3q =,则21089a q a ==. 故答案为:9. 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系,考查利用递推公式证明等比数列,难度较易. 15．()sin 5013tan10+=oo________________.【答案】1【解析】利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50cos 0sin 5013t 1an10++=⋅o ooooo，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果. 【详解】原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10++=⋅==o o o o o o o ooo ()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====o oo o o o o . 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.16．如图，在平行四边形ABCD 中，已知M 是BC 中点，DE AM ⊥于E ，12, cos 8AB AD DAB =∠=，设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，以,a b r r 为基底表示EC uuu r ，则EC =u u u r_____________.【答案】511612a b +r r【解析】令AE AM λ=u u u r u u u u r,则有12AM a b =+u u u u r r r ,2AE a b λλ=+u u ur r r ,2=2DE AE AD a b λλ-=-+u u u r u u u r u u u r r r ,由已知可得0AM DE ⋅=u u u u r u u u r ,令2=2AB AD =,代入计算求得1=6λ,由-EC AC AE =u u u r u u u r u u u r ,计算即可解得.【详解】令AE AM λ=u u u r u u u u r ,12AM a b =+u u u u r r r Q,2AE a b λλ∴=+u u u r r r ,2=2DE AE AD a b λλ-∴=-+u u u r u u u r u u u r r r ,AM DE ⊥u u u u r u u u r Q ,0AM DE ∴⋅=u u u u r u u u r ,即12=022a b a b λλ-⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r r r , 22222=024a a b b λλλ--+⋅+r r r r , 令2=2AB AD =,则()124-1211=084λλλ-⨯+⨯⨯⨯+⨯,解得1=6λ,()11511-612612EC AC AE a b a b a b ⎛⎫∴==+-+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r r r r r r r.故答案为: 511612a b +r r【点睛】本题考查平面向量的基本定理和带参数的平面向量的线性运算,着重考查了推理与运算能力,难度较难.三、解答题17．如图，在ABC V 中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∠的大小；（2）求边AB 的长. 【答案】（1）120o（2）62【解析】（1）在ACD ∆中，由余弦定理222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅运算即可；（2）在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB ADADB B=∠运算即可.【详解】解：（1）在ACD ∆中，5AD =，7AC =，3DC =，由余弦定理可得222259491cos 22532AD CD AC ADC AD CD +-+-∠===-⋅⋅⋅,又()0,180ADC ∠∈o o，即120ADC ∠=o ；（2）由（1）得60ADB ∠=o ，在ABD ∆中，5AD =，45B ∠=︒，由正弦定理sin sin AB ADADB B=∠=即AB =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，属基础题. 18．函数()2sin sin cos 1,f x x x x x R =++∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最小值，并求出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）T π=；（2）|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【解析】(1)通过降幂扩角公式和辅助角公式将函数化简为()3242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,借助周期公式2T ωπ=即可求得; (2)由正弦函数的图象和性质利用整体代入法即可求出()f x 的最小值即对应的自变量x 的取值集合. 【详解】（1）()2sin sin cos 1x x x f x =++1cos 21sin 2122x x -=++113sin 2cos 2222x x =-+32242x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 22||2T πππω===；（2）当2242x k πππ-=-+时，解得,8x k k Z ππ=-+∈，min ()f x =所以，当()f x 取得最小值时，自变量x 的取值集合是|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,难度较易.19．已知等比数列{}n a 是递增数列，它的首项13a =，且22a 是13a 与3a 的等差中项. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设3311log log n n n b a a +=×，数列{}n b 的前n 和为n S ，若对任意*n N ∈，都有n S λ<，求λ的取值范围.【答案】（1）3nn a =；（2）1λ≥【解析】(1)设公比为q ,由题意得,13234a a a +=,由于{}n a 是递增数列,利用通项公式13a =代入即可求得3q =,则可求得111333n n n n a a q --==⨯=;(2) 已知条件化简可得133********log log log 3log 3(1)1n n n n n b a a n n n n ++====-⋅⋅++,利用裂项求和即可求得111n S n =-+进而可求得n S λ<恒成立时的λ的取值范围. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得，13234a a a +=，即211134a a q a q +=，即2430q q -+=，所以，1q =（舍去）或3q =.所以，111333n n n n a a q --==⨯=.（2）133********log log log 3log 3(1)1n n n n n b a a n n n n ++====-⋅⋅++，1231n n nS b b b b b -=+++⋯++11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+ 显然，{}n S 是递增数列,且1n S <.因为n S λ>对任意的*n N ∈恒成立,所以,1λ≥. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了裂项求和,难度较易.20．已知sin 2sin 34ππααπα⎛⎫+-=-<<- ⎪⎝⎭. （1）求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）求cos α的值.【答案】（1）4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2 【解析】(1)利用和角公式展开,再借助辅助角公式化简可得sin 2sin 33ππααα⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由已知即可求得;(2)由4ππα-<<-,可知23312πππα-<+<,所以 1sin 3πα⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭(1)中求得4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为cos cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用差角的余弦公式展开代入即可求得. 【详解】（1）∵sin 2sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭1sin 2sin 22ααα=+-3sin cos 22αα=-+3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=.∴4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（2）∵4ππα-<<-，∴23312πππα-<+<，∴1sin 3πα⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭ ∴229sin 1cos 3325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（舍去），或35-∴cos cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭413525=⨯-=【点睛】本题考查有关三角函数化简求值问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式，余弦函数的差角公式,在解题的过程中,注意时刻关注角的范围,难度一般. 21．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60A ∠=︒.（1）若4,b c ==，求ABC ∆的面积S ；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的取值范围.【答案】（1）（2）(0,【解析】(1)由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-可解得a ,即可求出c ,由面积公式即可求得结果.(2) 因为2222cos a b c bc A =+-,即22216()b c bc b c bc bc =+-=-+≥,即得到16bc ≤,由于11sin 16sin 6022S bc A =≤⨯︒,即得到ABC ∆的面积S 的取值范围.【详解】（1）由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，2241162432a a =+-⨯⨯，解得8a c ==所以，11sin 4822ABC S bc A ∆==⨯⨯= （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以，22216()b c bc b c bc bc =+-=-+≥，所以，11sin 16sin 6022S bc A =≤⨯︒=4b c ==时等号成立.因此，ABC ∆的面积S 的取值范围是(0,. 【点睛】本题考查余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,难度一般. 22．已知首项相等的两个数列{}{}()*,0,n n n a b b n N≠∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=.（1）求证：数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若12n nb -=，求{}n a 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，数列{}n S 是否存在不同的三项构成等比数列？如果存在，请你求出所有符合题意的项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）(23)23n n S n =-⋅+；（3）不存在，理由见解析【解析】(1) 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=等式两边同时除以1n n b b +,化简即可得到112n nn na ab b ++-=,即证明出所求; (2)由(1)可知21nna nb =-,因为12n n b -=,则1(21)2n n a n -=-,利用错位相减即可求得{}n a 的前n 项和n S ;(3)由(2)的结论可知(23)23n n S n =-⋅+可知n S 是递增数列,假设数列{}n S 存在不同的三项构成等比数列设为1αβγ≤<<只需证明22(23)23(23)23(23)23=0S S S βααβγγβαγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⋅+--⋅+-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦即可,但是化简后得222(23)26(23)2(23)(23)232(23)29a βαβαγγαββαγαγ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋅+-⋅---⋅-+-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即为偶数⨯(偶数+奇数),其结果不能为零,即可证得不存在. 【详解】（1）∵11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，∴111120n n n n n n n n a b a b b b b b ++++-+=，∴1120n n n n a ab b ++-+=， ∴112n n n na ab b ++-=，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）知1(1)221nna n nb =+-⋅=-，∴1(21)(21)2n n n a n b n -=-=-， 0121123252(21)2n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ① 1232123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⋅L ②①-②，得()12112222(21)2n n n S n --=++++--L ()1222(21)2n n n =+---⋅(23)23n n =--⋅-所以，(23)23n n S n =-⋅+，（3）不存在.因为1(21)(21)20n n n a n b n -=-=->，所以(23)23n n S n =-⋅+是递增数列.设正整数,,αβγ满足1αβγ≤<<，则，22(23)23(23)23(23)23S S S βααγγββαγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-⋅+--⋅+-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦22(23)26(23)2(23)(23)23(23)2(23)2ββαγαγββαγαγ+⎡⎤=-⋅+-⋅---⋅--⋅+-⋅⎣⎦222(23)26(23)2(23)(23)23(23)(23)2αβαβγαγαββαγαγ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⋅+-⋅---⋅--+-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦222(23)26(23)2(23)(23)232(23)29a βαβγαγαββαγαγ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⋅+-⋅---⋅-+-⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 而22(23)26(23)2(23)(23)232(23)2A βαβαγγαββαγαγ---⎡⎤⎡⎤=-⋅+-⋅---⋅-+-⋅⎣⎦⎣⎦是偶数，所以，9A +是奇数，所以，90A +≠，所以，20S S S βαγ-≠. 即，{}n S 中任意三个不同的项不能构成等比数列. 【点睛】本题考查了用定义证明等差数列的方法,考查错位相减法求和,考查等比中项的应用,考查学生分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.。

四川省双流县棠湖中学高一数学下学期期中考试试题(A类班)

数学试题一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1．计算︒-5.22sin 212的结果等于（）A.21B. 22C. 33D. 232．在等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，则127...a a a +++=（） A ．14 B ．21 C ．28D ．353．若b a >，则下列命题成立的是（）A ．bc ac > B. 1a b > C. 11a b< D 22ac bc ≥ 4.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为( ) A ．2212nn n ++ B ．12212+++-nn n C ．2212n n n ++- D ．22121nn n -+-+ 5．若函数1)(2+-=ax x x f 有负值，则实数a 的取值范围是（）A ．22-<>a a 或B ．22<<-aC ．2±≠aD ．31<<a 6．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 132a b c -=-==+则有（） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a <<7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a ，，满足4)(22=-+c b a ，且C ＝60°，则ab 的值为( )A. 43 B ．8－4 3 C ．1 D.238．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ，，.若B b A a sin cos =，则B A A 2cos cos sin +＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．19．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917 B ． C ． D ．31710．已知数列{n a }为等差数列，n S 是数列{n a }的前n 项和，16114a a a π++=，则)sin(11S 的值为（）A 、－2 B 、2± C 、12D 、2 11. 若,cos sin ,cos sin ,40n m =+=+<<<ββααπβα则（）A . n m <B . n m >C . 1<mnD . 2>mn12.已知数列}{n a 中，81=a ，且621=++n n a a ，其前n 项和为n S ，则满足不等式2008142<--n S n 的最小正整数n 是（） A . 12 B . 13 C . 15 D . 16 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)13．不等式224122xx +-≤的解集为． 14. 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且412cos sin 2=+αα，则αtan ＝_____ ___.15．已知二次函数)(1)(2R b a bx ax x f ∈++=，，若0)1(=-f ,且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立，则实数a = .16.给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<；③函数)22sin(π+=x y 是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2cos =的图象．其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大題共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈（Ⅰ）求5()4f π的值；（Ⅱ）设，，，，、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值.18．(本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC ⋅=．（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若6b c +=，求a 的值． 19．(本题满分12分）已知函数1sin cos 2cos 2)(2++=x x x x f ，.R x ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间; （Ⅱ）求函数()f x 在[28-ππ，]的最大值及取得最大值时x 的值.20．(本题满分12分）等差数列}{n a 的各项均为正数，1a ＝3，数列}{n a 前n 项和为n S ，}{n b 为等比数列，11=b ，且6422=S b ,96033=S b .（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）求nS S S 11121+++ . 21．(本题满分12分）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．22. (本题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，1231123()2n n n a a a na a n N *++++++=∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若存在n N *∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值。

2017年四川省成都市双流中学高一下学期数学期中考试试卷

2017年四川省成都市双流中学高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 不等式组的解集是A. B.C. D.2. 已知，则等于A. B. C. D.3. 已知向量，，且，则A. B. C. D.4. 在数列中，，，则A. B. C. D.5. 函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.6. 下列命题正确的是A. 若，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则7. 已知的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则A. B. C. D. 或8. 等差数列中，，，则此数列前项和等于A. B. C. D.9. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是A. 奇函数B. 周期是C. 关于直线对称D. 关于点对称10. 中的内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形11. 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.12. 定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，，，则实数与的大小关系为A. B. C. D. 不确定二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知各项均为正数的等比数列，满足，则．14. 若，，且，，则的值为．15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度．16. 下列说法中，正确的有．（写出所有正确说法的序号）①已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．②已知等比数列的前项和为，则，，也构成等比数列．③已知函数（其中且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则．④已知，，且，则的最小值为．⑤在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知等差数列中，，，等比数列的通项公式，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 已知向量，，．（1）若，求的值；（2）求的最大值．19. 已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．20. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/ ）与汽车的平均速度（）之间的函数关系式为．（1）若要求在该段时间内车流量超过千辆/ ，则汽车在平均速度应在什么范围内?（2）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?21. 设，．（1）求的单调递增区间；（2）在锐角中，，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．22. 已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上．（1）求数列的首项和通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和；（3）已知数列满足．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. C 【解析】本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，所以，又，所以，解原不等式组实为解不等式．解法一：不等式两边平方得：，所以，即，所以，又．所以，所以，故选C．解法二：因为，所以可分为两种情况讨论：（1）当时，不等式组化为；解得．（2）当时，原不等式组可化为，解得．综合（1）、（2）得，原不等式组的解为，选C．2. D3. A4. C5. B6. D7. B8. B9. D 【解析】因为将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所以，所以对于 A，由于是偶函数，故错误；对于B，由于的周期是，故错误；对于 C，令，，可解得，，即的对称轴是，，故错误；对于 D，令，，可解得，，可得当时，关于对称，故正确．10. C【解析】由已知及正弦定理得，，故，即，所以，又，所以．同理可得，所以为等边三角形．11. B 12. C第二部分13.14.15.【解析】依题意由，，，，．所以，在中，由，得，解得，在中，，则此山的高度为．16. ④⑤第三部分17. （1）由题知解得，，所以，．（2）由（）知，，由于的前项和为，因为，．所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以数列的前项和为，所以的前项和．18. （1）因为，则，即．所以，因为，所以．（2）．所以当时，取最大值，即当时，取最大值．19. （1）因为，，，，所以，，那么：（2）由（Ⅰ），，那么，，，所以．20. （1）由条件得，整理得到，解得．（2）由题知，．当且仅当即时等号成立．所以最大车流量为千辆/ ．21. （1），．化简可得：由，．可得：，所以函数的单调递增区间是：，．（2）由，即，可得，因为，所以．由余弦定理：，可得．因为，当且仅当时等号成立．所以，．所以面积的最大值．故得三角形面积最大值为．22. （1）由题知，当时，，所以（舍去）．，所以，两式相减得到：，因为正项数列，所以，数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．（2）由（）知，满足，，所以，因此前项和由得到所以．（3）由（）知，令为数列的前项和，易得因为，，，，当时，，而，得到，所以当时，，所以．又，递增，可得其最大值为．因为对任意的，存在，使得成立．所以，解得．。

2023-2024学年四川省成都市成都市高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成都市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．复数(1i)i z =-的虚部是（）A ．1-B ．i-C ．1D ．i【正确答案】C【分析】求出复数z 的代数形式，进而可得其虚部.【详解】(1i)i=1i z =-+，其虚部为1.故选：C.2．已知向量(2,4)a =，(,3)b m = ，若a b ⊥ ，则m =（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【正确答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】a b ⊥，(2,4)a = ，(,3)b m = ，2120m ∴+=，解得6m =-.故选：A.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若22265b c a bc +-=，则sin A =（）ABC ．45D ．35-【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出cos A ，再求sin A .【详解】在ABC 中，对于22265b c a bc +-=，利用余弦定理得.222635cos 225bc b c a A bc bc +-===因为为三角形内角，所以4sin 5A ===.故选：C4．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是（）A ．π()sin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．π()tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 2cos 2f x x x=+【正确答案】B【分析】分别求出四个选项对应函数的最小正周期，判断对称性，即可判断.【详解】对于A.π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭最小正周期为π，但是0x =为对称轴，所以不是关于原点对称.故A 错误；对于B.()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭最小正周期为π，并且关于原点对称.故B 正确；对于C ：π()tan 24f x x ⎛⎫=+ ⎝⎭的最小正周期为2π.故C 错误；对于D.π()sin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最小正周期为π，不关于原点对称.故D 错误.故选：B5．设a ，b 是两个不共线的非零向量，则“a b λ+ 与4a b λ+共线”是“2λ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】“a b λ+与4a b λ+ 共线”等价于()=4a b k a b λλ++ .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以14k k λλ=⎧⎨=⎩，解得.2λ=±所以“a b λ+ 与4a b λ+共线”是“2λ=”的必要不充分条件.故选：B6．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（）A ．2B ．14C ．12D ．4【正确答案】B【分析】设底面的正方形的边长为4x ，由棱锥的性质求棱锥的高，由此确定以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比.【详解】如图P ABCD -为正四棱柱，PE 为侧面三角形PAD 底边上的高，设4AD x =，由已知侧面三角形PAD 底边上的高与底面正方形边长的比值为14，所以)1PE x =+，连接,AC BD ，设其交点为O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为,AC BD 的中点，因为PA PB PC PD ===，,PO AC PO BD ⊥⊥，又AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面ABCD ，所以PO OE ⊥，即POE △为以PE 为斜边的直角三角形，因为)1PE x =+，2OE x =，所以PO x ，所以以四棱锥P ABCD -的高为边长的正方形面积()22S x '=，四棱锥P ABCD -的侧面积))21441812S x x x =⨯⨯⨯+=+，所以14S S '=，所以以四棱锥P ABCD -的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为14，故选：B.7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3tan 4B =，若cos2B C +=()sin cos cos A a B b A +，则ca=（）ABCD【正确答案】Bsin sin sin 2AC A C =，得到cos22A =，求得π3A =，再由3tan 4B =，求得sin ,cos B B 的值，由sin sin()C A B =+求得sin C 的值，结合sin sin c Ca A=，即可求解.()cossin cos cos 2B CA aB b A +=+，()cossin sin cos sin cos sin sin()2B CC A A B B A A A B +=+=+，因为πB C A +=-，可得πcoscos()sin 2222B C A A+=-=，又因为πA B C +=-，可得sin()sin A B C +=，sinsin sin 2AC A C =，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >sin 2sin cos 222A A A A ==，又因sin02A>，所以cos 22A =，因为π0(),22A ∈，所以π26A =，所以π3A =，由3tan 04B =>，可得π(0,)2B ∈，则34sin ,cos 55B B ==，所以413sin sin()sin cos cos sin 525C A B A B A B =+=+=+⨯=又由3sin 10sin c C a A ==故选：B.8．如图，半圆的直径8AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于,A B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值等于（）A ．16-B ．8-C ．4-D ．2-【正确答案】B【分析】利用向量线性运算可得()2PA PB PC PO PC +⋅=⋅，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果.【详解】设()04PO x x =≤≤，则4PC x =-，O 是AB 的中点，()()()2222428228PA PB PC PO PC x x x x x ∴+⋅=⋅=--=-=-- ，∴当2x =时，()PA PB PC +⋅取得最小值8-.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．向量a在向量b 上的投影向量可表示为a b b bb⋅⋅B ．若0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC <>=D ．已知(1,2)A -，(1,1)B ，则()2AB =-,1【正确答案】AB【分析】根据投影向量的概念可知，A 正确；由0a b ⋅<，得cos 0θ<，再根据平面向量夹角的范围可知B 正确；2π,3AB BC <>= ，可知C 不正确；求出()2,1AB =- ，可知D 不正确.【详解】对于A ，向量a在向量b 上的投影为||a b b ⋅ ，投影向量为||||a b b b b ⋅⋅，故A 正确；对于B ，若0a b ⋅< ，则||||cos 0a b θ⋅<，则cos 0θ<，因为[0,π]θ∈，所以π(,π]2θ∈，故B 正确；对于C ，若ABC 是等边三角形，则π,3BA BC <>= ，2π,3AB BC <>= ，故C 不正确；对于D ，已知(1,2)A -，(1,1)B ，则()()112,1AB =+=-,1-2，故D 不正确.故选：AB 10．已知复数z =）A ．1z =B ．1z z=C ．21z z +=D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【正确答案】ABD【分析】根据复数代数形式的除法运算求出122z =-+，根据模长公式求出||z 可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；求出21z z +=-，可知C 不正确；根据复数的几何意义可知D 正确.【详解】z =21i 1322-+==-++，||1z ==，故A正确；11(12222z ---+=--13144z z +==，故B正确；211(1)(i)(i 1)2222z z z z +=+=-+-++11(i)(i)2222=-++2213i i 14444=--+-=-，故C 不正确；复数12z =-在复平面内对应的点为1(2-，该点位于第二象限，故D 正确.故选：ABD11．将函数sin y x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π24个单位长度得到函数()y f x =的图象，则（）A ．π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()y f x =的图象相邻两条对称轴间距离为π4C ．()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】BD【分析】直接利用三角函数图象的变换和正弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论.【详解】函数sin y x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14，纵坐标不变，得到sin 4y x =的图象，再将所得图象向左平移π24个单位长度得到函数()πsin 46y f x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象；对于A ：π5π1sin662f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ：函数的最小正周期为2ππ42=，故相邻两条对称轴间距离为π4，故B 正确；对于C ：由于5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π11π13π4,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数在该区间上单调递增；故C 错误；对于D ：由于π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π4666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BD.12．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且3240++=OA OB OC ，则下列选项正确的是（）A ．1239=+ AO AB ACB ．直线AO 不过BC 边的中点C ．:2:1=△△AOB AOC S SD ．若||||||1OA OB OC ===，则316OC AB ⋅=【正确答案】BCD【分析】利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断A ；假定AO 过BC 的中点，利用平面向量基本定理判断B ；令3'= OA OA ，2OB OB '= ，4'=OC OC ，结合重心性质计算判断C ；利用数量积及运算律计算判断D 作答.【详解】对于A ：3240++= OA OB OC ，因OB OA AB =+ ，OC OA AC =+，32()4()0++++= OA OA AB OA AC ，即9240++= OA AB AC ，则924AO AB AC =+，可得2499AO AB AC =+ ，A 不正确；对于B ：设BC 的中点为D ，则1()2AD AB AC =+，若直线AO 过BC 的中点，则存在实数λ满足AO AD λ= ，由选项A 知，2()9492AB AC AB AC λ+=+，而AB 与AC 不共线，则有229λ=且429λ=，无解，即λ不存在，AO 不过BC 中点，B 正确；对于C ：取点A '，B '，C '使得3'= OA OA ，2OB OB '= ，4'= OC OC ，则0'''++=OA OB OC ，即点O 为A B C ''' 的重心，如图，则13'''''''''===△△△△B OC A OC A OB A B C S S S S ，而1sin 12112sin 2AOC A OC OA OC AOC S OA OC S OA OC OA OC A OC ''⋅∠⋅===''⋅''''⋅∠△△，同理可得：16''=△△AOB A OB S S ，因此，16:2112''''==△△△△A OB AOB AOCA OC S S S S ，C 正确；对于D ：由3240++=OA OB OC ，得4(32)=-+ OC OA OB ，而||||||1OA OB OC === ，则222169412OC OA OB OA OB =++⋅，解得14OA OB ⋅= ，所以1(32)()4⋅=-+⋅- OC AB OA OB OB OA ()221324=--++⋅ OA OB OA OB 113324416⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，D正确.故选：BCD思路点睛：用向量基本定理解决问题，选择一组基底，运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.三、填空题13．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.【正确答案】14π【详解】长方体的体对角线长为球的直径，则222232114R =++=，142R =，则球的表面积为2144()142ππ=.14．已知复数22(2)(1)i(R)z m m m m =+-+-∈为纯虚数，则m =________.【正确答案】2-【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】因为复数22(2)(1)i(R)z m m m m =+-+-∈为纯虚数，所以220m m +-=且210m -≠，解得2m =-.故2-15．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，若f （x ）在[]0,2π恰有3个最值点，则ω的取值范围为______．【正确答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【分析】根据三角函数的图象与性质，求得当()π1Z 4x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 取最值，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个最值点，得到π1π122π344ωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解.【详解】因为()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，所以()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎝⎭，由题意，令()π4f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()πππZ 42x k k ω+=+∈，解得()π1Z 4x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以当()π1Z 4x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 取最值，又()f x 在[]0,2π上恰有3个最值点，所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===时取到，所以有π1π122π344ωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤.所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.故答案为.91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,16．若ABC 的三个内角,,A B C 满足1cos sin tan 22CA B ==，则1sin cos tan 2A A A ++的值为______．【正确答案】12或12【分析】由cos sin 0A B =>，推出π2A B -=或ππ2A B -+=，分类讨论求出C ，再代入1cos sin tan 22CA B ==可求出1sin cos tan 2A A A ++的值.【详解】在三角形ABC 中，因为cos sin 0A B =>，所以πsin()sin 2A B -=，所以π02A <<，ππ022A <-<，又0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，①当π2A B -=时，π2A B +=，ππ()2C A B =-+=，1π1cos tan 242A ==，又π02A <<，则π3A =，则1111sin cos tan 2222A A A ++=++=.②当ππ2A B -+=时，π2B A =+，ππ22C A B A =--=-，所以π2111π2cos tan tan()222224AC A A -===-，所以πtantan 42cos π1tan tan 4AA A -=+，所以1tan 2cos 1tan A A A -=+，所以2cos 2cos tan 1tan A A A A +=-，所以2cos 2sin tan 1A A A ++=，所以11sin cos tan 22A A A ++=.故12或12.四、解答题17．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．(1)求该蒙古包的侧面积．(2)求该蒙古包的体积．【正确答案】(1)()18π平方米(2)33π立方米【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可；（2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可.【详解】（1）依题意得3BC DE ==米，3CD BE ==米，2AE =米，所以AD ===米，所以圆锥的侧面积为ππ3AD DE ⋅⋅=⋅=平方米，圆柱的侧面积为2π2π3318πBC CD ⋅⋅=⋅⋅=平方米，所以该蒙古包的侧面积为()18π平方米.（2）圆锥的体积为2211π2π36π33AE DE ⋅⋅⋅=⋅⋅=立方米，圆柱的体积为22ππ3327πBC CD ⋅⋅=⋅⋅=立方米，所以该蒙古包的体积为33π立方米.18．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()8cos cos 13αβαβ--+=，126tan 25tan 2αα+=.(1)求cos 2β的值：(2)求tan()αβ+的值．【正确答案】(1)725-(2)6316【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式化简()()8cos cos 13αβαβ--+=，得4sin sin 13αβ=，根据半角公式化简126tan 25tan 2αα+=，得5sin 13α=，再得4sin 5β=，根据二倍角的余弦公式可得cos 2β；（2）先得tan α和tan β，再由两角和的正切公式可得结果.【详解】（1）由()()8cos cos 13αβαβ--+=，得8cos cos sin sin cos cos sin sin 13αβαβαβαβ+-+=，即4sin sin 13αβ=，因为1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+，所以11cos 1cos 2tan 2sin sin sin tan 2ααααααα-++=，又因为126tan 25tan 2αα+=，所以2625sin α=，即5sin 13α=，所以4sin 5β=，所以2247cos 212sin 12()525ββ=-=-⨯=-.（2）由（1）知，5sin 13α=，4sin 5β=，又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13α===，3cos 5β==，所以5sin 513tan 12cos 1213ααα===，4sin 45tan 3cos 35βββ===，所以54tan tan 123tan()541tan tan 1123αβαβαβ+++==--⨯6316=.19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 是BC 中点．1AD =，()2cos cos a c B b C -=．(1)求B ；(2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求边c ．条件①ABC的面积为2；条件②b =【正确答案】(1)π3(2)1【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出cos B ，即可得解；（2）若选①，在ABD △中由余弦定理得到22424a c ac +-=，再由面积公式求出2ac =，解得即可；若选②，在ABC 中由余弦定理得223c a ac +-=，在ABD △中由余弦定理得22424a c ac +-=，即可得到2a c =，再由面积公式求出2ac =，解得即可；【详解】（1）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，即()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=，sin 0A > ，2cos 1B ∴=，又()0,πB ∈，∴π3B =；（2）若选①，在ABD △中由余弦定理得22π2cos 1223a a c c ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭，即22424a c ac +-=，又1sin 242ABC S ac B ac ===△，则2ac =，所以22440a c ac +-=，即()220a c -=，所以2a c =，所以1c =.若选②，在ABC 中由余弦定理得2222cos c a ac B b +-=，即223c a ac +-=，在ABD △中由余弦定理得22π2cos 1223a a c c ⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭，即22424a c ac +-=，所以22820c ac a --=，所以()()240c a c a -+=，所以2a c =或4a c =-（舍去），又1sin 2ABC S ac B ==△2ac =，所以1c =.20．设函数()sin sin2f x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭2x .（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，若()1f A =，且能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π，求ABC ∆周长的取值范围.【正确答案】（Ⅰ）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（Ⅱ）(6+.【分析】（Ⅰ）利用诱导公式和降幂公式，二倍角公式以及两角和的正弦公式逆用将函数化简得到函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后由222()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调增区间.（Ⅱ）能盖住ABC ∆的最小圆的面积为4π,即三角形的外接圆，求出其外接圆的半径,则由正弦定理可以求出边a ，可以用角B 表示出边b c +，根据角B 的范围求出其范围即可.【详解】（Ⅰ）因为()2sin cos cos f x x x x =11cos 2sin 2122x x +=+=1sin 2212x x +sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎣⎦()k Z ∈.（Ⅱ）因为()1f A =，所以sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为ABC ∆为锐角三角形，所以02A π<<，42,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.所以23A ππ+=，故有3A π=.已知能盖住ABC ∆的最小圆为ABC ∆的外接圆，而其面积为4π.所以24R ππ=外，解得=2R 外，ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c .由正弦定理2=4sin sin sin a b c R A B C ===外.所以4sin 3a π==4sin b B =，4sin c C =，4sin 4sin 4sin b c B C B +=+=+24sin 36B B ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ABC ∆为锐角三角形，所以62B ππ<<.所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，故6b c <+≤，所以6a b c +<++≤故此ABC ∆的周长的取值范围为(6+.本题考查三角函数中的恒等变换的应用，三角函数的单调性，考查正弦定理，三角形的周长的范围的求法，注意锐角三角形中角的范围,属于中档题.21．已知函数()()()2sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><，其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f （x ）向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称且()00f <．②函数f （x ）的一条对称轴为π3x =-且()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭；(1)求函数f （x ）的解析式；(2)若π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)若选①，()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；若选②，()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)()(]1,22,3⋃【分析】（1）由条件求周期，再由周期先求出ω．选①：由正弦函数的对称性的性质结合条件求得5π6ϕ=-或π6ϕ=，结合条件()00f <确定ϕ，由此可得()f x 的解析式；选②：由函数()f x 的一条对称轴π3x =-，求出ϕ的可能取值为5π6-、π6．再结合条件()π16f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭确定ϕ，由此可得()f x 的解析式；（2）令()t f x =，则()2430t a t a +-+-=，可得11t =-，23t a =-，结合条件列不等式求出a 的取值范围.【详解】（1）由题意可知，函数()f x 的最小正周期为π4π4T =⨯=，又0ω>，∴2π2T ω==．选①，将函数()f x 向左平移π6个单位，所得函数为ππ2sin 22sin 263y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由于函数π2sin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得πππ32k ϕ+=+（Z k ∈），解得ππ6k ϕ=+（Z k ∈）.∵π<ϕ，所以5π6ϕ=-或π6ϕ=，若5π6ϕ=-，则()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()5π02sin 16f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，符合题意；若π6ϕ=，则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π02sin 16f ==，不符合题意．所以，()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；选②：因为函数()f x 的一条对称轴π3x =-，则ππ2π32k ϕ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭（Z k ∈），解得7ππ6k ϕ=+（Z k ∈）.∵π<ϕ，所以5π6ϕ=-或π6ϕ=，若5π6ϕ=-，则()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()ππ2sin 2162f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合题意；若π6ϕ=，则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()ππ2sin 2162f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，不符合题意．所以，()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）令()t f x =，则方程()()()2430f x a f x a +-+-=可化为()2430t a t a +-+-=，解得11t =-，23t a =-，令()1f x =-，可得5π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得7π5π2066x -≤-≤，所以5π5π266x -=-或5ππ266x -=-，故0x =或π3x =，因为方程()()()2430f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，所以31a -≠-，且方程()3f x a =-在π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个根，所以函数()5π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦的图象与函数3y a =-的图象有两个交点，因为π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，7π5π2066x -≤-≤，由正弦函数性质可得当π5π2026x -<-≤时()f x 为增函数，()20f x -<≤，当7π5ππ2662x -≤-≤-时，()f x 为减函数，()21f x -≤≤，又31a -≠-，所以23t a =-取值范围应在()2,1--或(]1,0-．即231a -<-<-或130a -<-≤解得：12a <<或23a <≤故所求的a 的取值范围是()(]1,22,3⋃.22．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b = 为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM 的相伴函数.(1)记向量ON = 的相伴函数为()f x ，若当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求sin x 的值；(2)已知(2,3)A -，(2,6)B，(OT = 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ .若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.(3)记向量ON = 的相伴函数为()f x ，若当110,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时不等式()02⎛⎫++> ⎪⎝⎭f x kf x π恒成立，求实数k 的取值范围.【正确答案】(2)存在，点(0,2)P (3)(1)-【分析】（1）依题意可得()sin f x x x =+，利用辅助角公式将函数化简，即可得到4sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后由sin sin 33x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的正弦公式计算可得；（2）依题意可得2m =-，即可求出()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的解析式，设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，表示出AP ，BP ，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解；（3）依题意当110,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时cos sin 33⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k x x ππ恒成立，再对x 分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得；【详解】（1）解：向量ON = 的相伴函数为()sin f x x x =+，所以1()sin cos 2sin cos 2sin 223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵8()5f x =，∴4sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴0,32x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以14sin sin sin 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）解：由(OT =为1()sin sin cos 622h x m x m x m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的相伴特征向量知：2m =-所以()2sin 2sin 2cos 23236222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x x x x h ππππϕ.设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(2,3)A -，(2,6)B ，∴12,2cos 32AP x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又∵AP BP ⊥ ，∴0AP BP ⋅= ∴11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221144cos 18cos 18022x x x -+-+=，∴2219252cos (*)224⎛⎫-=- ⎪⎝⎭x x ∵122cos 22x -≤≤，∴131952cos 2222x -≤-≤-，∴225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭.又∵2252544x -≤，∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立.∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ，使得AP BP ⊥ .（3）解：向量ON =的相伴函数为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当110,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 2cos 0233⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f x kf x x k x πππ，即sin cos 033⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x k x ππ，cos sin 33⎛⎫⎛⎫+>-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k x x ππ恒成立.所以①当06x π≤<，即332≤+<x πππ时，cos 03⎛⎫+> ⎪⎝⎭x π，所以sin 3tan 3cos 3⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭>-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭x k x x πππ，即max tan 3⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦k x π，由于332≤+<x πππ，所以tan 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为tan 3π=max tan 3⎡⎤⎛⎫>-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦k x π②当6x π=，32x ππ+=，不等式sin cos 033⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x k x ππ化为10>成立.③当11612<≤x ππ，5234<+≤x πππ时，cos 03⎛⎫+< ⎪⎝⎭x π，所以sin 3tan 3cos 3⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭<-=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭x k x x πππ，即min tan 3⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦k x π，由于5234<+≤x πππ，所以tan 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为5tan 14π=，所以min tan 13⎡⎤⎛⎫<-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦k x π.综上所述，k的取值范围是(1)-.。

2014-2015年四川省成都市双流中学高一(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年四川省成都市双流中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={x∈R|x2=1}，则A∩B=（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设数列{a n}中，已知a1=1，a n=1+（n＞1），则a3=（）A．B．C．D．23．（5分）已知三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=8，C=60°，则=（）A．B．﹣20C．20D．4．（5分）若，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 5．（5分）已知cosα=，α∈（0，π），则cos（α﹣）的值为（）A．B．C．D．6．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣1）＜0的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）7．（5分）已知函数f（x）=Asin（x+φ），x∈R（其中ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．设点是图象上y轴右侧的第一个最高点，CD⊥DB，则△BDC的面积是（）A．3B．πC．2πD．3π8．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，则使得S n最大的序号n的值是（）A．5或6B．7或8C．7D．89．（5分）函数f（x）=图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知等差数列{a n}和单调递减数列{b n}（n∈N*），{b n}通项公式为b n=λn2+a7•n．若a3，a11是方程x2﹣x﹣2=0的两根，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．D．（﹣3，+∞）11．（5分）已知lg2，，lg（1﹣y）顺次成等差数列，则（）A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值﹣1，最大值1C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值112．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的实数解按从小到大的顺序排列成一个数列，设，则数列{h（a n）}的各项之和为（）A．36B．33C．30D．27二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin215°﹣cos215°=．14．（5分）若3，a，b，c，15成等差数列，则a+b+c=．15．（5分）如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为30米，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为78米，从A观测电视发射塔CD的视角（∠CAD）为45°，则这座电视发射塔的高度CD约为．米（结果保留到整数）．16．（5分）已知幂函数f（x）=x2，若x1≥x2≥x3，x1+x2+x3=1，f（x1）+f（x2）+f （x3）=1，则x1+x2的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5）为平面直角坐标系xOy内三点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若D为x轴上一点，且与共线，求D点的坐标．18．（12分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，且a5=10，a10=20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．19．（12分）（Ⅰ）化简；（Ⅱ）已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=﹣2x上，求的值．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求f（B）的值域．21．（12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为nmile．小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且．（Ⅰ）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（Ⅱ）记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin（2α+β）的值．22．（12分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=．（Ⅰ）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（Ⅱ）记函数g（x）=2x，且g（b）=g（a）•g（﹣2）．当x∈R时，设f（x）的值域为M，不等式x2+mx＜0的解集为N，若N⊆M，求实数m的最大值；（Ⅲ）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．2014-2015学年四川省成都市双流中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={x∈R|x2=1}，则A∩B=（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={x∈R|x2=1}={﹣1，1}，∴A∩B={﹣1，1}．故选：B．2．（5分）设数列{a n}中，已知a1=1，a n=1+（n＞1），则a3=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵a1=1，a n=1+（n＞1），∴a2=1+=1+1=2，a3=1+=1+=；故选：C．3．（5分）已知三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=8，C=60°，则=（）A．B．﹣20C．20D．【解答】解：如图，．故选：C．4．（5分）若，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵，c==，∵b6=（）6=22=4，c6=（）6=9，∴1＜b＜c，∴a＜b＜c，故选：A．5．（5分）已知cosα=，α∈（0，π），则cos（α﹣）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵cosα=，α∈（0，π），∴=．∴cos（α﹣）===．故选：C．6．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则不等式f（x﹣1）＜0的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）必有f（0）=0；又奇函数在对称区间上单调性相同；∴f（x）在R上单调递增；∴由f（x﹣1）＜0得f（x﹣1）＜f（0）；∴x﹣1＜0；∴不等式f（x﹣1）＜0的解集为（﹣∞，1）．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（x+φ），x∈R（其中ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．设点是图象上y轴右侧的第一个最高点，CD⊥DB，则△BDC的面积是（）A．3B．πC．2πD．3π【解答】解：由函数f（x）=Asin（x+φ），x∈R的部分图象可得A=2，即CD=2．∵，∴，∴．故选：D．8．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，则使得S n最大的序号n的值是（）A．5或6B．7或8C．7D．8【解答】解：（解法一）∵，∴a n=+（n﹣1）（﹣）=﹣n+1；由﹣n+1≥0知，n≤6；∴当n=5或n=6时S n最大；（解法二）∵=，∵n∈N*，∴当n=5或n=6时S n最大；（解法三）该数列为，观察知当n=5或n=6时S n最大．故选：A．9．（5分）函数f（x）=图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）的定义域是{x|x≠0}，且是偶函数，可排除C；当x＞0时，分母为恒为正值，分子符号不定，即x＞0时，f（x）不可能恒为正值，可排除B；当x＞0时，f（x）不可能只有一个零点，可排除A．（当x→+∞时，分子|cosx|≤1，分母ln（|x|+1）→+∞，∴f（x）→0，排除A．）故选：D．10．（5分）已知等差数列{a n}和单调递减数列{b n}（n∈N*），{b n}通项公式为b n=λn2+a7•n．若a3，a11是方程x2﹣x﹣2=0的两根，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．D．（﹣3，+∞）【解答】解：：∵a3，a11是x2﹣x﹣2=0的两根，∴a3+a11=1．（或两根为2，﹣1⇒a3+a11=1）∵{a n}是等差数列，∴，∴．﹣b n＜0对n∈N*恒成立，∵{b n}递减，∴b n+1，∴对n∈N*恒成立．∵，∴．故选：B．11．（5分）已知lg2，，lg（1﹣y）顺次成等差数列，则（）A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值﹣1，最大值1C．y有最小值，无最大值D．y有最小值，最大值1【解答】解：∵lg2，，lg（1﹣y）顺次成等差数列，∴，∴．∴．∵，∴．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的实数解按从小到大的顺序排列成一个数列，设，则数列{h（a n）}的各项之和为（）A．36B．33C．30D．27【解答】解：方程f（x）﹣x=0的实数解可化为函数f（x）与函数y=x的交点的横坐标，作函数f（x）与函数y=x的图象如下，结合图象可得，a n=n﹣2；又∵的定义域为（﹣2，8），∴数列{h（a n）}中a n仅可以取﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7；又∵h（x）+h（6﹣x）==6，且，∴h（﹣1）+h（0）+h（1）+h（2）+h（3）+h（4）+h（5）+h（6）+h（7）=（h（﹣1）+h（7））+（h（0）+h（6））+（h（1）+h（5））+（h（2）+h（4））+h（3）=6×4+3=27．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin215°﹣cos215°=﹣．【解答】解：，故答案为：﹣．14．（5分）若3，a，b，c，15成等差数列，则a+b+c=27．【解答】解：由等差数列的对称性知，b是3，15的等差中项且a+c=3+15，∴．故答案为：27．15．（5分）如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为30米，在地面上有一点A，测得A，C间的距离为78米，从A观测电视发射塔CD的视角（∠CAD）为45°，则这座电视发射塔的高度CD约为145．米（结果保留到整数）．【解答】解：如图，，．由，得7CD=1014⇒CD≈145．故答案为：145．16．（5分）已知幂函数f（x）=x2，若x1≥x2≥x3，x1+x2+x3=1，f（x1）+f（x2）+f （x3）=1，则x1+x2的取值范围是[，] ．【解答】解：根据题意得，x1+x2=1﹣x3①，②，①式两边平方减去②式，整理得：③；由①、③知x1，x2是方程的两实数根，∴△=﹣4（﹣x3）≥0，即﹣3+2x3+1≥0，解得﹣≤x3≤1；又x1≥x2≥x3，x1+x2+x3=1，∴x3+x3+x3≤1，∴x3≤；∴﹣≤x3≤，∴﹣≤1﹣（x1+x2）≤，∴≤x1+x2≤；即x1+x2的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（10分）已知A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5）为平面直角坐标系xOy内三点，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若D为x轴上一点，且与共线，求D点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）证明：，；∴；∴；（Ⅱ）；设D点坐标为（x，0），则；∵与共线；∴（﹣4）×（﹣2）﹣2×（x﹣1）=0；解得x=5；∴D点坐标为（5，0）．18．（12分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，且a5=10，a10=20．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意得，解得，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴．19．（12分）（Ⅰ）化简；（Ⅱ）已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=﹣2x上，求的值．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）原式==…（2分）=…（4分）=．…（6分）（Ⅱ）由题意得sinθ=﹣2cosθ，∴tanθ==﹣2．…（7分）∴…（9分）==…（11分）=tanθ=﹣2．…（12分）（改编自必修4第143页第三章习题3.2第1题第（8）小题）20．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求f（B）的值域．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵…（1分）==…（3分）=．…（5分）∴f（x）的最小正周期．…（6分）（Ⅱ）由及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）．又A+B+C=π，∴2sinBcosA=sinB．∵，又∵．…（9分）由（Ⅰ），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴且．∴．…（10分）∴．∴∴．∴f（B）的值域是．…（12分）21．（12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmile，与小岛D相距为nmile．小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且．（Ⅰ）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（Ⅱ）记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin（2α+β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，且角A为钝角，∴．在△ABD中，由余弦定理得：AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA=BD2．∴⇒AD2+8AD﹣20=0．解得AD=2或AD=﹣10（舍）．∴小岛A与小岛D之间的距离为2n mile．…（2分）∵A，B，C，D四点共圆，∴角A与角C互补．∴，．在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•cosC=BD2．∴⇒CD2﹣8CD﹣20=0．解得CD=﹣2（舍）或CD=10．…（4分）=S△ABC+S△BCD∴S四边形ABCD===3+15=18．∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile．…（6分）（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得：．∵DC2+DB2＞BC2，∴α为锐角，∴．…（7分）又∵，．…（8分）∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]…（10分）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）==．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中ω＞0．设f（x）=．（Ⅰ）记函数y=f（x）的正的零点从小到大构成数列{a n}（n∈N*），当a=，b=1，ω=2时，求{a n}的通项公式与前n项和S n；（Ⅱ）记函数g（x）=2x，且g（b）=g（a）•g（﹣2）．当x∈R时，设f（x）的值域为M，不等式x2+mx＜0的解集为N，若N⊆M，求实数m的最大值；（Ⅲ）令ω=1，a=t2，b=（1﹣t）2，若不等式f（θ）﹣＞0对任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题得==．…（1分）由．…（2分）当k=1时，且（常数），∴{a n}为首项是，公差为的等差数列．∴．…（3分）∴．…（4分）（Ⅱ）由g（a）=g（b）+g（﹣2）得2a=2b×2﹣2⇒2a=2b﹣2⇒b=a+2．…（5分）∵，∴f（x）的值域为．…（6分）∵x2+mx=0的解为0或﹣m，∴N=[﹣m，0]或N=[0，﹣m]．∴要使得N⊆M，须．…（7分）∵，∴．∴，即．∴实数m的最大值为．…（8分）（Ⅲ）由题得=t2cosθ+（1﹣t）2sinθ﹣t（1﹣t）=（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ∴题意等价于（1+sinθ+cosθ）t2﹣（2sinθ+1）t+sinθ＞0对任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．…（9分）∵1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，∴对称轴恒成立．∴对称轴落在区间（0，1）内．…（10分）∴题意等价于，得．…（11分）．∴θ的取值范围是．…（12分）。

四川省年高一下学期期中测试数学试题

高一下学期半期测试数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．．．．．若向量，满足的夹角为，则a b ||a = 60︒|2a b +． B ． D ．2342．已知函数．若对于任意实数x ，都有()sin f x ω⎛= ⎝()f x二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.A ．B ．C ．16I =31I I ≥3I ≤12．.设为两个非零向量的夹角，已知当实数变化时的最小值为，则下列选项不正确的有θa ,b t |a +tb |2( )A ．若确定，则唯一确定B ．若确定，则唯一确定 θ|a |θ|b |C ．若确定，则唯一确定D ．若确定，则唯一确定|a |θ|b |θ三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共40分. 13．已知向量，则___________.()()1,,,4,//a x b x a b ==x =14．____sin 80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=15．东方设计中的“白银比例”是“黄金比例”，传达出)1:2一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上1S 2S 12:S S =去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________.16．已知是的外心，且，则______．． O ABC A 3450OA OB OC ++=cos BAC ∠=(第15题)四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.17．(10分)已知向量，，求：()3,1a =- ()1,2b =-(1)； (2)；(3).a b ⋅()2a b + ()()a b a b +⋅-(2)若△ABC a 的值. b =ABCD，AB=2，E BC P AB22．（12分）如图，在正方形中为的中点，点是以为直径的圆弧上任一点．设AP=xAE+yAD，(1)求的最大值、最小值．(2)求的取值范围．x－2y x+y3.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，， a b ⊥(2,4)a= (,3)b m = ，2120m ∴+=解得. 6m =-故选：A. 5.【答案】B【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】“与共线”等价于.a b λ+ 4a b λ+ ()=4a b k a b λλ++ 因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.a b 14k kλλ=⎧⎨=⎩2λ=±所以“与共线”是“”的必要不充分条件. a b λ+4a b λ+2λ=故选：B7.A 【解析】【分析】先通过条件求出，然后根据展开计算即可.a b ⋅ |2|a b += 【详解】由已知得，1cos ,2160cos a b a b a b ⋅=︒⋅=⨯=⨯则.|2|a b +====故答案为：A .9.答案 DC 解析由正弦定理知，，a sin A =bsin B 所以，sinB =bsin Aa =3×121=32所以，经检验，均符合题意． C =60∘或120∘故选：． CD 10.BC【解析】根据向量加减法法则和数量积的运算判断各选项．故选：ABC 12.CDB 解析令f(t)=|a +tb |2=a 2+2t ⋅a ⋅b +t 2⋅b 2恒成立， ∴Δ=4(a ⋅b )2−4a 2⋅b 2=4a 2⋅b 2(cos θ−1)≤0当且仅当时，取得最小值， t =−2a ⋅b 2×b2=−|a ||b |cos θf(t)2，化简．∴(−|a |∣b∣cos θ)2+b 2+2(−|a ||b |cos θ)⋅a ⋅b +a 2=2a 2sin 2 θ=2确定，则唯一确定 ∴θ|a |所以BCD 均不正确故选：． BCD解析 (1)如图所示，在中，△ABD ， ∵∠BAD =∠BAC +∠DAC =30∘+45∘=75∘，∴∠ADB =60∘由正弦定理可得，．AB sin ∠ADB =ADsin ∠ABD ，AD =3sin 45∘sin 60∘=2(2)， ∵∠ABC =∠ABD +∠DBC =45∘+75∘=120∘，∠BAC =∠BCA =30∘．∴BC =AB =3，∴AC =3在中，由余弦定理得，， △ACD CD 2=AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos ∠DAC =5即(海里)CD =5答：间的距离为海里． AD =2，C ，D 522. (1) 最大值为最小值为; (2)2，1−2[0,5+14]解析 (1)如图，取中点以点为原点，以所在直线为轴，如图建立平面直角坐标系，AB O ，O AB x 设∠结合题意，可知POB =θ，A (－1,0)，B (1,0)，C (1,2)，，D(－1,2)，E(1,1)，P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π])所以AP =(cos θ+1,sin θ),AE =(2,1),AD =(0,2)又AP =xAE +yAD =x(2,1)+y(0,2)=(2x,x +2y)，所以(2x,x +2y)=(cosθ+1,sinθ)，即 {2x =cosθ+1x +2y =sinθ⇒{x =cosθ+12y =2sinθ−cosθ−14，则有x−2y =cosθ−sinθ+1=2cos(θ+π4)+1，又由则θ∈[0,π]，θ+π4∈[π4,5π4]，当时θ=0，(x−2y )max =2，当时；θ=3π4，(x−2y )min =1−2故的最大值为最小值为x +2y 2，1−2，(2)根据题意，{x =cosθ+12y =2sinθ−cosθ−14，则 x +y =cosθ+12+2sinθ−cosθ−14=14(2sinθ+cosθ+1)=54sin(θ+φ)+14，其中为锐角)tanφ=12,φ因为所以 φ≤θ+φ≤π+φ，sin(π+φ)≤sin(θ+φ)≤1，所以所以 −15≤sin(θ+φ)≤1，0≤x +y ≤5+14，即的取值范围为.x +y [0,5+14]。

【百强校】2015-2016学年四川省双流中学高一下期中数学试卷(带解析)

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年四川省双流中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：146分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数，点为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则（）A ．B ．C ．D ．2、如图，在正方形中，，点分别在边上，为的中点，且，则的面积的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．3、已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A ．10B ．50C ．100D ．10004、函数的最大值是（）A ．8B ．7C ．6D ．55、如右图，在圆O 中，已知弦长AB=2，则（）A ．B ．C ．D ．6、已知中，，则（）A ．5B ．7C ．9D ．107、已知等差数列中，且，则前项和（）A ．15B ．20C ．21D ．758、已知函数，则的零点所在区间为（）A． B． C． D．9、已知，则（）A． B． C． D．10、函数的最小正周期为（）A． B． C． D．11、有一种细胞每半小时分裂一次，由原来的一个分裂成两个，那么一个这种细胞经过3小时分裂成的细胞数为（）A． B． C． D．12、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数，有下列四个命题：其中正确命题的序号为__ __．（填上所有正确命题的序号）①若，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位;②若，则函数的一个对称中心为；③若的一条对称轴方程为，则；④若方程的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为.14、已知中，若，则_______.15、已知，，且与不共线，若，则_______.16、在之间插入两个数，使之成为一个等差数列，则其公差为_______.三、解答题（题型注释）17、已知函数.（I）求证：；（II ）设数列满足求；（III ）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.18、如图，某观测站在港口的南偏西方向的处，测得一船在距观测站海里的处，正沿着从港口出发的一条南偏东的航线上向港口开去，当船走了海里到达处，此时观测站又测得等于海里，问此时船离港口处还有多远？19、已知向量，设函数.（I ）求函数的最小正周期和最大值；（II ）设锐角的三个内角的对边分别为，若且，求.20、如右图，在中，设，，点在边上.（I）若为边中点，求证：；（II）若，求证：.21、已知数列是各项为正数的等比数列，且，. （I）求数列的通项公式；（II）若，求证：数列是等差数列.22、已知中，，，求的值.参考答案1、D2、A3、C4、C5、B6、A7、D8、B9、D10、B11、B12、A13、①③14、15、16、17、（I）见解析；（II）；（III）.18、海里.19、（I），最大值为；（II）.20、（I）证明见解析；（II）证明见解析.21、（I）；（II）证明见解析.22、.【解析】1、试题分析：因为点在函数的图象上，所以，因为向量，所以，由平方关系可得，所以，所以,故选D.考点：数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和，涉及到平面向量的夹角的余弦值，同角三角函数的基本关系式，考查了数列的裂项法求和，属于中档题.本题解答的关键是通过向量数量积的表示出，利用同角三角函数的基本关系得到，从而得到数列的通项公式，利用裂项法进行求和，最终得到所求值.2、试题分析：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.因为，为的中点，点分别在边上，所以，则，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，由函数的单调性可知当，取得最大值，所以的面积的取值范围为，故选A.考点：利用基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在求函数最值中的应用，考查了平面向量数量积的应用，属于中档题.本题中因为给出了一个正方形，且涉及到的点都在正方形的边上，所以建立平面直角坐标系，利用坐标来运算，设出三点的坐标，根据条件建立函数关系，最后利用基本不等式及其单调性求出面积的取值范围，注意不要忽略函数的定义域，否则将求不出面积的最大值.3、试题分析：由等比数列的性质可知，所以，根据对数的运算法则可知，故选C.考点：等比数列的性质与对数运算.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的性质与对数运算，属于基础题.本题解答的关键是根据等比数列中“当序号满足时，相应的项满足”，由条件得到，同时结合对数的运算把转化为进而得其值.4、试题分析：，设，则，其对称轴为，且开口向下，所以当再上单调递减，所以当时，，故选C.考点：二次函数的最值.5、试题分析：在中，由于, 所以,,故选B.考点：向量的线性运算与数量积运算.6、试题分析：因为，所以是以为直角的直角三角形，根据合比定理可知，故选A.考点：勾股定理与合比定理.7、试题分析：因为，所以前项和，故选D.考点：等差数列的性质及前和公式.8、试题分析：因为即所以的零点所在区间为，故选B.考点：二分法判断函数零点所在的区间.9、试题分析：，故选D.考点：三角函数的诱导公式.10、试题分析：函数，所以其最小正周期为，故选B. 考点：二倍角公式及正弦函数的性质.11、试题分析：细胞分裂后细胞的个数与分裂的次数满足函数，这种细胞经过小时分裂次，所以经过小时分裂成的细胞数为，故选B.考点：指数函数的应用.12、试题分析：因为，所以，故选A.考点：向量共线的坐标表示.13、试题分析：①若，则，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可，所以①正确；②若，则函数，，所以函数的图象不关于点对称，所以②错误；③，其中，所以，因此，所以，因此；所以③正确；④由于，所以若方程的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则，公差为,所以④错误，因此正确的命题的序号为①③.考点：正弦函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题.命题①考查了三角函数的图象变换，关键是根据和角公式把化成“一角一名一次式”的形式；命题②考查了正弦函数的性质，关键是把握好对称中心的性质——函数的零点；命题③考查了正弦函数的对称轴特征——函数的最值点；命题④考查了正弦函数图象的特征，结合图象即可发现其正确性.14、试题分析：由可知，根据余弦定理可知又因为.考点：余弦定理解三角形.【方法点晴】本题主要考查了余弦定理解三角形，属于基础题.利用正余弦定理解三角形是常见题型，解答的关键是根据题目条件灵活选择合适的定理，得其内角的三角函数值，根据三角形的性质求得所求角.一般选择定理时，要看给出的条件中边的次数，若各项都有边的一次式优先考虑正弦定理，若涉及三边的二次项、两边的乘积考虑余弦定理.15、试题分析：因为，所以，又因为，，所以考点：向量的数量积运算.16、试题分析：由题意可知，所以.考点：等差数列的通项公式.17、试题分析：（I）根据指数的运算性质把化成整理即得要证的结论；（II）把的表达式倒过来写，两式相加，根据（I）的结论，即得；（III）利用等差数列的前项和公式求得，对不等式分离参数可得，研究右边函数的单调性求得求最小值，即得实数的取值范围.试题解析：（I）证明：（II）由（I）知故又，两式相加得（III）由（II）知，数列是一个等差数列，又在上为递增得函数，当时则恒成立，实数的取值范围为.考点：指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前项和公式及数列的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了指数运算、倒序相加法求数列的通项公式，等差数列的前项和公式及数列的最值问题，属于中档题.本题第一问利用指数的运算性质证得是本题解得前提，根据（1）的结论及其形式特点对进行倒序相加即可求得其通项公式；数列中的恒成立问题，本质上还是考查数列的函数特性，在分离参数的基础上，根据对应函数的单调性求得其最值，即可求得参数的范围.18、试题分析：根据题意可设，在中，由余弦定理求得，由同角三角函数基本关系式得，在中，，利用正弦定理即可求得的长.试题解析：如图，设在中，由余弦定理得在中，，由正弦定理得：（海里）答：此时船离港口处还有15海里.考点：正、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在航海问题中的应用，属于中档题.解答利用正余弦定理解实际应用问题时，首先根据题意画出示意图，把题目的已知条件标在图上，结合图形的特点及三角形中的边、角关系及三角形的基本性质尤其是内角和定理、三角函数的知识，依次求得所需的各个量，最终得到问题的答案.19、试题分析：（I）根据向量数量积的坐标表示可得，由正弦函数的性质可得其最小正周期和最大值；（II）由可得，由同角三角函数的基本关系式可得利用正弦定理即可求得的值.试题解析：（I）由已知得所以最小正周期，最大值为2.（II）由，又，由正弦定理得考点：正弦函数的性质及已知三角函数值求解和正弦定理.20、试题分析：（I）根据向量加法的三角形法则可得,整理即得要证明的结论；（II）因为点在边上，所以根据共线向量定理可得存在实数，使得，在利用三角形法则可得，整理可得，得证.试题解析：（I），，又为边中点，，（II）点在边上，则存在实数，使得，则若，则考点：平面向量的线性运算及共线向量定理.21、试题分析：（I）由于，，根据等比数列的通项公式可得公比，由即可得到数列的通项公式；（II）根据对数的运算性质可得，利用等差数列的定义证明是常数即可.试题解析：（I）求数列的公比为，，.则，又，故通项公式（II）证明：由（I）知，，（常数），，故数列是一个公差等于1的等差数列.考点：等比数列的通项公式及等差数列的定义.22、试题分析：根据同角三角函数的基本关系式求得，利用和角公式求得,由三角形的内角和定理及诱导公式可得.试题解析：，且，又考点：两角和的正弦公式及三角函数的诱导公式.。

2014-2015年四川省成都市双流县棠湖中学高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年四川省成都市双流县棠湖中学高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，1，2，3}2．（5分）已知a n+1﹣a n﹣3=0，则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．摆动数列D．既等差数列又等比数列3．（5分）设函数f（x）=，则f（f（））的值是（）A．﹣1B．C．2D．44．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式a n是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）nC．（﹣1）n D．（﹣1）n5．（5分）在△ABC中，若a=2bsinA，则B等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．（5分）等差数列{a n}中，前10项和S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12B．16C．24D．487．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形的形状为（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形9．（5分）设a=sin14°+cos14°，b=2sin30.5°cos30.5°，c=，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b10．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1D．11．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3B．C．6D．912．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470B．490C．495D．510二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）cos=．14．（4分）数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=．15．（4分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n ∈N*，则n=．16．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n（n=1，2，3…），给出下列四个命题：①数列{a n}是等比数列；②数列{S n}是等比数列；③∃常数c＞0，使≤c（n∈N+）恒成立；④若S n（3a n﹣2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，则γ∈（+∞，）．以上命题中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（1，0），=（2，1）（1）求+3及﹣；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．19．（12分）设函数f（x）=sin（2x+）+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的最大值和最小值．20．（12分）郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=7米，BC=5米，AC=8米，∠C=∠D．（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？（）21．（12分）已知，且．①求tan2α的值；②求cosβ的值；③求β的大小．22．（14分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列．设b n+2=3loga n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年四川省成都市双流县棠湖中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={﹣1，1，2，3}，则A∩B等于（）A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，1，2，3}【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={﹣1，1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，故选：C．2．（5分）已知a n+1﹣a n﹣3=0，则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．摆动数列D．既等差数列又等比数列【解答】解：由题意知，a n+1﹣a n﹣3=0，则a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以3为公差的等差数列，故选：A．3．（5分）设函数f（x）=，则f（f（））的值是（）A．﹣1B．C．2D．4【解答】解：函数f（x）=，则f（）=log2=﹣1，即有f（f（））=f（﹣1）=2﹣1=，故选：B．4．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式a n是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）nC．（﹣1）n D．（﹣1）n【解答】解：数列等价为﹣，，﹣，，…，即﹣，，﹣，，…，故数列的通项公式为（﹣1）n，故选：C．5．（5分）在△ABC中，若a=2bsinA，则B等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解答】解：∵，∴，∵根据正弦定理，∴=，∴sinB=，又B为三角形的内角，∴B=60°或120°故选：D．6．（5分）等差数列{a n}中，前10项和S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12B．16C．24D．48【解答】解：由等差数列的求和公式可得：=120，解得a1+a10=24，由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=24，故选：C．7．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，B=135°，C=15°，则此三角形的A=30°，且最大边为AC边，由正弦定理，可以求出AC===．故选：C．8．（5分）在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形的形状为（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：在△ABC中，∵acosB=bcosA，∴由正弦定理得：sinAcosB=sinBcosA，∴sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，∴A=B．∴△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．9．（5分）设a=sin14°+cos14°，b=2sin30.5°cos30.5°，c=，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵a=sin14°+cos14°=sin（14°+45°）=sin59°，b=2sin30.5°cos30.5°=sin61°，c==sin60°，又函数y=sinx在（0°，90°）上是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°即：a＜c＜b．故选：D．10．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1D．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．11．（5分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3B．C．6D．9【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选：D．12．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470B．490C．495D．510【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=（﹣+32）+（﹣+62）+…+（﹣+302）=∑[﹣+（3k）2]=∑[9k﹣]=﹣25=470故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）cos=﹣．【解答】解：cos=cos（π﹣）=﹣cos=﹣，故答案为：﹣．14．（4分）数列{a n}前n项和S n=n2+n+1，则a n=．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1+1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n．∴a n=．故答案为：．15．（4分）已知函数f（x）=log2x+x﹣2，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n ∈N*，则n=1．【解答】解：f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）上单调递增且连续，且f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=1+2﹣2=1＞0；故函数f（x）的零点x0∈（1，2），故n=1；故答案为：1．16．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n（n=1，2，3…），给出下列四个命题：①数列{a n}是等比数列；②数列{S n}是等比数列；③∃常数c＞0，使≤c（n∈N+）恒成立；④若S n（3a n﹣2γ）+2≥0（n=1，2，3…）恒成立，则γ∈（+∞，）．以上命题中正确的命题是②③（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：①∵a1=1，a n+1=2S n，∴a n+2=2S n+1，两式相减得a n+2﹣a n+1=2S n+1﹣2S n=2a n+1，即a n+2=3a n+1，即，（n≥2），当n=1时，a2=2a1=2，，∴数列{a n}不是等比数列；∴①错误．②a n+1=2S n=S n+1﹣S n，即3S n=S n+1，∴，（n≥1），即数列{S n}是等比数列；∴②正确．③由①知，当n≥2时，=2•3n﹣2，a1=1，则，，则=+=1+，∴当c时，使恒成立；∴③正确．④由S n（3a n﹣2γ）+2≥0得3S n a n﹣2γS n+2≥0，即（n=1，2，3…）恒成立，当n=1时，，当n≥2时，=，当且仅当，即3n﹣1=1，n=1取等号，此时不成立．设t=3n﹣1，当n≥2时，t≥3，∵y==t+在[3，+∞）上单调递增，∴y，∴要使（n=1，2，3…）恒成立，则，即γ，∴④错误．故正确的是②③，故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（1，0），=（2，1）（1）求+3及﹣；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？【解答】解：（1）∵向量=（1，0），=（2，1），∴+3=（1，0）+3（2，1）=（7，3）；﹣=（1，0）﹣（2，1）=（﹣1，﹣1）；（2）∵k﹣=k（1，0）﹣（2，1）=（k﹣2，﹣1），+3=（7，3），且k﹣∥+3；∴3（k﹣2）﹣7×（﹣1）=0；解得k=﹣；此时k﹣=（﹣，﹣1），+3=（7，3），两向量平行时且反向．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．【解答】解：（I）设{a n}的公比为q由已知得16=2q3，解得q=2∴=2n（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{b n}的公差为d，则有解得．从而b n=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{b n}的前n项和．19．（12分）设函数f（x）=sin（2x+）+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（2x+）+2sinxcosx=sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，求得kπ﹣≤x ≤kπ+，可得函数f （x ）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈z ．（Ⅱ）由x ∈[﹣，]，得2x +∈[0，]，得sin （2x +）∈[0，1]，所以f （x ）的最大值为，最小值为0．20．（12分）郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD=BD=7米，BC=5米，AC=8米，∠C=∠D ．（Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？（）【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得cosC==． ①…（2分）在△ABD 中，由余弦定理得cosD==． ②…（4分）由∠C=∠D 得 cosC=cosD ，AB=7，所以 AB 长度为7米．…（6分）（Ⅱ）小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD =•sinD ，S △ABC =•sinC ．因为 AD•BD ＞AC•BC ，所以 S △ABD ＞S △ABC ．故选择△ABC 建造环境标志费用较低．…（8分）因为：AD=BD=AB=7，所以△ABD 是等边三角形，∠D=60°，故，S △ABC =•sinC=10，所以，总造价为：5000×10=50000≈86600．…（12分）21．（12分）已知，且．①求tan2α的值；②求cosβ的值；③求β的大小．【解答】解：①由cosα=，可得∴tanα==4，∴=﹣②由，得又∵，∴∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=③由②得∵，∴22．（14分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列．设b n+2=3loga n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】（1）证明：由已知可得，=，b n+2=3=3n，∴b n=3n﹣2，b n+1﹣b n=3，∴数列{b n}为等差数列，其中b1=1，d=3．（2）解：c n=a n•b n=，∴S n=++…+，=++…+，两式相减可得：=+…+﹣=﹣=，∴S n=．（3）解：c n=a n•b n=，∴c n﹣c n==﹣9．+1当n=1时，c2=c1；当n≥2时，c n+1＜c n，∴（c n）max=c1=c2=．∵c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，∴+m﹣1，化为m2+4m﹣5≥0，解得m≤﹣5或m≥1．∴实数m的取值范围是m≤﹣5或m≥1．。

四川省成都市双流中学2020年高一数学理模拟试题含解析

四川省成都市双流中学2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．2. 若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0，a∈R｝中有且只有一个元素，则a的取值集合是（）A、｛1｝B、｛－1｝C、｛0，1｝D、｛－1，0，1｝参考答案：D略3. A={x|0≤x≤2}，下列图象中能表示定义域和值域都是A的函数的是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断函数的定义域以及函数的值域，即可．【解答】解：对于A，函数的定义域与值域都是[0，2]．满足题意；对于B，函数的定义域[0，2]与值域是[1，2]．不满足题意；对于C，函数的定义域[0，2]与值域是{1，2}．不满足题意；对于D，函数的定义域[0，2]与值域都是{1，2}．不满足题意．故选：A．4. 若0＜x＜y＜1，则（）A．3y＜3x B．log x3＜log y3 C．log4x＜log4y D．参考答案：C【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据对数函数的单调性，y=log4x为单调递增函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log4x为增函数∴log4x＜log4y故选C．【点评】本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．这也是高考中必考的内容．5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x+1与y=B．f（x）=与g（x）=xC．D．参考答案：D【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：对于A：y=x+1的定义域为R，而y=的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，∴不是同一函数；对于B：f（x）=的定义域为{x|x＞0}，而g（x）=x的定义域为R，定义域不同，∴不是同一函数；对于C：f（x）=|x|的定义域为R，g（x）==x的定义域为R，定义域相同，但对应关系不相同，∴不是同一函数；对于D：f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故选D．6. 若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=（）A．﹣B．C．D．﹣参考答案：B【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】转化思想；三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵cosα=﹣，且α∈（π，），∴sinα=﹣=﹣，∴=．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 函数作怎样的变换可得到函数（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：C8. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则公比q=（）A. －1B. 1C. －2D. 2参考答案：A【分析】将转化为关于的方程，解方程可得的值．【详解】∵，∴，又，∴．故选A．【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有五个量，其中是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．9. 函数的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}参考答案：略10. 设，，，则（）A. b<a<cB.c<a<b C. c<b<a D. a<c<b参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若=，则tan2α的值为．参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．12. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱，则圆柱的轴截面面积S的最大值是。

四川省双流中学高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

四川省双流中学2016-2017学年度下期中考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}13,Q 2,P x x x x =<<=>，则P Q ⋂=（） A ．(1,3)B ．(2,3)C ．(1,2) D.(2,)+∞2．已知1sin cos 5αα+=，则sin 2α=（） A ．2425-B ．2425C ．1225-D ．12253．已知向量(1,m),b (2,1)a ==-，且b a ，则m =（） A ．12-B ．12C ．2D ．2-4．在数列{}n a 中，1111,12n na a a +==-，则5a =（）A ．2B ．3C ．1-D ．125．在下列区间中，函数()2ln =-f x x x的零点所在大致区间为（） A.(1,2)B ．(2,3)C ．（3,4）D （,3e ）6．下列命题正确的是（） A ．若AC BC >，则a b > B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b >7．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b =（）A B ．2 C ． D ．2或48．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项的和20S =（）A ．160B ．180C ．20D ．2209．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列关于函数()y f x =的说法正确的是（）A ．奇函数B ．周期是2π C ．关于直线12x π=对称 D ．关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若2c o s ,2c o s b c Ac b A==，则ABC∆的形状为（） A ．直角三角型B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形11．已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2log 5,2b f c f m ==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<12．定义在()1,1-上的函数()f x 满足：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，当()1,0x ∈-时，有()0f x >，且112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．设2111,2,5111m f f fn n N n n *⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++≥∈⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则实数m与1-的大小关系为（） A ．1m <-B ．1m =-C ．1m >-D ．不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足1734a a ⋅=，则4a = ． 14.若0,022ππαβ<<<<，且13tan ,tan 74αβ==，则αβ+的值为． 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．16.下列说法中，正确的有．（写出所有正确说法的序号）①已知关于x 的不等式220mx mx ++>的角集为R ，则实数m 的取值范围是04m <<． ②已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 、2-n n S S 、32-n n S S 也构成等比数列． ③已知函数()()()21log 1,0433,0++≥⎧⎪=⎨+-+<⎪⎩a x x f x x a x a x （其中0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则1334x ≤≤．④已知0,1a b >>-，且1a b +=，则2221a b a b +++． ⑤在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,0,1,1OB OC OD OB OC OD A ===++=则AD OB ⋅的取值范围是1122⎡---+⎢⎣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 中，579,13a a ==．等比数列{}n b 的通项公式12,n n b n N -*=∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）已知向量()()sin ,1,1,cos ,22a b ππθθθ==-<<．（I ）若a b ⊥，求tan θ的值．（II ）求+a b 的最大值． 19．（本小题满分12分）已知()350,0,cos ,cos 22513ππαβαβα<<<<=+=．（I ）求sin β的值；（II ）求2sin 2cos cos2ααα+的值． 20．（本小题满分12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y （千辆/h ）与汽车的平均速度()/v km h 之间的函数关系式为()22400201600vy v v v =>++．（I ）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/h ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（II ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？21．（本小题满分12分）设()2sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（I ）求()f x 的单调递增区间；（II ）在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．22．（本小题满飞14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈，点()n ,S n a 都在函数()21122f x x x ==的图像上．（I ）求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（II ）若数列{}n b 满足()()22log log 21n n b n a n N *=+-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（III ）已知数列{}n c 满足()14616n n n n n c n N T a a *+-=-∈-．若对任意n N *∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()12n c c c f x a +++≤-成立，求实数a 的取值范围．四川省双流中学2016-2017学期年度下期中考试高一数学试题参考答案一、选择题1-5:BAACB 6-10:DBBDC 11、12：AC二、填空题1314．4π 15． 16．④⑤三、解答题17．解（I ）由题知517149613=+=⎧⎨=+=⎩a a d a a d ，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21,n a n n N *=-∈.（II ）由（I ）知，()1212n n n a b n -+=-+，…………….6分所以()()()()0121123252212n n s n -⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()()()0112135212222n n -⎡⎤=++++-+++++⎣⎦()()112121212n n n ⨯-+-⎡⎤⎣⎦=+-，从而221n n S n =+-．18．解：（I ）由题a b ⊥，所以sin cos 0a b θθ⋅=+=，从而tan 1θ=-.（II ）因()sin 1,1cos a b θθ+=++，所以()()222sin 11cos ab θθ+=+++,()32sin cos 34πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为22ππθ-<<，所以3444πππθ-<+<，从而(22max31ab +=+=，所以max1a b+=+19．解（I ）由题知()412sin ,sin 513αβα=+=．所以()()()1235416sin sin sin cos cos sin 13513565ββααβααβαα=+-=+-+=⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦．（II ）因为30,cos 25παα<<=，所以4sin 5α=．所以22222432sin 22sin cos 5512cos cos 22cos sin 34255ααααααα⨯⨯===+-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．解：（I ）由条件得22402201600vv v >++，整理得到210016000v v -+<，即()()20800v v --<，解得2080v <<．（II ）由题知，22402402402.4160020160010020v y v v v v ====++++.当且仅当1600=v v即40v =时等号成成立．所以max 2.4y =（千辆/h ）．答：（I ）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/h ，则汽车的平均速度应该大于20/h km 且小于20/h km ．（II ）当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为2.4（千辆/h ）．21．解：（I ）由题意知()1cos 2sin 2sin 21sin 212sin 222222π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=-=-=-x x x x f x x .由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z .所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（II ）由1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得到1sin 2A =，由题知A 为锐角，所以cos A =．由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+.22132bc b c bc +=+≥，则2bc ≤b c =时等号成立．因此1sin 2S bc A ∆=≤所以ABC ∆ 22．解：（I ）由题知，当1n =时，21111122S a a =+，所以11a =．21122n n n S a a =+，所以21111122n n n S a a +++=+，两式相减得到 ()()1110n n n n a a a a +++--=，因为正项数列{}n a ，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =．（II ）由（I ）知n a n =，所以()212,n n b n n N *=-⋅∈，因此()121232212nn T n =⨯+⨯++-⨯①， ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，由①-②得到()232112222222212n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()2112122221212n n n -+-=+⨯--⨯-()16322n n +=-+-⨯所以()16232n n T n +=+-⨯．（III ）由（II ）知()16232n n T n +=+-⨯，所以()146111621n n n n n n c T a a n n +-=-=--+ 11121n n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．令n M 为{}n c 的前n 项和，易得1112n nM n =-+．因为12340,0,0,0c c c c =>>>，当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得到 ()()51515122nn n+⨯+≤<，所以当5n ≥时，0n c <，所以441111412516n M M ≤=-=-+．又11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()21122f x a x x a -=+-的最大值为38a -．因为对任意的n N *∈，存在011,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()n M f x a ≤-成立．所以1135168a -≤-，由此1980．。

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四川省双流中学高一下期期中考试模拟考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第7页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0cos >θ，且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是（A ）一象限（B ）二象限（C ）三象限（D ）四象限 2. 015sin 45cos 15cos 45sin -的值为（A ）23-（B ）21 （C ） 21- （D ） 233.△ABC 中，已知tanA=31，tanB=21，则∠C 等于（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）135° 4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,60,1B A b ︒===，则a 为（A （B ）32 （C ） 1 （D ） 25．若tan()3αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2α= （A ）74（B ）－74 （C ） 21 （D ）－21 6．若函数)sin()(θω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ω和θ的取值是（A ）3,1πθω== （B ）3,1πθω-==（C ）6,21πθω==（D ）6,21πθω-== 7．设)5,4(),,2(),1,(C b B a A 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则b a 与满足的关系式是（A ）354=-b a （B ）345=-b a （C ）4514a b += （D ）1445=+b a 8．设π20<≤x ，且x x x cos sin 2sin 1-=-，则（A ）π≤≤x 0 （B ）474ππ≤≤x （C ）454ππ≤≤x （D ）232ππ≤≤x 9．在△ABC 中，若22222222a c b b c a b a -+-+=，则△ABC 是（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰三角形或直角三角形l 1l 2l 3AC10．已知等比数列{}n a 中，3a ，7a 是方程2890x x -+=的两个根，则5a 等于（A ）3 （B ）3- （C ） 3或3- （D ）11．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB 为（A ）tan sin s θα⋅ （B ）tan sin sin cos s θβαβ⋅（C ）tan sin sin()s θβαβ⋅+ （D ） tan sin sin()s θβαβ⋅-12．如图123,,l l l 是同一平面内的三条平行线，12l l 与间的距离为1，23l l 与间的距离为2，正三角形ABC 的三顶点分别在123,,l l l 上，则△ABC 的边长是（）（A）（B（C（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷的相应位置．．．．．．．．．．．．．． 13. sin15cos15= ．14.已知4π=+B A ，则=++)tan 1)(tan 1(B A15. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=︒，若AC AB =，则BD =______________．16．设α为第四象限角，若sin 313sin 5αα=，则tan 2α=__________________▲ ▲ ▲高一数学答题卷一、选择题答题卡（每小题5分，共60分）二、填空题答题卡（每小题4分，共16分）13._________ 14.________ 15. ________ 16. （Ⅰ）__________（Ⅱ）__________ ；三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）（Ⅰ）化简40sin 140sin 40cos 40sin 212---；（Ⅱ）求证：ααααtan 1tan 12cos 2sin 1-+=+.彩云旅行网-酒店客栈、景点门票、餐饮美食、农家乐、当地特产、旅游目的地，旅游度假，旅游线路，跟团游、游记攻略、旅游资讯、促销信息、旅游目的地、旅行生活、彩云、乡村旅游、周末休闲、周末去哪、交友分享、游记攻略、约伴旅游、拼车一站式快乐旅行，七彩生活。

18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，向量(s i n ,c o s m A A =，(sin ,cos )n B B =-，且满足12m n ⋅=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2,a b c -=，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）已知向量b a ,，满足1||,1||==b a ，||3||b k a b a k -=+，0>k ，（Ⅰ）用k 表示⋅，并求a 与的夹角θ的最大值；（Ⅱ）如果b a //，求实数k 的值。

20.（本小题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；(Ⅲ) 当()1f α=时，求4cos(4)3πα-的值．21.（本小题满分13分）如图,在等腰直角OPQ ∆中,90∠=POQ , OP =点M 在线段PQ 上.（I ）若OM =求PM 的长;（II ）若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.22.（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B,然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量, 1312cos =A ，53cos =C .(1)求索道AB 的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?四川省双流县中学2017届高一下学期期中考试模拟试题数学参考答案及评分意见一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13、2 14、7 15、2+、34- 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）原式sin 40cos 40sin 40cos 40︒-︒=︒-︒……………………………………………3分cos 40sin 40sin 40cos 40︒-︒=︒-︒…………………………………………… 5分1=-…………………………………………………………… 6分（Ⅱ）证明：左222(sin cos )cos sin αααα+=-……………………………………………3分cos sin cos sin αααα+=-……………………………………………… 5分1tan 1tan αα+==-右……………………………………………… 6分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ 1sin sin cos cos 2A B A B -=…………………………………………2分即，1cos cos sin sin 2A B A B -=-…………………………………………3分∴ 1cos()2A B +=-…………………………………………………………4分即，1cos()2C π-=-…………………………………………………………5分∴3C π=………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由2222cos3c a b ab π=+-，得25()a b ab =-+，∴1ab = ………………………………………………………………………………9分 ∴43sin 21==∆C ab S ABC ．……………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）22)(3)(||3||b k a b a k b k a b a k -=+⇒-=+即kk k k k k 4136322222222+=⋅⇒+⋅-=+⋅+∴ ………..3分21)1(41≥+=⋅k k ， ……………………………………………………..5分此时 6021cos max =⇒≥⋅==θθb a ……………………………….7分（2）// ，∴与夹角为0或1801|41|1cos ||||2=+⇒±==⋅kk θ ………………………………………...10分又0>k ，32412±=⇒=+∴k k k ………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+………………………………………………2分112cos 222x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．…………………………………………………… 4分函数()f x 的最小正周期为π，且0ω> ∴2ππ2ω=，∴1ω=．………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．2π03x ≤≤ ∴ππ7π2666x --≤≤∴1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤ ……………………………………………………… 7分∴π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．……………… 9分(Ⅲ) 由()1f α= 得11sin(2)1sin(2)6262ππαα-+=⇒-=2(2)(2)632πππαα-+-=21cos(2)sin(2)362ππαα∴-=-= …………………………………………………11分 2421cos(4)2cos (2)1332ππαα∴-=--=-．…………………………………………12分方法二：直接算出,6k k N παπ∙=+∈或,2k k N παπ∙=+∈,再代入运算21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，OM =OP =由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒，得2430M P M P -+=，解得1MP =或3MP =．（Ⅱ）设POM α∠=，060α︒≤≤︒，在OMP ∆中，由正弦定理，得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+，同理()sin 45,sin 75︒=︒+OP ON α故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，所以当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=︒时，OMN ∆的面积的最小值为8-22．（本小题满分13分解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ，设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ，知：AB ＝52k ＝1040m ．（2）设乙出发x 分钟后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示．则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000，其中0≤x ≤8，当x ＝3537 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝1265 (min)．若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：865 (min) ．此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝125043 m/min ．若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：565 (min) ．此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝62514 m/min ．故乙步行的速度应控制在[125043 ，62514 ]范围内．CB A D MN。