从一道中考题谈起
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。
一道中考题带给我们的教学启示
文 明对 物质 文 明的 巨大 推动 作用 等 。由于答 案 是 多
（） 系 上 述 材 料 ， 用 所 学 知 识 分 析 说 明 我 国 元 的 ，只 要 学 生 能 从 上 述 知 识 点 的 任 何 一 个 角 度 回 １联 运 答， 并能 围绕 人才 问题 的重 要 性加 以适 当的 阐述 ， 都 加 快 人 才培 养 的 重 要 性 。（ ） ９分
维普资讯
‘ 口 ，
Ｉ
所 需要 的 人 才？ （ ３分）
这 是 今年 绍兴 市 中考 的压轴 题 。就 两个 设 问而 言 ， 式 上 似乎 没什 么新 意 ， 却对 今后 的 中考改 革 形 但
碴 垣 由
和 学 科 教 学 起 到 了 积 极 的 导 向 作 用 ：一 是 它 把 教 材 讲 述 的 基 本 知 识 点 和 当 今 社 会 关 注 的 重 点 、热 点 问 题 有 机 地 融 合 在 了 一 起 ， 现 了社 会 、 治 学 科 的 时 体 政 代特 征 ；二是 它既 注重 考查 学 生对知 识 的调 控 和对 信息 的理解 处 理能 力 ， 蕴含 着很 好 的教育 价值 ， 又 体 现 了能力 立意 和教 育价 值 的 “ 密 ” 合 。但是 ， 亲 结 就 是这 样一道 看 似 常规 的题 目， 阅卷结 果上 看 ， 是 从 却 整 份 试 卷 中 得 分 率 最 低 的 一 题 。 抽 样 调 查 ， （） 据 第 １ 问
一
硼 ■＿ 题■ ● － 翟 ● 带 给
Ｉ Ｉ
平均 得分 仅 为 ３７分 ， （） ． 第 ２问平 均 分为 ２５ ．８分 ， 题 整 的难 度值 为 ０５ 。当然 ， 为压轴 题 ， ．２ 作 出题 者 的意 图 或许 是想 在本 题 中体 现较好 的 区分 度 ，达到 为高 一
一道中考试题引发的思考
D
C F
D
第一次翻折
C
D
第二次翻折
C AF
B E
E
120° 120°
E A B A
120°
A
B
图2
A
B
拓展2：如图2，在 ABCD中，∠A=120°，你能通过上 题的启示，用折纸的方法证明“直角三角形斜边中线 等于斜边一半吗？进而证明tan30°= 3 吗？
3
2012.10.31
本题需要我们抓住基本图形的特征，综合运用 轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质进行 探索，猜想。只要我们掌握了此类问题的本质，不 仅能以不变应万变，使问题迎刃而解，而且还能编 拟出一些好的题目，为学生的学习服务。
其次我们要在直角三角形中求出这个角所 对直角边与相临直角边的比值。
D
C F
翻折
全等
相等的边 相等的角
AB EB EAB AEB 45
O'
O
第一次翻折
E 第二次翻折 B
A
AE FE 1 FAE AFE AEB 22.5 2
D
C
而此题条件中没有给出任何边的长度. 但由前面对翻折过程的演示与分析， 我们已经知道AB=EB,AE=FE,
F
E A B
设AB x,则EB x, 由勾股定理得: AE AB 2 BE 2 x2 x2 2x
所以FE=AE=
2x
FB FE EB 2x x 所以tanFAB 2 1 AB AB x
2012.10.31
D
C F
设AB为x, 则EB x，
在RT三角形ABE中，由勾股定理得： AE AB EB x x 2x
让试卷讲评更有效——从一道中考选择题的教学谈起
（） １ 当圆心 ０在线段 ＡＢ 的上 方时 ， 如图 ４ 弧 ， 所对 的圆周角 Ａ Ｂ 一 ３。过 圆心 ０作 ０ Ｐ ０． Ｄ
上 ｚ垂足 为 Ｄ， ｄ＝ Ｏ 因为 Ｄ Ｂ 一 ＱＢ ， 则 Ｄ． Ｃ Ａ
＝
意图： 试卷 讲评 之初 ， 组织 学生通 过讨论 交 流 暴露学生 思维 、 解法 上存 在 的问题或 困惑 ， 即让 学 生 自己提 出问题 ， 为下 一步 的探 究 活动指 明方 向． 【 活动 ２ 启 发引导 ， 索解法 】 探 师： 正像 刚才 这 位 同学 所说 ， 析 、 决 一个 分 解 问题 ， 首先 要 能全 面 分析 、 把握 题 意 ， 找到 解 决 寻 问题 的突破 口， 面我 们 就 先来 剖 析 让 同学 们 感 下 到 困难的条 件“ 在直 线 １ 上取一 点 Ｐ， 使得 ＬＡ Ｂ Ｐ
主要 存在 以下 困难 ：
．
Ａ
图２ ．
Ａ
图 ３
（） １ 读不懂题意， 表现为不能把符号语言转译
为 文字语 言 ；
（） ２ 如图 ３过点 Ａ作直线 ｚ ， 的垂线 ， 垂线 ， ｌ ， ｌ
与直线 ｚ 的交点为符合条件的点 Ｐ，理由略） 至 （ ．
此找到符合条件的点 Ｐ有两个． 师： 这位同学通过构造基本图形 —— 等边三
角形 和 直 角 三角 形 找 到 了两 个 点 Ｐ， 们 对 这位 你 同学 的解 法有话 要说 吗 ？ ‘
生 ２ 这 种解 法是 找 到 了两 个 点 Ｐ， 是 不 能 ： 但
（） ２ 不能有效整合题 中条件所蕴涵 的信息和
把握 题意 ； （） 找到 一 、 ３能 两个 符 合 条件 的点 Ｐ， 不 能 但 肯 定或 否定第 ３ 点 Ｐ 的存在 ； 个
由一道数学中考题引发的反思——浅谈变式教学的重要性
ＯＦ Ｇ的 面积 是 ＡＡＢ Ｃ Ｃ面 积 的 。
解 ：１ （）
＋
。
（） ２ 当Ａ、 Ｅ 点 共 线 时 ， Ｃ Ｃ 的 值 最 小 。 Ｃ、 Ｚ Ａ ＋Ｅ （） 下 图 所 示 ， Ｂ Ｉ ， 点 Ｂ Ａ ３如 作 Ｄ＝ ２ 过 作 Ｂ上Ｂ 过 点 Ｄ作 Ｄ， Ｅ ＿ Ｄ， Ａ ＝ ， Ｄ ３ 连 结 Ａ 交 Ｂ ＤｊＢ 使 Ｂ ２ Ｅ ＝ ， Ｅ Ｄ于 点 Ｃ， Ｅ 长 即 为 代 Ａ 的
联 想 到 建 立 函数 关 系 ，将 题 中 的各 种 已 知 量 用 数 学 符 号 准 确 地 反 映 出其 内在 联 系 。 ４解 决 数 模 ， 顾检 查 。 ． 回 在 建 立 好 数 学 模 型后 ， 要 急 于 解 决 问 题 ， 应 回过 头 来 不 而 重 新 审 题 ， 是 看 看 哪 些 数 据 、 系 还 没 有 用 上 ， 得 是 否 准 一 关 用
五 、 意 事项 注
１要 仔 细 周 密 审 题 ， 免 因 片 面 审 题 ， 知 半 解 ， 速 答 ． 避 一 快
题 带 来 的失 误 。 ２克 服 受 思 维 定 势 的 影 响 ， “ 当然 ” 替 现 实 的 偏 面 ． 用 想 代 意识 。
所ＩＡ ＝ ２ （＋ ）＝ ３即、ｘ ４ Ｖ（２ ｘ‘９ ） Ｅ Ｖ１‘ ３ ２‘ １， ／‘ ＋ １一 ） 的最 ￣ ＋ ＋ ＋
小值 为 １ 。 ３ 四 、 题 方 案 解 通 过 以上 两 例 分 析 可 以 看 出 ， 于这 类 题 的 信 息 很 大 ， 由 是 较 新 的题 型 ， 生 不太 适 应 。 此 ， 学 因 为帮 助 考 生 尽 快 适 应 ， 特 我 归纳 一 般 解 题 步 骤 如 下 。
作 为 一 个 数 学 教 师 ．我 最 近 这 几 年 一 直 担 任 初 三 毕 业 班 的数 学 教 学 ． 参 加 了 ２０ 年 的 中 山市 数 学 中 考 阅 卷 工 作 ， 并 ０９ 分 析 了一 些 考 题 。现 选 取 ２ ０ 年 广 东 中 山市 中考 试 题 第 ２ 题 为 ０９ ０ 例来分析反思 。 ２ ．本 题 满 分９ ） ０（ 分 （ ） 图 １ 圆 内 接 ＡＡ Ｃ中 ， Ｂ Ｂ ＝ Ａ， Ｄ、 Ｅ ０Ｏ的 １如 ， Ｂ Ａ ＝Ｃ Ｃ Ｏ Ｏ 为 半 径 ， Ｄ上Ｂ 于 点 Ｆ Ｏ Ａ Ｏ Ｃ ． ＥＪ Ｃ于 点 Ｇ， 证 ： 影 部 分 四 边 形 ＿ 求 阴
从一道中考题的分析看实践探究的教学
题 的难度． 有部分 学生 没有充 分 利用 （ ） （ ） １ 、 ２ 两问 的结 论， 给后面的解答带来 了麻烦．
语 言转化能力不强． 实践操 作性 问题考查 的一个 重 要 目标是数学语言 的考查． 否将 日常生活或 一般 问题 能 中的普 通语 言转化为严谨的数 学语言 ， 能否将 题 目中的
中学 教学 参考
教学 经纬
从 一 道 中 考 题 的 分 析 看 实 践 探 究 的 教 学
江 苏扬 州 市邗 江 区杨 庙 中学（ ２ １ ５ 丁 国峰 ２ ５２ ）
数学 实践 探索性问题是近 几年 中考 的一个亮 点 ， 它 不但 背景 新颖 、 意巧妙 ， 有利 于考查 学生 的数 学 能 立 还
在 教学 方法上 实现 了多 样化 ； 教育模式 上 ， 在 使个 别化 学 习 和交互 式教 学成 为可能 ； 教育观 念上 ， 在 为教 育 的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
［］ ２ 罗浩 源． 生活 的数 学 ［ ． 海 ： 海远 东 出版 Ｍ］ 上 上
社 ，０ ０ ２０．
Ｅ３ ３ 陈金 瑞． 课 标 改革 中 学 生创 新 思 维 的 培 养 新
教师在 指导学 生时 ， 要站 在学 生 的角度 提 出帮助 ， 设想 的解题计划不 能一 成不 变 ， 应培 养学生 在解题 的过 程 中学会调整计划 ， 练克服障碍的能力 ． 训
３ ．回 顾 反 思
数学语 言转化为具体 的图形 中的数量 关系 ， 些都是 考 这
教师在平时 解题 过程 中要 引导 学生 通过 回顾 所 完
Ｆ是折痕与矩形边 的交点． 预见 点 Ｅ在 Ａ 上 、 Ｆ 可 Ｄ 点 在Ｂ Ｃ上 ； Ｅ在 ＡＢ上 、 Ｆ在 Ｃ 上 ； 点 点 Ｄ Ｆ在 Ｃ处 以及
高瞻远瞩 活水源头——一道中考试题命题感悟
５ ６ ．
思 路 简 要 分 析
１
中。 ７ （１ 第 期・ 中 】 ７ ２０ ７ 初 版 擞－ ０ 年
明， 尸 对 Ｑ≤Ｏ Ｂ同 理 可 证 ）
・ 试题赏 ・ 析
①求证 ： Ｂ ＝Ｐ （ Ｐ Ｑ ； 只对 Ｐ Ｑ＞Ｏ Ｂ的情 况进行 证
（） １直线 彻 解析式 Ｙ ÷ ， ＝一 ＋１抛物线解析式 Ｙ
（ ） ２ 结论 猜测 并可 证 明出 ： ３ 由（ ） 当点 Ｐ在抛 物 线 上运动 时， Ｏ 的 长 度 始 终 等 于 点 Ｐ到 直 线 ｚ的距 离 Ｐ
ＰＭ ；
Ａ
０
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｑ ｊ 图４
Ｄ
ｊ
图５
ＡＰ Ｏ的周 长 ：Ｐ Ｄ Ｏ＋肋 ＋Ｏ Ｄ可 转化 为
＋ Ｄ Ｐ
解 （） １ ｍ＝１
（） ２ 如图 ９ 运用 例 ３中证 明全等 的思路 ， ， 连接 Ｃ Ｄ， 可证 得 ＡＣ Ｅ ＡＢ Ｆ 故 Ｓ 肿 ＝Ｓ 日 形 Ｄ Ｄ ， ａ 口 边 册 ＋Ｓ ： ａ
ｓ 邀 Ｅ８＋ Ｓａｃ￡ Ｓａｃ８＋Ｓ Ｅ 阻 黪ｏＦ Ｄ： Ｄ ｃＦ
转， 它的两边分别交 Ａ Ｃ 或它们的延 长线 ） Ｅ， 当 Ｃ，Ｂ（ 于 ＬＥ Ｆ绕 Ｄ点旋 转 到 Ｄ Ｄ Ｅ上Ａ Ｃ于 Ｅ时 （ 图 ７ ， 证 如 ）易
题后 反思
虽然 图形发 生了变化 ， 但解题 的思路没
有 改变 ， 比例 ３ 我们 可以抓住解题过程 中一直保持不 类 ， 变的全等 ， 以不变应万变．
（ 收稿 日期 ：０ ￣５０ ２１ ３）
思路分析 （ ） 图 ８是 图 ６的一 部 分 ， 用 例 ３ １如 利
中的拓展结论可知 ：
低起点,高立意——从一道中考试题说开去
能．问题起点低 ， 路宽．从 学生作答 的情况来 看 ， 思 在 此问中学生得分情 况很 好 ， 达到 了让学 生充分得 分 的
效果 ， 体现了数学教学必须面 向全体学生的指导思想． 近几年 的武汉市 中考数 学第 ２ ４题 ， 已习惯 了考查 图形 的变换 ， 出的思 想方 法是从 特殊 到一 般．如何 突 让问题从 特殊 到一般 ， 怎样 将问题 一般化 ， 让命 题者颇 费 了一番心思 ： Ｏ 若 Ａ：Ｏ 且 兰 时 ， Ｂ， 则用解法 ２
： ｍ，
所 以Ａ ＝Ａ ＝ Ｄ Ｄ 所 以 ＝ ＝
， Ｆ
／
Ｂ
② 如 图７ 延长 Ａ ， Ｃ到 Ｆ， Ｃ ＝Ａ 连 Ｂ ； 使 Ｆ Ｃ， Ｆ 显然 ，
△Ａ Ｃ △Ｆ Ｃ Ｏ Ｏ Ｂ ， Ａ∥ Ｂ 且 Ｏ ＝Ｂ ； 以 △Ａ Ｄ Ｆ， Ａ Ｆ所 Ｐ
ＡＦ ＰＢ， 以Ａ ＝ 所 Ｄ
低起 点 ， 立 意 离
从 一道 中考试题说 开去
湖北省 武 汉 第三寄 宿 中学
２１ ００年 中考如期 落幕 ， 细研武汉市 中考数 学第 ２ ４
题， 回味无 穷．
４ ０５ ３００
２ Ｐｃ ：
陈祖 华
， 以 ＡＰ ： ２ 所 ，
．
题 目： 已知 ， 线段 ０ 上 Ｏ Ｃ为 Ｏ Ａ Ｂ， Ａ的中点 ， 为 Ｄ Ｏ Ｂ上一点 ， 连结 Ａ Ｃ交 Ｂ Ｄ于 Ｐ；
Ｄ
所 以四边形 Ｐ Ｏ Ｇ Ｈ为平 行 四边形 ； 以 Ｏ ＝ 所 Ｈ
．
ＰＧ ： Ｐ ：２ Ａ Ｐｃ； 以 Ａ ：２ 所 ，Ｐ
Ｂ
Ｃ
０
Ｂ
Ｃ
０ Ｄ
图１
图２
① 如图 ｌ Ｏ Ｉ Ａ＝Ｄ ， Ｄ为 的 中点 ， Ａ Ｂ且 Ｐ的 ，
从一道中考题说起——谈数形结合思想在初中数学教学中的体现
定 的困难 助 可
学 生 理 解 概 念 、 化 对 概 念 的记 忆 ． 用 数 学 结 合 思 想 ， 以 揭 深 利 可 示 概 念 的抽 象 与 具 体 之 间 的 内 在联 系 ，使 学 生 在 表 面 文 字 的 记
忆基础上 ，更能够从具体的图形 中理解概念 的来龙去脉和理解 概念 的本质． 例如我们 在学 习数轴概念时 ， 以通过 日常生活 中 可 的温度计 、 标尺等去理解 ， 该模 型启 发了学生 ， 以用直线 上的 可 点来表示数 ， 这样子就可 以把抽象的概念具 体化．
２． 有助 于学 生 数 学 思 维 能 力 的 发 展 ．
行探讨．
三 、 课 堂上渗 透 数形 结合 思想方 法的 途径 在
１通 过 概 念 教 学渗 透数 学 结 合 思 想 ． ．
二 、 形 结 合 思 想 在 初 中 教 学 中 的 地 位 和 意 义 数
１ 有 助 于 学生 对 数 学 概 念 的 理 解 和认 知 ． ．
学 生 概 念 的掌 握 ， 须 经 历 概 念 的 形成 、 解 和 应用 三个 阶 必 理
初 版中。擞 ’ 中 ？
试 题 赏 析
与函数 （ 比例函数 、 反 一次函数 、 二次函数 ） 相关的数学 问题 以及
和概率相关 的问题． （） １与解直角ｌ角形相关的问题 ． 一 此类 问题一般与三角函数定 义， 日常生活 中的坡度 、 视角等
有关．
圆盘（ ） ２ 被等分成４ 个扇形 ， 小明和小亮利用转 盘做 游戏． 同时转
由一道中考试题引发的思考
我们先介绍费马点知识 【 （ ４ 引用定义、 Ｊ 定理时我 们略作了改动） 以及相关的结论． 定义： 平面内到三角形三个顶点距离之和最
小的点叫三角形的费马点． 定理 １ 如图 ５ ＡＡ ， ＢＣ的所有 内角都小于 １０ ，则 《 点为 △ Ｂ ２。 二 ） Ｃ费马 点的 充要 条件是
考试题都是由课本题 目变化而来． 以， 所 日常教 学应 以课本为主， 深度挖掘课本题 目所反映 的基 本事实， 对一些典型图形进行深入 的研 究． 在习 题教学中， 教师不应该只就题论题、就题解题，
ｆ 人民教育出版社 中学数学室． ２ ） 几何证明选 讲 （ ４ １［ ． 选修 — ）Ｍ］北京： 人民教育出版社， ０７ ２０． ｆ 中华人 民共和国教育部． ３ ］ 普通高中数学课 程标准 （ 实验） ． ［ 北京： Ｍ１ 人民教育出版社， ０３ ２０．
图 ５
定理 ２ 如图 ５ ＡＡ ， ＢＣ的所有 内角都小于 １０ ， 、△ ＢＦ是正三 角形， ２ 。 △Ａ 若 Ｅ与 Ｆ交于 Ｄ点， 点 Ｄ是 △Ａ日 则 的 费马点， 该 点到 △ Ｃ三个顶点距离之和最 小， 且 ＝
Ｆ ＝ Ｏ Ａ ＋ ＯＢ ＋ Ｏ Ｃ ．
图 １
Ｐ为 污水 处理 厂的 位置 ， 由题 知 ＡＣ ＝ １ ＢＤ ＝ ，
２ ＣＤ ＝ ６ 设 ＰＣ ＝ Ｘ ， ， ，由 △ 得 Ａ＇ Ｃ Ｐ∽ ＡＢＤＰ
（） 图 ２ 、Ｊ两 个 化工 厂位 于 一段 直 线 ２如 ， Ｅ ｝
形 河堤 的 同侧 ， 工 厂到 河 堤 的距 离 ＡＣ为 ｌ ｍ， ｋ Ｂ工 厂到 河 堤 的距 离 ＢＤ 为 ２ ｉ ， ｋ 经测 量 河堤 上 ｎ
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关 于 勾 股 定 理 的 证 明 古 代 中 国 和 古 希 腊的两个证明同样十分简洁 ， 十分 精 彩 。 １ 中 国方 法 ． 由 边 长 分 别 为 ａ ｂ ｃ 四个 直 角 三 角 形 ， ，的 构 成 一 正 方 形 ， 图 ， 中ａ ｂ 直 角 边 ，为 如 其 、为 ｃ 斜 边 由 图 ：正 方 形 是 由４ 全 等 的 直 角 三 角 个 形再 加上 中 间 的 那 个 小 正 方 形 组 成 的 。每 个 直 角 三 角 形 的 面
２
便 可 得 如 下 的 式子 ：
Ｃ 。 这 两 条 辅 助 线 后 ． 信 只要 知 道 直 角三 角 形 全 等 判 定 定 Ｆ有 相 理 的 学 生 都 可 以 得 到 Ｒ ＡＡ Ｂ Ｒ △Ｂ Ｃ，所 以 有 Ｅ ＝ Ｆ， ｔ Ｅ ｔ Ｆ Ｂ Ｃ 由 勾 股 定 理 可 以求 得 ：
４ ａ＋ ｂａ。ｃ × ｂ （＿ ） ２ ＝。
化 简 后 便 可得 ： ｂ＝ ａ＋ ｃ。 这 就 是 初 中 几何 教 科 书 中 所 介 绍 的 方 法 。这 个 对 勾 股 定 理进 行证 明 的 方 法 ．据 说 是 三 国时 期 吴 国 的数 学 家 赵 爽所 给 出 的 方法 。 ２ 古 希腊 方 法 ． 直 角 三 角 形 三 边 ＡＢ＝ ＡＣ＝ ｃ， ｂ． ＢＣ ａ 接 在 直 角 三 角 形 三 边 上 画 正 ＝直 方形 ， 图 ： 如 Ａ 容 易 看 出 ， Ｂ △Ａ ” 。 △Ａ Ａ Ａ Ｃ 过 Ｃ向 Ｂ” 垂 线 ， ＡＢ于 Ｃ ． 引 交 交
；
从 一 道 中 考 题 谈 起
张 汉 雷
（ 汀 师 范 大 学 ０ 届 教 育 硕 士研 究 生 ， 江 金 华 浙 ５ 浙 丽 水 市 ２０ 年 数 学 中 考 选 择 题 第 １ 题 。 如 图 ： ０９ ０ 已知 △ＡＢ Ｃ中 ， ￣ＡＢ ９ 。 ＡＢ ＢＣ， Ｃ＝ ０ ， ＝ 三角 形 的 顶 点 在 相 互 平 行 的 三 条 直 线 ｌ， ， 上 ，且 ｌ， 之 。ｌ ｌ ｌ
一
ｒ是 ， 正方彤Ａ ＂ Ｂ 正方形Ａ Ｄ ， Ａ ＂： Ｂ ｃ Ａ＋ 正方形Ｂ ，ｃ ＢＥ ，
２ ２ ２
ｂ
Ｆ
ｌ ａ＋ ｃ 。 ｌ 一ｂ＝
这 里 只 用 到 简 单 的 面 积 关 系 ．不 涉及 三 角 形 和 矩 形 的 面 积 公 式 。这 就 是 希 腊 古 代 数 学 家 欧几 里 得 在其 《 何 原 本 》 几 中
勾 股定 理公 式 也可 以 变形 为 ｂ＋ ｃ， 就 是 － 也
又 ｓ 梯
ｎ ＋ Ｄ ａ ＋ｃ （＋。 Ｓ ＝ Ｉ ａ ２ ２ｃ 计 ｂ ＝ ａ 一 ４ ｂ）
比 较 以 上 二 式 ． 得 ａ＋】 ｃ 。 便 Ｉ 。 ： 这 一 证 明 由 于 用 了梯 形 面 积 公 式 和 三 角 形 面 积 公 式 ， 证 明 相 当 简 洁 。 据 说 这 个 证 明方 法 是 美 国 第 二 十 任 总统 伽 菲 尔 德 证 明 的 。后 来 ， 们 为 了纪 念 他 对 勾 股 定 理 直 观 、 捷 、 人 简 易 懂 、 了的证 明， 把这一 证法称 为勾股定 理的 “ 统 ” 法 。 明 就 总 证 这 在 数 学 史 上 被传 为佳 话 。 上 ． 切 需 要 建 立 和 完 善 决 策 制 度 ， 强 教 育 政 策 执 行 的监 督 迫 加 和管理。 参考文献： ［ ］ 润 清 ． 言 测 试 和 方 法 ［ ． 京 ： 语 教 学 与 研 究 １刘 语 Ｍ］北 外 出版 社 ． ９ ． １ ９１
一
Ａ
△ＡＢ 正 方 形 Ａ Ｄ 底 等 Ａ与 Ｃ Ａ 同 高 ．前 者 面积 为后 者 面 积 的 一半 ， △Ａ Ｃ 矩 形ＡＡ Ｃ Ｃ 同 底 等 高 ， 者 与 ， ” ， 前 的面 积也 是后 者 的 一 半 。 由 ＡＡ Ａ △Ａ ， 正 方形 Ａ Ｄ Ｂ Ａ 知 Ｃ Ａ 的面积 等 于矩形 Ａ ℃ 的面 积 。 同理 可得 正 方形 Ｂ Ｃ的 面积 ℃ ＢＥ 等 于矩 形Ｂ，Ｃ Ｃ 的 面积 。 Ｂ
这 道 选 择 题 是 有 点 难 度 的 ， 要 需 （ １ 第 ０题 ） 学 生 作 相 应 的辅 助 线 ，才 能 理 清 思 路 。 如 下 图 ：过 Ａ， 两 点 作 垂 直 于直 线 ｌ 两 条 辅 助 线 段 Ａ Ｃ 的 Ｅ，
积为÷ａ ； ｂ 中间的小正方形边长为ｂａ则面积为（— ） 于是 —， ｂａ‘ 。
Ａ” Ｃ” Ｂ于
Ａ ： Ｅ＋ Ｅ ： ／‘ ‘ 、 。 Ｂ ＶＡ 。 ‘ 、２＋ ： ／ Ｂ ５
Ａ ： Ｃ ： 俪 ：Ｎ１ ２ ／ ７。
所 以这 道 选 择 题 正确 答 案 为Ａ。 这 道 题 目最 终 得 以 解 决 ，用 到 了直 角 三 角 形 的全 等 的 判 定 ，同 时 运 用 了 两 次 勾 股 定 理 。有 趣 的 是 这 道题本 身还蕴含着 勾股定理证 明 的 种 方 法 ，如 果 将 上 图 中 的 直 角 梯 形 拿 出 来 得 到 如 下 图 形 ：两 个 全 等 直 角 三 角 形 Ｒｔ △ＡＢＣ． ＡＢＥ 两 Ｒｔ Ｆ． （ １ 第 ０题 ） 条 直 角 边 在 同一 条 直 线 上 ． 连 接 顶 点 Ａ， 构 成 一 个 直 角梯 形 。 Ｅ，
的证 法 。
设 直 角 三 角 形 的 三条 边 长 分 别 为 ａ ｂ Ｃ ，，，
显 然ｓ ￣
．
ＡＣＦＥ＝
１ａ ）＋） ａ２ ＋ ） （ ｂ（ｈ ÷（＋ ｂｂ ， ＋ ａ ＝ ａ 一
在 欧几 里得 的 证 明方 法 中 ．以 直角 三 角形 三边 为边作 正 方 形 ， 明直角 边上 两 个正 方形 的面积 和等 于斜 边 上 的即可 。 实 证 其