9-1基本概念汇总

第九章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
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第一节
第九章
多元函数的基本概念
一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念
三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、平面点集 n维空间
1.平面点集
坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P}
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•两点间的距离
Rn中点x(x1 x2 xn)和点y(y1 y2 yn)间的距离 记作(x y) 规定
||x|| 即
( x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 (xn yn )2 Rn中元素x(x1 x2 xn)与零元0之间的距离(x 0)记作
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多元函数的定义域
在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 以使这个 算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自 然定义域 对这类函数 它的定义域不再特别标出
举例 函数zln(xy)的定义域为 {(x y)|xy>0} 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 {(x y)|x2y21}
分别表示上半球面和下半球面 其定义域 均为D{(x y)|x2y2a2}
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zaxbyc
三、多元函数的极限
二重极限的定义 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总存在正数 使得当
P( x, y) D U (P0, ) 时 都有 |f(P)A||f(x y)A|e 成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为
2 2 2 || x || x1 x2 xn
显然
|| x y || (x1 y1)2 (x2 y2 )2 (xn yn )2 ( x, y)
注： 在R1、R2、R3中 通常将||x||记作|x|
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Rn中变元的极限 设x(x1 x2 xn) a(a1 a2 an)Rn 如果 ||xa||0 则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 显然 xa x1a1 x2a2 xnan
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2.n维空间 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集 合记为Rn 即 RnRR R{(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n} •线性运算 设x(x1 x2 xn) y(y1 y2 yn)为Rn中任意两个元 素 R 规定 xy(x1y1 x2y2 xnyn) x(x1 x2 xn) 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间
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二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为 二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面
举例
zaxbyc表示一张平面 方程x2y2z2a2确定两个二元函数
z a2 x2 y 2 和z a2 x2 y 2
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邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
U (P0, ) {P | | PP 0 | } 或 U (P0, ) {( x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 } 点 P0 的去心 邻域 记作 U (P0, ) 即
(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值
则函数的极限不存在 •讨论
xy 2 2 x2 y 2 0 函数 f (x, y) x y 在点(0 0)有无极限？ 2 2 0 x y 0
（见P.8）
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多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 sin( xy) 例 2 例 5 求 lim x ( x, y)(0,2) 解
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2.n维空间 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集 合记为Rn 即 RnRR R{(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n} x(x1 x2 xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 0(0 0 0)称为Rn中的原点或n维零向量

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开集 如果点集E的点都是内点 则称E为开集 闭集 如果点集的余集Ec为开集 则称E为闭集 区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 举例 点集E{(x y)|1<x2y2<2}是开集也是开区域 点集E{(x y)|1x2y22}是闭集也是闭区域 点集E{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集
可见e >0 取 e 则当
0 (x 0)2 ( y 0)2
即 P(x, y) D U (O, ) 时 总有 |f(x y)0|e 所以 lim
( x, y) (0,0)

f (x, y) 0
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必须注意
(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无 限接近于A
P( x, y) D U (P0, ) 时 都有 |f(P)A||f(x y)A|e 成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为
( x, y)( x0 , y0 )

lim
f (x, y) A 或 f(x y)A ((x y)(x 0 y0)) lim f (P) A 或 f(P)A(PP0)
平面点集中各种概念的推广
平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间 中来 例如 设aRn 是某一正数 则n维空间内的点集 U(a ){x| x Rn (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域
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二、多元函数概念
二元函数的定义 设D是R2的一个非空子集 称映射f DR为定义在D上 的二元函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD) 其中D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 •函数值 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值称 为 f 在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y) •值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D} 注： 函数也可以用其它符号 如zz(x y) zg(x y)等
sin( xy) sin( xy) lim lim y x xy ( x, y)(0,2) ( x, y)(0,2) sin( xy) lim y 1 2 2 xy (x, y)(0,2) ( x, y)(0,2) lim
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四、多元函数的连续性
二元函数连续性定义 设二元函数f(P)f (x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚 点 且P0D 如果 lim f ( x, y) f ( x , y ) 则称函数f (x y)在点P0(x0 y0)连续
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有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集
举例 点集{(x y)|1x2y24}是有界闭区域 点集{(x y)| xy1}是无界开区域 点集{(x y)| xy1}是无界闭区域
•外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 •边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边点

外点

边界点

内点
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
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二、多元函数概念
二元函数的定义 设D是R2的一个非空子集 称映射f DR为定义在D上 的二元函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD) 其中D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 n元函数 把上述定义中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射f DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为 uf(x1 x2 xn) (x1 x2 xn)D 或uf(x) x(x1 x2 xn)D 或uf(P) P(x1 x2 xn)D
也记作
P P0
二重极限概念可以推广到多元函数的极限
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例1 例 4 设 f (x, y) (x2 y 2 ) sin 证明 因为
1 求证 lim f (x, y) 0 2 2 ( x, y)(0,0) x y
1 0 | x2 y 2 x2 y 2
| f (x, y) 0 || (x2 y 2 ) sin
提示： 集合R2RR{(x y)|x yR}表示坐标平面
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一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集 合是 C{(x y)| x2y2<r2} 或C{P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离

U (P 0, ) {P | 0 | P 0 P | }
注： 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个
邻域 点P0的某个去心邻域记作U (P0 )

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点与点集之间的关系 任意一点 PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种 关系中的一种
•内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点
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聚点
如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U (P, ) 内总 有E中的点 则称P是E的聚点