八年级上册数学勾股定理
八年级上册数学 第一章 勾股定理基本题型总结(经典全面)
CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。
（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。
例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。
技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。
例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。
例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ， （1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。
探索勾股定理(19张PPT)数学八年级上册
1637年，路易十四命令巴黎学院组织了一场盛大的比赛，将法国的贵族们集结起来解决了这道难题，当时获胜的人可以得到很丰厚的奖品。
有关于勾股定理的趣味历史
勾股定理的介绍
目录
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
用勾股定理解决实际问题
勾股定理的跨学科
勾股定理的验证推导
什么是勾股定理
什么是勾股定理
有关于勾股定理的趣味历史
有关于勾股定理的趣味历史
据说在古埃及文明中，他们建造金字塔时使用了“几何法则”来确定石块之间的距离和角度。这个神秘的几何法则据说与古代建筑物的外形有关系，可能就是指勾股定理。
折叠毕达哥拉斯定律
勾股定理的验证推导
任何一个学过代数或几何的人，都会听到毕达哥拉斯定理．这一著名的定理，在许多数学分支、建筑以及测量等方面，有着广泛的应用．古埃及人用他们对这个定理的知识来构造直角．他们把绳子按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳子拉直形成一个三角形．他们知道所得三角形最大边所对的角总是一个直角。毕达哥拉斯定理；给定一个直角三角形，则该直角三角形斜边的平方，等于同一直角三角形两直角边平方的和。反过来也是对的；如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。
在语文课堂上的应用
在科学实验中的应用
用勾股定理解决实际问题
物理学中的应用
勾股定理在物理学中被广泛运用，可以用于建筑结构分析、机械设计以及其他类似问题的解决，同时也是桥梁设计的重要理论基础之一。
有不少现代的编程语言内置了计算器功能，提供了简便易用的库支持。而且在算法领域也能看到它的踪影，如分治算法、动态规划算法等
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
数学八年级上册勾股定理
数学八年级上册勾股定理一、勾股定理的内容1. 定理表述- 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c满足3^2+4^2=c^2，即9 + 16=c^2，c^2=25，所以c = 5。
2. 定理的证明- 赵爽弦图证明法- 赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。
- 设直角三角形的两条直角边分别为a、b（b>a），斜边为c。
大正方形的面积可以表示为c^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积。
- 四个直角三角形的面积为4×(1)/(2)ab = 2ab，中间小正方形的边长为b - a，其面积为(b - a)^2=b^2-2ab+a^2。
- 所以c^2=a^2+b^2。
- 毕达哥拉斯证法（拼图法）- 用四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）拼成一个以a + b为边长的正方形。
- 这个大正方形的面积为(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，同时它又等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即4×(1)/(2)ab+c^2=2ab +c^2。
- 所以a^2+b^2=c^2。
二、勾股定理的应用1. 已知直角三角形的两边求第三边- 当已知两条直角边求斜边时，直接使用c=√(a^2)+b^{2}。
例如，直角边a = 6，b = 8，则c=√(6^2)+8^{2}=√(36 + 64)=√(100)=10。
- 当已知一条直角边和斜边求另一条直角边时，使用a=√(c^2)-b^{2}（设c为斜边，b为已知直角边）。
例如，斜边c = 13，一条直角边b = 5，则a=√(13^2)-5^{2}=√(169 - 25)=√(144)=12。
2. 解决实际问题中的直角三角形问题- 例如，在一个长方形中，已知长为8米，宽为6米，求对角线的长度。
冀教版八年级数学上册17.勾股定理课件
形三边之间的关系称为勾股定理 .
B
弦
如果直角三角形两条直角边分别为a，b，
斜边为c，那么2 + 2 = 2
A
勾
C
股
知识讲授
几何语言：
B
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
c
a
C
a2 + b2 = c 2
你根据此图，利用它们之间的面积关系推
导出:
a2 b 2 c2
证明： ∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
1
2
2
c 4 ab b a a 2 b2 .
2
a
c
b
b-a
赵爽弦图
知识讲授
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图，
2
平方厘米.
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP+SQ=SR
（图中每一格代表一平方厘米）
问题3
如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°
（1）以AC为边长的正方形的面积为
（2）以BC为边长的正方形的面积为
（3）以AB为边长的正方形的面积为
2
2
2
猜测一下：上面三个正方形的面积之间有
什么关系？
利用它们之间的面积关系推导出: a 2 b 2 c 2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
1
=4× ab+c2
八年级勾股定理的知识点
八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。
勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。
以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。
一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。
即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。
这个公式是勾股定理的基本表达形式。
二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。
在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。
2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。
我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。
例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。
例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。
我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。
八年级上册数学公式法
八年级上册数学公式法
1.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
公式：$a^2 + b^2 = c^2$
其中，$a$ 和 $b$ 是直角三角形的两条直角边，$c$ 是斜边。
2.平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
用于计算两个数的平方差。
3.完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和$(a-b)^2 = a^2 -
2ab + b^2$
用于计算一个数的平方，加上或减去两倍的该数与另一数的乘积，再加或减另一数的平方。
4.二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (其中$a
\geq 0, b \geq 0$)
用于计算两个非负数的平方根的乘积。
5.二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (其
中 $a \geq 0, b > 0$)
用于计算一个非负数的平方根除以另一个非负数的平方根。
6.分式的乘法法则：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
用于计算两个分式的乘积。
7.分式的除法法则：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times
\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$
用于计算一个分式除以另一个分式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级上册数学勾股定理
关于八年级上册数学的勾股定理的内容，主要包括以下几个方面：- 勾股定理的定义：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²。
- 勾股定理的证明：有多种方法可以证明勾股定理，例如使用相似三角形、代数运算、几何图形等。
其中最著名的一种证明方法是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，利用两个相同的直角三角形组成的正方形和一个大正方形的面积关系来推导勾股定理。
- 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个定理是勾股定理的逆命题，也可以用类似的方法证明。
- 勾股定理的应用：勾股定理在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如可以用勾股定理计算直角三角形的斜边长度、判断三
角形是否为直角三角形、求解空间中两点之间的距离等。
勾股定理也是许多其他数学定理和公式的基础，例如欧几里得距离公式、勾股数、毕达哥拉斯三元组等。
勾股定理的历史背景是非常悠久和丰富的，它涉及了不同文明和时代的数学家和几何学家的发现和证明。
根据我从网络上搜索到的信息，我可以给你简要地介绍一下：
- 勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用公式表示为：a²+b²=c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
- 勾股定理最早的发现可以追溯到公元前约3000年的古巴比伦人，他们在泥板上记录了一些满足勾股定理的正整数组，即勾股数。
古埃及人也在纸莎草上记载了一组勾股数（3，4，5）。
- 在中国，公元前11世纪的周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”的勾股数。
《周髀算经》中也有勾股定理的记载，称为“陈子定理”。
东汉末年的赵爽对《周髀算经》中的勾股定理作出了
详细的注释和证明，画出了著名的“勾股圆方图”。
魏晋时期的刘徽也利用“割补术”证明了勾股定理，并反复利用它求圆周率。
- 在希腊，公元前6世纪的数学家兼哲学家毕达哥拉斯被认为是第一个证明了勾股定理的人，因此西方人习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
但是，毕达哥拉斯的证明没有流传下来，最早的书面证明是欧几里德在公元前4世纪的《几何原本》中给出的。
- 勾股定理的证明方法非常多，有人统计过有400多种。
其中最著名的一种是毕达哥拉斯学派提出的，利用两个相同的直角三角形组成的正方形和一个大正方形的面积关系来推导勾股定理。
另一种常见的方法是利用相似三角形的性质来证明。