人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习1.4.1~1.4.2全称量词、存在量词
2018-2019学年高中数学(人教A版)选修2-1练习：1.4.1全称量词1.4.2存在量词Word版含解析
[学生用书P95(单独成册)])[A基础达标]1．特称命题“存在实数x0，使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．以上都不正确解析：选C．特称命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C．2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D．A中的命题是全称命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D．3．已知命题p：∀x∈R，2x2－2x＋1≤0，命题q：∃x∈R，sin x＋cos x＝2，则下列判断正确的是()①“p且q”是真命题；②“p或q”是真命题；③q是假命题；④“非p”是真命题．A．①④B．②③C．③④D．②④解析：选D．由题意，知p假q真，故②④正确，选D．4．已知命题p：∃x0∈R，x20＋1＜2x0；命题q：不等式x2－2x－1＞0恒成立，那么() A．“﹁p”是假命题B．q是真命题C．“p∨q”是假命题D．“p∧q”是真命题解析：选C．根据基本不等式，x2＋1≥2x，所以命题p是假命题．因为当x＝0时，x2－2x－1＝－1＜0，所以命题q是假命题．所以﹁p 是真命题，“p ∨q ”是假命题，“p ∧q ”是假命题；所以C 正确． 5．给出下列四个命题： ①对任意的x ∈R ，x 2＞0； ②存在x 0∈R ，使得x 20≤x 0成立；③对于集合M ，N ，若x ∈M ∩N ，则x ∈M 且x ∈N ； ④存在α0，β0∈R ，使tan(α0＋β0)＝tan α0＋tan β0． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ．对于①，存在x ＝0，使得x 2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成特称命题为________________________________________________________________________．解析：特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为“∃x 0∈M ，p (x 0)”． 答案：∃x 0＜0，(1＋x 0)(1－9x 0)2＞07．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1．答案：1 8．下列命题：①存在x 0<0，x 20－2x 0－3＝0； ②对于一切实数x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b m ＝3m ，对于任意n ，m ∈N *，a n ≠b m ． 其中，所有真命题的序号为________． 解析：因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或3，所以存在x 0＝－1<0，使x 20－2x 0－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③当n ＝3，m ＝2时，a 3＝b 2，故③为假命题． 答案：①②9．指出下列命题中的量词，并判断真假． (1)空间中所有的四边形都共面；(2)任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数； (3)有的函数是非奇非偶函数． 解：(1)量词为“所有的”．是假命题． (2)量词为“任意”．是真命题． (3)量词为“有的”．是真命题．10．若命题“∃a 0∈[1，3]，使a 0x 2＋(a 0－2)x －2＞0”是真命题，求实数x 的取值范围． 解：令f (a 0)＝a 0x 2＋(a 0－2)x －2＝(x 2＋x )a 0－2x －2，则f (a 0)是关于a 0的一次函数，由题意得，(x 2＋x )－2x －2＞0或(x 2＋x )·3－2x －2＞0．即x 2－x －2＞0或3x 2＋x －2＞0， 解得x ＜－1或x ＞23．[B 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫13x，命题q ：∃x ∈N *，2x ＋21－x＝22，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )解析：选C ．因为y ＝x n (n 为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又12>13，所以∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫13x成立，p 为真命题；因为2x >0，21－x >0，所以2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时等号成立．因为x ＝12∉N *，所以q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题．12．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C ．当该命题是真命题时，只需a ≥(x 2)max ，x ∈[1，2]．又y ＝x 2在[1，2]上的最大值是4，所以a ≥4．因为a ≥4⇒/a ≥5，a ≥5⇒a ≥4，故选C ．13．已知函数f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，若命题“对于函数f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立”为真命题，求实数x 的取值范围．解：易知f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3．由题意，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4＝(x －2)m ＋(x －2)2，则g (m )>0对任意的m ∈⎣⎡⎦⎤12，3恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫12>0g （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12（x －2）＋（x －2）2>03（x －2）＋（x －2）2>0，解得x <－1或x >2．故实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．14．(选做题)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)在(0，4)上存在实数x 0，使得f (x 0)＋6＝ax 0成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2．又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2．(2)令y ＝0，则f (x ＋y )－f (y )＝f (x )－f (0)＝f (x )＋2＝(x ＋2×0＋1)x ＝x 2＋x ，所以f (x )＋6＝x 2＋x ＋4．所以要在(0，4)上存在x 0使f (x 0)＋6＝ax 0成立，只需在(0，4)上存在x 0使a ＝f （x 0）＋6x 0＝x 20＋x 0＋4x 0＝x 0＋4x 0＋1．而x 0＋4x 0＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当x ＝2时成立．故所求a 的取值范围为a ≥5．。
高中数学选修2-1课时作业12：1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词
1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词一、基础达标1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4[答案] C[解析] 命题①②④都是全称命题.2.下列命题中的假命题是( )A.∃x ∈R ，lg x ＝0B.∃x ∈R ，tan x ＝1C.∀x ∈R ，x 3>0D.∀x ∈R,2x >0 [答案] C[解析] 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x ＞0，正确.3.下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A.0B.1C.2D.3[答案] B[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.4.下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A.1B.2C.3D.4[答案] C[解析] ①②③为真命题.5.给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3[答案] B[解析] ①中，当x ＝0时，x 4＝x 2，故为假命题；②中，当α＝k π(k ∈Z )时，sin3α＝3sin α成立；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋a ≥0，显然为假命题，故选B.6.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB.存在实数x 0，使sin x 0＝π2C.对一切α，sin(180°－α)＝sin αD.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[答案] A[解析] 只有A 、B 两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题.又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题.7.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在实数x0，使得1x20－x0＋1＝2.解(1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题.(3)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1x20－x0＋1＝2”，是假命题.二、能力提升8.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是.[答案]①②④[解析]①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.9.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是.[答案](－∞，3][解析]对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.10.下面四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为.[答案]0[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.11.已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围.解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，即a ≤－2或a ＝1.∴实数a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ＝1}.12.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围.解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x ).若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).三、探究与创新13.若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围. 解 (1)当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒相交，所以a ∈R ；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1].。
人教新课标A版高二数学《选修2-1》1.4.1 全称量词-1.4.2 存在量词
(1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； 垂直于同一条直线 (3)有些整数只有两个正因数. 的两个平面平行 【答案】
(1)假命题； (2)假命题； (3)真命题.
跟踪训练
【答案】 (1)真命题； (2)真命题；(3)真命题.
【答案】 (1)真命题；(2)假命题；(3)假命题.
知识点二：存在量词
下列语句是命题吗？ (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？ (1)2x+1=3；
不是命题
(2)x能被2和3整除； 不是命题 (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； 是命题 (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除.
是命题
知识点二：存在量词
常见的存在量词 还有“有些” “有一个” “对某个” “有的”等 .
存在量词、特称命题定义：
含有存在量词的命题，叫做特称命题.
知识点二：存在量词
特称命题符号记法： 通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，
变量x的取值范围用M表
第一章 常用逻辑用语
§1.4.1 全称量词 §1.4.2 存在量词
引入课题：量词
古诗填空 两（个 ）黄鹂鸣翠柳，一（ 行）白鹭上青天. 春色满园关不住，一（ 枝）红杏出墙来. 春种一（ 粒）粟，秋收万（ 颗）子. 量词通常用来表示人、事物或动作的数量单位的词. 数学中有哪些常见的量词形式呢？
知识点一：全称量词
归纳小结
判断一个命题是全称命题还是特称命题， 关键是看命题中是否含有全称量词或 特称量词．有些全称命题在文字叙述上省略了 全称量词，在判断是否为全称命题时要注意．
2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1配套练习：1-4全称量词与存在量词1-4-1、1-4-2 含解析 精品
第一章 1.4 1.4.1 1.4.2A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为导学号 21324263( C )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是导学号 21324264( A ) A ．存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β[解析] 选项A ，B 为特称命题，故排除C 、D ．因π2>1，则不存在实数x 0，使sin x 0＝π2，故排除B ，故选A ．3．(2017·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是导学号 21324265( B ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2[解析] 当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以命题“∀x ∈N *，(x －1)2>0”为假命题，故选B ．4．命题p ：∃x 0∈N ，x 30，<x 20；命题q ：∀a ∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2,0)．则导学号 21324266( A )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真[解析] x 30－x 20＝x 20(x 0－1)≥0(x 0∈N )，∴不存在x 0∈N ，使得x 30<x 20，故命题p 为假命题，命题q 为真命题，故选A ．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋a <0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是导学号 21324267( A )A ．[0,4]B ．(0,4)C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)[解析] 假设p 为真，x 2＋ax 0＋a <0，∃x 0∈R . Δ＝a 2－4a >0 即a >4或a <0 ∵p 为假，∴0≤a ≤4 ∴实数a 的取值范围[0,4]． 二、填空题6．下列特称命题是真命题的序号是_①③④__.导学号 21324268 ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身．[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.7．(2017·无锡高二检测)若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是_ (－导学号 21324269 [解析] 0<a 2－1<1，∴1<a 2<2 ∴－2<a <－1或1<a < 2∴实数a 的取值范围(－2，－1)∪(1，2)． 三、解答题8．判断下列命题的真假：导学号 21324270 (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (3)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.[解析] 命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题． 命题(2)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题． 命题(3)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1>0，故该命题为假命题． 9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.导学号 21324271(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.[解析] (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2x ＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．B 级 素养提升一、选择题1．下列命题中，真命题是导学号 21324272( C ) A ．∀x ∈R ，x 2≥xB ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0D ．命题“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”的逆否命题[解析] ∵x 2－x ≥0的解为x ≤0或x ≥1，∴存在x 0∈{x |x ≤0或x ≥1}，使x 20≥x 0，故C 为真命题．2．(2017·长沙高二检测)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 1满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是导学号 21324273( C )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (x 1)B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (x 1)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 1)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)[解析] a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为开口向上的二次函数，∴f (x )min ＝f (－b 2a )即∀x ∈R ，f (x )≥f (－b2a )＝f (x 1)∴C 为假命题．3．下列四个命题中，真命题是导学号 21324274( B ) A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2B ．∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2C ．∃x 0∈R ，|x 0＋1|<0D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0[解析] A 中当x ≤0时不成立．C 中|x 0＋1|≥0，D 中|x ＋1|≥0恒成立，故选B ．4．下列特称命题中，是假命题的是导学号 21324275( C )A ．∃x 0∈Z ，x 20－2x 0－3＝0B ．至少有一个x 0∈Z ，使x 0能同时被2和3整除C ．有的直线不存在倾斜角D ．某些直线不存在斜率 [解析] 所有直线都存在倾斜角．5．(2017·安徽安庆高二检测)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是导学号 21324276( C )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5[解析] x 2－a ≤0，∀x ∈[1,2]恒成立， 则a ≥x 2在x ∈[1,2]恒成立 令g (x )＝x 2，g (x )max ＝4 ∴a ≥4a ≥5⇒a ≥4且a ≥4⇒/ a ≥5∴a ≥5是一个充分不必要条件，故选C ．6．(2017·安徽黄山期末)下列命题中正确的是导学号 21324277( C ) A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．若直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，则a ＝1C ．若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是a <－1或a >3D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ”≠2，则x 2－3x ＋2≠0[解析] 对选项A 中，p ∨q 为真命题，则p ，q 至少有一真，所以p ∧q 可能为假命题，故A 错；对选项B 中，当a ＝－1时，两直线也平行，故B 错，对选项D 的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0.”故选C ．二、填空题7．(2015·山东理，12)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_1__.导学号 21324278[解析] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥f (x )max ，其中f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]．∵函数f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]的最大值为1，∴m ≥1，即m 的最小值为1.8．(2017·天津高二检测)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x 0∈(－∞，－4)，f (x 0)g (x 0)<0，则m 的取值范围是_(－4，－2)__.导学号 21324279[解析] 对于①，∵g (x )＝2x －2，当x <1时，g (x )<0，又∵∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， ∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0在x ≥1上恒成立 ⎩⎪⎨⎪⎧m <0－m －3<12m <1⇒－4<m <0 对于②∃x ∈(－∞，4)，f (x )g (x )<0∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)>0在x ∈(－∞，4)有成立的可能 (ⅰ)当－1<m <0时，－m －3<－4不成立； (ⅱ)当m ＝－1时，－2>－4不成立；(ⅲ)当－4<m <－1时2m <－4，∴m <－2成立， 综上可知①②成立时－4<m <－2. 三、解答题9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假.导学号 21324280 (1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立．(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解． (3)一定有整数x 0，y 0，使得3x 0－2y 0＝10成立． (4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．[解析] (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题． (2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题． (3)∃x 0，y 0∈Z,3x 0－2y 0＝10；真命题． (4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．10．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围.导学号 21324281[解析] 由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立．所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 真q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2⇒a ＝1或a ≤－2，综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.C 级 能力拔高函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )＝f (y )＋(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.导学号 21324282(1)求f (0)的值．(2)当f (x )＋2<log a x ，x ∈(0，12)恒成立时，求a 的取值范围．[解析] (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)·x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2. 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)·x .因为x ∈(0，12)，所以f (x )＋2∈(0，34)，要使x ∈(0，12)时f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不可能，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围是[344，1)．。
1.4.1-1.4.2 全称量词、存在量词(课时测试)-2016-2017学年高二数学上册(选修2-1)(原卷版)
1.4.1~1.4.2全称量词、存在量词班级：姓名：_____________一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2D．32．对给出的下列命题：①∀x∈R，－x2<0；②∃x∈Q，x2＝5；③∃x∈R，x2－x－1＝0；④若p：∀x ∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2<1.其中是真命题的是()A．①③B．②④C．②③D．③④3．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a、b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数5．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤06．已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0二、填空题7．下列特称命题是真命题的序号是__________________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使x20＋x0＋1<0；③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__________________．9．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__________________．10．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________________． 三、解答题11．判断下列命题的真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |；(3)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.12．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．。
高中数学人教A版选修2-1练习课件：1-4-1、2 全称量词 存在量词
(2)存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着特称 命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x) 成立，则特称命题为真命题．若不存在，则为假命题．
1. 全称命题中一定含有全称量词吗？ 提示：不一定，有些全称命题在文字叙述上省略了全称量 词，如“三角形的内角和等于180°.”
[思路分析] 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时， 要结合命题的具体意义进行判断．
[完美作答] (1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于 360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故为全称命题． (4)含有存在量词“有些”，故为特称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命 题．
1.全称命题与特称命题的构成形式 判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键是看命题 中是否含有全称量词或存在量词，并熟悉以下表述方法
注意：有些全称命题文字叙述中会省略全称量词，如“等 腰三角形两底角相等”，另外全称命题和特称命题也可能包含 多个变数．
如∀x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)>0.
(4)当直线的倾斜角等于 90°时不存在斜率，故所有的直线 都有斜率是假命题．
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的 每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要 能举出集合 M 中的一个 x＝x0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通 常所说的“举出一个反例”)．
(2)判断特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的真假性的关键是探究 集合 M 中 x0 的存在性．若找到一个元素 x0∈M，使 p(x0)成立， 则该命题是真命题；若不存在 x0∈M，使 p(x0)成立，则该命题是 假命题．
高中数学新课标人教A版选修2-1：1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 课件
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为：
x0 M ，p(x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
第十三页，编辑于星期一：点 十五分。
判断特称命题真假
要判定特称命题 “ x0∈M, p(x0)”是
真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使 p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x) 成立的元素x不存在，则特称命题是假命题.
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.
解:(1)∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根．
当m＝－1时，方程无实根，是假命题．
(2)∃x∈R，使x2＋x＋4≤0. x2＋x&所以为假命题.
（x+ 1）2 15 24
第二十二页，编辑于星期一：点 十五分。
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,
解：（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.
第十六页，编辑于星期一：点 十五分。
1．下列命题中是特称命题的是( B ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行
D．矩形的任一组对边都不相等
第十七页，编辑于星期一：点 十五分。
2．下列全称命题中真命题的个数为( )C
x M ，p(x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
第七页，编辑于星期一：点 十五分。
判断全称命题真假
要判定全称命题“ x∈M,p(x) ”是真命题，
需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立； 如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不 成立，那么这个全称命题就是假命题.
第八页，编辑于星期一：点 十五分。
(2)2x+1是整数；
人教A版高中数学高二版选修2-1练习 1.4-1.4.2存在量词
第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数解析：D 选项是特称命题．答案：D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x＞2 解析：A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题． 答案：B3．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，2x －1＞0B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案：B4．下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝ 3B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋1⇒f (x )C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0D ．∀x ∈(x ，π)，sin x ＞cos x解析：A.sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2.所以排除A. B ．令f (x )＝e x －x －1， f ′(x )＝e x －1＞0对于x ∈(0，＋∞)恒成立．所以f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＞f (0)＝0恒成立．故B 正确．C ．x ∈(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫23x 0＞1，所以2x 0＞3x 0，故C 错．D ．x ＝π4时，sin x ＝cos x ．故D 错． 答案：C5．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜1B ．a ≤1C ．－1＜a ＜1D ．－1＜a ≤1 答案：A二、填空题6．若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”为真命题，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x 在[0，1]上为增函数，所以1≤y ≤e ，若p 为真，则a ≥(e x )max ＝e.答案：[e ，＋∞)7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x ＞0；④对于任意实数x ，2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案：②③8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有： 0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，⇔ －2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)三、解答题9．若方程cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解：因为cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0，所以a ＝2 sin 2x －1－2sin x ＝2()sin 2x －sin x －1，所以a ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －122－32. 又－1≤sin x ≤1，所以－32≤2⎝⎛⎭⎫sin x －122－32≤3. 故当－32≤a ≤3时， 方程cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0有实数解，所以，所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3 10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1，2]时恒成立，所以a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.所以a ≤－2或a ≥1.又p ∧q 为真，故p 、q 都为真， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ＝1，所以a ≤－2或a ＝1.B 级 能力提升1．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：A2．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)3．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.4 全称量词与存在量词
1．4.1 全称量词
1．4.2 存在量词
一、基础过关
1．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称命题的个数是
( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4 2．下列命题中，真命题是
( ) A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数
3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在
实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是
( )
A ．四个命题都是真命题
B ．①②是全称命题
C ．②③是特称命题
D ．四个命题中有两个假命题
4．下列全称命题中真命题的个数为
( ) ①负数没有对数；
②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；
③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；
④∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14
<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列判断正确的是 ( )
A ．p 是真命题
B ．q 是假命题
C ．綈p 是假命题
D ．綈q 是假命题
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是
( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α
B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2
C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
7．下列4个命题：
p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ；
p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13
x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12
x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13
x . 其中的真命题是________．
二、能力提升
8．给出下列四个命题：
①a ⊥b ⇔a·b ＝0；②矩形都不是梯形；
③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.
其中全称命题是________．
9．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1
＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．
10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；
(4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1
＝2. 11.已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题
“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
三、探究与拓展
13．若方程cos 2x＋2sin x＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．
答案
1．C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A
7．p 2，p 4 8.①②④
9．0
10．解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题．
(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1
＝2”，是假命题． 11．解 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，
当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.
∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，
即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，
∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.
∴a ≤－2或a ≥1.
又p ∧q 为真，故p 、q 都为真，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，
a ≤－2或a ≥1，
∴a ≤－2或a ＝1.
12．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使
m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.
(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )．
若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .
又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.
故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．
13．解 ∵cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0，
∴a ＝2sin 2x －1－2sin x
＝2(sin 2x －sin x )－1,
∴a ＝2⎝
⎛⎭⎫sin x －122－32. 又－1≤sin x ≤1，
∴－32≤2⎝
⎛⎭⎫sin x －122－32≤3. 故当－32
≤a ≤3时，方程a ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －122－32有实数解， 所以，所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－32，3.。