矩母函数PPT
特征函数和矩母函数概要
P ( s) pk s pk s
k k k 0 k 0
n
k n 1
p s
k
k
, n n! pn
k n 1
k (k 1)(k n 1) p s
令s 0, 则P ( n ) (0) n! pn 故pn P
k 0 l 0
P{ N l} P{Y k}s
l 0 k 0
k
l k P{N l} P X j k s l 0 k 0 j 1
k P{N l} P{ X j k}s l 0 j 1 k 0
k 0 k 0
PZ ( s) ck s k
k 0
PX ( s ) PY ( s ) pk s
k 0
k
q s
l 0 l
l
k ,l 0
p qs
k l r
k l
r pk q r k s r 0 k 0
r
c r s PZ ( s )
4. 母函数
定义：设X是非负整数值随机变量，分布律
P{X=k}=pk，k=0,1, 则称
P ( s) E ( s ) pk s
X k 0
k
为X的母函数。
性质： (1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母 函数P(s)唯一确定 (k ) P (0) pk , k 0,1,2, k! (2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- [P(1)]2
概率统计：矩母函数
矩母函数与特征函数在计算随机变量的数字特征和概率分 布起很大的作用,它们使许多繁难的问题得到简化和解决,是证 明概率论中的许多理论问题的有力的工具.
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
5
矩母函数(5)
3) 设U ,V 独立，U ~ B(m, p),V ~ B(n, p),W U V .则 MU (t) ( pet q)m , MV (t) ( pet q)n,
MW (t) MU (t)MV (t) ( pet q)m ( pet q)n ( pet q)mn. 故W ~ B(m n, p).
6
例 5.2 设 X ~ ( , ),则
矩母函数(6)
1) M X (t)
etx x 1e xdx 0 ( )
x 1e( t)xdx. 0 ( )
xu /( t)
(
t) ( )
0
u
1eu
du
t
a
.
2)
M
X
(t)
t
a1,
M
X
(t
)
(
2
1)
t
a2
2
2) M X (t) tet2 / 2, M X (t) t 2et2 / 2 et2 / 2 ,
EX M X (0) 0, EX 2 M X (0) 1, DX EX 2 (EX )2 1.
9
矩母函数(9)
3) M X (t) et2 / 2
(t2 / 2)k k0 k !
MY (t) et M X (t). 证 MY (t) EetY Eet( X ) et Ee(t ) X et M X (t).
特征函数与矩母函数
特征函数和矩母函数
特征函数和矩母函数是概率论和数理统计中常用的概念。
特征函数是一个随机变量的唯一标识函数，它以复数形式表示。
对于一个随机变量X，其特征函数定义为：
φ(t) = E(e^(itX))
其中，φ(t)是X的特征函数，t是一个实数变量，i是虚数单位，E是数学期望操作。
特征函数的主要作用是描述随机变量X的概率分布以及其性质。
通过特征函数，可以推导出随机变量的各阶矩、特征值、协方差等统计量。
矩母函数（也称为矩生成函数）是随机变量X的矩序列所组成的函数。
对于一个随机变量X，其矩母函数定义为：
M(t) = E(e^(tX))
其中，M(t)是X的矩母函数，t是一个实数变量，E是数学期望操作。
矩母函数可以用于计算随机变量的各阶矩，包括均值、方差、偏度、峰度等。
通过矩母函数，可以推导出随机变量的统计性质，并进行概率分布的分析和比较。
总结起来，特征函数用于描述随机变量的概率分布形态，而矩母函数则用于计算随机变量的各阶矩及统计性质。
它们都是在概率论和数理统计中广泛应用的工具。
常见分布的矩母函数
常见分布的矩母函数为了更好地理解概率统计学中的常见分布，我们需要先了解矩和矩母函数的概念。
在统计学中，矩是数据分布的一个特征，它能够描述数据的中心位置和离散程度。
矩母函数是矩的生成函数，它能够表示矩的所有信息。
在本文中，我们将介绍四种常见分布的矩母函数：正态分布、泊松分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是一种常见的连续型分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，许多随机现象都可以用正态分布来描述，因为它服从中心极限定理。
正态分布的概率密度函数是：$$f(x)={1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\exp \{-{1\over2}[(x-\mu )/\sigma]^{2}\},\quad-\infty <x<+\infty$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是方差。
正态分布的矩母函数是：我们可以通过对矩母函数求导数来得到分布的各个矩，例如：$$\mu_{1}=M'(0)=\mu$$$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}$$泊松分布是一种常见的离散型分布，它经常用于描述单位时间内事件发生的次数，比如电话呼叫、到达顾客、任务处理等等。
$$P(X=k)={e^{-\lambda}\lambda^{k}\over k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$$\lambda$ 是单位时间内事件发生的平均次数。
泊松分布的矩母函数是：指数分布是一种常见的连续型分布，用于描述随机事件发生的等待时间。
对于一个服从指数分布的随机变量 $X$，它的概率密度函数是：$\alpha$ 和 $\beta$ 是分布的参数，$\Gamma(\cdot)$ 是欧拉伽马函数，它是阶乘函数的推广。
伽马分布的矩母函数是：$$\mu_{4}=M^{(4)}(0)={\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)\over\beta^{4}}$$总结除了常见的四种分布，还有许多其他的分布也可以通过矩母函数来描述。
几何分布矩母函数
几何分布矩母函数
几何分布是一种在离散随机变量中经常使用的概率分布，它描述
了在进行一系列独立的实验中第一次成功所需要的实验次数。
在实际
问题中，几何分布经常被用来描述统计样本中的缺陷数量或非计划停
机的时间。
几何分布矩母函数是描述随机变量的一个非常重要的工具。
它定
义为随机变量的每个幂次的期望值，也就是随机变量的所有幂次的乘
积的期望值。
对于几何分布来说，矩母函数的计算非常简单。
假设一个几何分布随机变量X表示成功的实验次数，概率为p。
那么，几何分布随机变量的矩母函数为：
M(t) = E(e^(tX)) = Σ(e^(tx)*p*(1-p)^(x-1))
其中，Σ表示对所有x的值进行求和。
这个式子有一个特殊的含义，就是几何分布随机变量的矩母函数可以看做一个级数的形式，每
一项都是随机变量X的不同幂次下的概率乘以指数函数。
计算几何分布随机变量的矩母函数非常简单，因为几何分布只有
一个参数p，所以只需要代入公式即可。
同时，矩母函数在概率统计学中有着非常广泛的应用，可以用来计算各种统计量和概率分布的特征。
总之，几何分布随机变量的矩母函数是解决实际问题中非常重要
的概率统计学工具，它可以帮助人们计算各种统计量和概率分布的特征，从而更加全面地了解问题本质。
概率统计：矩母函数
et (12
)(12
2 2
)t2
/
2
因而 X
Y
~
N (1
2 ,12
2 2
).
M X (t) E(etX )， M (n) (0) EX n， M X (t) etM X (t)，
X1, , Xn 独立 M X1 Xn (t) M X1 (t) M Xn (t)，
X 和Y 有相同分布 M X (t) MY (t).
定义 5.1 设 X 为随机变量,I 是一个包含0的(有限或无限的)
开区间,对任意t I ,期望EetX 存在,则称函数
M X (t) E(etX )
etxdF (x), t I
为 X 的矩母函数,常把M X (t)简记为M (t).因此
(离散型)
M X (t)
etxi P( X
i
xi ) ,
10
矩母函数(10)
例 5.4 设 X ~ N (, 2),求 X 的矩母函数.
解 设Y ( X ) / ,则Y ~ N (0,1),MY (t) et2 / 2.因为
X Y ,故
M X (t) et MY ( t) et 2t2 / 2 .
11
作业
• 习题三: 34,35,36
12
命题 6.2
设 X ,Y 独立, X
~ N (1,12 ),
Y
~
N
(2,
2 2
)
,则
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
证 M X (t) et112t2 / 2， MY (t) et2 22t2 / 2 ,故
M
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题可以通过微分运算求随机变量的数字特征1．特征函数：设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称：(){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞−∞−∞Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。
特征函数的性质：1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定；2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ=典型随机变量的特征函数1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+3． 几何分布：()1jtjtpe t qe Φ=− 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t eλ−−Φ= 5． 正态分布2(,)N σ∂：22()exp{}2t t j t σΦ=∂−6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt−Φ= 7． 负指数分布：()t jtλλΦ=−2．母函数研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法：对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞=Φ==⋅∑(1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换母函数的性质：1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。
2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附合泊松过程的应用)3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ=="通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。
矩母函数.ppt
现代精算风险理论
X～Uniform(0,1)，Y | X～Uniform(x,1) 怎样计算E (Y )？ 一种方法是计算联合密度 f (x, y)，然后计算
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 (Y | X )
，Y为随机变量，因此上式中 E(Y | X ),E(X ) 为常数，因此
E 轾 犏 ë(Y - E(Y | X ))(E(Y | X )- EY)| X û= (E(Y | X )- EY)E((Y - E(Y | X ))| X )
= (E(Y | X )- EY)(E(Y | X )- E(Y | X )) = (E(Y | X )- EY)? 0 0
E(X ) ：数字
离散情况 连续情况
E(X |Y = y)：y的函数。在知道y的值之前，不知道
E(X |Y = y)
E(X | Y) ：随机变量，当Y=y时，E(X | Y = y) 的值
E(r(X ,Y )| Y)：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform(0,1) 采样，在给定x后，在对
òå E (X | Y = y)= ìïïïíïïïî
xfX|Y (x | y) 离散情况 xfX|Y (x | y)dx 连续情况
如果r (x, y)是x和y的函数，那么
E (r(X ,Y )| Y
=
y) =
òå ìïïïíïïïî
r (x, y) fX|Y (x | y) r (x, y) fX|Y (x | y)dx
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X |Y y
xfX|Y x | y 离散情况 xfX|Y x | y dx 连续情况
如果r x, y 是x和y的函数，那么
r X,Y |Y y
r x, y f X|Y x | y 离散情况 r x, y f X|Y x | y dx 连续情况
X ：数字
X |Y y：y的函数。在知道y的值之前，不知道
现代精算风险理论
定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
Y|X = Y ,
X |Y = X
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r x, y
r X,Y | X = r X,Y
证明：利用条件期望的定义和 f x, y f x f y | x
Y | X = Y | X x fX x dx yf y | x fX x dxdy
X |Y y
X | Y ：随机变量，当Y=y时， X | Y y 的值
r X ,Y | Y：随机变量
现代精算风险理论
假定对 X～Uniform 0,1 采样，在给定x后，在对
Y | X～Uniform x,1 采样
直观地，期望
事实上，对 x 得到期望
Y |X
因而
Y |X
Y |X x 1 x /2
现代精算风险理论
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随
机变量，用
表示；另外假设每个蛋的
是否存活是独立的Y ，~ 存Po活iss的ion概率为p, 为Bernoulli分布
，用X表示存活的数量，则
X |Y ~ Binomial Y , p
(X x)
(X x,Y y)
(X x | Y y) (Y y)
Y|X
Y|X Y|X
2
Y|X Y
2
Y 2Y
Y|X
Y|X Y
I II III
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
现代精算风险理论
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y | X , X 为常数，因此
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdFX x
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望 操作，所以有：
0
d etX
dt
t0
取k阶导数，可以得到
d etX
XetX
X
dt t 0
t0
k0
X k 方便计算分布的矩
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
现代精算风险理论
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
现代精算风险理论
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+
1+ 1 X = 2 =3 4
2
2
现代精算风险理论
条件方差
定义：条件方差定义为
Y|X x
y
2
x f y | x dy
其中
x Y|X x
定理：对随机变量X和Y，
Y = Y|X
Y|X
现代精算风险理论
证明： Y
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名Biblioteka 因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t)
LX (s) E[e sX ] e sX dF (x) , s 0
通常称上式为X的laplace变换。
y0
y0
y px 1 p y x e y
yx x
y!
e p px x!
现代精算风险理论
X ~ Poission p
期望： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
pY p
方差： X p 亦可通过条件期望计算：
X
X |Y
X |Y
Yp 1 p
Yp
p 1 p Y p2 Y p 1 p p2
p
现代精算风险理论
y 1，有 fY|X y | x 1/ 1- x
1
11
x
x yfYY||XX
y | x dy 1/ 11--xx
ydy
x
1 X /2
fY|X y | x 1/ 1- x
1x 2
注意： Y | X 1 X / 2是随机变量，当 X x时， 其值为
Y |X x 1 x /2
思考题：当X与Y独立时， X | Y y 的值？
性质1： 例：
从而：
现代精算风险理论
再考虑： 于是：
Y Y|X Y|X Y |X
Y|X Y Y Y|X |X
Y|X Y Y|X Y|X Y|X Y 0 0
所以
Y
Y|X
Y|X
现代精算风险理论
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定 ，如 f x |，这些参数 通常又是一个随机变 量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution) 渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布 希望知道 f x ，至少是其期望和均值（条件 期望和方差）
yf y | x dyfX x dx yf x, y dxdy Y
现代精算风险理论
X～Uniform 0,1 ，Y | X～Uniform x,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x, y，然后计算
Y
yf x, y dxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y | X = 1 X
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
现代精算风险理论
现代精算风险理论
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
现代精算风险理论
另一方面： 于是：
现代精算风险理论
山东财经大学保险学院 谭璐
条件期望、矩母函数
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
现代精算风险理论
一、条件期望
fX|Y x | y
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
现代精算风险理论
定义 给定Y y时，X的条件期望是