幂函数_PPT
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幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
《幂函数》PPT课件
2 log2
1 22
1 2
练习2 :已知f ( x) m m 1 x
2
m 3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
m m 1 1
2
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
加条件 :已知f ( x) m m 1 x
2
（4）y 3
x
（3）y 2x
（5）y x 1 1 （6）y x
2
练习1：已知幂函数f(x)的图像经过点 （2，2）， 试求出这个函数的解析式。
证明: 设所求的幂函数为 yx 函数的图像过 (2， 2 )点
2 2 ,
α log2
f ( x)
1 x2
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
x x2 x1＞0 (1). 取数:设x1, x2是某个区间上任意二值，
(2). 作差: f(x2)－f(x1)， (3) 整理: (4). 分析 f(x1)－f(x2) 的符号； (5). 下结论.
yx
yx
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
R
x
[0，+∞） 偶函数
y
yx
yx
3
-1
1 -1
O
y 1
1
x
R
R
奇函数
1 2
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,+∞) (0,+∞)
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2)五个基本幂函数的图像画法及特征； (3) 幂函数的性质。
作业：P79习题2.3： 1，2，3。
谢谢指导
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了��
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
幂函数(优秀课件)
1
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1); 所有的幂函数图象恒过点
(4)α 1时，图象下凸 ; ＞1时 图象下
y
α >1
α =1
0<α<1 α <0
(6)第一象限内 当x>1时， 第一象限内, 第一象限内 时 越大图象 图象越高 α越大图象越高
o
1
x
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
正确 1 . 幂函数均过定点（1，1）； 幂函数均过定点（ ， ）； −1 2 . 幂函数 y = x 在（-∞，0）上单调递 ， ） 上也单调递减,因此 减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减 因此 ， −1 不正确 在定义域内单调递减； 幂函数 y = x 在定义域内单调递减； 不正确 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 不正确 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 α >0时，幂函数在第一象限均为 时 正确 增函数； 增函数；
中的底数 为大于0且不等 底数a为大于 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1)中的底数 为大于 且不等 于 1的常数。 的常数。 的常数
y = x (α ∈ R)
（2）只有形如 ） 的函数才叫做幂函数
α
判一判
判断下列函数是否为幂函数. 判断下列函数是否为幂函数 (1) y=x4 1 (2) y = 2 x (3) y= -xe (5) y=2x2 (6) y=x3+2 ( 7 ) y (x-1)2 =
在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
2
y
( α >1
y=x)
3
y=x
3
(1) 所有的幂函数图象恒过点(1,1); 所有的幂函数图象恒过点
(4)α 1时，图象下凸 ; ＞1时 图象下
y
α >1
α =1
0<α<1 α <0
(6)第一象限内 当x>1时， 第一象限内, 第一象限内 时 越大图象 图象越高 α越大图象越高
o
1
x
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
正确 1 . 幂函数均过定点（1，1）； 幂函数均过定点（ ， ）； −1 2 . 幂函数 y = x 在（-∞，0）上单调递 ， ） 上也单调递减,因此 减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减 因此 ， −1 不正确 在定义域内单调递减； 幂函数 y = x 在定义域内单调递减； 不正确 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 不正确 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 α >0时，幂函数在第一象限均为 时 正确 增函数； 增函数；
中的底数 为大于0且不等 底数a为大于 指数函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1)中的底数 为大于 且不等 于 1的常数。 的常数。 的常数
y = x (α ∈ R)
（2）只有形如 ） 的函数才叫做幂函数
α
判一判
判断下列函数是否为幂函数. 判断下列函数是否为幂函数 (1) y=x4 1 (2) y = 2 x (3) y= -xe (5) y=2x2 (6) y=x3+2 ( 7 ) y (x-1)2 =
在同一平面直角坐 标系内作出幂函数
2
y
( α >1
y=x)
3
y=x
3
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Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
幂函数
幂函数与性质
+ 二、二次函数的表示形式 + 1．一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ． + 2．顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线的顶
点坐标． + 3．零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1、x2是抛物线与x轴交
[答案] －21
+ 2．(2013年济南质检)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象． + (1)写出这个二次函数的零点； + (2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．
+ 解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1. + (2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又图象过(－1,4)点，代入得a＝
+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3， －1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3， －1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
A．(－∞，－2]∪－1，23 C.－1，41∪14，＋∞
B．(－∞，－2]∪－1，－43 D.－1，－43∪14，＋∞
+ 【思路导析】 由新定义化简得出f(x)，再由条件f(x)＝c转化为y＝ f(x)与y＝c两图的象交点问题，作图分析求出即可．
【解析】
由已知得 f(x)＝xx2－－x22x－<－1≤1或x≤x>3232，，
A．2a>12a>(0.2)a
B．(0.2)a>12a>2a
C.12a>(0.2)a>2a
D．2a>(0.2)a>12a
解析：若 a<0，则幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>12
a>0.所以(0.2)a>12a>2a.
答案：B
+ 考向二 二次函数的图象与性质 + [例2] (2013年苏州四市模拟)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，
考向一 幂函数的图象与性质 [例 1] (2013 年济南调研)下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函 数大致对应的是( )
A．①y＝x31，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x21，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x21，④y＝x－1 D．①y＝x31，②y＝x21，③y＝x2，④y＝x－1
+ 解析：由f(x)>x＋k⇔k<x2＋x＋1. + 令h(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， + 由已知条件知在x∈[－3，－1]上， + 如使得k<x2＋x＋1，成立， + 只需k<h(x)max. + 又h(x)在[－3，－1]上递减， + ∴h(x)max＝h(－3)＝7， + ∴k<7. + 即k的取值范围为(－∞，7)．
【思想方法】 数形结合思想在二次函数中的应用
【典例】 (2011 年高考天津卷)对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗
a，a－b≤1， b＝b，a－b>1. 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数 y＝f(x)－
c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )
b ， c 为 实 数 ， a≠0) 的 图 象 过 点 C(t,2) ， 且 与 x 轴 交 于 A 、 B 两 点 ， 若 AC⊥BC，则a的值为________．
[解析] 设 A，B 两点的坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，
即方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根分别是 x1，x2.
因此 x1＋x2＝－ab，x1x2＝ca.
答案：B
3．(课本习题改编)设 α∈－1，1，－12，12，3，则使 y＝xα 的定义
域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
+ 解析：由α的取值知α＝1,3时，x∈R，且 为奇函数，故选A.
+ 答案：A
+ 4．(2013年淮南模拟)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－m＋1为减 函数，则实数m＝________.
如图，要使 y＝f(x)－c 与 x 轴恰有两个公共点，
则－1<c<－34或 c≤－2，应选 B.
+ 【答案】 B
+ 【思维升华】 与二次函数有关的最值问题，对称性问题，函数的 零点、方程的根等在解决时常借助等价转化思想与数形结合思想去 解决．
1．(2011 年高考陕西卷)函数 y＝x31的图象是(
m2－m－1＝1，
+ 答解案析：：2由题意知－m＋1<0，
解得 m＝2.
+ 5．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是
________．
解析：∵f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，
∴x＝－2ba＝－2－×m4≤2，解得 m≤16.
答案：(－∞，16]
)
解析：因为当 x>1 时，x>x13，当 x＝1 时，x＝x31，所以 A、C、D 错 误．选 B.
答案：B
+ 2．(2011年高考重庆卷)设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间 (0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为( )
+ A．－8
B．8
+ C．12
D．13
+ 解析：方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为 二次函数f(x)＝mx2－kx＋2在区间(0,1)上有两个不同的零点．
[解析] 因为函数 y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于 y 轴 对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝x12＝ x的定义域、值域 都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，结合 选项知，其图象应与④对应．综上所述，选 B.
[答案] B
1．(2013 年淄博模拟)若 a<0，则下列不等式成立的是( )
又 C(t,2)，则 C→A ＝(x1－t，－2)，C→B ＝(x2－t，－2)， 由于 AC⊥BC，所以 C→A ·C→B ＝(x1－t)(x2－t)＋4＝0，
即 x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋4＝0， 于是ca＋tab＋t2＋4＝0，at2＋abt＋c＋4＝0， 由于图象过点 C(t,2)， 所以 at2＋bt＋c＝2，于是2a＋4＝0，解得 a＝－21.
x∈R. + (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区
间； + (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的
范围．
[解析] (1)由题意知 f(－1)＝a－b＋1＝0， 且－2ba＝－1，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1， ＋∞)．
－1， + ∴f(x)＝－x2－2x＋3.
+ 又x∈[－2,1]中，x∈[－2，－1]时递增，x∈[－1,1]时递减，∴最大 值为f(－1)＝4.
+ 又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴最小值为0， + ∴x∈[－2,1]时函数的值域为0≤y≤4.
+ 考向三 二次函数的综合应用 + [例3] (2013年洛阳月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，
1．(课本习题改编)下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝(x＋2)2
D．y＝3 x2
+ 解析：由幂函数的定义可知D正确．
+ 答案：D
2．(2013 年烟台调研)幂函数 y＝f(x)的图象经过点4，21则 f14的值
为( ) A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设 f(x)＝xn，∵f(4)＝12，∴4n＝12，f14＝14n＝4－n＝2，故选
点的横坐标．
+ 三、二次函数的图象及其性质
[疑难关注] 1．幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象最多出现在两个象限内； (2)幂函数的图象若与坐标轴相交，则交点一定是原点； (3)所有的幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 四象限，其余象限由其奇偶性决定． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ab<2－0，4ac<0.