幂函数-课件ppt
5．已知点 33，3 3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的定义域
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________， 单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最 小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只 需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是 分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取
值范围是( C )
④如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2．二次函数解析式的三种常用表达形式 (1)一般式：f(x)＝____a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)_____； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点； (3)零点式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其 中 x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当 a<0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，且对 称轴 x＝1a<0，在 y 轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x 在[0，1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a<1， 综上所述 f(x)min＝－a1，a≥1.
(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思 想， 求 解 中既对系数a进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在 分类讨 论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一 致，二 是 分 类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分 类, 绝 不无原则的分类讨论． (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区 间动，仍 应 对 区间进行分类讨论．
①当1a≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0，1] 内，
∴f(x)在0，1a 上递减，在1a，1上递增． ∴f(x)min＝fa1＝1a－2a＝－1a.
②当1a>1，即 0<a<1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0， 1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上递减．
A.0，210
B．－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
2．已知函数 y＝x2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，
最小值 2，则 m 的取值范围为( B )
A．[0，1]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
1
3．当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x2，h(x)＝x－2，则 f(x)，
g(x)，h(x)的大小关系是( D )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．h(x)＞f(x)＞g(x)
D．h(x)＞g(x)＞f(x)
4．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线
x＝1对称，则函数f(x)的最小值为_____5___．
【解】(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋ 1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，所以必有a－＞a0＝－1，解得 a＝1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x. (2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称 的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－ x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故 g(x)＝－x2＋2x.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)：设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12.∴ m＝12.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝
ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4，
1
即 22＝2(m2＋m)－1，∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
1
又∵m∈N*，∴m＝1，f(x)＝x2.
2－a≥0， 又∵f(2－a)＞f(a－1)，∴a－1≥0，
解得
2－a＞a－1，
1≤a＜32，
故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1.
满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围为[1，32)．
1．已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)
的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
【解】法一：(利用一般式)：
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
4aa－＋b2＋b＋c＝c＝ －－1，1，解得ab＝ ＝4－，4，
4ac4－a b2＝8，
c＝7.
二次函数的图象与性质
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调 函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间． [课堂笔记]
【解】(1)当 a＝－2 时， f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]，∴f(x)在[－ 4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1， 又 f(－4)＝35，f(6)＝15， 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要 使 f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4. 故实数 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
∴f(x)＝－4x－12 2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a（－2a4－a 1）－a2＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，∴所求函数的解析式为 f(x)＝－ 4x2＋4x＋7.
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 在(0，＋∞)上是增函
数，则 m＝___－__1___．
【解析】∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 是幂函数，∴m2－ m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，－5m－3＝－13，函数 y＝x－13 在(0，＋∞)上是 减函数； 当 m＝－1 时，－5m－3＝2，函数 y＝x2 在(0，＋∞)上是增 函数．∴m＝－1.
解得 a＝2 或 a＝－1.
幂函数的图象与性质 (2014·江苏徐州一模)已知幂函数 f(x)＝x(m 2 ＋m)－1 (m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性；
(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并 求满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围．
设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
【解】∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线 x＝1， 而 x＝1 不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论． 当－2<a<1 时，函数在[－2，a]上单调递减， 则当 x＝a 时，ymin＝a2－2a； 当 a≥1 时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增， 则当 x＝1 时，ymin＝－1.综上，g(a)＝a－2－1，2aa，≥1－. 2<a<1，
在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式 的 表 达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式 不当、引 入 的字母系数过多，会加大运算量，易出错．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时 定义域为 x∈[－6，6]， 且 f(x)＝xx22＋－22xx＋＋33，，xx∈∈（[－06，，60]]，∴f(|x|)的单调递增区间 是(0，6值主要有三种类型：轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的 关 键 是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依 据 对 称轴与区间的位置关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调 性 问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.
幂函数
二次函数与幂函数
1．幂函数 (1)幂函数的定义是什么？ 提示：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量. α为常数 (2)有哪五种常用幂函数？
为___(_－__∞_，__0_)_∪__(_0_，__＋__∞_)___,奇偶性为_____奇__函__数________， 单调减区间为__(_－__∞_，__0_)_和__(_0_，__＋__∞_)_____．
二次函数的解析式 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和－2，且它有最 小值－1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式． [课堂笔记]
(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有参数 α，因此只 需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数 y＝xα(α∈R)是偶函数，则 α 必为偶数．当 α 是 分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
(2014·山东青岛模拟)已知 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，
求 f(x)的最小值． [解] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称 轴为 x＝1a.
在(－∞，－2ba)上是 ___增_____函数；在(－
2ba，＋∞)上是增函数 2ba，＋∞)上是减函数
最值
a＞0
当 x＝－2ba时，
ymin＝
4ac－b2 4a
a＜0
当 x＝－2ba时， ymax＝4ac4－a b2
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取
值范围是( C )
④如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
2．二次函数解析式的三种常用表达形式 (1)一般式：f(x)＝____a_x_2_＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)_____； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，(h，k)是顶点； (3)零点式(或因式分解式)：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其 中 x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．
∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当 a<0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，且对 称轴 x＝1a<0，在 y 轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x 在[0，1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a<1， 综上所述 f(x)min＝－a1，a≥1.
(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思 想， 求 解 中既对系数a进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在 分类讨 论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一 致，二 是 分 类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分 类, 绝 不无原则的分类讨论． (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区 间动，仍 应 对 区间进行分类讨论．
①当1a≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0，1] 内，
∴f(x)在0，1a 上递减，在1a，1上递增． ∴f(x)min＝fa1＝1a－2a＝－1a.
②当1a>1，即 0<a<1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0， 1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上递减．
A.0，210
B．－∞，－210
C.210，＋∞
D.－210，0
2．已知函数 y＝x2－2x＋3 在闭区间[0，m]上有最大值 3，
最小值 2，则 m 的取值范围为( B )
A．[0，1]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
1
3．当 0＜x＜1 时，f(x)＝x2，g(x)＝x2，h(x)＝x－2，则 f(x)，
g(x)，h(x)的大小关系是( D )
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．h(x)＞f(x)＞g(x)
D．h(x)＞g(x)＞f(x)
4．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线
x＝1对称，则函数f(x)的最小值为_____5___．
【解】(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋ 1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，所以必有a－＞a0＝－1，解得 a＝1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x. (2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称 的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－ x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故 g(x)＝－x2＋2x.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)：设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12.∴ m＝12.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝
ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4，
1
即 22＝2(m2＋m)－1，∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2.
1
又∵m∈N*，∴m＝1，f(x)＝x2.
2－a≥0， 又∵f(2－a)＞f(a－1)，∴a－1≥0，
解得
2－a＞a－1，
1≤a＜32，
故函数 f(x)的图象经过点(2， 2)时，m＝1.
满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围为[1，32)．
1．已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)
的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
【解】法一：(利用一般式)：
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
4aa－＋b2＋b＋c＝c＝ －－1，1，解得ab＝ ＝4－，4，
4ac4－a b2＝8，
c＝7.
二次函数的图象与性质
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调 函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间． [课堂笔记]
【解】(1)当 a＝－2 时， f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于 x∈[－4，6]，∴f(x)在[－ 4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是 f(2)＝－1， 又 f(－4)＝35，f(6)＝15， 故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要 使 f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4. 故实数 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
∴f(x)＝－4x－12 2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a（－2a4－a 1）－a2＝8.
解得 a＝－4 或 a＝0(舍去)，∴所求函数的解析式为 f(x)＝－ 4x2＋4x＋7.
3．已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 在(0，＋∞)上是增函
数，则 m＝___－__1___．
【解析】∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3 是幂函数，∴m2－ m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，－5m－3＝－13，函数 y＝x－13 在(0，＋∞)上是 减函数； 当 m＝－1 时，－5m－3＝2，函数 y＝x2 在(0，＋∞)上是增 函数．∴m＝－1.
解得 a＝2 或 a＝－1.
幂函数的图象与性质 (2014·江苏徐州一模)已知幂函数 f(x)＝x(m 2 ＋m)－1 (m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性；
(2)若该函数 f(x)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并 求满足条件 f(2－a)＞f(a－1)的实数 a 的取值范围．
设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．
【解】∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线 x＝1， 而 x＝1 不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论． 当－2<a<1 时，函数在[－2，a]上单调递减， 则当 x＝a 时，ymin＝a2－2a； 当 a≥1 时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增， 则当 x＝1 时，ymin＝－1.综上，g(a)＝a－2－1，2aa，≥1－. 2<a<1，
在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式 的 表 达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式 不当、引 入 的字母系数过多，会加大运算量，易出错．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时 定义域为 x∈[－6，6]， 且 f(x)＝xx22＋－22xx＋＋33，，xx∈∈（[－06，，60]]，∴f(|x|)的单调递增区间 是(0，6值主要有三种类型：轴定区间 定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的 关 键 是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依 据 对 称轴与区间的位置关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调 性 问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.
幂函数
二次函数与幂函数
1．幂函数 (1)幂函数的定义是什么？ 提示：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量. α为常数 (2)有哪五种常用幂函数？
合集下载
《幂函数》PPT课件
❖ ★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
幂函数ppt课件
x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f ( x1 ) f ( x2 ),
即幂函数 f ( x) x 是增函数.
x1 x2
.
x1 x2
在进行无理式的变形时，
不仅可以将分母有理化，
也可以将分子有理化.
归纳小结
通过这节课的学习，你能说说我们是怎么研究幂函数的吗？
调递增
调递增
（0,+∞）
在R上单 在[0,+∞) 单调递减
调递增 单调递增
公共点为（1，1）
例1：证明幂函数 f（x）= x是增函数 .
证明：函数的定义域是[0，+∞）.
x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 )
1
2
3
问题3：如何画出 y = x 和y = x 的图象？
追问：观察这两个函数的解析式，你能说出它们的一些性质吗？
1
2
y = x 的定义域为：
[0,+∞）
非奇非偶函数
y = x 3的定义域为： R
奇函数
1
2
2
-1
3
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
问题4：请同学们在同一个坐标系中画出
的图象.并结合图象和解析式观察它们有哪些性质.
直观想象
转化与化归
数形结合
思想方法
数学抽象
背景
核心素养
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f ( x1 ) f ( x2 ),
即幂函数 f ( x) x 是增函数.
x1 x2
.
x1 x2
在进行无理式的变形时，
不仅可以将分母有理化，
也可以将分子有理化.
归纳小结
通过这节课的学习，你能说说我们是怎么研究幂函数的吗？
调递增
调递增
（0,+∞）
在R上单 在[0,+∞) 单调递减
调递增 单调递增
公共点为（1，1）
例1：证明幂函数 f（x）= x是增函数 .
证明：函数的定义域是[0，+∞）.
x1 , x2 [0,), 且x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 )
1
2
3
问题3：如何画出 y = x 和y = x 的图象？
追问：观察这两个函数的解析式，你能说出它们的一些性质吗？
1
2
y = x 的定义域为：
[0,+∞）
非奇非偶函数
y = x 3的定义域为： R
奇函数
1
2
2
-1
3
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
,
y
=
x
问题4：请同学们在同一个坐标系中画出
的图象.并结合图象和解析式观察它们有哪些性质.
直观想象
转化与化归
数形结合
思想方法
数学抽象
背景
核心素养
幂函数ppt课件
∴(-3)3>(-π)3.
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
探究点四
幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f(x)=
- 2 -2+3(-2<m<2,m∈Z)满足:
①f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②对∀x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式,并求出x∈[1,4]时,f(x)的值域.
(2)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的
值.
解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比
较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
(1)
2 0.5
3 0.5
与
;
3
4
解 ∵y=x
0.5
3
在定义域上为增函数,又
4
>
2
2 0.5
3 0.5
,∴
<
.
3
3
4
(2)(-3)3与(-π)3.
解 ∵y=x3在定义域R上为增函数,又-3>-π,
值域
奇偶性
R
奇函数
在R上单
单调性
调递增
公共点 (1,1)
[0,+∞)
偶函数
奇函数
y=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)
上单调递增, 在R上单 在[0,+∞)上单
高一数学幂函数ppt课件.ppt
（4）只有1项； （5）这些例子中涉及的函数都是形 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
幂函数的定义
一 般 地 ,函 数 y x 叫 做 幂 函 数 ,其 中 x 是 自 变 量 ,
下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用：
（基础练习）例4：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶
性和单调性．
(1)y x4
1
(2) y x 4
(3)y x3
解：（1）函数 y x4的定义域为R，它是偶函数，在 [0,)上是增函数，
在(,0)上是减函数．
1
（2）函数 y x 4 的定义域为[0,)，它是非奇非偶函数，在[0,)上是增函数．
（3）yx2 x（×）（4）yx2 （1 ×）
（5）y x2
（×） （6）y
1 x3
（√）
［总结］要判断一个函数是幂函数，判断的标准是它的定
义．根据定义，可以把幂函数的形式特征概括为：两个系
数为１，只有一项．
4
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（巩固提升）例3：已知函数f(x)(m 22m )xm 2m 1,m为何值
时，是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次
函数；（4）幂函数．
解 ：
（感受理解）例5：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由．
1
幂函数ppt课件
3.第一象限内函数的单调性与指数大 小或正负性有什么关系？
4. 哪些是奇函数？哪些是偶函数？
观察： 不管指数是多少，图象都经过 哪个点？
1.过定点 图象都经过点（1，1）
α>0时,图象还都过点 (0,0)。
y
y x2 y x1
1
y x2
1
O1
y x1
x
观察： 图象分布有什么规律？ （都经过或不经过哪个 象限）
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
三、习题讲解
幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0，所以 n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝x 上方的 α>1，下方的 α<1，所以 p>1， 0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以 m>q，综上所 述 n<q<m<p. 【答案】 n<q<m<p 依据 α<0,0<α<1 和 α>1 的幂函数图象的特征判断．
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
4. 哪些是奇函数？哪些是偶函数？
观察： 不管指数是多少，图象都经过 哪个点？
1.过定点 图象都经过点（1，1）
α>0时,图象还都过点 (0,0)。
y
y x2 y x1
1
y x2
1
O1
y x1
x
观察： 图象分布有什么规律？ （都经过或不经过哪个 象限）
22＝2×2，故 C 对；D 中直线对应函数为 y＝－x，曲线对应函数为 y＝x3，
－1≠3.故 D 错．
三、习题讲解
幂函数 y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．
【解析】 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0，所以 n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝x 上方的 α>1，下方的 α<1，所以 p>1， 0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以 m>q，综上所 述 n<q<m<p. 【答案】 n<q<m<p 依据 α<0,0<α<1 和 α>1 的幂函数图象的特征判断．
• [分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在 同一个坐标系的图象形状．
[解析] A 中直线对应函数 y＝x，曲线对应函数为 y＝x－1,1≠－1，
1
故 A 错；B 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2
，2≠12，
故 B 错；C 中直线对应函数为 y＝2x，曲线对应函数为 y＝x2，当 x＝2 时，
幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。