吉林省吉林市普通中学2019届高三毕业班第二次调研测试数学(理)试题
·1·吉林省普通中学2019学年度高中毕业班第二次调研考试
数学（理科）试题
一选择题：本大题共
12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 已知,|12|3,U
R M x x N x x 则U C M N A.
|123x x x 或 B. |23x x C. |123x x x 或 D.|2
3x x 2. 已知复数
21z i ，则A.z 的模为
2 B. z 的模为 1 C. z 的虚部-1 D.z 的共轭复数为1i 3. 下列关于命题的说法错误的是A.命题“2320x
x ，则1x ”的逆否命题是“1x ，则2320x x ”B. “2a
”是“函数log a f x x 在区间0,上为增函数”的充分不必要条件C. 若命题:,2
1000n p n N ，则:,21000n p n N D.命题",0,23"x x x
是真命题4. 在
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若7,3,2a b c ，则A A. 30
B. 45
C. 60
D.905. 函数1
ln f x x x 的图象大致是
6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是。
吉林2019年高三第二次重点考试-数学理(2019吉林二模)
吉林2019年高三第二次重点考试-数学理（2019吉林二模）数学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
本卷须知1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3、请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4、作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一卷【一】选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、设集合{}220,RM x x x x =+-<∈，{}02N x x =<≤,那么M N = A 、(1,2)- B 、(0,1]C 、(0,1)D 、(2,1]-2、为虚数单位，那么复数i 212i-+＝A 、B 、i -C 、43i 55--D 、43i55-+3、()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，那么(1)f 的值为A 、0B 、lg 3C 、lg 3-D 、lg 4-A 、数列{}n a 为等比数列，假设m n p q +=+，*N ,,,∈q p n m ，那么有m n p q a a a a ⋅=⋅B 、点(,0)8π为函数()tan(2)4f x x π=+图像的一个对称中心 C 、假设⎰=a x 0238，那么2=aD 、假设||1,||2a b ==，向量a 与向量b 的夹角为120°，那么b 在向量a 上的投影为； 5、设双曲线2221(0)9y x a a-=>的渐近线方程为340x y ±=，那么双曲线的离心率为 A 、54B 、53CD6、假设1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列，那么展开式中4x 项的系数为 A 、6 B 、7C 、8D 、9 7、如果执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A 、3-B 、12-C 、2D 、138、函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为A 、32πB 、2πC 、πD 、2π9、不等式2log 0a x x -<在1(0,)2x ∈时恒成立，那么a 的取值范围是A 、1116a ≤<B 、01a <<C 、1a >D 、1016a <≤10、过点()1,1-且与曲线32y xx =-相切的切线方程为A 、20x y --=，或5410x y +-=B 、20x y --=C 、20x y -+=D 、20x y --=，或4510x y ++= 11、假设等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足1263CM CB CA=+，那么MA MB ⋅= A 、-1B 、-2C 、2D 、312、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出以下命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个第二卷【二】填空题：本大题共4个小题,每题5分。
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(含解析)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值. 【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(精品解析)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案.【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：工资人数510204218311企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2)（i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：012②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
吉林省长春市2019届高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13iD ．13i2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0}C ．{x|0＜x ＜2}D ．{x|﹣2＜x ＜3}3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．C ．2a ＞2bD ．lg （a ﹣b ）＞05．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知变量X 服从正态分布N （2，4），下列概率与P （X ≤0）相等的是（ ） A ．P （X ≥2）B ．P （X ≥4）C ．P （0≤X ≤4）D ．1﹣P （X ≥4）7．已知AB 为圆O ：（x ﹣1）2+y 2=1的直径，点P 为直线x ﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．21210．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）=2，当x ∈（0，1]时，f （x ）=x 2，当x ∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g （x ）=f （x ）﹣t （x+1）有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．14．已知向量=（1，），=（0，t 2+1），则当时，|﹣t |的取值范围是______．15．已知a ＞0，展开式的常数项为15，则=______．16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d ）19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．（1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）． （1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．吉林省长春市2019届高考二模试卷（理科数学）参考答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y=x 对称，且z 1=3+2i ，则z 1•z 2=（ ） A ．12+13i B ．13+12i C ．﹣13i D ．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z 1在复平面内关于直线y=x 对称的点表示的复数z 2=2+3i ， 所以z 1•z 2=（3+2i ）（2+3i ）=13i ． 故选：D ．【点评】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题．2．设集合A={x|x 2﹣3x ＜0}，B={x||x|＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|2＜x ＜3} B ．{x|﹣2＜x ＜0} C ．{x|0＜x ＜2} D ．{x|﹣2＜x ＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由题意可知A={x|0＜x ＜3}，B={x|﹣2＜x ＜2}， ∴A ∩B={x|0＜x ＜2}． 故选：C ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的是计算首项为，公比也为的等比数列的前9项和．【解答】解：由算法流程图可知，输出结果是首项为，公比也为的等比数列的前9项和，即为．故选：A．【点评】本题考查了程序流程图中循环结构的认识与应用问题，是基础题目．4．若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．C．2a＞2b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】举特值可排除ABD，对于C可由指数函数的单调性得到．【解答】解：选项A，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但不满足a2＞b2，故错误；选项B，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但=，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知当a＞b时，2a＞2b，故正确；选项D，当a=﹣1且b=﹣2时，显然满足a＞b但lg（a﹣b）=lg1=0，故错误．故选：C．【点评】本题考查不等式的运算性质，特值法是解决问题的关键，属基础题．5．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为．故选：C．【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知变量X服从正态分布N（2，4），下列概率与P（X≤0）相等的是（）A．P（X≥2）B．P（X≥4）C．P（0≤X≤4） D．1﹣P（X≥4）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，即可求出答案．【解答】解：由变量X服从正态分布N（2，4）可知，x=2为其密度曲线的对称轴，因此P（X≤0）=P（X≥4）．故选B．【点评】本题考查正态分布的概念，属于基础题，要求学生对正态分布的对称性有充分的认识．7．已知AB为圆O：（x﹣1）2+y2=1的直径，点P为直线x﹣y+1=0上任意一点，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得=（+）•（+）=||2﹣r2，即为d2﹣r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由=（+）•（+）=2+•（+）+•=||2﹣r2，即为d2﹣r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，的取值最小，可知d的最小值为=，故的最小值为2﹣1=1．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的数量积的运算，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档题．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且，当S n 取最大值时，n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0，因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即可得出． 【解答】解：由题意，不妨设a 6=9t ，a 5=11t ，则公差d=﹣2t ，其中t ＞0， 因此a 10=t ，a 11=﹣t ，即当n=10时，S n 取得最大值． 故选：B ．【点评】本题考查了等差数列的性质、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有种．（ ） A ．18 B ．27 C ．37 D ．212 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题可知，取出酒瓶的方式有3类，根据分类计数原理可得．【解答】解：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式； 第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为，为35种；共计37种取法． 故选：C ．【点评】本题是一道排列组合问题，考查学生处理问题的方法，对学生的逻辑思维和抽象能力提出很高要求，属于中档题．10．函数与的图象关于直线x=a 对称，则a 可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a 的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象，学生对三角函数图象的对称，诱导公式的运用是解决本题的关键，属于基础题．11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，当x∈（﹣1，0]时，，若定义在（﹣1，3）上的函数g（x）=f（x）﹣t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由g（x）=f（x）﹣t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题可知函数在x∈（﹣1，1]上的解析式为，又由f（x）+f（2﹣x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，可将函数f（x）在x∈（﹣1，3）上的大致图象呈现如图：根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=﹣（x﹣2）2+2，联立，并令△=0，可求得．因此直线的斜率t的取值范围是．故选：D．【点评】本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．12．过双曲线x 2﹣=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C 1：（x+4）2+y 2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r 1=2； 圆C 2：（x ﹣4）2+y 2=1的圆心为（4，0），半径为r 2=1，设双曲线x 2﹣=1的左右焦点为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF 1|2﹣r 12）﹣（|PF 2|2﹣r 22） =（|PF 1|2﹣4）﹣（|PF 2|2﹣1）=|PF 1|2﹣|PF 2|2﹣3=（|PF 1|﹣|PF 2|）（|PF 1|+|PF 2|）﹣3=2a （|PF 1|+|PF 2|﹣3=2（|PF 1|+|PF 2|）﹣3≥2•2c ﹣3=2•8﹣3=13． 当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选B ．【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t|的取值范围是[1，] ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．【解答】解：由题意， =（0，1），根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，所以d=；所以，当t=时，该距离取得最小值为1，当t=﹣时，该距离取得最大值为，即|﹣t|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．【考点】二项式定理；微积分基本定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．【分析】通过定义可知数列数列{p n }、数列{q n }均为周期数列，进而可知数列{p n •q n }中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．【解答】解：由题意可知，p 1=1，p 2=2，p 3=4，p 4=8，p 5=1，p 6=2，p 7=4，p 8=8，p 9=1，p 10=2，p 11=4，p 12=8，p 13=1，…，又p n 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q 1=﹣1，q 2=﹣1，q 3=1，q 4=﹣1，q 5=﹣1，q 6=1，q 7=﹣1，q 8=﹣1，q 9=1，q 10=﹣1，q 11=﹣1，q 12=1，q 13=﹣1，…，又q n 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{p n •q n }，每12项的和循环一次， 易求出p 1•q 1+p 2•q 2+…+p 12•q 12=﹣15， 因此S 2016中有168组循环结构， 故S 2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）（2016•长春二模）已知函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足，且，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）=，因此f（x）的最小正周期为．由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；（2）由，又A为锐角，则．由正弦定理可得，，则，由余弦定理可知，，可求得bc=40，故．【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．18．（12分）（2016•长春二模）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X的数学期望和方差．（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：计算观测值，对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；其中；；；；；；所以X 的分布列为：由于X ～B （5，），则；．（12分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．19．（12分）（2016•长春二模）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点D 1为棱PD 的中点，过D 1作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于A 1，B 1，C 1，∠BAD=60°． （1）证明：B 1为PB 的中点；（2）若AB=2，且二面角A 1﹣AB ﹣C 的大小为60°，AC 、BD 的交点为O ，连接B 1O ．求三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角． 【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B 1为PB 的中点； （2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．【解答】解：（1）连结B 1D 1.，即B 1D 1为△PBD 的中位线，即B 1为PB 中点．（4分）（2）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，OB 1方向为z 轴，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则，B （0，1，0），B 1（0，0，t ），从而，，则，又，则．由题可知，OA ⊥OB ，OA ⊥OB 1，OB ⊥OB 1，即三棱锥B 1﹣ABO 外接球为以OA 、OB 、OB 1为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．则三棱锥B 1﹣ABO 外接球的体积为．（12分）【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结A 1A ，A 1B 并延长交直线x=4分别于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设c=t ，则a=2t ，，推导出点P 为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t ，a=2t ，即，其中t ＞0，又△F 1PF 2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P 为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，得（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，则，，直线AA 1的方程为，直线BA 1的方程为，则，，假设PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），则，，，即，即，，即6nt ﹣9+n 2+（4﹣m ）2=0，若PQ 为直径的圆是否恒过定点M （m ，n ），即不论t 为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ 为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•长春二模）已知函数在点（1，f （1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．（1）求实数a 的值及f （x ）的极值；（2）若对任意x 1，x 2，有，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a 的值，令f'（x ）=0，求得可能的极值点，由f ′（x ）＞0及f ′（x ）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g （x ）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x ）的最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解（1）由题意得，（x＞0），点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．令，解得：x=e，当f′（x）＞0，解得：x＞e，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，函数f（x）在（0，e）上单调递减，∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）（2）由，可得，令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，即，∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2016•长春二模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于曲线C 2有，即，因此曲线C 2的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）（2）联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：， ∴t 1+t 2=2sin α，t 1t 2=﹣13，因此sin α=0，|AB|的最小值为，sin α=±1，最大值为8．（10分） 【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•长春二模）设函数f （x ）=|x+2|+|x ﹣a|（a ∈R ）．（1）若不等式f （x ）+a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，利用不等式f （x ）+a ≥0恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a 求实数a 的取值范围；（2）根据函数f （x ）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ≥0时，f （x ）+a ≥0恒成立，当a ＜0时，要保证f （x ）≥﹣a 恒成立，即f （x ）的最小值|a ﹣2|≥﹣a ，解得a ≥﹣1，∴0＞a ≥﹣1综上所述，a≥﹣1．（5分）（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。
【最新整理】2019吉林省吉林市高三第二次调研测试数学(理)试卷
【最新整理】2019吉林省吉林市高三第二次调研测试数学（理）
试卷
理科数学
本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚.。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效.。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀.。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四
个选项中，只有一个是符合题目要求.。
1. 已知全集，则图中阴影部分表示的 集合是
,{|(3)0},{|1}U R N x x x M x x ==+<=<- A. B. {|31}x x -<<-{|30}x x -<<
C. D. {|10}x x -≤<{|3}x x <-
2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 i 1a i i
-+a A. B. C. D. 11-12
2- M
N U。
吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(详细答案)
长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题. 4.下列函数中，在内单调递减的是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R 上递减，求得结果.【详解】由题，在R 上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题. 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 32B.C.D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥， 所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论. 【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。
吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测试数学(理)试题(教师版)
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8 【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）A. 数据中可能有异常值B. 这组数据是近似对称的C. 数据中可能有极端大的值D. 数据中众数可能和中位数相同 【答案】B【解析】【分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明．【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误．故选：B ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础．4.“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】【分析】 先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ）A. 3y x =B. 3x y =C. ()21y x =--D. 3log y x =【答案】D【解析】【分析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项，故选：D ．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6.已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y=+的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 5-D. 5【答案】B【解析】【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -， 据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B .【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（） A. 1B. 2C. 12D. 4【答案】B【解析】【分析】 因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！8.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A. 直线EFB. 直线GHC. 直线EHD. 直线1A B【答案】C【解析】【分析】 根据线面平行的判定定理判断．【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ．【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9.我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则c 等于（ ） A 5B. 93 D. 5或9 【答案】C【解析】【分析】把已知数据代入面积公式解方程即得．2=，2221111[3()]424c c --=， 整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）C. 2D. 3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴2212d c a b ==+， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，2e =． 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11.已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c a b >> 【答案】B【解析】【分析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01e π-><<<<，a 最大， 其次551log 2log 52<=，12124e e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ．【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的． 12.如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AG AC ⋅u u u r u u u r 等于（ ）A. 2 5 C. 23 D. 83【解析】【分析】 选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅ 22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.13.在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为______.【答案】36π；【解析】【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径．【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则OAFB CEDG -是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32l r ==． 334433633V r πππ==⨯=， 故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14.直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n +的最小值是______. 【答案】322+【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=， ∴241222()()332322m n m n m n m n m n n m n m+=++=++≥+⨯=+2m n n m = ，即21),2(22)m n ==-时等号成立， 故答案为：322+．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15.若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】【分析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =， ∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<． 故答案为：4[,2)3．【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16.关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题：①函数()y f x =在()2,4-上是增函数；②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】【分析】由单调性、对称性概念、导数几何意义、导数与极值的关系进行判断．【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-，由于()()()26ln 2ln 4ln ln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--，614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确； 22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000- 【解析】【分析】 （1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解．【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+ ∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q =∵0q >，∴4q =∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18.如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，6AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】 【分析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形 ∵MCC '中点，且6AA CC ''==∴62C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒ ∴3AC A C ''==，∴C M A C A C AA '''='''连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则3,0,6A '，62M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(6B '，)3,0,0A，∴MA'=⎭u u u u r，MB⎛'=⎝⎭u u u u r，MA=⎭u u u r，设平面MA B''的法向量为()1111,,n x y z=u r，则1MA n'⋅=u u u u r u r，2MB n'⋅=u u u u r u u r解得：1,22n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u r同理，平面MAB'的法向量212n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u r设二面角A MB A''--的大小为θ，则1212122cos cos,|3||||n nn nn nθ⋅=<>===⋅u r u u ru r u u ru r u u r即二面角A MB A''--的余弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19.已知ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2Aπ≠，且满足()sin220cos0bc A B C++=. （1）求ABC∆的面积S；（2）若24a S=，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sinbc A，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos2sinb c bc A a bc A+-==，从而可把22c b b cb c bc++=用角A表示出来，由三角函数性质求得最大值．【详解】解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值． 20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b 的值，并求出此时方差2s 的值.【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】 【分析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++=所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦ ∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003.【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21.设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<+. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫<⎪⎝⎭可证结论．【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减 所以()1n f f m ⎛⎫<⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<+. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22.已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】 【分析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围； （2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690m y my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PBk k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=----整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++= 即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =.（注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
吉林省长春市普通高中2019届高三理数质量监测(二)
吉林省长春市普通高中2019届高三理数质量监测（二)一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知复数z=i+i2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2分）集合A={x|√2−x≥0}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=（）A．{−1,0,1,2}B．{−1,0,1}C．{0,1,2}D．{1,2,3}3．（2分）命题“ ∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A．∀x∈R，e x<x+1B．∃x0∈R，e x0≥x0+1C．∀x∉R，e x<x+1D．∃x0∈R，e x0<x0+14．（2分）下列函数中，在(0,+∞)内单调递减的是（）A．y=22−x B．y=x−11+x C．y=log121x D．y=−x2+2x+a5．（2分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．32B．643C．323D．86．（2分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．67．（2分）下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2分）直线y=2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为（）A．8+√1010B．8−√1010C．−45D．459．（2分）正方形ABCD边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF⇀⋅AE⇀= |AE⇀|2，则|AF⇀|=（）A．3B．5C．32D．5210．（2分）已知曲线y=sinx在点P(x0,sinx0)(0≤x0≤π)处的切线为l，则下列各点中不可能在直线l上的是（）A．(−1,−1)B．(−2,0)C．(1,−2)D．(4,1)11．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，若SΔAOF2SΔAOB=2，则双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√512．（2分）定义在[0,π]上的函数y=sin(ωx−π6)(ω>0)有零点，且值域M⊆[−12,+∞)，则ω的取值范围是（）A．[12,43]B．[43,2]C．[16,43]D．[16,2]二、填空题 (共4题；共5分)13．（1分）已知实数x，y满足{x+y−2≤0x−y≤0x≥0，则z=x+2y的最大值为．14．（1分）直线y=2x与抛物线x2=4y围成的封闭图形的面积为．15．（1分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，a=√2，acosB+ bsinA=c，则ΔABC的面积的最大值为．16．（2分）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为，CE和该截面所成角的正弦值为．三、解答题 (共7题；共65分)17．（10分）各项均为整数的等差数列{a n}，其前n项和为S n，a1=−1，a2，a3，S4+1成等比数列.（1）（5分）求{a n}的通项公式；（2）（5分）求数列{(−1)n⋅a n}的前2n项和T2n.18．（10分）某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工收入的频数分布表以及B企业员工收入的统计图如下：A企业：B企业：（1）（5分）若将频率视为概率，现从B企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（5分）（i）若从A企业收入在[2000,5000)员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在[3000,4000)的人数X的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.19．（5分）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，CD= 2AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=AD=√2，M为PC中点.（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面BMD；（Ⅱ）求二面角M−BD−P的余弦值.20．（10分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，|PF2|=32，离心率为12.（1）（5分）求椭圆的标准方程；（2）（5分）若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，SΔAOB=−32tan∠AOB，求点M的坐标.21．（10分）已知函数f(x)=e x+bx−1(b∈R).（1）（5分）讨论f(x)的单调性；（2）（5分）若方程f(x)=lnx有两个实数根，求实数b的取值范围.22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程{x=a+12ty=√32t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ2=31+2cos2θ.（1）（5分）求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；（2）（5分）当a=1时，P为曲线C上动点，求点P到直线l距离的最大值. 23．（10分）设函数f(x)=|x+2|.（1）（5分）求不等式f(x)+f(−x)≥6的解集；（2）（5分）若不等式f(x−4)−f(x+1)>kx+m的解集为(−∞,+∞)，求k+m的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为复数i+i2= =−1+i，所以对应的点位于第二象限.故答案为：B【分析】利用i2=−1求出复数z，从而求出复数的实部和虚部，从而求出复数z对应的点的坐标，从而求出复数z对应的点所在的象限。
吉林市普通中学2018-2019学年度高中毕业班第二次调研测试(理科数学答案)
吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第二次调研测试数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题二、填空题13.-2;14.4π;15.3162;16.)()(21x f x f +<0.三、解答题17（10分）解：（1）)62sin(322cos 32sin 3sin cos 2sin 32)(2π-=-=-+=x x x x x x x f ------------------2分令，解得所以()f x的单调递增区间为(Z k ∈)------------------------------5分（2）由(1)32)62sin(332)(=-=πA A f ,12sin(=-∴πA ------------------------------6分因为11(0,),2(,)666A A ππππ∈-∈-，所以-----------------------8分由余弦定理，得，--------------10分18．（12分）解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，得，即，得，∵，∴①，∵65=a ，得641=+d a ②，------------------------------------------------3分联立①②得，，------------------------------------------------5分∴.------------------------------------------------6分123456789101112ACAADDCABCBD（2）由（1）知123)12(3)32(--⋅-=⋅-=n a n n n a c n ---------------------------------------7分∴数列的前n 项和12103)12(...353331-⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n S ①，n n n n n S 3)12(3)32(...35333131321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-②-----------------9分①②得：nn n n S 3)12()3...333(21)31(1321⋅--+++++=-∴-23)1(23)12(3313)12(31)31(3211---=⋅---+=⋅----⋅+=-n nn n n n n n 13)1(+⋅-=∴n n n S .------------------------------------------------12分19．（12分）解：（1）根据题意：解得--------------------------------------------------3分（2）设在寿命为之间的应抽取个，根据分层抽样有：解得：所以应在寿命为之间的应抽取5个------------------------------7分（3）记“恰好有一个寿命为，一个寿命为”为事件，由（2）知寿命落在之间的元件有2个分别记，落在之间的元件有3个分别记为：，从中任取3个球，有如下基本事件：，，，----------------------9分共有10个基本事件,事件={两个寿命都为},则事件包含共有3个基本事件.------------------------------------10分103)(=∴A P -------------------------------------11分7)(1=-∴A P即至少有一个寿命不为”的概率为107.--------------------------------12分注：学生用组合计算正确时，给满分20（12分）解：（1）证明：∵，且，∴为等边三角形-----------2分∵为的中点∴，---------------3分又，且，∴平面．------------------5分（2）解：过作，以为原点，OD 为y 轴,OA 1为z 轴建立空间直角坐标系（如图）则，，设，平面的法向量为，∵，，且，取，得---------------------9分平面的一个法向量为由题意得，解得或（舍去），---------------------11分∴当的长为时，二面角的值为.--------------------12分（1）由椭圆的对称性及24||||11=+BF AF ,可得24||||21=+AF AF ,⎪⎩⎪⎨⎧==-+∴2421)1(6(2222a b a ，----------------------------------------------------------------2分解得2,22==b a ，故椭圆E 的方程为14822=+y x ------------------------------4分（2）由题意)2,0(-C ,直线的方程为)2(2-=-x k y ，与椭圆方程14822=+y x 联立，可得0)2(8)1(8)21(22=-+-++k k x k k x k ---------------------------------------------------------------6分由0)2()21(32)1(64222>-⋅+--=∆k k k k k 解得或．-----------7分设,,则221221)2(8,)1(8k k x x k k x x +-=+-=+，-----------8分则有直线CP 与CQ 的斜率之和为2211221121242422x kkx x k kx x y x y k k -++-+=+++=+212121)24(211)(24(2x x x x k k x x k k +-+=+-+--------------------------------------10分2)1(2221)2(2221)2(821)1(8)24(222=--=---+=+-+--+k k k k k k kk k k k k k k ∴直线CP 与CQ 斜率之和为定值．-----------------------------------------------------12分（1）---------------------------------------------1分当时，02>-a e x ,当0>x 时0)('>x f ,当0<x 时0)('<x f ,∴在上单调递减，在上单调递增，∴有1个极值点---------------------------------------------2分当时，02ln <a ,令0)('>x f 得a x 2ln <或0>x ,令0)('<x f 得02ln <<x a ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴有2个极值点；---------------------------------------------4分当时，0)('≥x f 恒成立,∴在上单调递增，∴没有极值点；---------------------------------------------5分当时，令0)('>x f 得a x 2ln >或0<x ,令0)('<x f 得ax 2ln 0<<在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴有2个极值点；---------------------------------------------6分所以，当时，有1个极值点；当且时，有2个极值点；当时，没有极值点.---------------------------------------------7分（2）由得.当时，，即对恒成立.-----------8分设，则.---------------------------------9分设，则.∵，∴，∴在上单调递增，∴，即，∴在上单调递减，在上单调递增，---------------------------------11分∴，∴，∴的取值范围是.------------12分。
2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】
2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A ． _________B ．______________C ． _________D ．2. 若实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A ． ________B ．C ．D ．3. 设集合，，则（）A．B．C．D ．4. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（）A ．B ． ________C ． ________D ．5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． ____________________B ．_________C ．______________ D ．6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（） A．___________B．___________C． ________D ．7. 函数与的图象关于直线对称，则可能是（）A ． ________B ．______________C ． ________D ．8. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（）A ． ___________B ．C ．D ．9. 已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． ___________________________________ B．C ． ___________D ．10. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（）种．A ． ______________B ．____________________C ．________D ．11. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A ． ___________B ．________________________C ． _________D ．二、填空题12. 已知实数，满足，则的最小值为___________ ．13. 已知向量，，则当时，的取值范围是 _________ ．14. 已知，展开式的常数项为15，则___________ ．15. 已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积，已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________ ．三、解答题16. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．17. 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0 ． 6，对服务的好评率为0 ． 75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0 ． 1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：① 求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；② 求的数学期望和方差．（，其中）18. 在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积．19. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．20. 已知函数在点处的切线与直线平行．（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；21. 选修4—1：几何证明选讲．如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若．（1）求证：∽ ；（2）求证：四边形是平行四边形．22. 选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于，两点，求的最大值和最小值．23. 选修4—5：不等式选讲．设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。