【精品】2021版高考数学二轮复习专题训练含答案：函数概念与基本处等函数I
2021版高考数学二轮复习专题训练含答案：函数概
念与基本处等函数I
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与5
2a 的大小关系是( ) A ．37a a +＞52a B ．37a a +＜52a
C ．37a a +＝52a
D ．37a a +与52a 的大小与a 有关
【答案】A
2．已知函数1
()lg ()2
x
f x x =-有两个零点21,x x ，则有( )
A ． 121>x x
B ． 021<x x
C ． 1021<<x x
D ． 121=x x
【答案】C
3．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间2，+∞上是增函数，则a 的取值范围是( )
A ．（]4,∞-
B ．（]2,∞-
C ．（]4,4-
D ．（]2,4-
【答案】C 4．函数2lg x
y x
-=
的定义域是( ) A ．{x|0<x<2} B ．{x|0<x<1或1<x<2} C ．{x|0<x ≤2}
D ．{x|0<x<1或1<x ≤2}
【答案】D
5．已知函数12)(2
--=x mx x f 在区间)2,2(-恰有一个零点，则m 的取值范围是( )
A ． ]8
1,83[- B ． )8
3,81(-
C ． )8
3,81[-
D ． ]8
3,81(-
【答案】D
6．函数()lg 1y x =-的定义域是( )
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．()1,+∞
D ．[)2,+∞
【答案】D 7．若a=
22ln ，b=33ln ，c=5
5
ln ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
【答案】C 8．已知函数
的反函数为，且是奇函数，则
( )
A ．0 B.1 C ． D ．以上都不对
【答案】B
9．函数2
()f x x mx n =++的图象按向量(4,3)OA =平移后得到的图象，恰好与直线
460x y +-=相切于点(1,2)，则函数()f x 的解析式为( )
A ．2
()23f x x x =++ B ．2
()24f x x x =++ C ．2()24f x x x =+- D ．2
()23f x x x =+-
【答案】C
10．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，那么a 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．(0，
2
1
) C ．(
2
1
，1) D ．(1，＋∞)
【答案】C
11．已知集合{
}
2,0x
M y y x ==>，{
}
)2lg(2
x x y x N -==，则M
N 为( )
A ．(1,2)
B ．(1,)+∞
C ．[)+∞,2
D ．[)+∞,1
【答案】A
12．函数,2)()1(001)sin()(1
2
=+⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f f x e x x x f x 若，，
；，
π则a 的所有可能值为( ) A ．1 B ．2
2
-
C ．1，2
2-
D ．1，
2
2 【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知f (x)＝cos 0
(1)10
x x f x x π->⎧⎨++≤⎩ ，则
43f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋43f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值等于 【答案】3
14．已知方程012=-+bx x 的两根为)(,βαβα≠，则方程0)2(2
=--+b x b x 的两根
分别为____________. 【答案】1,1++βα
15．如果函数x
y a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a= . 【答案】2
16．若2510a b ==，则=+b
a 1
1 【答案】1
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知12log 2a =, 试用a 表示48log 54． 【答案】
124812log 54log 54log 48=
12121212log 23log 3log 122log 2+=+121212log 23(12log 2)
12log 2
+-=+
3(12)12a a a +-=
+3512a
a
-=
+ 18．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1 (a>0)，F(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f(x) (x>0)，
－f(x) (x<0).若f(－1)＝0，且对
任意实数x 均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表达式；
(2)当x ∈－2,2时，g(x)＝f(x)－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 【答案】(1)∵f(－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，
∴f(x)＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f(x)≥0恒成立，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a>0，
Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a>0
(a －1)2
≤0.
∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f(x)＝x 2＋2x ＋1，
∴F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋1 (x>0)，－x 2
－2x －1 (x<0).
(2)g(x)＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k)x ＋1. ∵g(x)在－2,2上是单调函数，
∴k －22≤－2，或k －2
2≥2，解得k ≤－2，或k ≥6. 所以k 的取值范围为k ≤－2，或k ≥6.
19．已知奇函数()y f x =定义域是[4,4]-，当40x -≤
≤时，2()2f x x x =--.
(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 求函数()f x 的值域； (3) 求函数()f x 的单调递增区间.
【答案】(1)函数()f x 的解析式为22--2x (40)
()-2x (04)
x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩
(2)函数()f x 的值域为[8,8]-
(3)函数()f x 的单调递增区间为[4,1][1,4]--和
20．(1）
2
1
)51(1
212
)4(2
---+
-+
-
(2)求值41111(lg32log 166lg )lg 5255
+++ 【答案】(1）原式=11
212
12
2
1--+
+
-=1122
2
2
12
1-+++-
-
=22
22
1+⋅-
=2222=+
(2)原式＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg32＋2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋lg 15＝15⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·164·15＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋lg 110＝15[2＋(－1)]＝1
5．
21．已知函数21
()21
x x a f x ⋅-=+为奇函数．
(1)求常数a 的值；
(2)求函数)(x f 的值域．
【答案】 (1)由题知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数 所以由()00f =，得1a =．
(2)由(1)知212
()12121
x x x f x -==-++ 又因为20x
>，所以原函数的值域为()1,1-．
22．是否存在实数a ，使函数()
22()log 2f x x x a =++-为奇函数，同时使函数
1()1x g x x a a ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
为偶函数？若存在，请求出a 值；否则，请说明理由。
【答案】()f x 为奇函数，所以f （0）＝0，得21
log 2a 0a 2
-=⇒=。
若g （x ）为偶函数，则h （x ）＝x 1
a a 1
+-为奇函数， h(－x)+h （x ）＝0x x
11
a a 0a 1a 1
-⇒
+++=-- x x x a 11
2a 2a 1a a 1a 12
⇒=-⇒=⇒=-- ∴存在符合题设条件的a ＝12。
2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题与热点解答题组合练附答案
2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题与热点解答题组合练附答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．2．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt t y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.3．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12ex x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B，122x x e e e ≥=+==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.4．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同，而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．5．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．6．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】当x -为有理数时，x 也为有理数∴()1f x -=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.7．设函数()f x是定义在区间I上的函数，若对区间I中的任意两个实数12,x x，都有1212()()(),22x x f x f xf++≤则称()f x为区间I上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（）A．()21f x x=-+B．()2f x x=--C．3()5f x x=+D．21()1xf xx+=-【答案】ACD【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f xf++=，可判定A正确；根据特殊值法，可判定B不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C、D正确.【详解】对于A中，任取12,(1,3)x x∈且12x x≠，则1212()()12x xf x x+=-++，121212()()1(2121)()122f x f xx x x x+=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f xf++=，满足1212()()()22++≤x x f x f xf，所以A正确；对于B中，取1235,22x x==，则1222x x+=，可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.8．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D ．不等式[][]2230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]22x x ≠，故A 不成立.对于B ，[][]x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222x m r =+，若102r ≤<，则102r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故C 成立.对于D ，由不等式[][]2230x x --≥可得[]1x ≤-或[]32x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.9．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x在区间)1⎡⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.10．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.11．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（ ） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确； 对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.13．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+14．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，函数2xy =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确.因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且13022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.15．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．16．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，所以当((0,1),A B C 时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.17．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解18．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（）A ．01()12f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202个 【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23πω=，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01()12f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12f x +=-，002(1)()3x x πωϕωϕω++-+==， ∴()f x 的最小正周期为23T πω==，故A 、C 正确，B 错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.19．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）A ．若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间，则2b =B ．函数()11f x x=+存在跟随区间C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[]1,b 为()222f x x x =-+的跟随区间,因为()222f x x x =-+在区间[]1,b 为增函数,故其值域为21,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有222b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()11f x x=+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故存在, B 正确.对C, 若函数()f x m =[],a b ,因为()f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨=⎪⎩a b < 即()()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <,1=.易得01≤<.所以(1a m m =-=--,令t =20t t m --=,同理t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.故1400m m +>⎧⎨-≥⎩,解得1,04m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦,故C 正确.对D,若()212f x x x =-+存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为[],a b ,值域为[]3,3a b .当1a b <≤时,易得()212f x x x =-+在区间上单调递增,此时易得,a b 为方程2132x x x -+=的两根,求解得0x =或4x =-.故存在定义域[]4,0-,使得值域为[]12,0-. 故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.20．设s,t 0>，若满足关于x s =恰有三个不同的实数解123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）A ．1230x x x ++>B ．6425s t ⋅=C ．45t s = D ．14425s t +=【答案】CD 【分析】设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程()=f x s必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()f x s ==，54454x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=，又()f x 在(),t +∞上递增，35 4x t ∴=，即3564516=,42545x s t t s t =====， 6454144, 2516525t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.。
2021年高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题附答案
2021年高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题附答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数()()124,01,21,1,x x f x af x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩其中a R ∈，下列关于函数()f x 的判断正确的为（ ） A ．当2a =时，342f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．当1a <时，函数()f x 的值域[]22-,C ．当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()1212242n n f x x --⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．当0a >时，不等式()122x f x a -≤在[)0,+∞上恒成立 【答案】AC 【分析】对于A 选项，直接代入计算即可；对于B 选项，由题得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，进而得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，故()f x 的值域(]2,2-；对于C 选项，结合B 选项得当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()121n f x f x n -=-+进而得解析式；对于D 选项，取特殊值即可得答案.【详解】解：对于A 选项，当2a =时，3111222442222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项正确； 对于B 选项，由于当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()m f x a f x m =-，由于(]0,1x m -∈，所以()[]0,2f x m -∈，因为1a <，所以()1,1m a ∈-，所以当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()2,2f x ∈-，综上，当1a <时，函数()f x 的值域(]2,2-，故B 选项错误；对于C 选项，由B 选项得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，故当2a =且[]()*1,x n n n ∈-∈N时，()()1112122412n n f x f x n x n --⎛⎫=-+=--+- ⎪⎝⎭1112122422422n n n x n x --⎛⎫⎛-⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确；对于D 选项，取812a =，34x =，则331241442f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，122x a-=()311142482488111222222222---⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足式()122x f x a -≤，故D选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，考查分析能力与运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于根据题意得当(]*,1,x m m m N ∈+∈时，()()mf x a f x m =-，且当01x ≤≤，函数的值域为[]0,2，进而利用函数平移与伸缩变换即可求解.2．已知函数12()123x x x f x x x x ++=+++++，下列关于函数()f x 的结论正确的为（ ） A ．()f x 在定义域内有三个零点 B ．函数()f x 的值域为R C ．()f x 在定义域内为周期函数 D ．()f x 图象是中心对称图象【答案】ABD 【分析】将函数变形为111()3123f x x x x ⎛⎫=-++⎪+++⎝⎭，求出定义域，结合导数求函数的单调性即可判断BC ，由零点存在定理结合单调性可判断A ，由()()46f x f x --=+可求出函数的对称点，即可判断D. 【详解】解：由题意知，1111()111312311123f x x x x x x x ⎛⎫=-+-+-=-++ ⎪++++++⎝⎭， 定义域为()()()(),33,22,11,-∞-⋃--⋃--⋃-+∞，()()()22211()01213f x x x x '=++>+++，所以函数在()()()(),3,3,2,2,1,1,-∞------+∞定义域上单调递增，C 不正确； 当1x >-时，()3371230,004111523f f ⎛⎫-=-++<=+> ⎪⎝⎭，则()1,-+∞上有一个零点， 当()2,1x ∈--时，750,044f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()2,1x ∈--上有一个零点， 当()3,2x ∈--时，1450,052f f ⎛⎫⎛⎫-<-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以在()3,2x ∈--上有一个零点， 当3x <-，()0f x >，所以在定义域内函数有三个零点，A 正确；当0x <，1x +→-时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 又函数在()1,-+∞递增，且在()1,-+∞上有一个零点，则值域为R ，B 正确；()1111(4)363612311123f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++=--++=- ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以()()46f x f x --=+，所以函数图象关于()2,3-对称，D 正确； 故选:ABD. 【点睛】 结论点睛:1、()y f x =与()y f x =-图象关于x 轴对称；2、()y f x =与()y f x =-图象关于y 轴对称；3、()y f x =与()2y f a x =-图象关于x a =轴对称；4、()y f x =与()2y a f x =-图象关于y a =轴对称；5、()y f x =与()22y b f a x =--图象关于(),a b 轴对称.3．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.4．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x Tf x 对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：y=上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中①直角顶点A在1点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐②直角顶点A在1标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中③直角顶点A在x轴上，斜边在1点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；y=上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐④直角顶点A在x轴上，斜边不在1标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．5．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.9．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC 【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-， 从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xex x x +=-+∈-， 则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦， 故选：BC ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.10．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．11．已知函数221,0()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（ ） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点C ．当10k >>，有4个零点D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2kx =对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12t =，由()12f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由()12f x =可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确； 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1【答案】AD 【分析】根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，()[]1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1， 当01x ≤≤时，则当0x =时，则()[]0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=， 当1x =时，()[]11110f x =-=-=，故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.故选：AD ． 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．13．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．下列函数求值域正确的是（ ）A ．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()h x =(0D ．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()h x ==利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()w x =()24w x =，由于()0w x >，可得()w x =2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D.【详解】对于选项A：原函数化为211 ()12312212x xf x x x xx x-+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A不正确，对于选项B：2(1)11()(1)11xg x xx x++==++++，定义域为{}|1x x≠-，当1x<-时，10x+<，此时[][]11(1)2(1)211x xx x⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21xx++≤-+，当且仅当1(1)1xx-+=-+即2x=-时等号成立，当1x>-时，10x+>，此时11(1)(1)211x xx x++≥+⨯=++，当且仅当111xx+=+即0x=时等号成立，所以函数()g x值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B不正确；对于选项C：()h x的定义域为[1)+∞，，(11)(11)()111111x x x xh x x xx x x x+-+-=+-==++-++-，因为1y x=+1y x=-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x=+-[1)+∞，上是增函数，又11y x x=+-[1)+∞，上恒不等于0，则11yx x=++-在[1)+∞，上是减函数，则()h x的最大值为()12h=又因为()0h x>，所以()h x的值域为(02]，，故选项C正确；对于选项D：()w x的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx cy dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.15．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意；（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解16．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A ．1ab = B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确； 令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈， 当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称， 则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=，1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．已知函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩，其中实数 a ∈R ，则下列关于 x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（ ） A ．a 取任意实数时，方程最多有5个根B a <<时，方程有2个根C ．当 a =时，方程有3个根 D ．当 a ≤ −4时，方程有4个根 【答案】CD 【分析】先化简方程为()1f x =或()f x a =，再对a 进行分类讨论，结合图象来确定()1f x =或()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.【详解】解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]()1()0f x f x a --=，故()1f x =或()f x a =.函数2ln(1),0()21,0x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式()()411a a ∆=+-.（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，1a =时已知方程有1个根；（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：10a -<<时，函数()f x 图象如下：由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15a --<， 故当15a --<时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当152a -=时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当1512a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；1512a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当15a --=3个根，C 正确；当 1542a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.18．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+， 等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断； 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+， 由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a+>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥，所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.19．已知()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()1a <的实根个数可能为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令12t x x =+-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，判断出实根个数构成的集合. 【详解】画出()f x 的图像如图所示，令12t x x=+-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5t t =-=，由()2221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()22201t t --+=≥，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或405t <<或32t <<+合12t x x =+-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，405t <<或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =或2t =+0t =有一个1x =与其对应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合12t x x=+-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有2个实数根.综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC【点睛】方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20．函数()()1xfx x Rx=∈+，以下四个结论正确的是（）A．()f x的值域是()1,1-B．对任意x∈R，都有()()1212f x f xx x->-C．若规定()()()()()11,n nf x f x f x f f x+==，则对任意的(),1nxn N f xn x*∈=+ D．对任意的[]1,1x∈-，若函数()2122f x t at≤-+恒成立，则当[]1,1a∈-时，2t≤-或2t≥【答案】ABC【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01xxf xxx⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212f x f xx x->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有()11xf xx=+，若()1,1(1)nxn N f xn x*-∈=+-，∴当2n≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n nxxn xf x f f xx n xn x-+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.。
2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案
2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的定义域为[]1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数()1f x +的值域为[]2,3C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()0,3D ．已知函数()23,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.【详解】对于A, ()y f x =的定义域为[]1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为[]0,1，故正确；对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相同，故错误；对于C, 函数2()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需(2)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()23f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()23f x x x=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.2．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．1515-+⎣⎦是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为325+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得1x =，2x =，所以1212a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.3．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC 【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222ttt t y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222ttt t y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点，而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.4．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为( ) A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，0x ≥时，()x f x e x b =+-，显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4sin 3x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.5．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确； 故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.7．已知函数()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，以下结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间[]4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则619ii x==∑D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239()()24f x x =-++，()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3x ，4x 关于直线32x =对称，5x ，6x 关于直线92x =对称， ∴613392229222i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13k =-，若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 113k ∴-<<-或1k =，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．8．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >，综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确， 设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．9．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩,则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞【答案】CD 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】对于A 选项，当0x >时，0x -<，则()22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =所以函数221y x x =++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=当0x <时，0x ->，则22()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则22()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x xm x m -=⇔=令函数()()g x f x x=，函数y m =由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-所以12,012,12)01,1(x x x x x x x x x g x ⎧++>⎪⎪⎪-++<⎨⎪⎪--<-⎩=⎪当0x >时，设1201x x ，()()()()121212121212111x x x x g x g x x x x x x x ---=+--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()()()1212121210x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增同理可证，函数()g x 在区间)1⎡⎣上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增11241)1(g ++==函数()g x 图象如下图所示由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x=的图象有两个不同的交点则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.10．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2n nx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222nx n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.11．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>-D ．2212log 2mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ 51≥=-①.令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.12．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可． 【详解】解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确； 对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=； 当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=； 当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．13．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A.对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD 【点睛】关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.14．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.15．下列函数求值域正确的是（ ）A．()1f x x =+的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C．()h x =(0D．()w x =的值域为[2【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B；()h x ==利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()w x =()24w x =，由于()0w x >，可得()w x =2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，，其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立， 当1x >-时，10x +>，此时11(1)(1)211x x x x ++≥+⨯=++，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，， (11)(11)()111111x x x x h x x x x x x x ++-+--=+-==++-++-，因为1y x =+1y x =-[1)+∞，上是增函数，所以11y x x =+-[1)+∞，上是增函数，又11y x x =+-[1)+∞，上恒不等于0，则11y x x =++-在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()12h = 又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(02]，，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，， ()2()131313213w x x x x x x x x x =-+=-++=-+++-⋅+222(1)(3)422342(1)44x x x x x =-++=--++=-+++设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]240,4t +，[]2444,8t +∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y Ax =+22ax bx cy dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.16．已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a. 【详解】令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t = （1）当1t =，即()1f a =，由()22,1,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩，得1a =±时，经检验均满足题意； （2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()20f a a ==，解得：0a =；综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解17．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.18．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.19．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+， 所以23()()22f x f x x ax a =--=-+-，综上2232,02()0,032,2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.20．已知函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数可能为（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】ABC 【分析】以()1f x =的特殊情形为突破口，解出1x =或3或45或4-，将12x x+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可. 【详解】 由基本不等式可得120x x +-≥或124x x+-≤-， 作出函数()()()52log 1,122,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩的图像，如下：①当2a >时，1224x x +-≤-或1021x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为4； ②当2a =时，1224x x +-=-或1021x x <+-<或122x x+-=， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为6； ③当12a <<时，12424x x -<+-<-或1021x x <+-<或1122x x<+-< 或1223x x<+-<，故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为8； ④当1a =时，124x x +-=-或1021x x <+-<或121x x +-=或123x x+-=，故方程12f x a x ⎛⎫+-=⎪⎝⎭的实数根个数为7； ⑤当01a <<时，1420x x -<+-<或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； ⑥当0a =时，120x x +-=或1324x x<+-<， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为3； ⑦当0a <时，123x x+->， 故方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实数根个数为2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.。
2021年高考数学二轮复习 函数与导数解答题专题训练(含解析)
1．(xx·皖南八校联考)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)． (1)由题意得f ′(2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2＝－1，解得a ＝58.(2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，f (x )的增区间为(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a ，(0，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 2．(xx·云南二模)已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x ，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2. (2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又当x ∈[－2，－1]时，x e x <0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0， ∴⎩⎨⎧－22－2m ＋3＋2m －2≤0，－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增． 3．(文)(xx·山西四校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x－x ln x，函数定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－ln x，由－ln x＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上是减函数．(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－x ln x，由f(x)≥bx2＋2x，得(1－b)x－1≥ln x.∵x>0，∴b≤1－1x－ln xx恒成立．令g(x)＝1－1x－ln xx，可得g′(x)＝ln xx2，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴b的取值范围是(－∞，0]．3．(理)(文)4.(xx·广州调研)已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N *，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )是二次函数， 不等式f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)，a >0. ∴f ′(x )＝2ax －5a .∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行， ∴f ′(1)＝－6.∴2a －5a ＝－6，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .(2)由(1)知，方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增．∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0，∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内各有一个实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的正整数t ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(t ，t ＋1)内有且只有两个不相等的实数根．4．(理)(文)5.(xx·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的实数m 使t ＝f (m )；(3)设(2)中所确定的m 关于t 的函数为m ＝g (t )，证明：当t >e 时，有710<ln g tln t<1.解 (1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．(2)当0<x ≤1时，f (x )≤0，又t>0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)，由(1)知h(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，h(1)＝－t<0，h(e t)＝t(e t－1)>0，∴存在唯一的实数m，使t＝f(m)成立．(3)∵m＝g(t)且由(2)知t＝f(m)，t>0，当t>e时，若m＝g(t)≤e，则由f(m)的单调性有t＝f(m)≤f(e)＝e，矛盾，∴m>e.又ln g tln t＝ln mln f m＝ln mln m ln m＝ln mln m＋ln ln m＝uu＋ln u，其中u＝ln m，u>1，要使710<ln g tln t<1成立，只需0<ln u<3 7 u.令F(u)＝ln u－37u，u>1，F′(u)＝1u－37，当1<u<73时，F′(u)>0，F(u)单调递增；当u>73时，F′(u)<0，F(u)单调递减．∴对u >1，F (u )≤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<0，即ln u <37u 成立．综上，当t >e 时，710<ln g tln t<1成立．5．(理)(xx·浙江考试院抽测)已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f (x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1.(1)若f (x )在(0,3)上无极值点，求m 的值；(2)若存在x 0∈(0,3)，使得f (x 0)是f (x )在[0,3]上的最值，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2－6(m ＋a )x ＋12m ＝3(x －2)(ax －2m )， 由于f (x )在(0,3)上无极值点， 故2ma＝2，所以m ＝a .(2)由于f ′(x )＝3(x －2)(ax －2m )，故①当2ma≤0或2ma≥3，即m ≤0或m ≥32a 时，取x 0＝2即满足题意． 此时m ≤0或m ≥32a .②当0<2ma<2，即0<m <a 时，列表如下：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m a2ma⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ，2 2 (2,3) 3f ′(x )＋ 0 － 0 ＋f (x )1 单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m ＋1故f (2)≤f (0)或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m a ≥f (3)，即－4a ＋12m ＋1≤1或－4m 3＋12m 2aa 2＋1≥9m ＋1，即3m ≤a 或－m 2m －3a2a 2≥0，即m ≤a 3或m ≤0或m ＝3a 2.此时0＜m ≤a3.③当2<2m a <3，即a <m <3a2时，列表如下：x 0 (0,2) 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2m a2ma⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ，3 3f ′(x )＋ 0 － 0 ＋f (x )1 单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m ＋1故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ≤f (0)或f (2)≥f (3)，即－4m 3＋12m 2a a2＋1≤1或－4a ＋12m ＋1≥9m ＋1， 即－4m 2m －3a a2≤0或3m ≥4a ，即m ＝0或m ≥3a 或m ≥4a 3.此时4a 3≤m ＜3a 2.综上所述，实数m 的取值范围是m ≤a 3或m ≥4a3.40806 9F66 齦n29197 720D 爍N39551 9A7F 驿^35617 8B21 謡42H26687 683F 栿298137475 瑵21691 54BB 咻U。
(江苏专用)2021高考数学二轮复习第二篇第15练函数的概念、图象与性质试题理
第15练 函数的概念、图象与性质[明晰考情] 1.命题角度：(1)以根本初等函数为载体，考察函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；(2)利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题. 2.题目难度：中档难度.考点一 函数及其表示要点重组 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原那么：f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围一样.(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原那么. y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 解析 函数有意义，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12. f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，假设f (a )＝f (a ＋1)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6解析 假设0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 假设a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)，得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解.综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________.答案 [0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，得0≤x ＜1，∴函数g (x )的定义域为[0,1).f (x )＝2a x－2021a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______.答案 (－2021,2)解析 f (x )＝2a x－2021a x ＋1＝2(a x＋1)－2021a x ＋1＝2－2021a x ＋1， 因为a x＞0，所以a x ＋1＞1， 所以0＜2021a x＋1＜2021，所以－2021＜2－2021a x ＋1＜2， 故函数f (x )的值域为(－2021,2). 考点二 函数的图象及应用方法技巧 (1)函数图象的判断方法，①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由根本初等函数经过怎样的变换得到. (2)利用图象可确定函数性质、方程与不等式的解等问题.5.(2021·扬州模拟)假设函数y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，那么y ＝f (－x )＋1的图象必经过的点的坐标是________. 答案 (－1,3)解析 根据y ＝f (x )的图象经过点(1,2)，可得y ＝f (－x )的图象经过点(－1,2)，函数y ＝f (－x )＋1的图象经过点(－1,3).6.(2021·宿迁调研)如图，过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点，假设BC ∥x 轴，那么四边形ABDC的面积为________.答案433log 23 解析 设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2.由题设知，x 1>1，x 2>1.那么点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2. 因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2). 由BC 平行于x 轴知，log 2x 1＝log 8x 2， 即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1， 由x 1>1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1>1， 解得x 1＝ 3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16log 23， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，12log 23，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12log 23，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，32log 23.∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )×BC＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 23＋log 23×23＝433log 23. y ＝11－x的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________. 答案 8解析 如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，那么a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，12解析 不等式4a x －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图1知不满足题意；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，那么f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1， 即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.考点三 函数的性质与应用要点重组 (1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解.(2)函数单调性的应用：可以比拟大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性. (3)函数周期性的常用结论：假设f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f (x )，那么2a 是函数f (x )的周期.f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，那么f (6)＝________.答案 2解析 当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2. y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，那么当x ∈[－2,0]时，f (x )＝__________. 答案 3－|x ＋1|解析 由题意得，f (x )的周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，x ＋2∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2. 又f (x )为偶函数，∴当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，f (－x )＝－x ＋2， ∴f (x )＝－x ＋2；当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0,1]，f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋4.综上，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝3－|x ＋1|.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝13x ＋sin x .设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系是________.(用“<〞连接)答案 c <a <b解析 因为函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，即f (x )＝f (π－x ).又因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝13x ＋sin x ，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上单调递减，因为2<π－1<3，所以f (2)>f (π－1)＝f (1)>f (3)，即b >a >c . y ＝f (x )，x ∈R ，有以下四个命题：①假设f (1＋2x )＝f (1－2x )，那么f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③假设f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，那么f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④假设f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，那么f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①②④解析 对于①，1＋2x ＋1－2x2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，那么问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0，即x ＝2对称，故②正确；对于③，由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；对于④，由于函数f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确.f (x )的定义域为(－1,1)，那么函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为________. 答案 (0,2)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2，故0＜x ＜2.f (x )为R 上的减函数，那么满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________.答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.∴－1＜x ＜0或0＜x ＜1.f (x )＝2x 2＋e x －13(x <0)与g (x )＝2x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，那么a 的取值范围是________. 答案 (－∞，23e )解析 由题意得，函数f (x )＝2x 2＋e x －13(x <0)与g (x )＝2x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y轴对称的点，那么可转化为f 1(x )＝e x－13(x <0)与g 1(x )＝ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，那么函数f 1(x )＝e x －13(x <0)只需将函数y ＝e x(x <0)向下平移13个单位长度，函数g 1(x )＝ln(x ＋a )只需将函数y ＝ln x 的图象向左或向右平移|a |个单位长度，要使f 1(x )与g 1(x )的图象上存在关于y 轴对称的点，只需使y ＝e －x－13(x >0)与y ＝ln(x ＋a )图象有交点，在同一坐标系内作出它们的图象.如下图，可得假设a ≤0，那么两函数图象必存在交点，假设a >0，那么需ln a <1－13＝23，解得0<a <23e ，所以a <23e .解题秘籍 (1)从映射的观点理解抽象函数的定义域，如函数y ＝f (g (x ))中，假设函数y ＝f (x )的定义域为A ，那么有g (x )∈A .(2)利用函数的性质求函数值时，要灵活应用性质对函数值进展转换. (3)解题中要利用数形结合的思想，将函数图象、性质有机结合.f (x )＝3x21－x＋lg (3x ＋1)的定义域是________. 答案 [0,1)解析 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧lg (3x ＋1)≥0，3x ＋1＞0，1－x ＞0，即0≤x ＜1.故函数的定义域为[0,1).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，那么f (f (2))＝________.答案 1解析 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1.f (xf (1)＝－1，那么满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________.答案 [1,3]解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1). 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a.因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(ma ＝f (log3)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，那么a ，b ，c 的大小关系为________. 答案 c ＜a ＜b 解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数，得m ＝0，那么f (x )＝2|x |x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝2x－1单调递增，又a ＝f (log3)＝f (|log3|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，那么f (0)＜f (log 23)＜f (log 25)， 即c ＜a ＜b .f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，ax ＋1，x ≤0，假设f (4)＝3，那么f (x )>0的解集为________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x ≤0或x >12 解析 因为f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x ≤0或x >12. f (x )＝2x x －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，那么m2M ＝________.答案 83解析 易知f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以f (x )在区间[3,4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝166＝83. f (x ＋2)(x ∈R )为奇函数，且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x2021，那么f (2021)＝________. 答案 0解析 由题意知，f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (－x ＋4)，又f (x )＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋4)＝f (－x ＋2)，∴－f (－x ＋2)＝f (－x )，∴f (－x ＋4)＝f (－x )，∴f (x )的周期为4，故f (2021)＝f (2021＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.f (x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12，那么∑2021k ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2021＝________.答案 1009解析 由所给函数知，f (x )＋f (1－x )＝x 2x －1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＋1－x 2(1－x )－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x －π＋12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π＋12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－12＝1，所以∑2 018k ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 019＝2 0182＝1 009. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论.当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立.当x ＞12时，原不等式为2x＋122x -＞1，显然成立.综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，假设a [f (a )－f (－a )]>0，那么实数a 的取值范围为______________________. 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a >0时，a 2＋a －[－3(－a )]>0⇒a 2－2a >0⇒a >2；当a ＜0时，－3a －[(－a )2＋(－a )]<0⇒a 2＋2a >0⇒a <－2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两局部的函数称为圆O 的“和谐函数〞，以下函数是圆O 的“和谐函数〞的是________.(填序号) ①f (x )＝e x＋e －x；.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
高考数学二轮复习：课时检测2 函数概念与基本处等函数
高考数学二轮复习：课时检测2 函数概念与基本处等函数第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于y 轴对称，若，则的值为( )A ．-eB ．-C ．eD ．【答案】B2．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数 ①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ= 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④【答案】D3．已知函数y ＝3x －a ，它的反函数是y ＝bx ＋2，则( )A ．a ＝6，b ＝31 B ．a ＝－6，b ＝31 C ．a ＝2，b ＝3 D ．a ＝6，b ＝3【答案】A4．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若x x f x g 2)()(-= 在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则函数)(x g 在[12,12]-上的值域为( ) A ．]6,2[- B ．[20,34]-C ．[22,32]-D ． [24,28]-【答案】B5．函数k y xx x -⎪⎭⎫⎝⎛=-221的零点有三个，则实数k 的取值范围是( )A ．()2,∞-B ．()2,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21D ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 【答案】C6．若定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a )<f(b)，则一定可得( )A ．a <bB ．a >bC ．|a |<|b|D ．0≤a <b 或a >b≥0 【答案】C7．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7【答案】C8．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．1ln ||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．y ＝cosx【答案】A9．关于函数xx x f 12)(+=，下列命题判断错误的是( )A ．图像关于原点成中心对称B ． 值域为[)+∞,4C ．在(]1,-∞-上是减函数D ． 在(]1,0上是减函数【答案】A10．已知c a b 212121log log log <<，则( )A ． 2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ． 2c >2b >2aD ．2c >2a >2b【答案】A11．（2l og 9）·（3log 4）=( )A ．14 B ．12C ．2D ．4【答案】 D12．函数在处连续，则a 的值为( ) A ．5 B ．3C ．2D ．1【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．函数y =的定义域是________________.【答案】()1,214．消去未知数“y ”，化22(440,y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩（k 为已知常数）为只有“x ”的一元二次方程为____________【答案】2222(14)1240k x x k +-+-=15．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为【答案】2-16．如果lgm ＋lgn ＝2，那么m ＋n 的最小值是 ． 【答案】20三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】要使()f x 有意义，则201xx ->-，解得12x <<，即A ={}12x x <<由x a a --<22，解得a x 2-<， 即}2|{a x x B -<=A B ⊆∴a 22-≤解得1-≤a故实数a 的取值范围是}1|{-≤a a18．设f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a 2＋2a －5)<f(2a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)∵f(x)为R 上的偶函数，∴f(－a 2＋2a －5)＝f －(－a 2＋2a －5)＝f(a 2－2a ＋5)． ∴不等式等价于f(a 2－2a ＋5)<f(2a 2＋a ＋1)， ∵a 2－2a ＋5＝(a －1)2＋4>0，而2a 2＋a ＋1＝2(a ＝14)2＋78>0.∵f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，而偶函数图像关于y 轴对称， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴由f(a 2－2a ＋5)<f(2a 2＋a ＋1)，得a 2－2a ＋5>2a 2＋a ＋1⇒a 2＋3a －4<0 ⇒－4<a<1，∴实数a 的取值范围是(－4,1)．19．函数xax x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）． ⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；【答案】（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；(2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-x x a x x只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，故a 的取值范围是]2,(--∞；20．设函数cos cos ()22x x f x αα+-+=-,x R ∈，且3(1)4f =.(1)求α的取值的集合； (2)若当02πθ≤≤时,(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】 (1) 3(1)4f =, 1cos 1cos 3224αα+-+-=cos 122α=cos 1α=-,α的取值的集合:}{2k k Z |,αα=π+π∈ (2) 由（1）知，11()22x x f x ---=-，在x R ∈上为增函数，且为奇函数，(cos )(1)0f m f m +-> θf (mcos )f (m 1)∴θ>-， m(cos 1)1θ->-当0θ=时，cos 1θ=，m R ∈当02π<θ≤时，0cos 1≤θ<。
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析 令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析 令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析 令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析 若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析 当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析 令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析 对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案
2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2nnx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222n x n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.3．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数B ．对于任意实数a b ，，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；对于B 选项，令[]a a r =+，[](,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的点，由图可知，实数a 的取值范围是][3443,,4532⎛⎫⋃⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，01q ≤<，[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]0y =，此时不满足()()f x f y =，故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；4．定义在R 上的函数()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--,若()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数,且存在20t -<<,使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式一定成立的是( )A ．21(1)()2f t t f ++>B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】ABC 【分析】先由()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--推出()f x 关于1x =-对称，然后可得出B 答案成立，对于答案ACD ，要比较函数值的大小，只需分别看自变量到对称轴的距离的大小即可 【详解】因为()(),()22(2)f x x g x g x x g x =+=--+--所以(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+= 所以()f x 关于1x =-对称，所以(0)(2)f f =- 又因为()f x 在区间[1,)-+∞上为增函数，20t -<< 所以(0)(2)()f f f t =-> 因为(0)()0f f t ⋅<所以()0,(2)(0)0f t f f <-=> 所以选项B 成立因为2231120224t t t ⎛⎫++-=++> ⎪⎝⎭所以21t t ++比12离对称轴远 所以21(1)()2f t t f ++>，所以选项A 成立 因为()()2232250t t t +-+=+>所以32t t +>+，所以2t +比1t +离对称轴远 所以(2)(1)f t f t +>+，即C 答案成立因为20t -<<，所以()()222123t t t +-+=+符号不定 所以2t +，1t +无法比较大小，所以(1)()f t f t +>不一定成立 所以D 答案不一定成立 故选：ABC 【点睛】本题考查的是函数的性质，由条件得出()f x 关于1x =-对称是解题的关键.5．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为10,2⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()221b a -==+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以12a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.6．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有3个零点D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2a∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32m =- 【答案】AC 【分析】根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案 【详解】函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：222,22322,20()0,022,022,223x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩绘制该函数的图象如所示：对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误； 对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2， 故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2a ∈，故C 正确对D ：3()2f x =时，函数的零点有136x =、21x =+、21x =-； 若使得其与()f x m =的所有零点之和为0， 则32m =-或38m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误故选：AC 【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立8．已知函数()221,0log1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6 C ．5 D ．4【答案】ACD 【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤故211212a <+-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.9．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()xx f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x ee -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()xx f x ee -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()xx f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()xx f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.10．函数1()()0()x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的值域是{0,1}C ．方程(())f f x x =的解为1x =D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】ABC 【分析】逐项分析判断即可.【详解】当x-为有理数时，x也为有理数∴()1f x-=当x-为无理数时，x也为无理数∴()0f x-=∴1()()0()xf xx⎧-=⎨⎩为有理数为无理数∴()()f x f x-=()f x∴是偶函数，A对；易知B对；1x=时，()((1))11f f f==∴C对(())()f f x f x=的解为全体有理数∴D错故选：ABC.【点睛】本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.11．已知函数22(2)log(1),1()2,1xx xf xx+⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x的方程()f x m=有四个不等实根1x，2x，3x，()41234x x x x x<<<，则下列结论正确的是（）A．12m<≤B．11sin cos0x x->C．3441x x+>-D．2212logmx x++10【答案】ACD【分析】画出()f x的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x的取值范围，利用特殊值确定B选项错误，利用基本不等式确定CD选项正确.【详解】画出()f x的图象如下图所示，由于关于x的方程()f x m=有四个不等实根1x，2x，3x，()41234x x x x x<<<，由图可知12m<≤，故A选项正确.由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-， 由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确. 由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-， 所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ 51≥=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数B ．(2020)(2021)1f f +=C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点()*8,i x i i N ≤∈，则8116i i x ==∑【答案】BCD 【分析】对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则814416ii x==⨯=∑，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.13．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】BC 【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+14．已知53a =，85b =，则（ ） A ．a b < B ．112a b+> C ．11a b a b+<+ D ．b a a a b b +<+【答案】ABD 【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确． 【详解】解：∵53a =，85b =， ∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=， 又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确； 35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11a b a b+>+，故选项C 不正确； 由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()x g x b =均递减， 再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．15．1837年，德国数学家狄利克雷(P .G.Dirichlet ，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（ ）A ．()D x 是偶函数B ．,(())1x R D D x ∀∈=C ．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D ．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC 为正三角形 【答案】ABCD 【分析】利用定义判断函数奇偶性，可确定A 的正误，根据“狄利克雷函数”及有理数、无理数的性质，判断其它三个选项的正误. 【详解】A ：由()D x 定义知：定义域关于原点对称，当x Q ∈则x Q -∈，当R x Q ∈则Rx Q -∈，即有()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，正确；B ：由解析式知：,()1x R D x ∀∈=或()0D x =，即(())1D D x =，正确；C ：任意的有理数t ，当x Q ∈时，x t Q +∈即()()D x t D x +=，当R x Q ∈时，R x t Q +∈即()()D x t D x +=，正确；D ：若存在ABC 为正三角形，则其高为1，所以当((0,1),A B C 时成立，正确； 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：应用函数的奇偶性判断，结合新定义函数及有理数、无理数的性质判断各选项的正误.16．对于函数()9f x x x=+，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数B ．函数()f x 的值域是(][),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有()()12120f x f x x x ->-D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定()()1212,0f x f x x x --的大小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫⎪+⎝⎭大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，()96f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，()9[()()]6f x x x=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；故其值域(][),66,-∞-⋃+∞，正确；C ：当1203x x <<<时，()()1212121212999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+-=--，而120x x -<，12910x x -<，则()()120f x f x ->，所以()()12120f x f x x x -<-，错误；D ：若120x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++⎪+⎝⎭，12121299()()f x f x x x x x +=+++，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫- ⎪⎝+=-++⎭，而121221212364199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.17．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解，所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.18．若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x ，当0x <时，23()22f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（ ）A ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，1(1)2(1)a x x =-+++-+，0x >时，4242a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图象，则可得知方程()2af x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】 因为()()0f x f x 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =， 当0x >时，0x -<，23()22f x x ax a -=-+，所以23()()22f x f x x axa =--=-+-， 综上2232,02()0,032,02x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪==⎨⎪⎪-+->⎩，若0x =是方程()2af x ax =+的一个根， 则0a =，此时()2af x ax =+，即()0f x =， 而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，在R 上单调递减，当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，23222a x ax a ax ++=+， 所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，所以21(1)21(1)x a x x x =-=-++++-+， 当0x >时，23222ax ax a ax -+-=+， 所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，所以242422x a x x x ==-++--，如图：若方程()2af x ax =+有两个不同的实数根， 则0a <或48a <<；若方程()2af x ax =+有4个不同的实数根，则8a >.故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程()2af x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.19．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1，故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.20．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在定义域上单调递增C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >D ．()()()()()()()()()()()()2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算(2)(21)f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．【详解】令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，∴对于任意x ∈R ，2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，11111111121nn n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭个个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 同理()(111)(1)(1)(1)21n f n f f f f =+++==>，对任意正有理数p ，显然有m p n=（,m n 是互质的正整数），则1()1mm f p f fn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,p p p 的极限，而()1i f p >，i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)2(21)f n f n =-，∴()()()()()()()()()()()()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．。
2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数学案含解析打包6套
专题二函数与导数考情分析函数与导数是高中数学的主干知识,是高考考查的重点内容,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,对函数与导数的考查多数为“三小一大”或“四小一大”,题型遍布选择、填空与解答,难度上分层考查;基础题考查考生对必备知识和基本方法的掌握;中档题考查的是“数学抽象”“逻辑推理”和“数学运算”三大核心素养;导数与函数解答题综合考查多个核心素养以及综合应用能力,近两年的难度有所降低,题目所在试卷的位置有所提前,不再固定在最后压轴位置上,预计这一趋势会保持下去.2.1函数概念、性质、图象专项练必备知识精要梳理1.函数的概念(1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解.(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子).2.函数的性质(1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.(3)函数周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数).3.函数的图象(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对∀x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线x=对称;若y=f(x)对∀x∈R都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则f(x)的图象关于点对称.(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)和y=f(b+x)的图象关于直线x=对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.考向训练限时通关考向一函数及其相关概念1.(2020安徽合肥一中模拟,理1)设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A.⌀B.RC.{x|x>3}D.{x|x>0}2.(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,定义函数:f(x)=x-[x],则下列命题正确的是()A.f(-0.8)=0.2B.当1≤x<2时,f(x)=x-1C.函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1)D.函数f(x)是增函数、奇函数3.(2020北京,11)函数f(x)=+ln x的定义域是.4.设函数f(x)=则f=,f(f(x))=1的解集为.考向二函数的性质5.(2020天津,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b6.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在单调递增B.是奇函数,且在单调递减C.是偶函数,且在单调递增D.是奇函数,且在单调递减7.(2020全国Ⅲ,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b8.(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=则f(5+log26)的值为.考向三函数的图象9.(2020天津,3)函数y=的图象大致为()10.(2020山西太原二模,理6)函数f(x)=的图象大致为()11.(2020山东济宁6月模拟,5)函数f(x)=cos x·sin的图象大致为()考向四函数的概念、性质、图象的综合12.(多选)(2020山东淄博4月模拟,12)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,则下列说法错误的是()A.f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1,]上具有性质PC.若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]D.对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]13.(2020北京海淀一模,15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记点P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是.专题二函数与导数2.1函数概念、性质、图象专项练考向训练·限时通关1.C解析A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}.∴A∩B={x|x>3},故选C.2.ABC解析f(x)=x-[x]表示数x的小数部分,则f(-0.8)=f(-1+0.2)=0.2,故A正确;当1≤x<2时,f(x)=x-[x]=x-1,故B正确;函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1),故C正确;当0≤x<1时,f(x)=x-[x]=x.当1≤x<2时,f(x)=x-1.当x=0.5时,f(0.5)=0.5,当x=1.5时,f(1.5)=0.5,则f(0.5)=f(1.5),即f(x)不为增函数,由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-1.5)=f(1.5),即f(x)不为奇函数,故D不正确.故选ABC.3.(0,+∞)解析由题意得∴x>0,故答案为(0,+∞).4{1,e e}解析∵f=ln<0,∴f=fx<0时,0<e x<1,x=0时,e x=1,方程f(f(x))=1,可得f(x)=0,ln x=0,解得x=1,f(x)>0时,方程f(f(x))=1,可得ln[f(x)]=1,f(x)=e,即ln x=e,解得x=e e.5.D解析∵b==30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,∴c<a<b.故选D.6.D解析由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数.当x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),∴f'(x)=>0,∴f(x)在区间内单调递增.同理,f(x)在区间内单调递减.故选D.7.A解析a=log53=lo34=log12581<1,∴a<b=log85=lo54=log512625>1,∴b>,∵55<84,b=log85=lo55<1,∴b<,∵134<85,c=log138=lo85>1,∴c>综上,a<b<c.8.12解析由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)时,周期为1,因为2<log26<3,所以5+log26∈(7,10),1+log26∈(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)==2×6=12.9.A解析∵函数y=为奇函数,∴排除C,D.再把x=1代入得y==2>0,排除B.故选A.10.A解析f(1)=>0,排除选项C,D;由f(x)==0,则方程无解,即函数没有零点,排除B,故选A.11.C解析显然函数f(x)的定义域是R,由f(x)=cos x·sin,得f(-x)=cos(-x)sin=cos x·sin=-f(x),即f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A,B;又f(1)=cos1·sin>0,可排除选项D,故选C.12.ABD解析对于A,函数f(x)=在[1,3]上具有性质P,但f(x)在[1,3]上的图象不连续,故选项A错;对于B,f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,但f(x2)=-x2在[1,]上不满足性质P,故选项B 错;对于C,因f(x)在x=2处取得最大值1,所以f(x)≤1,设x∈[1,2],则4-x∈[2,3].由性质P可得1=f(2)[f(x)+f(4-x)],所以f(x)+f(4-x)≥2,因为f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)+f(4-x)≤2,所以f(x)+f(4-x)=2,又f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)=1,x∈[1,3],故选项C正确;对于D,有f=ff+f[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故选项D错.故选ABD.13.①②解析由题可得函数f(x)=作出图象如图.则当点P与△ABC顶点重合时,即x的值分别是0,6,12,18时,f(x)取得最大值12,故①正确;又f(x)=f(18-x),所以函数f(x)的对称轴为x=9,故②正确;由图象可得,函数f(x)图象与y=kx+3的交点个数为6个,故方程有6个实根,故③错误.2.4.3利用导数证明问题及讨论零点个数必备知识精要梳理1.与e x、ln x有关的常用不等式的结论(1)由f(x)=e x图象上任一点(m,f(m))的切线方程为y-e m=e m(x-m),得e x≥e m(x+1)-m e m,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有e x≥x+1;当m=1时,有e x>e x.(2)由过函数f(x)=ln x图象上任一点(n,f(n))的切线方程为y-ln n=(x-n),得ln x≤x-1+ln n,当且仅当x=n时,等号成立.当n=1时,有ln x≤x-1;当n=e时,有ln x≤x.2.证明含参数的函数不等式,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到“一平一曲”,然后运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.3.求解导数应用题宏观上的解题思想(1)借助导函数(正负)研究原函数(单调性);重点是把导函数先“弄熟悉”;(2)为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施:①通分;②二次求导或三次求导;③能画出导函数草图是最好的!关键能力学案突破热点一利用导数证明不等式(多维探究)类型一单未知数函数不等式的证明【例1】已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)略;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.解题心得1.对于含有参数的一个未知数的函数不等式,其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致.可以直接证明,也可以放缩后再证明,也可以分离参数后,利用导数求最值来证明.2.证法1与证法2中出现的x0的具体数值是无法求解的,只能求出其范围,我们把这种零点称为“隐性零点”.证法2比证法1简单,这是因为利用了函数单调性将命题e x-ln(x+m)>0加强为e x-ln(x+2)>0,转化为研究一个特例函数的问题,从而大大降低了题目的难度.证法2中,因为φ(x0)的表达式涉及、ln(x0+2),都是超越式,所以φ(x0)的值不好计算,由此,需要对“隐性零点”满足的式子=0进行变形,得到两个式子和ln(x0+2)=-x0,然后进行反代,从而将超越式转化为初等式.“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略.【对点训练1】已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)求证:当a≥1时,f(x)+e≥0.【例2】已知函数f(x)=x+.(1)略;(2)设函数g(x)=ln x+1,证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).解题心得欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x)>0,为此研究h(x)的单调性,先求h'(x)的零点,根据零点确定h(x)在给定区间I的正负,若h(x)在区间I内递增或递减或先递减后递增,只须h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),若h(x)在区间I内先递增后递减,只须区间I的端点的函数值大于或等于0;若h'(x)的零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点的范围,进而确定h(x)的单调区间,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正负.【对点训练2】(2020全国Ⅱ,理21)已知函数f(x)=sin2x sin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;(2)证明:|f(x)|≤;(3)设n∈N*,证明:sin2x sin22x sin24x…sin22n x≤.类型二双未知数函数不等式的证明【例3】已知函数f(x)=-x+a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.解题心得对于两个未知数的函数不等式问题,其关键在于将两个未知数化归为一个未知数,常见的证明方法有以下4种:方法1:利用换元法,化归为一个未知数;方法2:利用未知数之间的关系消元,化归为一个未知数;方法3:分离未知数后构造函数,利用函数的单调性证明;方法4:利用主元法,构造函数证明.【对点训练3】(2020山东德州二模,21)已知函数f(x)=x2-ax+a ln 2x(a≠0).(1)若a<0时f(x)在[1,e]上的最小值是-ln 2,求a;(2)若a≥e,且x1,x2是f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2)<)-2e(其中e为自然对数的底数).热点二判断、证明或讨论函数零点个数【例4】设函数f(x)=(x-1)e x-x2(其中k∈R).(1)略;(2)当k>0时,讨论函数f(x)的零点个数.解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图象,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的范围.【对点训练4】(2020湖南湘潭三模,理21)设函数f(x)=ln x,g(x)=.(1)当m=-1时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点个数;(2)若∃x0∈[1,+∞),使得f(x0)<g(x0),求实数m的取值范围.热点三与函数零点有关的证明问题【例5】(2019全国Ⅰ,理20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:(1)f'(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.【对点训练5】(2020安徽合肥二模,文21)已知函数f(x)=e x sin x.(e是自然对数的底数) (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)-2x,证明g(x)在(0,π)上只有两个零点.(参考数据:≈4.8)热点四利用导数解决存在性问题【例6】(2019全国Ⅲ,理20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.解题心得依据已知条件,判别某种数学对象是否存在的问题,由解答者去探索和确定,它的解法是:假设存在,直接推断,通过推理或计算,若推出合理的结果,则先前假设成立,对象存在;若推出矛盾,则否定先前假设,对象不存在.【对点训练6】(2020湖北名师联盟一模,文21)已知函数f(x)=ln x-ax2-x.(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴,是否存在整数k,使不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.2.4.3利用导数证明问题及讨论零点个数关键能力·学案突破【例1】解(1)略.(2)证法1:f(x)定义域为(-m,+∞),f'(x)=e x-,f″(x)=e x+>0,其中f″(x)是f'(x)的导函数,则f'(x)在(-m,+∞)上单调递增.又因为当x→-m+时,f'(x)→-∞,当x→+∞时,f'(x)→+∞,所以f'(x)=0在(-m,+∞)上有唯一的实根x0,当-m<x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-m,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值.由f'(x0)=0可得=0,即ln(x0+m)=-x0,于是f(x0)=-ln(x0+m)=+x0=+x0+m-m≥2-m.当x<2时,f(x0)>0;当m=2时,等号成立的条件是x0=-1,但显然f(-1)=e-1-ln(-1+2)=-0≠0.所以等号不成立,即f(x0)>0.综上所述,当m≤2时,f(x)≥f(x0)>0.证法2:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),于是f(x)≥e x-ln(x+2),所以只要证明φ(x)=e x-ln(x+2)>0,x∈(-2,+∞).φ'(x)=e x-,φ″(x)=e x+>0,其中φ″(x)是φ'(x)的导函数.于是φ'(x)在(-2,+∞)上单调递增.又因为φ'(-1)=-1<0,φ'(0)=1->0,所以φ'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一的实根x0,且x0∈(-1,0).当-2<x<x0时,φ'(x)<0,当x>x0时,φ'(x)>0,所以φ(x)在(-2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,φ(x)取得最小值.由φ'(x0)=0可得=0,即ln(x0+2)=-x0,于是φ(x0)=-ln(x0+2)=+x0=>0,于是φ(x)≥φ(x0)>0.综上所述,当m≤2时,f(x)>0.证法3:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),于是f(x)≥e x-ln(x+2),所以只要证明e x-ln(x+2)>0(x>-2),就能证明当m≤2时,f(x)>0.由ln x≤x-1(x>0)可得ln(x+2)≤x+1(x>-2).又因为e x≥x+1(x∈R),且两个不等号不能同时成立,所以e x>ln(x+2),即e x-ln(x+2)>0(x>-2),所以当m≤2时,f(x)>0.对点训练1解(1)f'(x)=,因为(0,-1)在曲线y=f(x)上,且f'(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)f(x)+e≥0+e≥0⇔ax2+x-1+e x+1≥0.当a≥1时,ax2+x-1+e x+1≥x2+x-1+e x+1,因为e x≥1+x(x∈R),所以e x+1≥2+x,所以x2+x-1+e x+1≥x2+x-1+(2+x)=(x+1)2≥0.所以当a≥1时,f(x)+e≥0.【例2】解(1)略.(2)令h(x)=f(x)-g(x)=x+-ln x-1(x>0),h'(x)=1-,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图象的对称轴为x=∵p(1)=1-1-a=-a<0,设p(x)=0的正根为x0,∴x0>1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,h(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,h(x)min=h(x0)=x0+-ln x0-1=x0+-ln x0-1=2x0-ln x0-2,令F(x)=2x-ln x-2(x>1),F'(x)=2->0恒成立,所以F(x)在(1,+∞)上为增函数.又∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,故当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).对点训练2(1)解f'(x)=cos x(sin x sin2x)+sin x(sin x sin2x)'=2sin x cos x sin2x+2sin2x cos2x=2sin x sin3x.当x时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.所以f(x)在区间单调递增,在区间单调递减.(2)证明因为f(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在区间[0,π]的最大值为f,最小值为f=-而f(x)是周期为π的周期函数,故|f(x)|(3)证明由于(sin2x sin22x…sin22n x=|sin3x sin32x…sin32n x|=|sin x||sin2x sin32x…sin32n-1x sin2n x||sin22n x|=|sin x||f(x)f(2x)…f(2n-1x)||sin22n x|≤|f(x)f(2x)…f(2n-1x)|,所以sin2x sin22x…sin22n x【例3】解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-①若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若Δ=a2-4≤0,即0<a≤2时,f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.③若Δ=a2-4>0,即a>2时,由f'(x)>0,可得<x<,由f'(x)<0,可得0<x<或x>,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>2时,f(x)在0,,,+∞上单调递减,在上单调递增.(2)证法1:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1+x2=a,x1x2=1,不妨设0<x1<1<x2.==--1+=-2+, 于是<a-2⇔-2+<a-2<1<1⇔2ln x2+-x2 <0.构造函数g(x)=2ln x+-x,x>1,由(1)知,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(1)=0,所以原不等式获证.证法2:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2满足x2-ax+1=0,不妨设0<x1<1<x2,则x2-x1=,x1x2=1.==--1+=-2-,于是<a-2⇔-2-<a-2⇔ln lnln设t=,则a=,构造函数φ(t)=t-ln(+t),t>0,则φ'(t)=1-=1->0,所以φ(t)在(0,+∞)上单调递增,于是φ(t)>φ(0)=0,原不等式获证.证法3:仿照证法1,可得<a-2<1,设0<x1<1<x2,因为x1x2=1, 所以<1ln x1-ln x2>ln,令t=(0,1),构造函数h(t)=2ln t+-t,由(1)知,h(t)在(0,1)上单调递减,所以h(t)>h(1)=0,原不等式获证.对点训练3解(1)f(x)定义域是(0,+∞),f'(x)=-a+令g(x)=x2-2ax+2a,对称轴x0=a<0,因为1>a,g(1)=1>0,所以当x∈[1,e]时,g(x)>0,即f'(x)=>0.所以f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=-a+a ln2=-ln2,解得a=-1.(2)由f(x)有两个极值点x1,x2,则f'(x)=0在(0,+∞)有2个不相等的实根,即x2-2ax+2a=0在(0,+∞)有2个不相等的实根, 则解得a>2.x1+x2=2a,x1x2=2a,=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-4a.当a≥e时,f(x1)+f(x2)-)+2e=a ln(4x1x2)-a(x1+x2)-)+2e=a ln8a-2a2-(4a2-4a)+2e=a ln8a-3a2+a+2e(a≥e).令g(a)=a ln8a-3a2+a+2e(a≥e),g'(a)=ln8a-6a+2(a≥e),令h(a)=g'(a)=ln8a-6a+2,h'(a)=-6=,当a≥e时,h'(a)<0,所以h(a)在[e,+∞)单调递减.所以h(a)≤h(e).即g'(a)≤g'(e)=ln8e-6e+2=(1+3ln2)-6e+2=3ln2-6e+3<3-6e+3=6-6e<0,所以g(a)在[e,+∞)单调递减,g(a)≤g(e)=eln8e-3e2+3e=e(1+3ln2)-3e2+3e=e(3ln2-3e+4)<e(3-3e+4)=e(7-3e)<0,所以g(a)<0,所以原不等式成立.【例4】解(1)略.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=e x+(x-1)e x-kx=x e x-kx=x(e x-k),当0<k≤1时,令f'(x)>0,解得x<ln k或x>0.∴f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在[ln k,0]上单调递减.由f(0)=-1,当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(x)max=f(ln k)=(ln k-1)k-ln2k=-[(ln k-1)2+1]<0,此时f(x)无零点,当x∈[0,+∞)时,f(2)=e2-2k≥e2-2>0.又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上有唯一的零点,∴函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.②当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>ln k,∴f(x)在(-∞,0)和(ln k,+∞)上单调递增,在[0,ln k]上单调递减.当x∈(-∞,ln k)时,f(x)≤f(x)max=f(0)=-1<0,此时f(x)无零点.当x∈[ln k,+∞)时,f(ln k)<f(0)=-1<0,f(k+1)=k e k+1-=k e k+1-.令g(t)=e t-t2,t=k+1>2,则g'(t)=e t-t,g″(t)=e t-1,∵t>2,g″(t)>0,g'(t)在(2,+∞)上单调递增,g'(t)>g'(2)=e2-2>0,∴g(t)在(2,+∞)上单调递增,得g(t)>g(2)=e2-2>0,即f(k+1)>0.∴f(x)在[ln k,+∞]上有唯一的零点,故函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.综合①②可知,当k>0时,函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有且只有一个零点.对点训练4解(1)F(x)=ln x-,即F(x)=ln x+(x>0),则F'(x)=,令F'(x)=0,解得x=当x,F'(x)<0,F(x)在上单调递减;当x∈,+∞,F'(x)>0,F(x)在上单调递增.所以当x=时,F(x)min=F-ln2.因为-ln2=ln-ln2<0,所以F(x)min<0.又F=-2+>0,F(e)=1+>0,所以F F<0,F(e)·F<0,所以F(x)分别在区间上各存在一个零点,函数F(x)存在两个零点.(2)假设f(x)≥g(x)对任意x∈[1,+∞)恒成立,即ln x-0对任意x∈[1,+∞)恒成立.令h(x)=ln x-(x≥1),则h'(x)=①当m≤2,即2x-m≥0时,则h'(x)≥0且h'(x)不恒为0,所以函数h(x)=ln x-在区间[1,+∞)上单调递增.又h(1)=ln1-=0,所以h(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立.故m≤2不符合题意;②当m>2时,令h'(x)=<0,得1≤x<;令h'(x)=>0,得x>所以函数h(x)=ln x-在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以h<h(1)=0,即当m>2时,存在x0≥1,使h(x0)<0,即f(x0)<g(x0).故m>2符合题意.综上可知,实数m的取值范围是(2,+∞).【例5】解(1)设g(x)=f'(x),则g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+当x时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'<0,可得g'(x)在区间内有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x时,g'(x)<0.所以g(x)在区间(-1,α)内单调递增,在区间内单调递减,故g(x)在区间内存在唯一极大值点,即f'(x)在区间内存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(ⅰ)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在区间(-1,0)内单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在区间(-1,0]上的唯一零点.(ⅱ)当x时,由(1)知,f'(x)在区间(0,α)内单调递增,在区间内单调递减,而f'(0)=0,f'<0,所以存在,使得f'(β)=0,且当x∈(0,β)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在区间(0,β)内单调递增,在区间内单调递减.又f(0)=0,f=1-ln1+>0,所以当x时,f(x)>0.从而,f(x)在区间上没有零点.(ⅲ)当x时,f'(x)<0,所以f(x)在区间内单调递减.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在区间上有唯一零点.(ⅳ)当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在区间(π,+∞)内没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.对点训练5解(1)f(x)=e x sin x,定义域为R.f'(x)=e x(sin x+cos x)=e x sin x+.由f'(x)<0得sin<0,解得2kπ+<x<2kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z).(2)∵g'(x)=e x(sin x+cos x)-2,∴g″(x)=2e x cos x,g″(x)是g'(x)的导函数.∵x∈(0,π),∴当x时,g″(x)>0;当x ∈,π时,g″(x)<0.∴g'(x)在上单调递增,在上单调递减,又∵g'(0)=1-2<0,g'-2>0,g'(π)=-eπ-2<0,∴g'(x)在(0,π)上图象大致如图.∴∃x1,x2,使得g'(x1)=0,g'(x2)=0,且当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0.∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.∵g(0)=0,∴g(x1)<0.∵g-π>0,∴g(x2)>0.又∵g(π)=-2π<0,由零点存在性定理得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,∴函数g(x)在(0,π)上有两个零点.【例6】解(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=若a>0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x(0,+∞)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(ⅲ)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为f=-+b,最大值为b或2-a+b.若-+b=-1,b=1,则a=3,与0<a<3矛盾.若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0<a<3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.对点训练6解(1)∵函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)=-ax-1≥0在[1,+∞)上恒成立.∴a,∴当x=2时,有最小值-,∴a≤-(2)∵f'(x)=-ax-1,∴f'(1)=1-a-1=-a.∵函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴,∴a=0,∴f(x)=ln x-x.∵不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1时恒成立,∴x ln x-x>k(x-2)在x>1时恒成立,即x ln x-(k+1)x+2k>0在x>1时恒成立,令g(x)=x ln x-(k+1)x+2k,x>1,∴g'(x)=ln x-k,当k≤0时,g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立, 即g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)>g(1)=k-1>0,则k>1,矛盾,当k>0时,令g'(x)>0,解得x>e k,令g'(x)<0,解得1<x<e k, ∴g(x)在(1,e k)单调递减,在(e k,+∞)单调递增.∴g(x)min=g(e k)=k e k-(k+1)e k+2k=2k-e k>0,令h(k)=2k-e k,k>0,则h'(k)=2-e k,∵当k<ln2时,h'(k)>0,函数h(k)单调递增,当k>ln2时,h'(k)<0,函数h(k)单调递减,∴h(k)max=h(ln2)=2ln2-2=2(ln2-1)<0,∴不存在整数k使得2k-e k>0恒成立.综上所述不存在满足条件的整数k.。