四川省宜宾市2014年二诊检测题数学(文)试卷
2014年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷)数学（文科）第Ⅰ卷（共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2014年四川卷，文1，5分】已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集,则A B =（ ）（A ）{1,0}- (B ）{0,1} (C){2,1,0,1}-- （D ）{1,0,1,2}- 【答案】D【解析】由已知得{}12A x x =-，又集合B 为整数集，所以{}1,0,1,2A B =-,故选D ．（2)【2014年四川卷,文2，5分】在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） (A ）总体 （B ）个体 （C ）样本的容 （D ）从总体中抽取的一个样本 【答案】A【解析】由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体;从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200,故选A ．(3）【2014年四川卷,文3，5分】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ )（A ）向左平行移动1个单位长度 （B ）向右平行移动1个单位长度（C ）向左平行移动π个单位长度（D ）向右平行移动π个单位长度 【答案】A【解析】根据平移法则“左加右减"可知，将函数sin y x =的图像上所有的点向左平移移动1个单位长度即可得到函数()sin 1y x =+的图像，故选A ．(4)【2014年四川卷，文4，5分】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积,h 为高)(A ）3 （B ）2 （C ）3 （D)1【答案】D【解析】由俯视图可知,三棱锥底面是边长为2的等边三角形．由侧视图可知，三棱锥的高为3．故该三棱锥的体积11233132V =⨯⨯⨯⨯=，故选D ．（5)【2014年四川卷，文5，5分】若0a b >>，0c d <<,则一定有（ )(A)a b d c > （B ）a b d c < （C ）a b c d > （D ）a bc d<【答案】B【解析】因为0c d <<,所以110c d >>,两边同乘1-,得110d c ->->，又0a b >>，故由不等式的性质可知0a b d c ->->，两边同乘1-，得a bd c<，故选B ．(6)【2014年四川卷,文6，5分】执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈,那么输出的S 的最大值为( ) (A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】C【解析】由程序框图可知，若输入的x ，y 满足约束条件001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，则输出目标函数2S x y =+的值，否则，输出1S =．如图，作出满足条件的可行域．当1x =，0y =时，目标 侧视图俯视图112222111y函数2S x y =+取得最大值2,21>,故输出的S 的最大值为2，故选C ．（7）【2014年四川卷,文7，5分】已知0b >，5log b a =，lg b c =,510d =，则下列等式一定成立的是（ )（A)d ac = （B ）a cd = （C ）c ad = (D)d a c =+ 【答案】B【解析】5log b a =，0b >，故由换底公式得lg lg5ba =,所以lg lg5b a =．因为lg b c =，所以lg5a c =，因为510d =， 所以5log 10d =，即1lg5d =,将其代入lg5a c =中得ac d=，即a cd =，故选B ．（8）【2014年四川卷，文8，5分】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于( ） （A)240(31)m - （B)180(21)m - （C ）120(31)m - （D ）30(31)m +【答案】C【解析】如图，30ACD ∠=，75ABD ∠=，60AD =m ,在Rt ACD △中,60603tan tan30AD CD=ACD ==∠m ,在Rt ABD △中，()60606023tan tan 7523AD BD =ABD ===-∠+m ，所以()()603602312031BC CD BD =-=--=-m ,故选C ．（9）【2014年四川卷，文9，5分】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ) （A ）[5,25] （B)[10,25] （C ）[10,45] （D ）[25,45] 【答案】B 【解析】直线0x my +=过定点()0,0A ，直线30mx y m --+=过定点()1,3B ． ①当0m =时，过定点A 的直线方程为0x =，过定点B 的直线方程为3y =，两条 直线互相垂直，此时()0,3P ,所以4PA PB +=．②当0m ≠时，直线0x my +=的斜率为1m -，直线30mx y m --+=的斜率为m ，因为11m m -⨯=-,所以两条直线互相垂直，即点P 可视为以AB 为直径的圆上 的点．当点P 与点A 或点B 重合时，PA PB +有最小值10．当点P 不与点A ，点B 重合时,PAB△为直角三角形，且22210PA PB AB +==．由不等式性质知222252PA PBPA PB++=，所以10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦．综合①②得10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦，故选B ．(10)【2014年四川卷，文10，5分】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点）,则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( ）(A ）2 (B ）3 （C ）1728(D)10【答案】B【解析】如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122x x y y +=（*)．不妨设A 点在第一象限,则10y >，20y <．设直线AB ：x my n =+，代入2y x =中，得20y my n --=，则12y y n =-，代入（*)式，有220n n --=，解得2n =或1n =-(舍)，故直线AB 过定点()2,0,所以ABO AFO S S +=△△1211112224y y y ⨯⨯-+⨯⨯1298y y =-()12923382ny y -==≥，故选B ． 第II 卷（共100分）30°75°60mCBA D CBA 75°30°60 mmx-y-m+3=0x+my=0yx 213-1-2-1321PBA二、填空题：本大题共5小题,每小题5分(11）【2014年四川卷，文11,5分】双曲线2214x y -=的离心率等于 ．【解析】由双曲线方程2214x y -=知24a =，21b =，2225c a b =+=，所以c e a == （12）【2014年四川卷，文12，5分】复数22i1i-=+ ．【答案】2i -【解析】()()()()()2222i 1i 22i 1i 12i i 2i 1i 1i 1i ---==-=-+=-++-．（13）【2014年四川卷，文13，5分】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =________．【答案】1【解析】()f x 是定义域在R 上的圆周期为2的函数，且()2421001x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩,所以231142121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（14)【2014年四川卷,文14,5分】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =_______．【答案】2【解析】()1,2=a ,()4,2=b ，则()4,22m m m +=++c =a b，a =，b =58m ⋅=+a c ，820m ⋅=+b c ．因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以⋅⋅=⋅⋅a c b c a c b c,解得2m =． （15）【2014年四川卷,文15，5分】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合:对于函数()x ϕ，存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，x R ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值;③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉;④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题有____________．（写出所有真命题的序号）． 【答案】①③④【解析】对于①,()f x A ∈⇔()f x 的值域为R ⇔b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =，故①正确;对于②，当()1f x x=，1x >时，()1f x <,即()()[]1,00,11,1-⊆-，但()f x 无最值,故②不正确; 对于③,因为x D ∀∈，()g x M ≤，所以总存在0x D ∈,使得()()00f x g x +趋近于无穷大，即()()f x g x B +∉，故③正确；对于④，令2()1x g x x =+,则()()()2222222121'11x x x g x x x +--==++()()()22111x x x +-=+,令()'0g x >，解得11x -<<，故()g x 在()1,1-上单调递增,且()112g =，()112g -=-，又()g x 在()1,+∞上单调递减，1x >时,()0g x >，又()g x 为奇函数，故()12g x ≤．而()ln(2)h x a x =+，当2x >-时,若0a ≠，则()h x A ∈由③知，()()h x g x B +∉，即()f x 无最大值， 所以0a =时，()f x 有最大值,此时()2()1xf xg x B x ==∈+，故④正确．综上：真命题的有①③④．三、解答题：本大题共6题，共75分．(16)【2014年四川卷，文16，12分】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c ． （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同"的概率． 解:（1）由题意知，(),,a b c 所有可能的结果为()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3,()2,1,1，()2,1,2,()2,1,3,()2,2,1,()2,2,2,()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()2,3,3，()3,1,1，()3,1,2,()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2,()3,2,3，()3,3,1，()3,3,2，()3,3,3，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”为事件A ，则事件A 包括()1,1,2，()1,2,3，()2,1,3，共3种．所以()31279P A ==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为19．（2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同"为事件B ，则事件B 包括()1,1,1，()2,2,2，()3,3,3,共3种．所以()()3811279P B P B =-=-=．因此“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同"的概率为89．（17）【2014年四川卷，文17，12分】已知函数()sin(3)4f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间;(2）若α是第二象限角，4()cos()cos2354f απαα=+，求cos sin αα-的值．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++，k ∈Z ,得π2ππ2π43123k k x -++,k ∈Z ．所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由已知,有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,即()()2ππ4sin cos cos sin cos sin sin cos 445αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+,k ∈Z ．此时cos sin αα-=当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角,知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=．综上所述，cos sin αα-=（18）【2014年四川卷,文18,12分】在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形． (1）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；(2)设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE平面1A MC ？请证明你的结论．解:（1)因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥．因为AB ，AC 为平面ABC 内两1A 1条相交直线，所以1AA ⊥平面ABC ．因为直线BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又AC BC ⊥，1AA ，AC 为平面11ACC A 内两条相交直线,所以BC ⊥平面11ACC A ．（2）取线段AB 的中点M ,连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ,1AC 的交点．由已知可知O 为1AC 的中点．连接MD ，OE ,则MD ,OE 分别为ABC ∆,1ACC ∆的中位线，所以=1//2MD AC ,=1//2OE AC ,因此=//MD OE ．连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形，则//DE MO ．因为直线DE ⊄平面1A MC ，所以直线//DE 平面1A MC ，即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点），使直线//DE 平面1A MC ．(19）【2014年四川卷，文19，12分】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *∈）．(1）证明：数列{}n b 为等差数列；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n na b 的前n 项和 n S ．解：（1)证明：由已知可知，20na nb =>，当1n 时，1122n na a d n nb b +-+==，所以数列{}n b 是首项为12a ，公比为2d等比数列．（2）函数()2x f x =在()22,a b 处的切线方程为()()22222ln 2a a y x a -=-，它在x 轴上的截距为21ln 2a -． 由题意知，2112ln 2ln 2a -=-，解得22a =．所以211d a a =-=，n a n =，2n n b =，24n n n a b n =⋅． 于是，()231142434144n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，()23141424144n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，因此()1121113444444444439n n nn n n n n T T n n ++++-+--=+++-⨯=-⨯=．所以()113449n n n T +-+=． （20）【2014年四川卷，文20,13分】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为63．（1)求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解:（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又63e =，所以6a =，2222b a c =-=,即椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-．当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ≠，故四边形OPTQ 不是平行四 边 形，与题意不符，故0m ≠．直线TF ：()2y m x =-+,令3x =-，得y m =， 即()3,T m -，连接OT ,设OTPQ E =，则3,22m E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立方程222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +--=，显然()2216830m m ∆=++>， 令()11,P x y ，()22,Q x y ．则12243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m my m +===+，解得21m =． 此时()()221212PQ x x y y =-+-()22121214m y y y y =++-2126=+=，112TF =+=．所以四边形OPTQ 的面积1262232S PQ TF =⨯⨯⨯=⨯=．（21）【2014年四川卷，文21，14分】已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅ 为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，证明:21e a -<<．解：（1）()2e 1x f x ax bx =---,()()e 2x g x f x ax b '==--．()e 2xg x a '=-．当[]0,1x ∈时，()[]12,e 2g x a a '∈--．当12a 时，()0g x ',所以()g x 在[]0,1上单调递增．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-；当e 2a 时,()0g x '，所以()g x 在[]0,1上单调递减．因此()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a b =--;当1e22a <<时，令()0g x '=，得()()ln 20,1x a =∈．所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．于是，()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--．综上所述，当12a时，()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-;当1e22a <<时，()g x 在[]0,1上的最小 值是()()()ln 222ln 2g a a a ab =--;当e2a 时,()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g ab =--．（2)设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点，则由()()000f f x ==可知，()f x 在区间()00,x 上不可能单调递增，也不可能单调递减．则()g x 不可能恒为正,也不可能恒为负．故()g x 在区间()00,x 内存在零点1x ．同理()g x 在()0,1x 区间内存在零点2x ．所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点．由(1）知，当12a时,()g x 在[]0,1上单调递增，故()g x 在()0,1内至多有一个零点． 当e 2a 时，()g x 在[]0,1上单调递减，故()g x 在()0,1内至多有一个零点．所以1e 22a <<．此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增．因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦,()()2ln 2,1x a ∈,必有()010g b =->，()1e 20g a b =-->．由()10f =，有e 12a b +=-<,有()01e 20g b a =-=-+>，()1e 210g a b a =--=->，得e 21a -<<． 所以函数()f x 在区间()0,1内有零点时，e 21a -<<．。
2019届四川省宜宾市高三第二次诊断性模拟考试数学(文)试题(PDF版)
宜宾市2019届高三第二次诊断性诊断测试题数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3. 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知}2|{>=x x A ，{N |4}B x x =∈≤，则=B AA. {|24}x x <≤B. ,3,4}2{C. }4{3，D. }2|{>x x 2．已知i 是虚数单位，复数i)1(i 2+-=z ，则z 的虚部为A. 2B. i 2-C. i 2D. 2-3．一个袋子中有4个红球,2个白球,若从中任取2个球,则这2个球中有白球的概率是 A.95 B. 53 C. 158 D. 324．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是20x y ±=，则该双曲线的离心率是A. C. 2 D.5．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:16．已知4.02=a ，2.09=b ，343）（=c ，则A. c b a <<B. b c a <<C. b a c <<D. a b c <<7．等比数列}{n a 的各项均为正数，已知向量a ),54a a （=，b ),67a a （=，且a ⋅b 4=，则=+++1022212log log log a a aA. 12B. 10C. 5D.5log 22+1正视图侧视图第5题图俯视图8．已知ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且︒===30333B c b ，，，则AB 边上的中线的长为A.273 B. 43 C. 23或273 D. 43或273 9．函数11ln sin )(+-⋅=x x x x f 的大致图象为10．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，AB BC CA ===P ABC -的体积为83，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. π4 B.3π16 C. π8 D. π16 11．已知直线0631=-+y x l ：与圆心为)1,0(M ，半径为5的圆相交于B A ,两点，另一直线033222=--+k y kx l ：与圆M 交于D C ,两点，则四边形ACBD 面积的最大值为A.25 B. 210 C. )12(5+D. )12(5-12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ),1(∞+C. ]1,0(D. )1,0(二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则y x z +=2的最大值为 .14．若数列{}n a 中，若13n n a a +=+， 2826a a +=，则12a = ．C DFBE FDM第18题图15．函数)6π2cos()3π2sin()(-++=x x x f 的单调减区间为 .16．已知直线l 过点），（30M ，l 与抛物线2x y =交于F E 、两点，当l 不与y 轴垂直时，在y 轴上存在一点),0(t P ，使得PEF ∆的内心在y 轴上，则实数=t .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：共60分. 17．（12分）设函数)2π2π,0)(sin(3(<<->+=ϕωϕωx x f ）的图象的一个对称中心为），（012π，且图象上最高点与相邻最低点的距离为124π2+.（1）求ω和ϕ的值； （2）若2π0(4312π2(<<=+αα）f ，求)4πcos(+α的值．18．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使得C A ,两点重合于点M .（1）求证：EF MD ⊥； （2）求三棱锥EFD M -的体积.19. （12分）艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒(HIV 病毒)引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T 淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能．下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：⑴请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图； ⑵请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系；⑶建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数.6.48≈； 46.2,=回归方程ˆˆˆybx a =+中， 121()()ˆ,()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ˆˆ.ay bx =-20．（12分）（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设N 是圆9:22=+y x E 上位于第四象限的一点，过N 作圆E 的切线0l ，与曲线C 交于B A ,两点．求证FAB ∆:的周长为10.21．（12分）设函数12ln )(2+++=ax x x x f ． （1）当23-=a 时，求)(x f 的极值； （2）若)(x f 的定义域为),2+∞+a （，判断)(x f 是否存在极值．若存在，试求a 的取值范围；否则，第19题图请说明理由．（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()3πρθ-=，l 与x 轴交于点M ．（1）求l 的直角坐标方程和点M 的极坐标；（2）设l 与C 相交于,A B 两点，若||,||,||MA AB MB 成等比数列，求p 的值．23.（10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a =-．⑴ 若关于x 的不等式()0f x b +<的解集为)3,1(-，求,a b 的值； ⑵ 若()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值．宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数 学（文史类）试题参考答案注意：一、本解答给出了一种解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．[[]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.3； 14. 34； 15. Z k k k ∈++],127,12[ππππ； 16.3- 三、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为1242+π得41212||22πωπ+=+）（∴2=ω………………………………………………………………………………………3分函数)sin(3(ϕω+=x x f ）的图象的一个对称中心为），（012π∴Z k k ∈=+⨯,122πϕπ………………………………………………………………5分22πϕπ<<-∴6πϕ-=………………………………………………………………………………………6分(2) 由（1）知：)62sin(3(π-=x x f ）∴43sin 3]6)122(2sin[3122(==-+=+αππαπα）fx9080706050403020101 2 3 4 5 6 7 8 9∴41sin =α …………………………………………………………………………8分20πα<< ∴415cos =α ………………………………………………………………………………10分 ∴8230411522)cos sin 22)4cos(-=-⨯=-=+ααπα（…………………………12分 18．解：（1）证明： 在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，BC CD ⊥∴在三棱锥DEF M -中MF MD ⊥,ME MD ⊥且M MF ME = ∴MEF MD 面⊥∴EF MD ⊥ ……………………………………………………………………6分（2） F E 、分别是边长为2的正方形ABCD 中BC AB 、边的中点∴1==BF BE∴211121=⨯⨯==∆∆BEF MEF S S ∴由（1）知MD S V MEF DEF M ⋅=∆-31 22131⨯⨯=31=…………………………………………………………………………12分 19.解：（1）如右图………………………………………………………………………………………2分具有强线性相关关系………………………………………………………………………………6分48.2405.7+=∴Λx y ………………………………………………………………………………10分当9=x 时，93.8747.24905.7=+⨯=y∴预测2019年我国艾滋病感染累积人数为93.87万人……………………………………12分20. （12分）解：⑴由题意得6分∴FAB ∆的周长为定值.10……………………………………………………………………12分法二：设),,(),,(2211y x B y x A 由题知0,0<>m k设直线m kx y m +=:与圆922=+y x 相切02252550)925(222=-+++m kmx x k∴FAB ∆的周长为定值1021.解：（1） 0>x ∴定义域为），（∞+0当23-=a 时函数），（013ln )(2>+-+=x x x x x f ，321)(-+='x xx f 03210)(=-+='x x x f ，即令， 211==x x 或解得 单调递增，单调递增，在，，在)121(),1()210()(易知+∞x f4121ln 2111)(-=-=处取得极大值，在处取得极小值在函数x x x f ………………………5分 （2））（0122221)(2>++=++='x xax x a x x x f 令0)(='x f 即01222=++ax x 令122)(2++=ax x x g ，则对称轴2ax -= 02≥+a ∴2-≥a …………………………………………………………6分① 当22+≤-a a 1)2(2)2(2)2(2++++=+a a a a g091242≥++=a a 恒成立∴)(x f 在），（∞++2a 无极值点. ……………………………………………………………7分② 当22+>-a a 1)2(242)2(2+-+⨯=-aa a a g 122+-=a ……………………………………………………9分 当0122≥+-a 时，0)('≥x f 恒成立，)(x f 无极值. ……………………………………10分当0122<+-a存在)2,2(1a a x -+∈，使得0)(1=x f ，存在)2(2∞+-∈，ax ，使得0)(2=x f01)2(2)2(2)2(2>++++=+a a a a g ， 01)2(242)2(2<+-+⨯=-aa a a g 当+∞→x 时，0)(>x g∴当),2(1x a x +∈时，0)('>x f ，当)(21x x x ，∈时，0)('<x f ，当)(2∞+∈，x x 时，0)('>x f ，12分22.（10分）解：⑴由2sin()3πρθ-=得，sin cos y ρθθ==+∴ l的直角坐标方程y 令0y =得点M 的直角坐标为(1,0)-, ∴点M 的极坐标为(1,)π…………………………5分⑵ 由⑴知l 的倾斜角为3π,参数方程为112,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22y px =得23480,t pt p -+=121248,33p pt t t t ∴+==22212121212||||||,(),()5AB MB MA t t t t t t t t =⋅∴-=∴+=Q 24815()5,332p p p ∴=⨯∴=…………………………………………………………………10分 23.（10分）解：由()0f x b +>得，,x a b -<-0b ≥当时，不合题意；110,,32a b a b a b x a b a b b +=-=⎧⎧<+<<-∴⎨⎨-==-⎩⎩当时，由已知得 1,2a b ==-综上，…………………………………………………………………5分⑵ 1|)1(||||1|)(≥--≥+-=x x x x x g当0)1(≤-x x ，即]1,0[∈x 时，)(x g 有最小值1.………………………………10分。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 2.131i i +=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.2717B.95C.2710 D.3111.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2,2⎡-⎣D.22⎡⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ．考点：集合的运算．2．B【解析】 试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和．6．C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图．7．C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图．9．B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122z y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=． x yx-3y+3=0x+y-1=0x-y-1=0–1–2–3–41234–1–2–3–41234A O考点：线性规划．10．C【解析】 试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为03k tan 303==，故直线AB 的方程为33y (x )34=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】 试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故02sin 452OA OM OM ==1≤，所以2OM ≤2012x +，解得011x -≤≤． x yA 11OM N考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 3=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 1366PA AB AD AB =⋅⋅=. 由34V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
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A.B.C.D.
【答案】D
4
【解析】解：三棱锥的体积为，
，
，
将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，
是边长为的正三角形，
外接圆的半径，
球的半径为，
球O的表面积为．
故选：D．
由三棱锥的体积为，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离
利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．
本题考查了数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.已知中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则AB边上的中线的长为
A.B.C.或D.或
【答案】C
【解析】解：，
由余弦定理，可得：，整
理可得：，
19.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒
病毒 引起，它把人体免疫系统中最重要的
CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，
使人体丧失免疫功能
下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码x 1
2
3
4
5
6
7
8
感染者人
数
单位：
2.已知i是虚数单位，复数，则z的虚部为
A.2B.C.2iD.
【答案】D
【解析】解：，
的虚部为．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
四川省宜宾市2014年高中阶段学校招生考试数学试卷(含答案)
DC BA宜宾市2014年高中阶段学校招生考试数学试卷(考试时间：120分钟， 全卷满分120分)本试卷分选择题和非选择题两部分，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2在作答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选潦其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3在作答非选择题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 一、选择题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上. (注意．．：在试题卷上作答．．．．．．．无效．．) 1. 2的倒数是A. 12B.–12C. ±12 D.22. 下列运算的结果中, 是正数的是A ．（–2014)–1B ．– (2014)–1C ．（–1) (–2014)D ．(–2014)÷2014 3．如图，放置的一个机器零件(图1)，若其主(正)视图如(图2)所示，则其俯视图4.一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相 同在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是 A ．19 B ．13 C ．12 D ． 235.若关于x 的一元二次方程的两根为x 1=1，x 2 =2则这个方程是图2图1A ．x 2+3x –2=0B ．x 2–3x +2=0C ．x 2–2x +3=0D ．x 2+3x +2=06.如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y =2x 的图象相交于 点B ，则这个一次函数的解析式是 A ．y =2x +3 B ．y = x –3 C ．y =2x –3 D ．y = –x +37.如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2， …A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是 A.n B.n –1 C.(14)n –1 D. 14n8.已知⊙O 的半径r =3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上 到这条直线的距离为2的点的个数为m ，给出下列命题： ①若d >5，则m =0；②若d =5，则m =1；③若1<d <5，则m =3 ④若d =1，则m =2；⑤若d <1，则m = 4. 其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ． 3 D ．5二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中 横线上(注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 9.分解因式：x 3– x = . 10.分式方程x x –2 – 1x 2 – 4= 1的解是 . 11.如图，直线a 、b 被第三条直线c 所截，如果a ∥b ， ∠1 =70°，那么∠3的度数是 .12.菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为l ∶2，则较长的对角线长度是 cm.13.在平面直角坐标系中，将点A (–1，2)向右平移3个单位长度得到点B ，则点B 关于x 轴的对称点C 的坐标是 .14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC = 4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在斜 边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则E B ′= .15.如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB =2，AD 和BE 是圆O 的两条切线，A 、B 为切点，过 圆上一点C 作⊙O 的切线CF ，分别交AD 、BE 于点M 、N ，连接AC 、CB ．若∠ABC =30°，则AM = .xba16.规定：sin(–x)= –sin x，cos(–x)= cos x，sin(x+y)=sin x·cos y+cos x·sin y，据此判断下列等式成立的是(写出所有正确的序号).①cos (–60°)= –12；② sin75°=6+24③sin2x=2sin x·cos x；④sin(x–y)=sin x·cos y–cos x·sin y，三、解答题：(本大题共8个题，共72分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(每小题5分，共10分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)(1)计算：||–2– (–2)0+ ( 1 3)–1(2)化简：( 3aa–3–aa+3) ·a2–9aCB'BAF18. (本小题6分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D AD ∥BC . 求证：AD = BC .19．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A ：体操，B ：跑操， C ：舞蹈，D ：健美操四项活动为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行 调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有 人； (2)请将统计图2补充完整；(3)统计图1中B 项目对应的扇形的圆心角是 度；(4)已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数．图2图128%DCB A20．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都 扣3分．(1)小李考了60分，那么小李答对了多少道题?(2)小王获得二等奖(75～85分)，请你算算小王答对了几道题?21．(本小题8分) (注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x 、y 均 为整数，则称点P则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S 内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L 。
2014年四川省宜宾市高考数学二模试卷(文科)
2014年四川省宜宾市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.M={x|x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则下列结论正确的是（）A.M∪N=MB.M∩N={x|2＜x＜3}C.M∪N=RD.M∩N={x|1＜x＜2}【答案】B【解析】解：∵M={x|x＞2}，N=x|1＜x＜3}，∴M∩N={x|2＜x＜3}，M∪N={x|x＞1}，对比四个选项知，B选项是正确的故选B．有M={x|x＞2}，N=x|1＜x＜3}，四个选项分别研究两个集合的交与并，根据题设条件求出两个集合的交与并，比对四个选项，找出正确选项本题考查交集及其运算，解答本题，关键是理解交集的定义及其运算规律，本题中涉及到了求交的运算与求并的运算．属于集合中的基本运算题．2.若复数z1=2+i，z2=1-i，则z1•z2=（）A.1-iB.1+iC.3+iD.3-i【答案】D【解析】解：z1•z2=（2+i）（1-i）=2-2i+i+1=3-i，故选D．按照多项式乘法的运算法则，展开化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，常考题型．3.已知命题p：∃x0∈R，．则￢p是（）A.∀x0∈R，B.∀x0∉R，C.∃x0∈R，D.∃x0∉R，【答案】A【解析】解：命题p：∃x0∈R，．∴￢p是：∀x0∈R，，故选A；根据所给的这个命题是全称命题，它的否定形式是特称命题，改为特称命题，注意题设和结论的变化；本题考查命题的否定，是一个基础题，解题的关键是看出这个命题是全称命题，要变化成特称命题．4.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，则p的值为（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，所以，；故选C．根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．5.函数y=ax2+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，可排除A；当a＞0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝上，顶点（0，a）点在X轴上方，可排除C；当a＜0时，函数y=ax2+a的图象开口方向朝下，顶点（0，a）点在X轴下方，函数y=（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B；故选D由二次函数y=ax2+a中一次项系数为0，我们易得函数y=ax2+a的图象关于Y轴对称，然后分当a＞0时和a＜0时两种情况，讨论函数y=ax2+a的图象与函数y=（a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．本题考查的知识点是函数的表示方法3-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键．6.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为1的三角形，所以AB=，侧视图的高是棱锥的高：，∴S△VAB=×AB×h=××=．故选：C．由题意可知三棱锥是正三棱锥，底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视7.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A.-3B.-2C.1D.7【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（-2，2），代入目标函数z=2x+y得z=-2×2+2=-2．即目标函数z=2x+y的最小值为-2．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩甲==90设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩乙==88.4+当X=8或9时，甲≤乙即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为=则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P=1-=故选C由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出甲≤乙即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．9.已知A、B是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2．若+的最小值为4，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令A，B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0），P，Q两点的坐标分别为（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα），∴k1=，k2=，∴+=，∵+的最小值为4，∴，∴a=2b，∴c=，∴e==．故选：B．设A，B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0），P，Q两点的坐标分别为（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα），代入两点之间斜率公式，结合+的最小值为4，可得a，b的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的离心率，其中根据已知求出a，b的关系是解答的关键．10.已知平面向量，，满足||=，||=1，•=-1，且-与-的夹角为45°，则||的最大值等于（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】解：设，，．∵平面向量，，满足||=，||=1，•=-1，∴＜，＞=，∴＜，＞°．∵-与-的夹角为45°，∴点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．因此||的最大值为△OAB的外接圆的直径．∵==．==．由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R=°故选：A．由于平面向量，，满足||=，||=1，•=-1，利用向量的夹角公式可得＜，＞°．由于-与-的夹角为45°，可得点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，因此可得||的最大值为△OAB的外接圆的直径．本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.函数y=ln（1-2x）的定义域是______ ．【答案】{x|x＜}【解析】解：根据题意：1-2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零．本题主要考查对数函数的定义域，基本求法是真数大于零．要注意定义域要写成集合或区间的形式．12.已知程序框图如图，则输出的i= ______ ．【答案】9【解析】解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体此时i=9故答案为：9根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．13.已知函数f（x）=，＞，＜是偶函数，则f（-8）的值等于______ ．【答案】3【解析】解：∵f（x）是偶函数，∴f（-8）=f（8）=log28=3，故答案为：3．根据函数的奇偶性，利用分段函数进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．14.已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α（0，），β∈（-，0），则sinα= ______ ．【答案】【解析】解：∵α∈（0，），β∈（-，0），∴α-β∈（0，π），又cos（α-β）=，sinβ=-，∴sin（α-β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=×+×（-）=．故答案为：由α和β的范围求出α-β的范围，根据cos（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α-β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．15.在平面直角坐标系x O y中，如果不同的两点A（a，b），B（-a，-b）都在函数y=f（x）的图象上，则称[A，B]为函数y=f（x）的一组“和谐点”（[A，B]与[B，A]看成一组），函数g（x）=＞的“和谐点”共有______ 组．【答案】4【解析】解：由题意，在同一坐标系内，作出y1=sinx（x＞0），y2=|lgx|（x＞0）的图象，根据定义，可知函数g（x）=＞的“和谐点”的组数，就是图象交点的个数，所以函数g（x）=＞的“和谐点”的组数为4．故答案为：4．在同一坐标系内，作出y1=sinx（x＞0），y2=|lgx|（x＞0）的图象，根据定义，可知函数g（x）=＞的“和谐点”的组数，就是图象交点的个数，可得结论．本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量，，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．【答案】解：（I）由表可知，样本容量为n，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由0；y=50-3-6-25-2=14，，（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）==，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．【解析】（I）根据题意，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率与频率分布表的应用，在列举时，注意按一定的顺序，做到不重不漏．17.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+4．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=-5，求S n取得最小值时n的值．【答案】解：（Ⅰ）∵{a n}是公差为d的等差数列，S4=2S2+4，∴，解得d=1．…（6分）（Ⅱ）∵a1=-5，∴an=a1+（n-1）d=-5+（n-1）×1=n-6．…（8分）由a n≤0，得n≤6．…（10分）∴当n=5或6时，S n取得最小值．…（12分）【解析】（Ⅰ）由S4=2S2+4，利用等差数列的前n项和公式能求出公差d=1．（Ⅱ）由a1=-5，d=1，求出an=n-6．由此能求出当n=5或6时，S n取得最小值．本题考查等差数列的公差的求法，考查S n取得最小值时n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．18.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•-3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=且b+c=3，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），∴函数f（x）=•-3=-3==．故函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（A）=1得，，即=．∵0＜A＜π，∴＜＜，∴=，解得A=．由余弦定理得：a2=b2+c2-2abcos A=（b+c）2-3bc，∵a=且b+c=3，∴3=32-3bc，解得bc=2．∴==．【解析】（I）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式即可得出；（II）利用（I）可得A，再利用余弦定理和三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、周期公式、余弦定理和三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求几何体BCDB1C1A1的体积．【答案】解：（I）证明：∵BA=BC，D为AC中点，∴BD⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BD在平面ABC内，∴BD⊥A1A，又AC∩AA1=A∴BD⊥平面ACC1A1，又AE⊂平面ACC1A1，∴AE⊥BD．在正方形ACC1A1中，∵D、E分别是AC、CC1的中点，∴△A1AD≌△ECD．∴A1D⊥AE，又AE⊥BD，∴AE⊥平面A1BD．（II）根据（I），设几何体BCDB1C1A1的体积为V，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1，三棱锥B-A1AD的体积为V2则V=V1-V2=×2-××1×2×=，∴几何体BCDB1C1A1的体积为．【解析】（I）首先，根据AA1⊥平面ABC，得到BD⊥A1A，然后，得到AE⊥BD，然后，借助于∴△A1AD≌△ECD，得到A1D⊥AE，从而得到命题成立；（II）利用V三棱柱ABC-A1B1C1-V三棱锥B-A1AD，即可求几何体BCDB1C1A1的体积．本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M，N两点，直线OM、ON的斜率存在且和为4k，求证：m2为定值．【答案】（Ⅰ）解：∵椭圆C1的左焦点为F1（-1，0），∴c=1，…（1分）点，代入椭圆，得4b4-3b2-1=0，即b=1，…（3分）∴a2=b2+c2=2，…（4分）∴椭圆C1的方程为．…（5分）（II）证明：由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．．…（7分）△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=．…（8分）∵直线OM、ON的斜率存在且和为4k，∴k OM+k ON===2k+=2k+=4k．…（10分）整理得．…（11分）解得，为定值．…（13分）【解析】（Ⅰ）由已知条件求出c=1，点，代入椭圆，求出b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（II）由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韦达定理结合直线OM、ON的斜率存在且和为4k，得到．由此能求出．本题考查椭圆方程的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想和等价转化思想的合理运用．21.已知函数f（x）=2lnx-x2-ax．（Ⅰ）当a≥3时，讨论函数f（x）在[，+∞）上的单调性；（Ⅱ）如果x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2＜4x1，f′（x）是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：f′（）＞0．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2lnx-x2-ax，∴′=＞，令f'（x）=0得（负根舍去），∵a≥3，∴a2+16≤a2+4a+4，∴，∴，故在，∞上恒成立∴在，∞上函数f（x）单调递减；（Ⅱ）（Ⅱ）∵x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，∴f（x1）=2lnx1-x12-ax1=0，f（x2）=2lnx2-x22-ax2=0，两式相减可得：2ln-（x22-x12）-a（x2-x1）=0，∴a=-（x2+x1），∵′，∴′=--a，=-（x2+x1）+-，=+-，=（ln）-，令t=∈（1，4），h（t）=lnt-，∴h′（t）===＜0，∴h（t）在（1，4）上单调递减，∴h（t）＜h（1）=0，又＜0，-＞0，∴′＞0．【解析】（Ⅰ）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（Ⅱ）由题意可得a=-（x2+x1），代入′，可得′=（ln）-，构造函数h（t）=lnt-，求导数可得单调性和求值范围，进而可得答案．本题考查利用导数研究函数的极值和单调性，涉及构造函数的方法，属中档题．。
2014年四川省成都市高考数学二诊答案(文科)
2014年四川省成都市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2014•成都二模）设复数z=3+i（i为虚数单位）在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90°的坐标，得到向量的坐标，则∴，将，，则，即，解得：或∴3．（5分）（2014•成都二模）执行如图的程序框图，若输入的x值为7，则输出的x的值为（）．4．（5分）（2014•成都二模）在平面直角坐标系xOy中，P为不等式所表示的平面区域上一动点，D．，解得，即，7．（5分）（2014•成都二模）已知实数4，m，1构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）．C或D．或3时，圆锥曲线是椭圆，时，圆锥曲线是双曲线．8．（5分）（2014•安徽模拟）已知P是圆（x﹣1）2+y2=1上异于坐标原点O的任意一点，直线OP的倾斜角为θ，．C D．＜（9．（5分）（2014•成都二模）已知过定点（2，0）的直线与抛物线x2=y相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若2．==10．（5分）（2014•北海模拟）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=则关2t=t==（=（t=对应二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2014•成都二模）甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机挑选一名同学，则这两名同学成绩相同的概率是．，则共有故答案为：12．（5分）（2014•成都二模）如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图，则这个圆锥的侧面积为2π．13．（5分）（2014•安徽模拟）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=3x，若f（a+b）=9，则f（ab）的最大值为3．14．（5分）（2014•成都二模）如图，在平行四边形ABCD中，BH⊥CD于点H，BH交AC于点E，已知||=3，=15，则=λ，则λ=．|=2===的值．||=3∵∴=•﹣）=||||=3|∴||=5，∴||=2====，故答案为：15．（5分）（2014•成都二模）已知单位向量，的夹角为θ（0＜θ＜π，且θ≠），若平面向量满足=x+y（x，y∈R），则有序实数对（x，y）称为向量在“仿射”坐标系Oxy（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作=（x，y）θ．有下列命题：①已知=（2，﹣1）θ，=（1，2）θ，则=0；②已知=，=，其中xy≠0，则且仅当x=y时，向量的夹角取得最小值；③已知=（x1，y1）θ，=（x2，y2）θ，则﹣=（x1﹣x2，y1﹣y2）θ；④已知=（1，0）θ，，则线段AB的长度为2sin．其中真命题有③④（写出所有真命题的序号）==，则2﹣+2②，==若，=）∴﹣④∴||22sin三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）（2014•成都二模）设函数f（x）=sin（ωx+）+2sin2ωx（ω＞0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若△ABC的内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中b＜c），且f（A）=，△ABC面积为S=6，a=2，求b，c的值．）x==）的解析式=，得A=，S=6a=2∴2=b17．（12分）（2014•成都二模）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和为S n=pn2+2n，n∈N*．（1）求p值及a n；（2）在等比数列{b n}中，b3=a1，b4=a2+4，若等比数列{b n}的前n项和为T n．求证：数列{T n+}为等比数列．q=，=∴}18．（12分）（2014•成都二模）节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明治疗越好．若使用时间小于4千小时的产品为不合格产品；使用时间在4千小时到6千小时（不含6千小时）的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一类型号的某批次产品的质量情况，随机抽取了部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方图如图所示．若上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．（1）若该批次有产品2000件，试估计该批次的不合格品，合格品，优质品分别有多少件？（2）已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实习“三包”．通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品的利润y（单位：元）与使用时间t（单位：千小时）的关系式为y=．现从大量的该型号节能灯中随机抽取一件，其利润记为X（单位：元），求X≥20的概率．，，相加，即得，=19．（12分）（2014•成都二模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．（Ⅰ）求证：AC1⊥BA1；（Ⅱ）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积．和）∵=×××=D=××=2∴﹣=2=20．（13分）（2014•成都二模）已知函数f（x）=（x2﹣2ax+a2）lnx，a∈R，（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=﹣1时，令F（x）=+x﹣lnx，证明：F（x）≥﹣e﹣2，其中e为自然对数的底数；（3）若函数f（x）不存在极值点，求实数a的取值范围．）2＞，，，+x（）的单调递增区间为（）（﹣2；﹣或21．（14分）（2014•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，），N（0，﹣），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．（1）求轨迹P的方程；（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x2+（y﹣1）2=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k2的值；若不存在，请说明理由．2，由，得（k，由2c=的方程为．+4，∴，轴对称，∴∵∴（，解得=，=d=，S=|CG|×∴构造函数∴，或，∴）在（当，即参与本试卷答题和审题的老师有：maths；翔宇老师；wsj1012；zlzhan；清风慕竹；sllwyn；caoqz；742048；sxs123；刘长柏；837357642（排名不分先后）菁优网2014年8月19日。
四川省宜宾市高三数学第二次诊断测试试题 文含解析新人教A版
2015年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）试卷分析报告分比例一级考点二级考点三级考点值3.33% 51D：并集及其运算集合代数2L：必要条件、充分条件与充要条件的判53.33% 常用逻辑用语断5 3.33% 3O ：函数的图象函数5 3.33% ：抽象函数及其应用3P5 3.33% 基本初等函数I 4H：对数的运算性质149.33%导数及其应6：利用导数研究函数的单调5 3.33%：二元一次不等式（组）与平面区不等7128.00% ：数列的求8数2214.67% 9平面向：平面向量数量积的运数系的扩充与53.33% A：复数代数形式的乘除运排列组合与概率1711.33%统计与统计案B：频率分布直方53.33%算法与框算法初步与框E：程序框53.33%三角函H：函三角函y=Asiωx+）的图象变3.33%5 H：正弦定138.67%圆锥曲线与方K平面解析几：椭圆的简单性5 3.33%K：双曲线的简单性53.33%L：由三视图求面积、体空间几何立体几8.00%12L：直线与平面平行的判2015年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，a}，B={﹣1，1}，若A∩B={﹣1}，则A∪B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．- 1 -【解析】：解：∵A∩B={﹣1}，∴a=﹣1，即A={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1}，故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高（单位：cm），所得数据均在区间[140，190]上，其频率分布直方图如图所示（左下），则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160，180）上的人数为（）A．70 B．71 C．72 D．73【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．=，求出对应的频数即可．：根据频率分布直方图，利用频率【分析】【解析】：解：根据频率分布直方图，得；学生的身高位于区间[160，180）上的频率为（0.040+0.020）×10=0.6，∴对应的人数为120×0.6=72．故选：C．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣y2=2的渐近线的距离是（）D．．2 ．A．BC【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：容易求出抛物线焦点及双曲线的渐近线方程分别为（1，0），y=±x，所以根据点到- 2 -直线的距离公式即可求得该焦点到渐近线的距离．【解析】：解：抛物线的焦点为（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±x；∴由点到直线的距离公式得抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为：．故选A．【点评】：考查抛物线的焦点概念及求法，双曲线渐近线方程的求法，以及点到直线的距离公式．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）．32 C．16 D A．B．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据三视图画出几何体的直观图，代入数据求解即可．【解析】：解：几何体的直观图是：几何体的高为4；底面三角形的高为6．底边长为8．××8×6×4=32．V∴棱锥=故选：B【点评】：本题考查由三视图求三棱锥的体积．分析出几何体的形状及底面面积和高是解答的关键．- 3 -“log（2x﹣1）＞0”的（“x＜1”是）5．（5分）设x∈R，则A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．，解得＜x＜1﹣1＜1，解：由＜log（2x﹣1）＞0得02x【解析】：“log（2x﹣1是）＞0”的必要不充分条件，＜则“x1”故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐﹣5分）将函数y=sin（2x6．（标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）﹣）C．y=sin4x D y=sin（x．y=sinx y=sin A．（x．﹣） B【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．x+）y=sin[2﹣（）的图象向左平移个单位，可得函数【解析】：解：将函数y=sin（2x﹣]=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．=+ln|x|的图象大致为（）x57．（分）函数f（）C．A．B ．- 4 -D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．=，由函数的单调性，排除CDx）；当x＜0时，函数f（【分析】：，此时，代入特殊值验证，排除A），只有=B正确，（当x＜0时，函数fx=）（xx＜0时，函数f：，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函【解析】解：当=递减，排除CDx（）；数f==0，而选项A的最小值为（1）2，故）时，函数当x＜0f（xf=，此时，可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．8．（5分）如图是用计算机随机模拟的方法估计概率的程序框图，P表示估计结果，则输出P的近似值为（）- 5 -．．C A．B．D程序框图．：【考点】算法和程序框图．：【专题】由题意以及框图的作用，直接计算出结果．【分析】：解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计几何概型概率的程序框图，【解析】：OCDEFGM是点落在六边形内的次数，如图，＞2015时，退出循环，由当i 2015，∴六边形OCDEFG内的点的次数为M，总试验次数为=，所以要求的概率满足=1﹣=1﹣M=故，=．所以空白框内应填入的表达式是P= C故选：．- 6 -本题考查程序框图的作用，考查计算、分析能力，属基础题．【点评】：的左焦点，C两点，F为椭圆＞0）交于A、5分）直线y=kx与椭圆CB：+=1（a＞b9．（）的离心率的取值范围是（且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C），．，] C．1[[，0A．（] D，] B．（0椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【考点】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【专题】：可．AB的中点，OF=OF2点为BF⊥AF，再由设【分析】：F2是椭圆的右焦点．O由，?=0可得，利用椭圆的定义可得BF2=AF=2csinθ，可得BF=2ccosθ，得四边形AFBF2是矩形．设∠ABF=θ，即可得出．e=，可得BF+BF2=2a 是椭圆的右焦点．解：设F2【解析】：=0?∵，AF，∴BF⊥OF=OF2．点为AB的中点，∵O 是平行四边形，∴四边形AFBF2 是矩形．∴四边形AFBF2 如图所示，，设∠ABF=θBF2=AF=2csinθ，BF=2ccosθ∵，BF+BF2=2a，，∴2ccosθ+2csinθ=2a，e=∴，sinθ+cosθ=]∵θ，，∈（0- 7 -∈∴，∴．∈，∈∴∈．∴e ．故选：D本题考查了椭圆的定义及其标准方程性质、矩形的定义、三角函数的单调性、两【点评】：角和差的正弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．的y=x，的所有点M（a）均在直线a（5分）已知集合A={x∈R|x4+mx﹣2=0}，满足∈A10．）同侧，则实数m的取值范围是（），﹣（﹣5）∪（1C，）（﹣A．∞．，﹣+∞）∪（，）B．，﹣（﹣1）6，+∞∪（（﹣．∞，﹣6）∪（，6）D二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【考点】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．：【专题】的交点的横坐标，与曲线y=x3+m=，原方程的实根是曲线原方程等价于【分析】：y=x3+m 0讨论，可得答案0与m＜分别作出左右两边函数的图象：分m＞，R|x4+mx﹣2=0}A={x【解析】：解：∵集合∈，x3+m=x≠0∴方程的根显然，原方程等价于y=与曲线原方程的实根是曲线y=x3+m的交点的横坐标，个单位而得到的，y=x3是由曲线向上或向下平移|m|而曲线y=x3+m的同侧，）均在直线，，，（x1若交点（，）i=12…ky=x- 8 -，）（（﹣；，﹣），因直线y=x与y=交点为：或，所以结合图象可得＞或m．解得m＜﹣＜﹣或m答案为：．m＞．故选：A【点评】：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡对应的题中横线上.的实部为．分）已知11．（5i为虚数单位，则复数z=【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．- 9 -的实部为．= 【解析】：解：复数=z=故答案为：．【点评】：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．12．（5分）在正项等比数列{an}中，若a1?a9=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=9．【考点】：等比数列的性质；对数的运算性质；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：直接利用等比数列的性质以及对数的运算法则化简所求表达式，求解即可．【解析】：解：∵a1?a9=4，∴a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=4a1?=log229=9）=log2（∴log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=log2（a1?a2?a3…a9故答案为：9．【点评】：本题考查数列求和对数的运算法则等比数列的性质，考查计算能力．，，，a=3c，若bsinA=3csinBBA、、C所对的边分别是a，b，513．（分）在△ABC中，角．b的值为则余弦定理；正弦定理．：【考点】解三角形．：【专题】的值，的值代入求出cb不为0得到a=3c，把a【分析】：利用正弦定理化简已知等式，根据的值．，将各自的值代入即可求出利用余弦定理表示出cosBb ，：解：利用正弦定理化简bsinA=3csinB，得：ab=3bc【解析】a=3c∵b ≠0，∴，把a=3代入得：c=1，=，由余弦定理得：cosB==b=解得：．故答案为：【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．．4|=+|P），（，10M5．14（分）已知（，﹣）N01，点满足，则=3?【考点】平面向量数量积的运算．：- 10 -【专题】：空间向量及应用．|==4．+所以?=3得x2+y2=4，【分析】：设P（x，y），则由|【解析】：解：设P（x，y），根据题意有，，2y），∴=（﹣2x，﹣∵=3?，﹣∴1=3，?=x2+y2∴x2+y2=4，==4=|，+ |=故故答案为：4．间的联|+的坐标建立起|与=3?【点评】：本题考查向量数量积的计算，设出点P 系是解决本题的关键，属中档题．=f）R（x）的定义域为，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a15．（5分）如果y=f ．给出下列命题：（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；①函数y=sinx具有“P（a）性质”1）=1，则f（2015）=1；y=f②若奇函数（x）具有“P（2）性质”，且f（）上单01，，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣”③若函数y=f（x）具有“P（4）性质）上单调递增；，22，﹣1）上单调递减，在（1调递减，则y=f（x）在（﹣，?x1y=g（x）对）性质④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）是周期函数．gx1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣（x2）|成立，则函数x2∈R，都有|f（①③④（写出所有正确命题的编号）．其中正确的是：函数的周期性；抽象函数及其应用．【考点】：函数的性质及应用．【专题】）；（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x①运用诱导公式证明【分析】：sin ，）f（x+4）=f（x）；x②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣）=﹣f（x）为（x2+x），f））关于=fx+4）（﹣x），f（xx=2对称，即f（2﹣x=f（f③根据解析式得出（）成中心对称，偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0 1，2）上单调递增；且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（）为偶函数，且，推论得出=f）（﹣x）=f（x）f（xf（﹣（④利用定义式对称fx）=fx），（x+3 周期为3；（﹣=sinx），（）解：①∵【解析】：sin（x+π=﹣sinx）；”“P∴函数y=sinx具有（a）性质∴①正确（，”2x）具有“P（）性质y=f②∵若奇函数x=fx+2f∴（）（﹣）x（f=﹣），- 11 -∴f（x+4）=f（x），周期为4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正确，③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确．④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内.16．（12分）2015年央视3.15晚会中关注了4S店的小型汽车维修保养，公共wifi的安全性，网络购物等问题，某网站对上述三个问题进行了满意度的问卷调查，结果如下：（Ⅰ）在所有参与该问卷调查的人员中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有8人不满意4S店的小型汽车维修保养，求n的值；（Ⅱ）在对参与网络购物满意度调查的人员中，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意选取2人，求恰有1人对网络购物满意的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）先求出调查总人数，再根据分层抽样方法原理求出n的值；（Ⅱ）先求出用分层抽样方法抽取的6人中，满意的有4人，不满意的有2人，P=．编号，用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率- 12 -【解析】：解：（Ⅰ）由题意知，调查总人数为：200+400+400+100+800+400=2300，用分层抽样的方法抽取n人时，从“不满意4S店的小型汽车维修保养”的人中抽取了8人，=，解得n=46；∴（Ⅱ）从“网络购物”的人中，用分层抽样的方法抽取6人中，其中满意的有4人，分别记为1、2、3、4，不满意的有2人，记为a、b；再从这6人中任意选取2人，有（1、2），（1、3），（1、4），（1、a），（1、b），（2、3），（2、4），（2、a），（2、b），（3、4），（3、a），（3、b），（4、a），（4、b），（a、b）共15种不同的情况；其中恰有1人不满意的有（1、a），（1、b），（2、a），（2、b），（3、a），（3、b），（4、a），（4、b）共8种不同的情况；P=．1人对网络购物满意的概率∴恰有【点评】：不同考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的基本事件与概率问题，是基础题目．17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆，）．Q，其中αy= ∈（﹣（xx≥0轴的垂线与射线，过点交于点PP作x）交于点；∠sinα=，求cosPOQ（Ⅰ）若?的最大值．（Ⅱ）求【考点】：平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】：平面向量及应用．（Ⅰ）易得，由三角函数的和差公式即可计算；【分析】：（Ⅱ）用坐标表示出点P、Q，利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求出数量积的最大值．- 13 -，，sinα= 【解析】：解：（Ⅰ）∵∴．，，∵∠，且MOQ=，∴=；POQ==∴cos∠，sinα），P（Ⅱ）∵（cosα，cosα）∴Q（=，=∴=?，∵∴，取最大值．时，所以，当，即【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及两角和差公式的应用，以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点P、Q的坐标是解决本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，PD=4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）在线段PA上是否存在点M，使得DM∥平面PBC．若存在，求三棱锥P﹣BDM的体积；V=Sh，其中S为底面面积，（锥体体积公式：若不存在，请说明理由．h为高）【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．- 14 -【分析】：（Ⅰ）欲证明平面PAD⊥平面PCD，只需推知CD⊥平面PAD即可；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．通过证明“MN∩DN=N，MN∥平面PBC，ND∥平面PBC”推知DM∥平面PBC．然后将三棱锥P﹣BDM的体积转化为求三棱锥B﹣DMP的体积来计算．【解析】：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．BC=CD=，是边长为3的正三角形，∵△ABD=，BDC= BCD∴在△中，由余弦定理得到：cos∠∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，∴DC⊥AD，又∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD．又∵CD?平面CDP，∴平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：取AB的中点N，连接MN，DN．∵M是AP的中点，∴MN∥PB．∵△ABC是等边三角形，∴DN⊥AB，由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB．∴ND∥BC．又MN∩DN=N，∴平面MND∥平面PBC．∴DM∥平面PBC．过点B作BQ⊥AD于Q，∵由已知知，PD⊥BQ，∴BQ⊥平面PAD，∴BQ是三棱锥B﹣DMP的高，DMP=AD?PD=3，△∵BQ=，SDMP=．△﹣﹣∴VPBDM=VBDMP=BQ?S- 15 -的体积时，﹣BDM本题考查了直线与平面垂直、平行的判，．解答（Ⅱ）中三棱锥P【点评】：ABD=PD?S﹣△BDM=VP﹣．ABD=也可以这样【解析】：VP．n∈N*d的等差数列{an}满足：an+an+1=2n，分）已知公差为19．（12 的通项公式；d，并求数列{an}（Ⅰ）求首项a1和公差．n项和Sn∈N*，求数列{bn}的前（Ⅱ）令，n数列的求和；数列递推式．：【考点】等差数列与等比数列．：【专题】，可得a1+a2=2，令n=12，的等差数列{an}满足：an+an+1=2n，n∈N*．（【分析】：I）公差为d ，利用通项公式即可得出．．，解得d，即可得出a1a2+a3=4形．变n∈N*）（II由an+an+1=2n，利==，即可得出．“裂项求和”用．∈N*{an}的等差数列满足：an+an+1=2n，n：【解析】解：（I）∵公差为d a2+a3=4，，，2，可得a1+a2=2令n=1 d=1，∴2d=2，解得a1=2a1+d=2，解得，∴=n．﹣∴．∈N*II（）∵an+an+1=2n，n∴==，=1=n∴数列{bn}的前项和．Sn=b1+b2+…+bn=方法，考查了推理能裂项求和”“【点评】：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、力与计算能力，属于中档题．- 16 -，）两点．B（A（﹣10，）C．（13分）已知椭圆、：=1（a＞b＞0）经过20（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于另一点M，交x轴于点P，点M关于x轴的对称点为N，直线BN交x轴于点Q．求|OP|+|OQ|的最小值．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）将A、B两点代入椭圆方程，求出a、b，从而可得椭圆C的方程；的方程为（k≠0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0（Ⅱ）设直线l），联立直线l与椭圆（，N）从而M，（﹣，韦方程，由达定理可得，（P又因为，，0）Q从而直线），BN，的方程为：则，（+|OP|+|OQ|=≥4．0），结合不等式可得，）两点代入椭圆方程，（0 A（﹣1B，）、（Ⅰ）将【解析】：解：，解得，得的方程为；C 所以椭圆的方程为ll由于直线的斜率存在，故可设直线（Ⅱ）x0N），（，k≠0（）Mx0y0，（，﹣y0），- 17 -，化简得解方程组，=，，所以）（（，，），N从而M，﹣，kBN==所以，，0，则Q）从而直线BN的方程为：（|OP|+|OQ|=），所以≥4+，，又因为P0（时取等号，|k|=当且仅当，即= ．的最小值为4所以|OP|+|OQ|本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题【点评】：方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．处x=1（x）在a、b为常数），且y=fb（a、f21．（14分）已知函数（x）∈=R，﹣切线方程为y=x1．的值；，b（Ⅰ）求a ，（（Ⅱ）设函数g（x）=fex）（i）求x）的单调区间；g（+）＜．（x2，求证：当x＞0时，kx））xii（）设h（），=k（x=2h′（x利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【考点】：计算题；证明题；导数的综合应用．【专题】：，+b=0（1+a）1x）=；从而由f（）=ln′（（Ⅰ）先求导：【分析】f+b]=11+a[ln﹣1f′（）=（）组成方程组求解即可；- 18 -=），从而由导数确定函数的单调区，再求导g′（x）=f（ex）x=i（Ⅱ）（）化简g（间；=，从而化简k（x）==，求导h′（x（ii）化简h（x））；分别判断与1﹣2xlnxx）﹣x2=2x的最大值即可证明．=2h′（=；x）解：【解析】：（Ⅰ）由题意知，f′（）+b=0，（1）=ln（1+a故f）+b]=1，=﹣[ln（f′（1）1+a a=b=0．解得，=，）x）=f（ex（Ⅱ）（i）g（=，）g′（x则当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0；故g（x）的单调增区间是（﹣∞，1]，单调减区间是（1，+∞）．=，= ii）证明：h（x）（=，）h′（xx2=；x）=2h′（）k（x，]，∈（0）知，当由（ix＞0 时，设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），）上单调递增，在（，+∞0xm故（）在（，）上单调递减，- 19 -=1+且g（x）与m（x故mmax（）=m（）x）不于同一点取等号，+．）= （（故kx）＜1+【点评】：本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法，属于中档题．- 20 -。
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四川省宜宾市2014年二诊检测题数学（文）试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{2},{13}M x x N x x =>=<<，则下列结论正确的是 （A ）M N M = （B ）}32{<<=x x N M （C ）R N M = （D ）{12}MN x x =<<2. 已知复数12z i =+，21z i =-，则=⋅21z z（A ）1+i （B ）1-i （C ）3+i （D ）3-i 3. 已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是（A ）x ∀∈R ，21x≠ （B ）x ∀∉R ，21x≠（C ）0x ∃∈R ，021x ≠ （D ）0x ∃∉R ，021x ≠4. 已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）45. 函数y ＝ax 2＋a 与y ＝xa（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是第6题图6. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（A）4 （B）2 （C ）34（D ）17. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+1040x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值是（A ）-3 （B ）-2 （C ）1 （D ）78. 如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个整数被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 9. 已知A 、B 是椭圆()012222>>=+b a bya x 长轴的两个端点，P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP 、BQ 的斜率分别为k 1，k 2. 若2111k k +的最小值为4，则椭圆的离心率为 （A ）21（B ）23 （C ）33 （D ）3610. 已知平面向量a ，b ，c2=1=，1-=⋅b a ，且c a -与c b -的夹角为 45的最大值等于（A ）10 （B ） 2 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 函数()()x x f 21ln -=的定义域是____________. 12. 已知程序框图如下，则输出的i 的值是____________.13. 已知函数⎩⎨⎧<>=0),(0,log )(2x x g x x x f 是偶函数，则)8(-g 的值等于 .14. 已知135sin ,53)cos(-==-ββα，且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则=αsin _____．15. 在平面直角坐标系xOy 中，如果不同的两点),(b a A ，),(b a B --都在函数)(x f y =的图像上，则称],[B A 为函数)(x f y =的一组“和谐点”（],[B A 与],[A B 看成一组），函数⎩⎨⎧>≤=)0(|lg |)0(sin )(x x x x x g 的“和谐点”共有组.三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，… ，（5.1，5.4].（I ）求频率分布表中未知量n ，x （II ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（4.8，5.1]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．17.（本小题满分12分）(第12题图)已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+4. （I ）求公差d 的值；（II ）若a 1 = - 5，求S n 取得最小值时n 的值.18.（本小题满分12分）已知向量()x x m cos ,22sin 3+=，()x n cos 2,1=，设函数()3f x m n =⋅-. （I ）求函数f (x )的最小正周期；（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若f (A )=1，a =b +c =3，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都是2，又AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别是AC 、CC 1的中点.（I ）求证：AE ⊥平面A 1BD ； （II ）求几何体BCDB 1C 1A 1的体积.20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点1)2P 在椭圆C 上．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知直线l :y kx m =+（k ≠0）与椭圆C 交于,M N 两点，直线OM 、ON 的斜率存在且和为4k ，求证：2m 为定值.21．(本小题满分14分)已知函数.ln 2)(2ax x x x f --=（I ）若函数上单调递减，在)21[)(∞+x f ，求实数a 的取值范围； （II ）如果)()(4)(,12121x f x f x x x x f x x 是函数，的两个零点，且是函数'<<的导函数.用a x x 表示21,并证明：0)32(21>+'x x f .宜宾市高中2011级二诊测试 数学（文史类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,； 12．9； 13．3； 14．6533； 15．4． 三、解答题（共75）16解：（I ）由表可知，样本容量为n ，由05.01=n，得20=n …………（2分） 45.09==nx …………（4分） 4195120=----=y ， 20.0204===n y z . …………………（6分） （II ）设样本视力在（3.9，4.2]的同学为a ，样本视力在（5.1，5.4]的4人为b 1，b 2，b 3，b 4． 由题意从5人中任取两人的基本事件有： （a ，b 1），（a ，b 2），（a ，b 3），（a ，b 4），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，b 4），（b 2，b 3），（b 2，b 4），（b 3，b 4），共10个，且各个基本事件是等可能发生的． …………（8分） 设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的基本事件有： （b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，b 4），（b 2，b 3），（b 2，b 4），（b 3，b 4），共6个. ……（10分）∴()53106==A P ， …………（11分） 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为53．…………………（12分）17．解：（Ⅰ）∵4224S S =+,∴113442(2)42a d a d ⨯+=++，解得1d =. ………（6分）（Ⅱ）51-=a ，()()611511-=⨯-+-=-+=∴n n d n a a n . …………（8分）由0≤n a ，得6≤n . …………（10分） 所以，当n =5或6时，S n 取得最小值. ……………（12分） 18．解：（Ⅰ）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x n x x m =+= ,1cos 22sin 33)(2-+=-⋅=∴x x x f 2sin(2)6x π=+. …………（5分）故函数f (x )的最小正周期ππ==22T . …………………（6分） （Ⅱ）由()1f A =得，2sin(2)16A π+=，3,613626,0πππππ=<+<∴<<A A A …………（8分）由余弦定理得：A ab c b a cos 2222-+=()bc c b 32-+= ………（9分）因为a =b +c =3，解得bc =2. …………（11分）所以23sin 21==∆A bc S ABC . …………………（12分） 19．（I ）证明：BC BA = ，D 为AC 中点，AC BD ⊥∴.∵AA 1⊥平面ABC ，BD 在平面ABC 内，1AA BD ⊥∴，又A AA AC =111A ACC BD ⊥∴，又11A ACC AE 平面⊂，BD AE ⊥∴. …………（2分）在正方形ACC 1A 1中，因为D 、E 分别是AC 、CC 1的中点，所以ACE Rt AD A Rt ∆∆≅1.于是D A AE 1⊥， …………（4分） 又D D A BD =1 . 所以AE ⊥平面A 1BD. …………………（6分） （II ）AD A B C B A ABC D C BCDB V V V 1111111---= …………（8分）BD S AA S AD A ABC ⋅-⋅=∆∆1311 3353332=-=. …………………（12分） 20．解：（Ⅰ）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =， …………（1分）点1)2P 代入椭圆22221x y a b +=，得013424=--b b ，即1b =， …………（3分）所以2222a b c =+=， …………（4分） 所以椭圆1C 的方程为2212x y +=． …………………（5分） （II ）由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=. …………………（7分）设1122(,),(,)M x y N x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-⋅=++. …………（8分） 121212121212()2OM ON y y kx m kx m m x x k k k x x x x x x ++++=+=+=+. …………（10分） 整理得2242422OM ON km k k k k m +=-=-. …………（11分） 解得212m =，为定值. …………………（13分） 21．解：（Ⅰ）由题意得，022)(≤--='a x x x f ，对⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈∀,21x 恒成立.因为()x f '在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,21上单调递减，所以()0321max ≤-=⎪⎭⎫⎝⎛'='a f x f .故3≥a . …………………（5分） （Ⅱ）∵的两个零点是函数，)(21x f x x ，0ln 2)(12111=--=ax x x x f 0ln 2)(22222=--=ax x x x f ………（6分）)(ln 20)()(ln 212121212212212x x x x x x a x x a x x x x +--=∴=----∴ ………（9分）)(31]233[ln 2)(3126ln2)2(3226)(ln2)2(3226)32(22)(2112121212212112122121121212212121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x f a x x x f --+----=--++--=+-++++--=-+-+=+'∴--='， ……（11分）0)2()4)(1()2(45)2(91)(233ln )()41(2222'12<+--=++-=+-=+--=∈=t t t t t t t t t t t t t t t x x t φφ，，，令 …………（12分）0)32()(3102.0)1()()4,1()(212112>+'∴>--<--=<∴∴x x f x x x x t t ，又上单减，在φφφ ………………………………（14分）。