例谈初中数学中蕴涵的数学思想
谈初中教材中的数学思想
问题解决方案 中的分类思想 例 ： 校 三 年 级 五 班 班 主 任 带 领该 班 学 生 去 东 山旅 游 ， 某 甲旅 行社说 ：如果班 主任买全票 ， “ 则某 余学 生可享受 半价优 惠”， 乙 旅行 社说 ：包括 班主任 在 内全 部按 全票 价 的 ６价优 惠 ” 若 全 “ ， 票为每张 ２ Ｏ元 。 ４ 问： 就学生数讨论哪一旅行社更合 算？ 解 ： 学生数为 ｘ 设 人 当甲、 乙旅 行社 费用一样 时即 ２ ０＋ ． ４ ｘ＝０ ６Ｘ ４ ４ ０ ５Ｘ２０ ． ２ ０
三段论被认为是最典 型的演绎 推理 。如 乔治 ・ 波利亚 在《 怎样 解题 》 一书 ， 他认 为 ： 在我们 的思维 、 “ 口常谈 话 、 一般结 论 以及 艺术 表演方法 和最 高科学成 就 ， 无不充 满 了合 情推 理…但合情 推理也 可达到数学 精确的水 平 ， 以各种合 情推理 包括猜想类 所 比等在发 现解答 方 面 都 可 能起 作 用 ， 们 不 应 当忽视 任 何一 我 种。 ”在《 数学 与猜想 》 一卷 中， 第 波利 亚 指出 ： 不论 是 初等数 “ 学、 高等数学 的发现 ， 或者 在任何 的学科 的发现 ， 怕都不能没 恐 有这种过程 ， 特别是 不能没有 合情 推理 。” 全 日制义务 教育数 《 学课程标准 （ 实验稿 ） 在其 前言 部分强 调“ 过数 学课 程 的学 》 通 习发展学生的数感 ……应用 意识与推理 能力 ” 标准》 。《 在总体 目标之一“ 数学思 考 ” 并 指 出 ： 经 历观 察 、 ， “ 实验 、 想、 明等 猜 证 数学活动过程 ， 发展合情 推理能力和初 步的演绎 推理 能力 ， 能有 条理地清晰地 阐述 自己的观点 。” 法教材 中的演绎 推理 处处 算
初中数学思想详解
初中数学思想详解篇一：初中数学中的主要数学思想方法初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
初一新教材中数学思想及其教学浅谈
初一新教材中数学思想及其教学浅谈在新世纪之初，我国开始了建国以来第八次根底教育课程改革。
作为成千上万的教育工作者中的一员，我将以高度的历史责任感和最大的热情投入到这场改革中去。
数学作为人们生活、劳动和学习必不可少的工具，是一切重大技术开展的根底。
新的数学课程标准要求数学教育面向全体学生，表达根底性、普及性和开展性的特点，实现：1）人人学有价值的数学；2）人人都能获得必须的数学；3）不同的人在数学上得到不同的开展。
从小学数学过渡到初中数学，学习内容、研究方法，都是个转折，尤其是数学思想认识上要产生质的飞跃。
初一数学新教材蕴含了通常的数学思想，这些数学思想在学生今后的数学学习中会不断地运用到。
因此，教学好初一新教材中的数学思想是十分重要的。
在初一新教材中所包涵的数学思想概括起来主要有：1、合理的三维空间思想；2、数形结合思想；3、用字母表示数的思想；4、分类思想；5、方程思想；6、化归思想；7、概率统计思想。
下面我将对新教材（北师大版）中的几种数学思想及其教学谈谈我粗浅的想法和体会。
一、合理的三维空间思想新的初一数学教材（北师大版）的第一章就是《丰富的图形世界》，作为衔接小学数学与初中数学的内容，与原来的教科书不同。
这样安排，显然拉近了数学和学生的间隔，消除学生刚踏入初中时学习第一节数学课所产生的陌生和恐惧感。
实际的图形给同学们“看得见，模得着”的感觉，但要从其中抽象出详细的数学模型，就得让学生通过不断的观察，在展开与折叠、切截等数学活动过程中，认识常见的根本几何体及点、线、面和一些简单的平面图形等，形成一定的空间思想。
同时，通过安排对某些几何体主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形和几何体的转换中开展学生的空间观念，提高学生的空间思维能力。
在我的实际教学中，我充分调动学生的个人思想和主观能动性，给予足够的空间和时间，通过每个学生自己的动手操作去体会教材所安排的内容，同时去发现新的问题。
譬如在“面动成体”这一知识点上，在实际生活中很难找到相关实例，在上该课的前一天我就让学生去观察生活中的例子，在课堂上，我让学生充分讨论，学生就找到了“某些高档宾馆的旋转大门，面动起来就成为圆柱体”“校门口的自动门，将截面理想化为长方形，那么运动起来就是长方体”等等。
例谈初中数学思想方法的教学7篇
例谈初中数学思想方法的教学7篇第1篇示例：初中数学思想方法的教学是提高学生数学学习能力和解决问题能力的重要环节。
数学思想方法的培养是数学教学中的一项重要任务，它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的解决问题的能力。
教师在初中数学教学中应注重培养学生的数学思想方法，提高他们的数学素养。
一、提倡启发式教学方法启发式教学方法是培养学生数学思想方法的有效手段之一。
教师可以通过引导学生思考和提出问题的方式，激发学生的求知欲和好奇心，促使学生主动探究和发现数学规律。
教师可以给学生一道有趣的问题，让学生通过分析和推理找出解决问题的方法，这样可以激发学生的兴趣，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。
二、注重实践教学方法实践教学方法是培养学生数学思想方法的重要途径之一。
通过数学实践，学生可以将抽象的数学知识与实际生活联系起来，理解数学的应用价值，从而加深对知识的记忆和理解。
教师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生在解决问题中体会数学的魅力，培养他们的动手能力和实践能力。
三、鼓励合作学习方法合作学习是培养学生数学思想方法的有效途径之一。
通过合作学习，学生可以相互交流、讨论，共同解决问题，从而提高解决问题的效率和质量。
教师可以组织学生分组讨论、合作完成任务，引导学生相互合作、互帮互助，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。
四、激发创新思维能力第2篇示例：初中数学作为学生数学学科的启蒙阶段，数学思想方法的教学显得尤为重要。
正确的数学思想方法不仅影响到学生对数学的学习态度和兴趣，还直接影响到数学学科的学习效果。
教师们在进行初中数学教学时，需要注重培养学生的数学思想方法，激发学生学习数学的兴趣和潜能。
初中数学教学要注重启发性教学。
数学是一门反映客观规律的抽象科学，因此教学应注重培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
在教学过程中，教师应引导学生通过具体问题认识抽象概念，通过实际情境应用抽象理论。
例谈初中数学教学中蕴含的数学思想与方法
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以增强知识 的条理性 。 如学 习有理数后 ， 对其就可进行
中图 分 类 号 ： ６ ３６ Ｇ ３． 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ４ ９ ２ （０ ２０ — １２ ０ １７ — ３ ４ ２ １ ）６ ０ ３ — ２
数学是研究数量关 系和空间形式 的科学 。义务教 育数学课程标准指 出 ：初 中数学 的基础 知识 主要是代 “ 数、 几何 中的性质概 念 、 则公式 、 法 公理 定理 以及 由其 深层 次内容所 反映 出来的数学思想 和方 法 。” 际上 ， 实
求解 ； 研究 多边形的性质时 ， 常将其 分解成几个三 角形
等。
二、 类讨论思想 分 分类 是一种重要 的数学思想 。学习数学 的过 程 中 经常会 遇到分类 问题 ， 如数 的分类 、 图形 的分类 、 代数
式的分类 、 函数 的分类等 。在研究 数学 问题 中 ， 常常需 要通过分类讨论解决 问题 ，分类的过程就是 对事物共 性 的抽象过程 。 教学活动 中， 要使学生逐步体会为什么 要分类 ， 如何分 类 ， 何确定 分类 的标准 ， 如 在分类 的过 程 中如何认识对象 的性质 ，如何 区别不 同对 象的不 同
种数学方法 。数学王子欧拉在研究 “ 著名 的哥尼斯堡土 桥 问题 ” ， 时 就是 利用数 学模 型方法将 它化 为 “ 笔画 一 问题 ” 处理的 。利用方程模 型思想解题时 ， 分析和 来 要
例谈初中数学思想方法在教学中的合理渗透
Ｂ
效进行分析思考 。 利于教案的改进 。 有
课前备课 写教 案固然重 要 ． 课后 反思 ． 行 二次备 课 ， 但 进 更 有 利 于 教 师 的专 业 成 长 与 提 高 。 后 教 师 认 真 反 思 ， 取 教 课 吸 训 ， 捉 课 堂 教 学 中 的感 悟 点 ， 其 实 也 是 在 备 课 。教 师 将 教 捕 这 学 感 受 记 录 下 来 ， 是 最 有 价值 的 第 一 手 资 料 ， 可 以及 时 纠 这 既 正错误 ， 播 经验 ， 可 以为第二 节备课 或研究 提供素材 ， 传 又 以 不 断 提 高 自己 的备 课 能 力 与 研 究 能 力 。 比 如 ， 学 习 了 “ 次 在 二 根式 ” 以后 ． 后 回顾 这 一 问 题 的教 学 过 程 中 ， 结 出 分 母 有 课 总 理 化 是 二 次 根 式 化 简 与 计 算 的重 要 工 具 ，是 二 次 根 式 中 的 一 个 重 要 内容 ， 求 学 生 熟 练 掌 握 与 应 用 。 如果 我们 能从 对应 要 但 的 角 度 、 反 的 方 向 、 逆 的 路 线 去 思 考 问 题 ， 母 有 理 化 肯 相 互 分 定 有 着 它 不 可 替 代 的作 用 。 实 际 上 ， 为 了 学 生 继 续 学 习 的需 要 ． 为 了 培 养 学 生 的 逆 向思 维 能 力 ， 教 学 中 ， 们 应 该 注 也 在 我 意 分 母 有 理 化 的应 用 。 又 如 ： 学 完 圆 的切 线 后 ， 总结 了解 在 我 决 此 类 题 目常 用 的辅 助 线 作 法 ：看 到切 点 ． 半 径 ， “ 连 证垂 直 。 ” 这 些 经 验 ． 我 每 一 年 的 备 课 过 程 中 ， 起 到 了 领航 的作 用 。 在 都 二 、 教 学 反 思 ” 时 采 集 师 生 智 慧 的 闪光 点 。 以 找 到解 “ 及 可 题的捷径 。 课 堂 教 学 是 人 的教 学 ， 是 活 泼 的 、 放 的 、 异 的 ， 人 开 差 我们 不 可 能 要 求 学 生 都 在 老 师 的 指 挥 棒 下 统 一 行 动 。一 旦 出 现偶 发 事 件 。 师 就 要 凭 自己 的教 学 机 智 ， “ 手 ” 时 抓 取 有 教 用 妙 及 效 资 源 。 行 深 入 提 问 ， 导 学 生 擦 出思 维 的 火 花 ， 成 师 生 进 引 促 互 动 ． 妙 语 如 烟 花 闪 耀 于 整 个 课 堂 ， 动 有 效 地 实 现 教 学 让 生 目标 。 （ ） 如 ： 知 ： 图 １ 点 Ｏ为 平 行 四边 形 Ａ Ｃ １例 已 如 ， Ｂ Ｄ的对 角 线Ｂ Ｄ的 中 点 ． 线 Ｅ 经 过 点 Ｏ， 别 交 Ｂ Ｄ 直 Ｆ 分 Ａ， Ｃ的 延 长 线 于 Ｅ、 Ｆ 点 ． 证 ： Ｅ Ｃ ． 备 课 时 想 两 求 Ａ ＝ Ｆ我 到 的 方 法 是 ：通 过 证 明 ａ Ｂ Ｅ Ｏ △Ｄ Ｆ 得 出Ｂ ＝ Ｆ， Ａ ＝ Ｄ ０ ， Ｅ Ｄ 由 Ｂ Ｃ 得 Ｂ － Ｂ Ｄ — Ｃ． ： Ｅ Ｃ ． 当 Ｅ Ａ ＝ Ｆ Ａ 即 Ａ ＝ Ｆ正 我 觉 得 此 题 讲 解 很 精 彩 时 ． 然 突 Ｂ 有 一 同 学 站 起 来 说 ： 还 可 以 连 “ 接Ａ Ｃ， 由 平 行 四 边 行 ＡＢ Ｄ的性 Ｃ 图 １ 质 易 知 ０ ＝ Ｃ， 从 而 易 证 Ａ Ｏ ＡＡ Ｅ＿ ＡＣ Ｆ 直 接 得 出Ａ ＝ Ｆ一 条 辅 助 线 大 大 简 化 了解 Ｏ － ＿ ＿ Ｏ ． ＥＣ． 题 过 程 。 堂 上 出 现 的 这 些 “ 外 ” 正 常 的 ， 题 的关 键 是 课 意 是 问 出 现 意 外 后 的 教 学 态 度 。 学 生 能 提 出 一 个 问 题 往 往 比 解 决 个 问题 更 重 要 。 教 师 应 借 此 “ 外 ” 养 学 生 思 考 问 题 的 意 培 多样性 。 （） 如 图２在 （ ２又 ， ３０中 ， 径 Ａ ＝ ０ 弦ＡＣ ６ ／Ａ Ｂ的平 直 Ｂ １， ＝， Ｃ
题目：初中数学模型思想有哪些？通过具体实例分别说明通过...
题目：初中数学模型思想有哪些？通过具体实例分别说明通过数学模型思想解决数学问题？答：初中数学模型思想主要有以下几种;（1）方程模型思想（2）不等式模型思想（3）函数模型思想第一、方程模型思想的应用新的课程标准提出，义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感、态度，价值观方面得到进步和发展。
教材为学生的学习活动提供基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。
因此，教师应该重新认识教材的功能，明确教材只是达到目的的材料，教学时应该根据教材提供的丰富教学资源进行再创造，而不是照本宣科成为教材的机械执行者。
利用方程解决实际问题，从一个侧面体现了数学与现实世界的联系，体现了数学的建模思想。
在新课标下的数学(七)上教材以模型思想为主线，从实际问题引出方程，以方程解决实际问题编写了方程这块内容，给人以耳目一新的感觉。
它不但让学生体验到了方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，深刻认识到方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值；同时，也给任课教师带来了挑战。
下面就自己的课堂教学谈谈如何利用方程模型进行创造性教学。
一、利用熟悉的数学问题，使学生认识建立方程模型,从而运用方程模型思想：3个连续自然数的和是24，你能求出这3个自然数吗？此问题绝大部分同学会马上说出他们的答案(理由：中间的自然数是24÷3＝8，所以这3个连续自然数分别是7，8，9)，而少数学生还在埋头计算。
此时，教师给予肯定的同时，又给学生提出新的问题，使学生真正体会建立方程模型的必要性。
从学生较为满意的表情上可以看出，他们希望能够迎接新的挑战。
这时出示问题二：教科书第91页例3.有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243…其中，某3个相邻数的和是-1701，这3个数各是多少？学生尝试用解决问题一的方法，却一再碰壁，此时，教师引导学生如何通过方程模型来解决数列的问题。
谈谈初中数学中常用的数学思想
谈谈初中数学中常用的数学思想在初中数学中，常用的数学思想有：数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。
教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，是进行数学素质教育的一个切入点。
一、数形结合的思想数形结合的思想是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
由以上的例子，我们可以看出数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得形象直观。
二、方程与函数的思想方程与函数的思想解决数学问题的一个有力工具。
用函数和方程的思想来解决问题，往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了。
例：某公司到果园基地购买某种优质水果，果园基地对购买量在3000㎏以上（含3000㎏）的有两种销售方案。
方案一：每千克9 元，由基地送货上门；方案二：每千克8 元，由顾客自己租车运回。
已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000 元。
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(㎏)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。
分析：由题意易得方案一与方案二对应的函数关系式为y1=9x与y2=8x+5000，再根据y1与y2的大小关系选择付款最少的购买方案。
解：（1）方案一，y1=9x；方案二，y2=8x+5000，x≥3000㎏．(2)9x=8x+5000，x=5000；当x=5000㎏时，y1=y2。
两种方案付款一样；当x﹥5000㎏时，y1﹥y2，选择方案二付款最少；当3000≤x﹤5000，y1﹤y2，选择方案一付款最少。
三、分类讨论的思想分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。
此方法可以训练学生思维的全面性，克服思维的片面性，防止漏解。
运用分类讨论思想时，分类要准确、全面、不重、不漏。
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例谈初中数学中蕴涵的数学思想
【摘要】通过举例阐明分类讨论、数形结合、转化、方程、统计、逆变换等数学思想是数学的灵魂，是数学知识的精髓，也是分析问题、解决数学问题的基础和导向，是知识转化为能力的桥梁。
【关键词】数学思想；灵魂；精髓；基础；桥梁
数学知识是数学思想的载体，数学思想是数学的灵魂，是数学知识的精髓，也是分析问题、解决数学问题的基础和导向，是知识转化为能力的桥梁。
在初中数学中蕴含丰富的数学思想方法。
数学思想一直是中考的重要内容之一。
中考对数学思想方法的考查有明有暗，有些题目要求考生必须用某种数学思想方法，有些则要求考生根据问题选择恰当的思想方法予以解决。
因此，在数学教学中需要教师把握好教材，从中挖掘其隐含的数学思想，依据大纲、课本内容和学生的认知水平，将数学思想的渗透至始至终作为教学的核心，使学生逐渐领会数学知识的精髓，掌握解决数学问题的“金钥匙”，是学生终生受益。
现将初中阶段解决数学问题常用的数学思想总结如下，以抛砖引玉，共同提高。
1分类讨论思想
所谓分类讨论的思想就是当被解决的问题包含两种或两种以上的情况时，则需要按不同情况分类讨论来解决问题的一种思想方法。
初中数学无论是数与式、方程与不等式、函数还是空间与图形，实践
与综合应用的内容，学习过程中都蕴含着分类讨论的思想。
如有理数的分类
在以后学习过程中，一提到有理数就应考虑它可能是整数也可能是分数。
又如在有理数的运算中
欲求（-1）n的值就须对指数n进行分类讨论。
又如绝对值的概念
本身就是以分类讨论的思想出现的。
欲解决有关绝对值的问题，就须先去掉绝对值符号，就应对绝对值内部代数式的符号进行分类讨论。
二次根式化简时的分类、方程的分类、函数的分类、空间与图形中两直线位置关系的分类、三角形的分类、四边形的分类、直线与与圆的位置关系的分类、圆与圆的位置关系的分类等等都体现了分类讨论的思想。
在运用分类讨论思想解决问题时，首先确定分类讨论对象，分类时要合理、标准统一，不重不漏，然后在逐类进行讨论，分级进行，最后再归纳总结。
例如：已知在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.
求△ABC的内接正方形的边长。
分析：本题中直角三角形的内接正方形应有两种不同的位置，因此应根据不同的位置分类讨论求出各自的边长。
可见分类讨论的思想是一种重要的解题策略。
2 数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙地、和谐地结合起来：通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化;初中数学教材从引进数轴开始，就为数形结合的思想奠定了基础，在此后的内容中，这种思想被不断地加强与应用。
如有理数大小比较、相反数的几何意义、绝对值的几何意义、列方程解应用题的画图分析以及函数图象、性质及应用等都充分显示出数与形结合起来后产生的威力；充分发挥图形的优势，及时地从图形中捕捉有用信息，找到解决问题的方法，将抽象的数学语言与直观的图象结合起来使学生的思维得以锻炼。
数形结合思想的应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用图形来直观地说明性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如在进行有关图形的计算时，需要画出图形。
例：已知函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，-1）两点，试确定a的取值范围。
分析：由图象可知二次函数的图象开口向上，即a＞0，对称轴在y轴右边。
即-b/2a＞0，又过（-1，0）和（0，-1），即可a的取值范围。
解：由图象知a＞0
∵图象过（-1，0）和（0，-1）
∴a-b+c=0 c=-1
∴b=a-1
又∵x=-b/2a＞0即-(a-1)/2a＞0
∴a＜1
故0＜a＜1
3转化思想
转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法。
初中数学知识的探究过程都体现了转化思想，均是将未知的问题转化为已知，把抽象的转化为具体的，把特殊转化为
一般的问题来解决的。
如教材中学习二元一次方程组，三元一次方程组以及一元二次方程、分式方程的解法时，正是利用转化的思想，采用多种多样的手段将其转化为解已经学过的一元一次方程。
又如在研究有关梯形的问题时，常常需要添加适当的辅助线将已知梯形转化为三角形，平行四边形以及其他特殊的四边形进行求解等。
因此，教师在教学过程中，要善于引导学生分析数学问题的结构特征，通过“拼”、“折”、“合”、“分”等手段，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决。
分析：这个代数式求值问题，它的基本方法①直接代如求值②整体代如求解。
显然这个问题无法直接代如求解，联想完全平方公式，运用转化思想将x2+转化到有已知形式的式子，则原式=32+2=11，问题得到解决。
只要教师善于分析、钻研，逐步有计划有意识的渗透，一定能大大提高学生的解决问题的能力。
4方程思想
方程思想是一种重要的解题思想方法，其实质就是数学建模。
列方程解应用题就是方程思想的体现。
一般要经历设未知数、找等量关系式、列方程（组）、解方程、检验、作答等过程来解决问题。
又如在解决与直角三角形和相似三角形有关的计算问题时，往往利用方程的思想来解决。
例：某中学九年级数学活动小组利用周日开展课外时间活动，他们要测量底部不能直接到达的地面上的塔AB的高度，如图（4），在地面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60°，请你帮他们计算出塔AB 的高度（结果保留根号）。
分析：这是一道与直角三角形有关的实际问题，根据题意画出几何图形，设塔AB高为x米，利用直角三角形边角关系列出方程解决问题。
5统计思想
统计思想就是利用统计对有限个对象（样本）的研究，去对大量对象（总体）的特征进行估计的一种思想方法，它主要是解决生活中较大数据群的评估问题。
随着信息技术的发展，数字化时代的到来，统计知识的应用越来越广泛，越来越重要。
统计的特点就是与数据打交道。
运用数学知识解决实际问题。
其过程是：从实际问题中获取必要的信息→分析处理有关信息→建立数学模型→解决这个数学问题；或者是通过图表获取数据信息，收集整理、分析数据，再运用统计量的意义去分析。
上述这些都是用统计的思想方法解决问题的基本方式。
例：（2008年陕西中考题）下图①图②是某校条查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图。
根据上图信息，解答下列问题：
⑴求本次被调查学生的认输，并补全条形统计图。
⑵若前校工有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？
⑶通过对以上数据的分析，你有何感想（用一句话回答）？
∴估计这所学校有1500名学生知道母亲的生日。
③略
6逆变换思想
逆变换思想就是善于运用正反、互逆方式思考问题的思想方法，但学生在学习过程中有常常忽略从反、逆方面考虑问题。
因此，教师在教学中加强逆变换思想的培养尤为重要。
教材中处处都蕴涵着逆变换思想，如整式乘法与因式分解本身是互逆的整式变形。
在引导学生学习因式分解定义时，就应有意突出将这两个变形写在一起以开拓思维，加强逆变换思想
这样的例子不胜枚举，教师在教学中要善于引导学生和教会学生逆用定义，加强对公式、定理、法则运用的训练，重视解题思路的逆向分析，就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
总之，数学思想与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字、符号和图形来记录和描述。
随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能遗忘，而数学思想则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。
掌握数学思想，不是受用一时，而是受用一生。
因此，在数学教学中，只要切切实实地把握好上述几个典型的数学思想，从初一开始，有计划、有目的的渗透和培养，就一定能使学生抓住数学的灵魂，掌握解决问题的金钥匙。
参考文献
［1］蔡上鹤.数学思想和数学方法.【M】.北京.中学教育.2008.5 ［2］沈文选《中学数学思想方法》《湖南师范大学?出版社》1999.4。