基于学生核心素养培养的课堂活动设计

基于学生核心素养培养的课堂活动设计
——等差数列前n项和
上海市曹杨二中侯爱娟
数学学科的核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是学生在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。

数学学科核心素养是“四基”的继承和发展，“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体。

教学中不断引导学生理解基础知识、掌握基本技能、感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，促进学生数学学科核心素养的不断提升。

基于此，教师在每一节的设计与教学中必须关注以下几点：思考相应的数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点；注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联；探讨数学学科核心素养在教学中的可实现性；研究其融入教学内容和教学过程的具体方式和载体。

本文就《等差数列的前ｎ项和》这节课的课堂教学设计谈谈如何实现以上所想所愿。

教材分析：《等差数列的前ｎ项和》是高二第一学期教材中数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．教材首先通过具体的实例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体实例的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．本节内容既是等差数列的通项和性质的运用与巩固，同时又为后面学习等比数列提供了研究的方法与类比的对象。

教学重点：是探索和运用等差数列的前ｎ项和公式；
教学难点：是前ｎ项和公式推导思路的形成．
教学目标：
知识与技能目标：理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的抽象理解能力和逻辑推理能力．
过程与方法目标：经历公式的推导过程，让学生体验数学公式形成与发展过程，培养学生抽象概括能力．让学生学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：让学生获得发现的成就感，提高学习数学的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
基于以上对教材的分析与教学目标的定位，我作出以下思考：
（1）这节课学生的认知基础是什么？
首先想到的是关于高斯如何解决“1＋2＋3＋…＋100＝？”的问题，这是一个学生耳熟能详的故事；其次，初中所学习的梯形的面积公式以及推导的方法：补形法，即补上一个全等的梯形使之成为一个平行四边形求其面积，从而将未知问题转化为已知问题去求解。

这些为等差数列求和的倒序相加法或首尾配对法提供了最近发展区。

（2）本节内容的逻辑起点是什么？
我认为本节课的逻辑起点是上节课所学习的等差数列的通项公式，以及由公式可以得到的性质：下标和相等的两项之和相等，即a 1+a n = a 2+a n-1= a 3+a n-2=……= 2a 1+(n-1)d 这些均为求和的倒序相加法提供了逻辑推理的依据。

基于这两点的思考，我的课堂教学设计如下四个环节：
教学过程设计
一、问题情境的呈现
（1）从数学王子高斯的故事引入，让学生回忆高斯如何解决“1＋2＋3＋…＋100＝？”，从而引出首尾配对的方法。

（2）回忆梯形的面积公式是什么？当时又是如何推导得到的？梯形的面积公式为：2
)(h b a S +=
，是通过“补形“的方法得到，即补上一个倒置的全等的梯形使之成为一个平行四边形求得。

（3）若有一个横截面为梯形的圆木堆，共有10层，自上而下的圆木数是“11,12,13,14,……20”你能用最快的方法得到这个圆木堆的总数吗？ （4）若圆木堆共有n 层，圆木数分别为n a a a a 321,,，你能得到圆木总数吗？
以上提出的几个问题情境都属于学生已有的认知范畴，是学生已具备的认知结构，教师所做的事情就是如何激活这些沉睡的知识和生活经验从而引发学生思考和交流，形成和发展数学学科核心素养。

接着就是如何让学生抽象概括出与等差数列有关的一个数学模型，那就是等差数列前n 项和这个数学模型的建立，所以第二个环节就是数学模型的建立
二、数学模型的建构（等差数列前n 项和这个数学模型的建立）
1. 数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn ｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn 为数列｛ａn ｝的前ｎ项和，用S n 表示， 即S n ＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn ．这里需要让学生用规范的数学形式化的表达抽象出数列前ｎ项和的定义，方便于后续学习中通过符号运算和形式推理去解决问题。

并指出这种表达并不限于等差数列。

上述过程学生能在情境中从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征，从而抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

2. 等差数列的求和公式（类比猜想、演绎推理）
（1）如何推导等差数列的前ｎ项和公式？或者通过前面几个问题的解决你是否已经猜想得到等差数列的前n 项和的公式了呢？如果猜到，又该如何证明？
该环节蕴含着类比思想的两个方面：其一如何从结论来类比猜想？或许梯形的面积公式的结构会让学生类比猜想出等差数列前ｎ项和公式。

第二如何从方法来类比推广？也或许梯形面积公式的补形法也就在学生的思维活动中演变为数列的倒序相加法。

我认为这就是教学活动设计的意义——通过你的不着痕迹的问题和情境的引领学生感受到数学概念和公式的得到是那么”水到渠成”、那么“顺理成章”，甚至于学生会欣喜地觉得原来我早已具备了与等差数列求和相关的所有要素，只要我能够打通知识间的联系便可。

所以他会越发觉得知识间联系的重要性，也会更加关注各方面知识间的联系，比如：某一知识在整个学科体系中的地位和作用、上位知识和下位知识的联系、新旧知识间的联系、所学知识与他的生活、经验的联系等等。

这其实就是一种数学思维能力，久而久之也就会潜移默化为学生的数学学科素养。

对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
S n＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］①依据高斯算法，
将S n表示为S n＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．②
由此等差数列的前ｎ项和公式便水到渠成
适时小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？接着就是等差数列求和这个数学模型的应用
三、数学应用
该环节也是教学的重点，为了让学生熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学方式，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

例1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．
（1）ａ1＝-4，ａ8＝—18，ｎ＝8．
（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
设计意图：让学生学会恰当选用公式进行计算．
例2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？
注：教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．并进一步让学生思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？通过这个问题的反思让学生体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，
例3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．
注：让学生学会在实际背景中进行模式识别，能够发现问题的实质就是求数列的前n 项和的问题，从而建立数列模型，并用数列模型解决实际问题。

进而体会到数学的应用价值。

四、学生练习与课堂小结（从知识层面，方法层面，思想层面作出小结）
回顾从特殊到一般的研究方法；
体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；
掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。