湘教版(2012)初中数学九年级下册 1.2.2 二次函数的图象与性质—y=a(x-h)2教案
1.2二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质(3)-湘教版九年级数学下册教案
1.2 二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质（3）-湘教版九年级数学下册教案一、学习目标1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的图象及其性质。
2.理解二次函数y=a(x-h)^2的变化规律。
3.能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
二、教学重难点1.掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，并能够进行简单的变化规律推断。
2.理解如何将实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
3.理解二次函数图象的不同变化规律。
三、学习内容1. 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象是一个开口向上或向下的抛物线，其中(h, k)为抛物线的顶点。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，当a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。
2. 二次函数y=a(x-h)2的变化规律在二次函数y=a(x-h)2中，a表示抛物线的开口方向和抛物线的开口大小。
当a>0时，表示抛物线开口向上；当a<0时，表示抛物线开口向下。
同时，a的绝对值越小，抛物线的开口越接近于水平轴。
3. 二次函数应用题利用二次函数的形式解决一些实际问题是数学学科中的重要应用之一。
通过一些具体的例子，可以帮助学生更好地掌握二次函数的理论知识。
例如，一个投射物的高度与时间的关系可以表示为y=-0.5x^2+10x，其中，x表示时间，y表示高度。
四、学习方法在学习过程中，学生可以通过练习题来巩固所学的知识。
同时，老师可以引导学生多思考实际问题的转化过程，并帮助学生掌握二次函数图象的不同变化规律。
五、作业1.练习册P19~P20，1、2、3、4、6、8题。
2.根据实际问题，自己构造1个二次函数，并绘制其图象。
六、教学反思通过本节课的学习，学生可以更好地掌握二次函数y=a(x-h)^2的基本性质，更好地理解二次函数的变化规律，能够将一些实际问题转化为二次函数的形式，并进行解析。
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质
∴d < c < 0，∴ a > b > 0 > c > d．
y ＝ ax2 图象 位置开 口方向
对称性
顶点最值
增减性
a>0
y
Ox
开口向上
a<0
y O
x
开口向下
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴方程是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
解析：根据 a、b 的符号来确定． 当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口 向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 . ∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象 限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开 口向下．∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限． 故选 D.
合作探究
问题1
画二次函数
y
1 4
x2
的图象.
列表
x
0
1
2
3
4
y 1 x2 4
0
1 4
－1
9 4
－4
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分，再利
用对称性画出 y 轴左边的部分.
y
这样我们得到了 y 1 x2
4
－4
o
－2
2
4x
的图象，如图.
－2
－4
问题2 观察图 y 1 x2的图象跟实际生活中的什么相像？
4
Hale Waihona Puke －4 －2 －2 －42
4
y 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线
湘教版九下数学课件1.2.2二次函数图像与性质
y ax 2 当h>0时,向右平移 当h<0时,向左平移
y a(x - h)2 的图象
y a(x - h)2
a＞0时，开口________,最____点是顶点;a ＜0时，开口________,最____点是顶点;
对称轴是_直__线_x=h
顶点坐标是__(_h_,0__)____。
练习:
4、画出二次函数y=-2（x-2）2+3的图像。
5、已知某抛物线的顶点坐标为（-3,2）且与y轴相交 于点（-1,0）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。
讨论归纳:
y ax 2 当h>0时,向右平移 当h<0时,向左平移
y a(x - h)2
h左加右减
当k>０时向上平移 当k<０时向下平移
的 是形 _y_状___相_1_同（__，x__且_4顶）2点坐2标是（４，-２）则3函数关系式
3
3、指出下列二次函数的开口方向、对称顶点坐标：
(1) y 3x 2 6
(2)
y 2(x 1 )2 7 2
(3) y 5(x 2)2 3
(4) y 2 (x 2)2
1 a2 2
(a 1, 1 a2 ) 2
证明：
记从b 而a点Q1,的则坐a 标b为1
b, 1 b 12
2
这表明：点Q在函数的y图象1上x，-1由2此得出，抛物线
F是函数的图象，
2 y
1
x
-12
2
这样我们证明了：函数的y图 象1 是x 抛-1物2 线F，它的开口
2
纵坐标
1 a -12
2
1 a -12 3
2
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上， 则____y_1_＜__y_2___.
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝ －3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x
湘教版九下数学课件1.2二次函数的图象与性质
2 由图于象我的们 性已 质经 ，知 因道 此了 今后二在次画函数 y=ya=(ax(-xh-)h2)的图的象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左 边的部分.
2.画二次函数的图象. y = -2(x -2)2 +3
解：
●
y =-2(x-2)2+3
●
●
3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过 点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数 的表达式.
解: 由抛物于线点所(-表3，示2的)是二该次抛函物数线的的表顶达点式，为可y=设a这(x个+3)2+2. 2
解得 a = 43.
因此，所求的二次函数的表达式为
y
Байду номын сангаас
=
43(
x
+
2)2
+1
=
3 4
x
2
+
3
x
4.
练习
1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
（1 ）y
=
2( 5
x
-
9)2
+7；
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（
2 ）y
=
-
1( 3
x
+18)2
-13.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
练习
1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：
（1）抛物线的对称轴是，顶点是； y轴
湘教版数学九年级下册1.2二次函数的图象与性质(第5课时)课件(共14张PPT)
列表：自变量x从顶点的横坐标
x
3 7 y 2 x 2 2
2
3 2
2
3
5 2
3
－1
7 2
7 2
3 2
9 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到 函数 y 2x2 6x 1 的图象，如图
2
=-2(x -3x)-1
3 2 3 2 2 =-2 x 3 x ( ) ( ) 1 2 2
2
3 9 2( x ) 2 2 1 2 4
3 2 7 2( x ) 2 2
对称轴是直线
3 ，顶点坐标是 3 , 7 x 2 2 2
a 2 0 有最大值为5
3 1 x 2 4
2
顶点坐标为
3 1 , 2 4
2
y 2x 8x 3
2
3 2 x 2 4 x 2
3 2 2 x 4 x 4 4 2
2 x 2 5
2 （当a>0）：4ac b 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
1 2 x 2 1 2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
2 一般地，对于二次函数 y ax bx c
湘教版九年级数学下册二次函数的图象与性质课件
B）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
3. 抛物线 y＝ a(x－h)2 向左平移 3 个单位得到抛物线
4
-2 h＝_____．
y＝-2(x－1)2, 则 a＝______,
当堂练习
y=-2x2
4、抛物线y=-2(x+3)2是把抛物线_________沿x轴向
平移前解析式
平移后解析式
简记
向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
知识要点
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
当x=h时，y最大=0
− 向
左平移1个单位，就得到抛物线 =
− (+) ；把抛物线 = − 向右平移1
个单位，就得到抛物线 =
− (−) ．
= − (+)
=−
= − (−)
知识要点
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
《二次函数的图象与性质》PPT课件(湘教版)
O
x
1 23 4
–1
–2
–3
–4
–5
y ＝ -0.3x2
–6
–7 y ＝ -8x2
1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ D ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,
然后利用对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0）
湘教·九年级下册
二次函数 y = ax²（a＞0）的
y 8 6 4 2
–3 –2 –1 O
123
图象与性质
x
用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课 我们来学习最简单的二次函数 y = ax2 的图象.
1
量取值的增大而＿增＿大＿＿．
–3 –2 –1
y ＝ 6x2
1 2 3x
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y ＝ 3x2 及 y ＝
1 4
x2
的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
y
7
y ＝ 3x2
6
5
4
y＝
1
4 x2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1234x
1. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ D ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值
–3 –2 –1 O
123
的图象与性质
x
把二次函数 y 1 x2 的图象 E 向右平移 1 个单位， 得到图形 F.
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《二次函数的图像与性质——y=ɑ(x －h)2》教学设计
一、教学目标
通过抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)抛物线得到y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) ，由此探究出y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) 的性质，并利用性质解决相关问题。
让学生经历探索过程、体验数学的趣味，以此培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数据分析等数学核心素养。
二、教学重、难点
（ 一 ）重点
掌握y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0) 的性质，并利用性质解决相关问题。
（ 二 ）难点
根据抛物线y=ɑx 2(ɑ≠0)平移后的图像，探究得到它的解析式是：y=ɑ(x －h)2(ɑ≠0)
三、教具准备
投影仪、红外线电子笔
四、教学过程
（一）温故
1、请说出抛物线
；23x y -=的开口方向、对称轴和顶点。
2、对于 y=2x 2 ：
（1）当x=2时，y= ，经过点（ 2, ）；
（2）当x=3时，y= ，经过点（ 3, ）；
（3）当x=ɑ时，y= ；经过点（ ɑ, ）。
3、回答下列问题(其中x 为自变量，y 为因变量)：
（1）抛物线y=-3x 2，经过点（ m , ）；
（2）抛物线y= ，经过点（ n , 4n 2）；
（3）点（t,-t 2）为抛物线上任意一点，则它的解析式为y= ；
（二）探究
问题1：221x y =的开口方向、对称轴和顶点分别是？
（此处利用课件动画演示：y 轴也可以用直线x=1来表示） 问题2：将221x y =向右平移一个单位长度后，观察其开口方向、对称轴和顶点分别是？
（PPT 上出示动态课件）
探究一：将抛物线221x y =向右平移一个单位长度，对比平移前后两段抛物线的解析式、开口方向、对称轴和顶点填表
平移前 平移后 解析式
开口方向
对称轴
顶点
若将二次函数221x y =向右平移1个单位长度，得到抛物线： ；
（PPT 上出示动态课件，并带学生一起探究得出解析式）
探究二：若将二次函数
221x y =向右平移2个单位长度，平移后
的图像的解析式是什么？
（PPT 上出示动态课件，让学生自己探究得出解析式）
填表：若将二次函数221x y =：
（1）向右平移3个单位长度，得到抛物线：；
（2）向右平移h个单位长度，得到抛物线：；
探究三：猜想：
（1）向左平移1个单位长度，得到抛物线：；
（2）向左平移1个单位长度，得到抛物线：；
（3）向左平移3个单位长度，得到抛物线：；
（4）向左平移h个单位长度，得到抛物线：；
验证：用几何画板来验证一下吧！
归纳总结：我们可以得到（课本第11页）：
二次函数y=ɑ(x－ɑ≠0) 的图像是抛物线，它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是（h,0）。
当ɑ>0 时，抛物线开口向上；当ɑ<0 时，抛物线开口向下。
（四）练习
练习题1：（课本第12页练习题1）
（1的对称轴是，顶点是；
（2）抛物线的对称轴是，顶点是；
例题：画函数
（教师带学生一起利用抛物线的对称性作图）
练习题2：（课本第12页练习题2）
分别画二次函数
（学生独立完成，可以利用多媒体展示学生的作图成果）
（五）小结
二次函数y=ɑ(x－
1、图像的特征：开口方向、对称轴和顶点。
2、运用：利用对称性画图
（六）作业：
《基础训练》对应练习。