第六章流体动力学的积分方程分析
流体动力学基本方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
流体力学ns方程怎么积分_概述说明以及解释
流体力学ns方程怎么积分概述说明以及解释1. 引言1.1 概述流体力学是研究流体运动和力学行为的学科，广泛应用于各个领域，包括航空航天、汽车工程、海洋工程等。
在流体力学中，Navier-Stokes（NS）方程被认为是描述流体的基本方程之一。
NS方程描述了流体在三维空间中的质量守恒、动量守恒以及能量守恒。
由于NS方程的复杂性和非线性特性，解析求解NS方程变得十分困难，因此需要借助数值积分方法进行求解。
1.2 文章结构本文将以“流体力学NS方程怎么积分”为主题，探讨NS方程的积分方法。
文章结构如下：引言：介绍研究背景、文章概述以及目的。
流体力学NS方程概述：详细介绍什么是流体力学NS方程以及其基本形式和含义，阐述其应用范围和重要性。
NS方程积分方法总览：概述基本求解方法和数值模拟技术，并介绍常见的NS 方程数值求解算法和逼近方法。
NS方程积分详解及其实践应用：详细说明将NS方程离散化为有限差分形式的步骤和原理，讨论不同类型流体问题的积分方法，并介绍已有工具包和软件在流体力学中使用NS方程进行模拟研究的案例。
结论与展望：总结已经阐述过的内容，展望NS方程积分方法的发展趋势，并讨论对NS方程积分的理解以及未来可能的应用前景。
1.3 目的本文旨在概述并解释流体力学中NS方程的积分方法。
通过对基本求解方法、数值模拟技术以及常见数值求解算法和逼近方法等进行总览和详解，希望读者可以全面了解NS方程积分的原理和实践应用。
同时，通过介绍已有工具包和软件在流体力学研究中使用NS方程进行模拟的案例，展示该方法在实际问题中的应用价值。
最后，我们将对NS方程积分方法未来发展趋势进行展望，并总结对于NS方程积分的理解与未来可能的应用前景。
2. 流体力学NS方程概述:2.1 什么是流体力学NS方程流体力学Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程之一。
它由欧洲科学家Claude-Louis Navier和George Gabriel Stokes提出，并以他们的名字命名。
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
第6章层流的解析解与近似解
第6章 层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。
本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。
首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不大的流动。
6.1 粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。
应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。
例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。
后一问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。
在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。
这从反面说明了考虑粘性的必要性。
例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压，ρ——流体密度。
流体动力学积分形式的基本方程
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
西安交通大学-2019年-硕士研究生 流体力学考试大纲
“流体力学”考试大纲
英文名称：Fluid Mechanics
课程编号：ENPO300403
使用教材及参考书：
教材
[1] 张鸣远.流体力学.北京：高等教育出版社，2010.
参考书
[1] 景思睿，张鸣远，流体力学，西安交通大学出版社，2001.
[2] 孔珑，流体力学（ⅠⅡ），高等教育出版社，2003.
一、考试内容及要求
流体及其主要物理性质
1、内容：绪论；流体及连续介质假设；密度及可压缩性；流体粘性；作用在流体上的力。
2、要求:了解流体力学历史，进展，应用领域、研究方法和工程背景；正确理解流体和连续介质假设、流体的粘性及可压缩性等相关概念；掌握牛顿内摩擦定律，密度、体积弹性模量、表面力和质量力等的有关计算。
流体静力学
1、内容：流体静压强及特性；流体平衡微分方程；重力场静止流体压强分布；压强测量；相对静止流体内压强分布；流体静压力。
2、要求：掌握流体静压强特性、静止流体平衡微分方程；掌握重力。
6第六章伯努利方程及其应用
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
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2015/4/20
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2
6.1 物质积分的随体导数—雷诺输运定理
系统
某一确定流体质点集合的总体
system
与外界无质量交换
随流体质点的运动而运动
边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化
拉格朗日方法下的概念
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3
系统2
物理定律通常应用于系统
第六章 流体动力学的积分方程分析
流体动力学
雷诺输运定理，积分形式控制方程组
基础知识
守恒定律、牛顿第二定律、物质导数、描述流 体运动的两种方法
2015/4/20
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第六章 流体动力学的积分方程分析
雷诺输运定理
系统和控制体、雷诺输运定理
积分形式的控制方程
连续方程、能量方程、动量方程
单位体积流体的物理量分布函数
m
动量
k
mV
V
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控制体
控制体
流场中某一确定的空间区域
control volume
与外界有质量交换
空间位置相对于某参照系不变
边界形状、包围空间大小一般是确定的
欧拉方法下的概念
control surface
控制面
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积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物理量在 内部发生间断，只利用 CV 和 CS，花很少时间就 能获得有价值的结果
方法简单，计算量小
适于研究大范围内的流体运动，特别是求解对有 限区域固体边界的总体作用
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质点导数与系统导数
质点导数
D
(V
H
1
A1,V1
w
h
A2,V2 2
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连续方程8－例题2
w
A
dh dt
w
A2V2
w
A1V1
0
dh A1V1 A2V2
dt
A
a
A
H
1
A1,V1
w
h
A2,V2 2
2015/4/20
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6.3 能量方程
能量方程
系统的能量守恒
energy equation
能量为 E，热力学第一定律
DE Q W Dt 初始时刻系统与控制体重合
Q W ed eV ndS
t CV
CS
e：单位质量流体具有的能量，specific energy
2015/4/20
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总流伯努利方程1
沿流线的伯努利方程应用到总流
Dt
t 0
t
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雷诺输运公式2
Dsys d V ndS
Dt t CV
CS
Dsys Dt
系统的物理量 N 对时间的变化率
d
t CV
控制体物理量 N 对时间的变化 率，反应流场的非定常性
V ndS CS 物理量 N 流出控制体的净流率，反应流场 不均匀性，系统位置、体积随时间的改变
Vr V VCV
relative velocity
2015/4/20
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连续方程7－例题
如图所示一水箱，水均匀垂直流入流出，求水的 深度随时间的变化率dh/dt。
解：第一项
t
d
CV
w
A
dh dt
第二项：净流出率
V ndS CS
w A2V2 w A1V1
Aa
质量守恒方程
msys const
或
dm 0 dt
conservation of mass
动量方程
F
ma
m
dV
d
mV
dt dt
linear momentum
动量矩方程
equation
T
dH
dt
H
r
V
m
angular momentum equation
能量守恒方程
dE dt Q W
系统体积为，质量为 m，质量守恒
Dm 0 Dt
m ,
初始时刻系统与控制体重合
பைடு நூலகம்m d V ndS 0
Dt t CV
CS
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连续方程2
d V ndS 0
t CV
CS
一切流动都应 满足连续方程
d
t CV
V ndS CS
CV中流体质量对时间的变化率 流出CV的流体质量的净流率
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6
雷诺输运公式1 Reynolds transport theorem
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率，即 采用与控制体相关的物理量描述系统的物质导数
2015/4/20
CSIII
CSI
II III
I
dS1
V
dS3
n V
t
n
t t
Dsys lim sys t t sys t
2015/4/20
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8
雷诺输运公式3
定常流动
steady flow
Dsys V ndS
Dt
CS
系统物理量 N 的变化只取决于控制面上的流动， 与控制体内的流动无关
运动控制体
2015/4/20
Dsys Dt t
d
CV
CSVr ndS
Vr V VCV
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energy equation or first law of thermodynamics
2015/4/20
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系统的物质导数
系统的物质导数
substantial derivative of system
dτ
Dsys D d Dt Dt sys
质量
系统体积内包含的总物理量
m in m out
Qin Qout
m VA
Q VA
2015/4/20
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连续方程6
运动控制体 用相对速度替换绝对速度
t
d
CV
CS Vr ndS 0
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ，V
在进出口截面均布，定常流动
Vr A in Vr A out
控制体的质量守恒：单位时间CV内流体质量 的增加与净流出CV的流体质量流量之和为零
2015/4/20
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连续方程3
定常流动
V ndS 0 CS
= const 均质不可压缩
V
ndS
0
无需定常假设
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ，V
在进出口截面均布，定常流动
单位时间通过微小流束断面 的不可压流体重量
)
Dt t
流体质点某物理量随时间的变化率同空间点 上物理量之间的关系
系统导数
Dsys d V ndS
Dt t CV
CS
系统某物理量随时间的变化率和控制体上物 理量变化之间的关系
2015/4/20
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6.2 连续方程
连续方程
系统的质量守恒
continuity equation