高数 第七章题库 微分方程教学教材
高数第七章题库微分方程第十二章 微分方程答案一、 选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A.2()(2)0x y dx x y dy ++-=B.2(3)(4)0y x dx y x dy ---=C.32223(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++=D.222(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2A.1122c y c y +是(2)的通解B. 113c y y +是(1)的解C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解D. 23y y +是(1)的解3．下列是方程xdx ydy +=的积分因子的是 D 2A.22x y +B.221x y + 4．方程322321x xd y d ye e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2(A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x =6．方程322321x x d y d y e e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2(A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1(A) 312x x c e c e -+ (B) 312*x x c e c e y -++ (C) 312*x x c xe c xe y -++ (D) 312*x x c e c e y -++ 9．微分方程'cot 0y y x -=的通解为（A ）. 1(A) sin y c x = (B) sin c y x =(C) cos y c x = (D) cos c y x= 10. 方程x y cos =''的通解为( C ) 1(A) c c x x y 21sin ++-= (B)c c x x y 21sin ++=(C)c c x x y 21cos ++-= (D)c c x x y 21cos ++=11. e y x-=''的通解为( C ) 1(A) e x -- (B) e x-(C) c x c e x 21++- (D)c x c e x21++-- 12. 微分方程()()0432=+'''+'y x y y y 的阶是( B ) 1(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A) ()0sin =+ydy dx xy x (B) ()y x y +='ln(C) yx dx dysin = (D) ()y e y x y x 21⋅=+'14.方程 02=-'y y 的通解是（ C ） 1 A.x y 2sin =； B.x e y 24=； C.x ce y 2=； D.c e y x +=。
15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式 0127=+'-''y y y 的解。
1A.3x y =；B.2x y =；C.x e y 2=；D.x e y 3=。
16. 以e x 和x e x sin 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（D ）2（A ）02=+'-''y y y （B ）422=+'-''y y y （C ）0=+''y y （D ）无这样的方程。
17.122+=+'-''x y y y 的特解y *可设为( C ) 2 (A) ()C Bx x A e y x ++=2* (B)D Cx x B x A y +++=23* (C) C Bx x A y ++=2* (D)()C Bx x A e x y x ++=2* 18. 若tty 2cos 4-=是方程t y y 2sin 4=+''的一个特解，则该方程的通解是（ A ）（A ）t t t t y c c 2cos 42cos 2sin 21-+= （B ）tt t y c 2cos 42sin 1-= （C ）()tt e t y t c c 2cos 4221-+=- （D ）t te e y t t c c 2cos 42221-+=-19. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ） 1（A ）x y y x =+'2 （B ）x xy y sin =-'（C ）x y y =' （D ）02=+'xy y20. 方程x y y y 2sin 52=+'+''的特解可设为（ D ） 2（A ）()x a x y 2sin = （B ）x a y 2sin =（C ）()x b x a x y 2cos 2sin += （D ）x b x a y 2cos 2sin +=二、 填空题1、以()2123t y c c t c t e =++ （123,,c c c 为任意常数）为通解的常微分方程是3232330d y d y dyy dt dt dt-+-= 2 2、若241,,x x -是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是2412(1)(1)1c x c x +++- （12,c c 为任意常数） 13. 微分方程xdx y dy cos 2=的通解: cx y +-=sin 114. 微分方程dy e y ydx xdy y 2=-的通解是:)(y e c y x -= 15.微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:c y yx=+ln 2 6．以cos 2sin 2y x x =+为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是''40y y +=。
27．解形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程，求解时可作的变量代换 u x y =,u x u y '+='18．微分方程0y 3y 4y =+'-''的通解y= 312x x C e C e + 19．微分方程y "+2y ˊ+2y=0的通解是 ()12cos sin x y x x e C C -=+ 。
110、微分方程03410=+'+''y y y 的通解是 )3sin 3cos (215x c x c e y x +⋅=- 1三、 计算题1．解方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx ++-=+，这里n 为常数。
2 解：将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++。
首先求齐次方程01dy n y dx x -=+的通解为(1)n y c x =+ 再设()(1)n y c x x =+，于是1()(1)(1)()n n dy dc x x n x c x dx dx-=+++，带入原方程，得()x dc x e dx =，即()x c x e C =+，C 为任意常数。
于是原方程通解为()(1)x n y e C x =++。
5 ＃2．解方程330d xx dt += 2解：特征方程为310λ+=，它的根为11,22i -±。
于是原方程解为12123(cossin )22t tz c e e c c t -=++。
123,,c c c 为任意常数 4＃ 3．解方程dy y ytg dx x x=+ 2 解：作变量代换,y dy du u x u x dx dx ==+，则原方程变为dux u u tgu dx +=+。
即du dxtgu x=，解得sin c u e x =±，此外还有解0tgu =，即sin 0u =。
于是方程通解为sin u cx =，这里c 为任意常数。
代回原来变量，得原方程通解sin ycx x= 5＃ 4．解方程22dy y dx x y=- 2 解：将原方程改写为22dx x y dy y -=，即2dx x y dy y=-。
先求出齐次方程2dx x dy y=的通解为2x cy =。
再设2()x c y y =，2()2()dx dc y y c y y dy dy =+，代入原方程得()1dc y dy y=-解得()ln c y y C =-+，C 为任意常数。
所以原方程通解为2(ln )x y C y =- 5 ＃5．解方程：(0)dyxy x dx+=< 2解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<，作代换,y dy du u x u x dx dx==+，则原方程变为 duxdx =dx x =。
于是得此方程通解为ln()x c =-+，即2[ln()]u x c =-+，(ln()0)x c -+>，这里c 为任意常数。
此外方程还有解0u =。
代回原来的变量，得原方程通解2[ln()]y x x c =-+(ln()0)x c -+>与0y = 5 ＃6．解方程424220d x d xx dt dt++= 2解：特征方程为22(1)0λ+=，有两个二重根i ±，原方程的四个实值解分别是cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t 。
故通解为1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++，1234,,,c c c c 为任意常数 4＃7. 设二阶可微函数y 满足方程 464x y y e '''-=，y(0)=21, 1)0('=y , 求y 3 解：由题知对应齐次方程的特征方程为062=-r r 解得 01=r ， 62=r于是对应齐次方程的通解为x e c c y 621+= 设非齐次方程的特解为：x ke Y 4*=把它代入所给方程，得 21-=k所以：x e Y 4*21-=故已知方程的通解为x x e e c c y 462121-+=又1)0('=f ，f (0)=21 故==21c c 21即：)1(2146x x e e y -+= 7 ＃8. 求微分方程x e y y y -=++234'''的通解 3 解：由题知对应齐次方程的特征方程为0342=++r r 解得 11-=r ， 32-=r于是对应齐次方程的通解为x x e c e c y 321--+=因1-=λ是特征根，故设非齐次方程的特解为：x axe Y -=* 把它代入所给方程，得 1=a , 所以：x xe Y -=* 故已知方程的通解为x x x xe e c e c y ---++=321 7＃9. 求微分方程x xe y y y =+-'''2的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0122=+-r r ，解得 =1r 12=r 。
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
高等数学-第七章 微分方程ppt课件
练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1
高数 第七章 微分方程常微分方程
5．微分方程的初始条件、特解
定义5 用来确定 解n 微分方程 F (x, y, y, ,y(n) ) 的0 通解中任意
常数的条件： y xx0 y0 , y xx0 y0 ,
,y(n1)
y , xx0
( n 1) 0
其中 x0, y0, y0 , , y0(n1都) 是给定的值。上述这种条件叫做初始 条件。
(
y) x
的方程，称为齐次方程。
例如（1）2xy d y (x2 y2 ) d x 0
（2）(x2 y xy2 ) d x (x3 y3) 0
2．齐次方程的求解：
在齐次方程
理有
du
(u)
u
dx x
d d
y x
求出积分后，再以
程的通解。
(
y x
y x
) 中，令 u y ，化简并整
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
第一讲 微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程方 程
授课题目（章节）§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程方程 教学目的与要求： 了解微分方程的阶及微分方程的解、通解、初始条件、特
解等概念； 2．会识别变量可分离的一阶微分方程，熟练掌握可分离
用常数变易法，令：y ueP(x)dx ，其中u u(x) 为待定函数，
带入原非齐次微分方程d y P(x)y Q(x) ，可解
得：u Q(x)eP(x)d x d x C
dx
因此，非齐次微分方程 d y P(x)y
解为： d x
y
e
P(
x)
d
x
(
Q(x)e P(x)d x
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程
1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
18
原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解
例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
通过适当的变量代换，一阶线性微 分方程可化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是 已知函数。
一阶线性方程全微分方程的解的存在性与唯一性定理
1 2
解的存在性
如果一阶线性微分方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在某区间上连续，那么在该区间内必定存在原方 程的解。
解的唯一性
如果一阶线性微分方程满足初始条件 $y(x_0) = y_0$，那么在给定区间内，原方程的解是唯一的。
3
解的连续性与可微性
一阶线性微分方程的解在其定义域内是连续且可 微的。
一阶线性方程全微分方程的通解与特解
通解
一阶线性微分方程的通解是包含 任意常数的解，它表示了原方程
所有可能的解。
特解
满足特定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 的解称为特解，它是通解
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法包括降阶法、特征根法、常数变易法等，其中降阶法是通过变量 代换将高阶方程化为低阶方程来求解。
高阶线性微分方程的性质
高阶线性微分方程具有线性性、叠加性、齐次性等性质，这些性质在求解过程中起着重要 作用。
非线性微分方程简介
非线性微分方程的定义
非线性微分方程是指微分方程中未知函数或其导数出现高次幂、 乘积、分式等非线性形式的方程。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。