第3章 时间响应分析_2
两边取对数得：ts
ts 3 ( 5%)
1
n
ts
ln(
4
1 1
2
)
n
n
( 2%)
(5) 振荡次数N:在调节时间内响应曲线穿越其稳 态值次数的一半
ts 2 2 N ，Td Td d n 1 2
Td为阻尼振荡的周期。
总结：
tr,tp和ts表示控制系统对输入信号反应的快速性;
特征方程：s2 2n s n2 0
欠阻尼
s1× n
0
j
j s1 ×
无阻尼
n 1 2
n
0
s2 ×
s1,2 n jd
s2 ×
0 1时：s1,2 n jn 1 2
0时，s1,2 jn
过阻尼
临界阻尼
当n一定时，越小，tr越小； 当一定时， n越大，tr越小。
tr d n 1 2
（2）峰值时间tp ：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。
对y(t ) 1 e
nt
cos d t
1 2
ent sin d t求导即可得。
y (t ) 1 e 1
n t
cos d t
1 2
ent sin d t ent
2
ent 1
2
+ sin d t ) 1 ( 1 2 cos d t
其中： arctg
1 2
1 2 Td : 阻尼振荡周期
β
0 欠阻尼0 < <1
1 t
s2
0
s平面 s1
无阻尼 =0
n
y(t) 1 t 0
s2
n
s平面 1
y(t)
t s1,2
0 临界阻尼 =1
0
s平面
1 s2 s1 0 过阻尼 >1
y(t)
t 0
结论：
① 欠阻尼时，二阶系统单位阶跃响应函数的过渡过程 为衰减震荡，且随着阻尼的减小，其振荡特性表现得 愈加强烈；在=0时达到等幅振荡。 ② =1和>1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的 特性。在无振荡单调上升的曲线中，以=1时的过渡 时间最短。 ③ 欠阻尼系统，当=0.4~0.8时，不仅过渡过程时间比 =1时更短，且振荡并不严重。因此，一般希望二阶 系统工作在=0.4~0.8的欠阻尼状态，因为这个工作状 态振荡特性适度而持续时间又较短。
y(t ) ne
nt
(cos d t
1
2
sin d t ) d e
nt
( sin d t
1
2
cos d t )
代入d n 1 2 得：
y (t ) n e
n t
cos d t
2n
1 2
e nt sin d t e nt cos d t
根据定义，当t tr时，y(tr ) 1 ，所以有：
y (t ) 1 en 1
2
sin(d tr ) 1
entr 1 2 1 1
2
sin(d tr ) 0 0，e
n tr
0
d tr n (n 0, 1, 2, )
则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式， 可以求得:
tp ts
n 1
3
2
0.12(秒)
n
0.174(秒)
/ 1 2
M p% e N 2 ts
100% 13%
2
d
t sn 1 2
0.72(次)
K A 1500时,n 86.2(弧度 / 秒)； 0.2 t p 0.037(秒)，ts 0.174(秒)，M p % 52.7%, N 2.34(次)
nt cos t e sin d t n d 2 2 2 2 2 1 s s 2n s n s 2n s n s n n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d 2 nt
n
1 2
e nt sin d t 0
sin d t p 0
d t p n (n 0, 1, 2, )
d t p t p d n 1 2
当n一定时， 越小，tp越小； 当一定时， n 越大，tp越小。
（3）超调量Mp :响应曲线最大值与稳态值之差
nt
1 e
nt
(1 nt )
e s1t
讨论（4）：过阻尼情况 > 1
s1 n n 2 1，s2 n n 2 1
e s1t e s2t y (t ) 1 2 2 1 s1 s2
s1 ( s2 ) n
×
2 j j d n 1 称为“有阻尼振荡频率”
s1
0
s2
× 0
×
s2
1时，s1,2 n
1时，s1,2 n n 2 1
3.4.2
二阶系统单位阶跃响应
欠阻尼情况：0<<1
=0 临界阻尼情况: =1 过阻尼情况: >1
2 2
讨论（1）：欠阻尼情况0< <1
( s n ) 2 d 2
2
s 2 2n s s 2n 1 1 2 2 2 s s ( s 2n s n ) s s 2n s n 2 s 1 取拉氏反变换： y ( nt ) 1 e
第三章 系统的时间响应分析
3.4 二阶系统的时间响应分析
研究二阶系统的意义：一般的控制系统均系高阶系统， 但在一定准确度条件下，可忽略某些次要因素近似用 一个二阶系统来表示，因此比较有实际意义。
n 2 Y ( s) G( s) 2 U (s) s 2n s n 2
3.4.1
y(t ) 1 cos nt
Tn 2
n
讨论（3）：临界阻尼情况 = 1
n 2 1 Y ( s ) G ( s )U ( s) 2 s 2n s n 2 s n 2 n 2 ( s 2 2sn ) ( s 2 2sn ) 2 s ( s n ) s ( s n ) 2
sin(d t )
j
cos ，sin 1 2
y(t)
d
s1×
β
n 1 2
n 0 s2 ×
1
0
t
讨论（2）：无阻尼情况 = 0
n 2 1 Y ( s ) G ( s)U ( s ) 2 2 s 2n s n s n 2 n 2 s 2 s 2 1 s 2 2 2 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s s n 2
y (t p ) 1 e
n t p 2
1
sin( )
2
Mp
y(t p ) y () y ( )
100%
sin( ) sin 1 ，t p y (t p ) 1 e
/ 1 2
n 1 2
y(t)
第一次达到稳态值时间 到达最大值时间 响应曲线最大值与稳态值之差 响应曲线第一次进入误差带时间 在调节时间内响应曲线穿越其稳态值次数的一半
y(t p ) y () y ( )
5%
100%
or 2%
Mp
误差带5%或2%
Mp
1.0
y( )
tr
0
tp
ts
（1）上升时间tr:响应曲线第一次达到稳态值时间
无阻尼情况：
( s n ) n 1 2 n 1 2 2 2 2 2 Y ( s ) G ( s )U ( s ) 2 s 2 s (1 ) n n n s 2n s n 2 s 2 2 s 2 s n 2 n 2 ( s 2 2n s) (ns 2 2nn s ) 2 2 s ( s 2n s n ) s ( s 2 2n s n 2 )
(4) 调节时间ts:响应曲线第一次进入误差带时间
根据定义 ent 1 2 sin( 1 2 nts ) ，不易求出ts
近似计算时，常把 sin( 1 2 nts )这一项去掉 写成： e nts 1 2 ，即：ents 1 2
二阶系统的特征方程与零点、极点
bm s bm1s b0 G( s ) an s n an1s n1 a0
m m1
an sn an1sn1
a0 0称为特征方程
2 2
二阶系统的特征方程：s 2n s n 0 n：自然频率；：阻尼比
Mp%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼 程度; 其中ts和Mp%是最重要的两个动态性能的指标。 在设计系统时，通常由要求的最大超调量决定,而调节 时间则由无阻尼振荡频率n来决定。
各种指标之间有矛盾，故应折衷处理
例:已知单位反馈系统的开环传递函数为
5K A G( s) s ( s 34.5)
设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器增益 KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。当KA增 大到1500时或减小到KA =13.5，这时系统的动态性能 指标如何?
解:系统的闭环传递函数为:
5K A G(s) ( s) 2 1 G ( s) s 34.5s 5K A 1000 K A 200, ( s) 2 s 34.5s 1000 2 n 1000 n 31.6(弧度 / 秒) 34.5 2n 34.5， 0.545 2n
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第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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2019/12/30
机械工程控制基础
30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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29
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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机械工程控制基础
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an
k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2
2
kk
s
2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s
1 Ms2 Ds k
1 k kM s2 D s
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp
d
e
nt
p
1 2
cos dt p
0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp
d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2
sin d t
arctan
1
2
1t
将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp
d
n
1 2
机电传动控制第三章
当t=0时，初始斜率为
时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T 越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯 性越小。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间 为3T～4T。
第三章 线性系统的时域分析 3、一阶系统的脉冲响应
第三章 线性系统的时域分析
规律
x (t)
1
1
eT
0
T
1
x (t) 1 e T 01
1
x0t1(t) t T Te T
x x (t) d (t)
0
dt 01
x x d
(t)
(t)
01
dt 0t
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 响应的导数。
此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变 系统及非线性系统。
当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换 于系统的传递函数相同，即
一阶系统单位脉冲响应的特点
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减
当t=0时，初始斜率为
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于 0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号 都如此。
±2%或±5%）内所需的时间。
td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。
Mp用来评定系统的相对平稳性。
第三章 线性系统的时域分析
结论 二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在
0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响
控制工程基础_第3章时间特性分析法精品文档
除前面分析之外，还有两点值得提出：
1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换
分别为：
阶跃输入
X(s) R s
斜坡输入 脉冲输入
R X(s) s2 X(s) R
对应于不同输入时的响应分别如下列各式
阶跃输入 斜坡输入 脉冲输入
t
y(t) R(1 e T )
t
y(t) R(t T Te T ) R t
单位斜坡函数的拉氏变换为
1 X(s) s2
代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为
1
1
Y (s) Ts 1 X (s) s2(Ts 1)
展开成部分分式
Y (s)
1 s2
T s
T
s
1 T
（3-6） （3-7）
取（3-7）式的拉氏反变换，可得
t
y(t) t T Te T
2
s3
图3-4 抛物线信号
该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变 化的信号，加速度为R，当R=1时，叫做单位抛 物线信号。
4.脉冲信号
脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为
x(t
)
1 h
(0
t
h)
0(t 0, t h)
其中，脉冲宽度为h,脉冲面
积为1。若对实际脉冲的宽
第三章时间特性分析法
时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础， 是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频 率特性法和根轨迹法。
控制系统都是在时间域内进行工作的。因此， 时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比 较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出 系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的 全部信息；
控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
机械工程控制基础-时间响应分析
工程控制基础
第三章 时间响应分析
二、二阶系统对典型输入信号的响应
1、二阶系统的单位脉冲响应
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
d n 1 （2 有阻尼固有频率）
工程控制基础 0<ζ<1
第三章 时间响应分析
不同阻尼比时的单位脉冲响应情况
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
工程控制基础
（3）
第三章 时间响应分析
（c）特征根的实部≤0
工程控制基础
第三章 时间响应分析
2）
Im[si]绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高， 它影响着【系统响应的准确性】。
工程控制基础
第三章 时间响应分析
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类：
•其一是系统正常工作时的输入信号；
•其二是外加的测试信号。
1）一阶系统的单位脉冲响应
➢ω(t)=
ω(tc()t)
1 T
初初始始斜斜率率＝＝Ｔ１-Ｔ１2
(t )
1 T
t
e T （t≥0）
0.368 1
T
0.135
1 T
1 0.018 T
0 T 2T 3T 4T
t
图3-2 一阶系统的 单位脉冲响应曲线
工程控制基础
第三章 时间响应分析
➢一阶系统的调整时间为4T
an
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
...
a1 y(t)
a0
y(t)
x(t)
工程控制基础
第三章 时间响应分析
输入引起的
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
控制工程基础-第三章时间响应分析第一二节
2020年11月4日星期三2时17分22秒
9
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
2020年11月4日星期三2时17分22秒
2
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
2020年11月4日星期三2时17分22秒
7
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
3第三章 系统的时间响应分析
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
控制系统的时域分析_一二阶时间响应
1 A
2 At 拉氏变换为： R( s )＝L 2 s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化 的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
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第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
1 , r (t ) h 0, 0 t h t 0, t h
•其中： T — 时间常数；ωn—自然频率； —阻尼比；
1 n T
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第3章 控制系统时域分析
方块图
R(s)
G(S )
C(s)
-
G(S)=
(S )
2 n 1 s ( s 2n )
s ( s 2n )
2 n
?
G( S ) S (S 2n )
传递函数:
U c ( s) 1 ( s) U r (s) LCs 2 RCs 1
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第3章 控制系统时域分析
2、标准形式
微分方程
2 d c(t ) dc(t ) 2 T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt
传递函数
2 C ( s) 1 n 2 ( s) 2 2 2 R( s) T s 2 Ts 1 s 2n s n
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
E(s) G(S)
i(t) R
ur (t )
C
uc (t )
T
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
C(s)
R(s)
-
G(S)= ?
2 At 拉氏变换为： R( s )＝L 2 s3
图3-2c 加速度信号
该实验信号相当于控制系统中加入一按恒加速度变化 的信号，加速度为A。当A＝1时，称为单位加速度函数。
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第3章 控制系统时域分析
4．脉冲信号
脉冲函数如右图所示，定义为
1 , r (t ) h 0, 0 t h t 0, t h
•其中： T — 时间常数；ωn—自然频率； —阻尼比；
1 n T
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第3章 控制系统时域分析
方块图
R(s)
G(S )
C(s)
-
G(S)=
(S )
2 n 1 s ( s 2n )
s ( s 2n )
2 n
?
G( S ) S (S 2n )
传递函数:
U c ( s) 1 ( s) U r (s) LCs 2 RCs 1
内蒙古工业大学 机械学院
第3章 控制系统时域分析
2、标准形式
微分方程
2 d c(t ) dc(t ) 2 T 2 T c(t ) r (t ) 2 dt dt
传递函数
2 C ( s) 1 n 2 ( s) 2 2 2 R( s) T s 2 Ts 1 s 2n s n
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
E(s) G(S)
i(t) R
ur (t )
C
uc (t )
T
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
C(s)
R(s)
-
G(S)= ?