1.1 n阶行列式(1)
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线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
n阶行列式
则上述二元线性方程组的解可表示为
b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D
例1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12
2 x1 x2 1
解
因为 D
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表
a11 a21
a12 a22
记号
a11
a12
a21 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
12
记
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
(1)
( j1 j2 j3 j4 j5 )
(1)
t
上述结论对n级排列也适用。
24
任一n级排列 j1 j2 ... jn可经上述方法对换变成1,2,…n 设n级排列 j1 j2 ... jn 经过t次对换变成1,2，…n 显然1,2…n为偶排列，因此
如果 j1 j2 ... jn 是奇（偶）排列，则t必为奇（偶）数
1.1 n阶行列式的定义
2 0 01 0 0 110 1
τ (31254) = 2 + 0 + 0 + 1 + 0 = 3
4、排列的奇偶性
奇排列 偶排列 反序数为奇数的排列称为奇排列; 反序数为偶数的排列称为偶排列；
例如
2431 45321 12…n
τ (2431) = 4
τ (45321) = 9 τ (12…n) = 0
由于 D = 3
D1 =
5 = 3 × 2 − 5 × (−1) ≠ 0 −1 2
1 5
2 2 3 1 D2 = = 3 × 2 − 1× (−1) = 7, −1 2
二元一次方程组的解为：
= 1× 2 − 5 × 2 = −8,
D1 −8 ⎧ ⎪ x1 = D = 11 ; ⎨ D2 7 ⎪ x2 = = . 11 D ⎩
a11 a12 a22 a32 a13 a23 ≠ 0, a33
系数行列式
D = a21 a31
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
推广: n个不同元素的排列共有 n! 种, 其中n 阶排列中都有 一个从小到大的排列（例如1,2,3,...n）称为 标准排列(或自然顺序排列).
2、反序
在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后面的 数, 就称这两个数构成一个反序; 如在一个排列中,某个数字的右边有r个比它小的数字,则 说明该数字在此排列中有r个反序。
第一节 n 阶行列式的定义
线性代数-N阶行列式概要
线性代数
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
南京工业大学理学院 信息与计算科学系 程 浩
介 绍
线性代数是研究在日常生活里、在工程技术
的许多领域以及在各项科学研究中经常出现的
代数问题的一门学科。 这些代数问题包括：矩阵的运算，线性方 程组的求解理论与方法，化二次型为标准型，
线性空间与线性变换等。
1 什么全国大学生数学建模竞赛？ 2 数学建模竞赛在我校的情况？ 3 该怎样参加数学建模竞赛？
－ ＋ ＋ a31 a32 a33
1 2
＋
－ ＋
A12 = (1)
a21 a23 a31 a33 a21 a22 a31 a32
(a21a33 a23a31 )
和
A13 = (1)
1 3
a21a32 a22a31
而且
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a31 a32 a33
例1． 解线性方程组
x1 2 x2 0 3 x1 4 x2 1 解 由于方程组的系数行列式 1 2 D 4 6 2 0 3 4 又 1 0 0 2 D2 1 D1 2 3 1 1 4
所以方程组的解为
D1 x1 1 D
D2 1 x2 D 2
1 3
解
8
0 1 1 1
例2．计算行列式 D 1 2 3
D =1 2 1 1 (1) 1 0 3 3
1 2 3 1 3 1 0 (1) 1
=8
但应当指出的是：主、副对角线法则不易于向
一般 n 阶行列式推广。
事实上，三阶行列式的计算，除了主、副对 角线法则
n阶行列式
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1N . 5、
例1
计算上三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 ann
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和
a11 a21 an1
( 1 ) N a1 j1 a2 j2 anjn . a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
记作
D
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2， N 为这个排列的逆序数．
4 ( 41 ) 2
1 2 3 4 24.
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排 列的逆序数决定.
思考题
x
已知
例如a14a23a31a42
行标排列为1234，元素取自不同的行， 列标排列为4312，元素取自不同的列， 因为N(4312)=5，所以该项取负号，
即a14a23a31a42
是上述行列式中的一项．
a11a24a33a44 有两个元素取自第4列，
所以它不是行列式中的一项．
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
0
0
1
3 2 5 1 4
第一章 行列式
6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
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举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质1.二阶行列式定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，2112112211112a b b a b a b a D -==得 .,2211DD x DD x ==例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 称为三阶行列式。
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1
0
23
3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法：
方法1 向前法 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
24
例5 解:
求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a21 b1 b2 a12 a22 a12 a22 , ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 . D a11 a21 a12 a22 ,
在行列式右 侧补写前两列， 再画含三个元素的 主副对角线
a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
13
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33
22
例如
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数。记为 t ( i 1 , i 2 , , i n )或 ( i 1 , i 2 , , i n ). 例如 排列32514 中，
2 2
0
3 2 5 1 4 故此排列的逆序数为 2+1+ 2 + 0 + 0 =5.
n(n 1) 一个n级排列中共有 2 对数对，我们正是从这些数对中计 算该n级排列的逆序数的。
方法2 向后法 分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，所有 这些元素的逆序数之总和即为所并讨论它们的 奇偶性.
1
解：
217986354
( 用向前法)
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0
1 0 0
1 3
4
14
的系数行列式 D a21
a31
若记
a11 D a21 a31 a11
a12 a22 a32 b1 b2 b3
a13 a23 a33 a13 a23 , a33
b1 D1 b2 b3 a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 b1 b2 . b3
是否也能用类似的行列式来表示？
10
二、三阶行列式
1. 定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31, a33 列标 行标
18
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5, 0 D3 x3 1. D
19
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D1
a11 D2 a21
b1 . b2
7
则二元线性方程组的解为：
b1 a12 a11 b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为 原方程组的系数行列式.
8
5. 例题
3x1 2 x2 12, 例1 求解二元线性方程组： 2 x1 x2 1.
16
例3 解
求解方程
1 2 4
1 3 9
1 x 0. x2
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12 x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 6 0 解得
x 2 或 x 3.
17
例4
解线性方程组
x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变. 当 a b时， 经对换后逆序数增加1； 当 a b时， 经对换后逆序数减少1。 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。
30
若对换排列中任意两个不相邻元素，设 排列为： a1 al a b1 bm b c1 cn 现来对换 a 与 b :
a 1 a l a b b1 b m a1 a l b a a b1 b m
29
对换与排列的奇偶性的关系:
这个结论是 怎么得到的？
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性。 证明 若对换排列中任意两个相邻元素，设排列为：
a1 al ab b1 bm
对换 a 与 b
解：
D 3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
3 12 2 1 21,
D1
12 2 1
14, D2
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
9
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
解： 由于方程组的系数行列式
1 D 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1 1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
D2 a21 a31
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
15
４. 例题 例2
计算三阶行列式
1
2 -4 1
D -2 2
-3 4 -2
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 1 1 4 2 ( 2) ( 2) ( 4) 2 ( 3) 4 6 32 4 8 24 14.
Remark 1
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
(1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式； (2) 三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行、不 同列的三个元素的乘积，其中三项为正、三项为负。
12
a13 a 11 a 12 D a21 a22 a23 a 21 a 22 a31 a32 a33 a 31 a 32 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11 a12
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数，其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个，故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1
25
于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
由方程组的四个系数确定.
3
2. 定义 记：
a11 a12 a11a22 a12a21 , a21 a22 a11 a12 a21 a22
称
为 二阶行列式（Second-Order Determinant），称
a11a22 a12a21 为该行列式的值。
称 aij (i 1,2; j 1,2) 为行列式第 i 行，第 j 列的元 素。
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
2
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ; 类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 , 当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为 b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 （3）
a1 al a b1 bm b c1 cn a1 al ab b1 bmc1 cn
b经过m次相邻对换
a1 al b b b1 bm a c1 cn 故 a 1 a l ab1 bm bc 1 c n
可经过2m+1次相邻对换
a经过m+1次相邻对换
第一章 行列式
§1.1 行列式的定义
Ø 二阶行列式 Ø 三阶行列式 Ø 全排列及其逆序数的定义 Ø n 阶行列式 Ø 小结
1
一、二阶行列式
1. 引入 用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
的排列有关
此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排
列及其逆序数的概念及性质。
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三、全排列及其逆序数的定义
1. n级排列 定义 由 1,2, , n 组成的一个有序数组
i1 , i2 , , in
称为一个 n 级全排列，简称为 n 级排列。 n级排列的总数： n!
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