定积分求旋转体的体积

高等数学之——
7.1.3 定积分求旋转体的体积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第三讲 定积分求旋转体的体积
主要内容： 一、旋转体的概念
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
四、小结
引入：
一、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而
2

y2
2
dy

2 y4dy 32
0
0
5
O
y x x y2 x
练习 求由曲线 y ln x 、直线 y 1 及 y 轴所围成平面图形绕 y 轴
旋转一周所得旋转体的体积.
A: 1 e4 e2 2
B: 1 e4 e2 2
C: 1 e2 1 2
c
c
y d
y+dy y
c
o
x (y) x
例2 求由抛物线 y x ， 直线 y 2 以及 y 轴所围成的平面图
形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解 因为绕 y 轴旋转一周，故将方程
y
y x 改写成 x y2.
V
2

0


y 2 dy
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2

5
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
求由连续曲线 x ( y)、直线 y c 、y d 及 y轴所围成的
曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
（1） y c, d
（2） dV y 2dy 体积微元
（3） V d [( y)]2 dy d x2dy
成的立体．这条直线叫做旋转轴．
圆
（1）
柱
圆
（2）
锥
微元法（切片法）求体积：
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
求由连续曲线 y f ( x) 、直线 x a 、x b及 x 轴所围成的 曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
（1） x a,b
（2） dV f x 2dx 体积微元
D: 1 e2 1 2
解 选C
四、小结
1. 平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积
V b [ f (x)]2 dx b y2dx
a
a
2. 平面图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积
V d [( y)]2 dy d x2dy
c
c
（3）V
b
[
f
(x)]2 dx

b y2dx
a
a
xx x dx
例1 求由曲线 y ex，直线 x 1, x 2以及 x 轴所围成的平面图
形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
V

2

1

f
x2dx

2

ex
2
dx
1
1 e2x 2
2
1
1 e4 e2 2
V b[ f (x)]2 dx a
y
y ex
1
o x=1 x=2 x
练习 求由抛物线 y x2、直线 x 2 及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 32
5
B: 16
5
C: 8
5
解 选A
D: 64