【新教材】高中数学 新人教A版必修第二册 7.2.2 复数的乘、除运算 课件
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7.2.2复数的乘、除运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接
约分化简．复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积
是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分
式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分
母的共轭复数)，并把结果化简即可．
也就是说a＋bi＝a＋bic－di＝ac＋bd＋bc－adi＝ac＋bd
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
a bi c di (a c) (b d)i
1.复数加
符合向量加法的平行四边形法则.
2.复数减法运算的几何意义 z1 z2 OZ1 OZ2 Z2Z1
符合向量减法的三角形法则.
(4) (3 2i) [(4 3i) (5 i)] 47 79i
思考 视察上述计算,实验证复数的乘法运算是否满足
交换、结合、分配律? 对任何z1, z2 , z3 C有
(1)交换律: z1 z2 z2 z1
(2)结合律: (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
(3)分配律: z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
两个实数的和 。
(2)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在 所得的结果中把 换成－1，然后实、虚部分别合并即 可.
课堂探究 2.乘法运算律：
计算：(1) (1 4i) (7 2i)
15 26i
(2) (7 2i) (1 4i)
15 26i
(3) [(3 2i) (4 3i)] (5 i) 47 79i
（2）z z 是一个怎样的数 ？
（3）z z 与 z 2 , z 2 有何关系？ y 结论：
z1
（1）关于实轴对称
O
（2）z z a2 b2
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件6：7.2.2 复数的乘、除运算
2
+i
=a+i+
2(-i)
(+i)(-i)
=a+i+
2
因为复数 z+ 为实数，
所以 1-
2
2 +1
2-2i
=0.
因为 a>0，所以 a=1，所以 z=1+i.
2 +1
=(a+
2
2 +1
)+(1-
2
2 +1
)i.
(2)(m+z)2=(m+1+i)2=(m+1)2-1+2(m+1)i=(m2+2m)+2(m+1)i.
答案：D
2.下列各式的运算结果为纯虚数的是 (
A.i(1+i)
B.i2(1-i)
C.(1+i)2
D.i(1-i)
)
解析：i(1+i)=i-1，不是纯虚数，排除 A 项；i2(1-i)=-(1i)=-1+i，不是纯虚数，排除 B 项；(1+i)2=2i，2i 是纯虚
数，C 项正确；i(1-i)=i+1，不是纯虚数，排除 D 项.
因为复数(m+z)2 对应的点在第一象限，
2 + 2 > 0,
所以
解得 m>0.
2( + 1) > 0,
因此，实数 m 的取值范围是(0，+∞).
探索点三
复数范围内方程根的问题
【例 3】 已知 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的一个根(b，
c 为实数).
新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1.已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝1＋i，则 z2＝( )
A.－2i
B.2i
C.－2
D.2
解析：∵zi＝1＋i，∴z＝1＋i i＝1i ＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
答案：A
2.复数13＋－24ii2＝(
)
A.－1
[对点练清] 1.[变条件]若把本例(1)中的复数“zz21”换为“1＋1 i”，答案是
哪个？ 解：因为1＋1 i＝1＋1i－1i－i＝12－12i，所以复数1＋1 i对应的点
为12，－12，在第四象限.
2.[ 变 条 件 ] 若 把 本 例 (2) 中 的 复 数 “(1 － i)(a ＋ i)” 换 为 “1a－＋2ii”，其余条件不变，求实数 a 的取值范围. 解：因为1a－＋2ii＝1a－＋2iiaa－－ii＝aa2－＋21－2aa2＋＋11i，
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[方法技巧] 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数 的代数形式. 2.常用公式 (1)1i ＝－i；(2)11＋ －ii＝i；(3)11－ ＋ii＝－i.
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？
数学人教A版必修第二册7.2.2复数的乘、除法运算及几何意义课件
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)I
所以 z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(交换律) (结合律)
重点难点
ZHONGDIXXXNDIAN
1、复数代数情势的乘、除法的运算法则及其运算律。(重点).
2、复数除法的运算法则.(难点).
1
PART ONE
研学引导
知识点一 复数的乘法运算
一、复数代数情势的乘法运算法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
（2） (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
例5： 计算(1＋2i)÷(3－4i).
=(ac-bd)+(ad+bc)I
所以 z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(交换律) (结合律)
重点难点
ZHONGDIXXXNDIAN
1、复数代数情势的乘、除法的运算法则及其运算律。(重点).
2、复数除法的运算法则.(难点).
1
PART ONE
研学引导
知识点一 复数的乘法运算
一、复数代数情势的乘法运算法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
（2） (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
例5： 计算(1＋2i)÷(3－4i).
数学人教A版必修第二册7.2.2复数的乘、除运算课件
思考2：若 , 是共轭复数，则 是一个怎样的数？
对任意1 = + , 2 = − (, ∈ )，
1 2 = + − = 2 − 2 i2 = 2 + 2
若 , 是共轭复数，则 是一个实数
复数的除法法则
2）在进行复数除法运算时，通常
a+bi
先把(a + bi) ÷ (c + di)写成
|的情势，
c+di
再把分子与分母都乘分母的共轭复数c − di,
化简后就可得到上面的结果．
例5 计算(1 + 2i) ÷ (3 − 4i).
解：(1 + 2) ÷ (3 − 4)
1 + 2i
=
3 − 4i
(1 + 2i)(3 + 4i) 3 − 8 + 6i + 4i
=
=
(3 − 4i)(3 + 4i)
32 + 42
−5 + 10i
1 2
=
=− + i
25
5 5
练习3.计算
1+i
1
;
1−i
7+i
3
;
3 + 4i
1
2 ;
i
(−1 + i)(2 + i)
(4)
.
−i
解：
1+i
(1 + i)2
2i
1
=
= = i;
1−i
1−i 1+i
2
1
i
2 = 2 = −i;
i i
分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根．
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：7.2.2 复数的乘、除运算
x1,2＝－2ba±
－Δ 2a i.
【跟踪训练 2】
在复数范围内解方程 2x2＋4x＋15＝0. 解 配方，得(x＋1)2＝－123，
因为 226i2＝－ 226i2＝－123，
所以 x＋1＝± 226i，
所以原方程的根为
x＝－1±
26 2 i.
题型三 复数 in 的周期性运算 例 3 计算：(1)21＋－2ii2＋1＋2i2020； (2)1＋i＋i2＋i3＋…＋i2019. [解] (1)21＋－2ii2＋1＋2i2020＝2－＋22ii＋22i1010＝i(1＋i)＋1i 1010 ＝－1＋i＋(－i)1．－i
由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数．
【新知拓展】
虚数单位 i 的乘方 计算复数的乘积要用到复数单位 i 的乘方，i 有如下性质： i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1. 说明：(1)上述公式说明 i 的幂具有周期性，且最小正周期是 4. (2)n 可推广到整数集． (3)4k(k∈Z)是 i 的周期． (4)与 i 有关的几个结论： (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i.
【题型探究】
题型一 复数的乘、除运算
例 1 (1)复数32＋－23ii－32－ ＋23ii＝(
)
A．0 B．2 C．－2i D．2i
(2)若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位， 则复数(z1－z2)i 的实部为________．
[解析] (1)解法一：32＋ －23ii－32－ ＋23ii ＝3＋2i2＋ 2－3i3i－23＋－32ii2－3i ＝6＋13i－64－ ＋69＋13i＋6＝2163i＝2i. 解法二：32＋－23ii－32－ ＋23ii＝i22－－33ii－－2i＋2＋3i3i＝i＋i＝2i. (2)(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i， ∴(z1－z2)i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20
7.2.2+复数的乘、除运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2-i
3.[苏教版教材例题]计算 .
3-4i
解 (方法
2-i
1)设 =x+yi(x,y∈R),则(3-4i)(x+yi)=2-i,
3-4i
=
3 + 4 = 2,
即(3x+4y)+(3y-4x)i=2-i,所以
解得
3-4 = -1,
=
2-i
因此
3-4i
(方法
=
2
1
+
i.
5
5
2-i
2)
3-4i
(1+i)(4+3i)
(2)计算:
(2-i)(1-i)
-2+i
=
4+3i+4i+3i2
解析 原式=
2-2i-i+i
=
22+11i+14i+7i2
2
=
1+7i
1-3i
4-i
2
=
15+25i
=3+5i.
5
.
=
(1+7i)(1+3i)
(1-3i)(1+3i)
=
1+3i+7i+21i2
1-9i
2
=
-20+10i
1-3i
∵z=
1+i
=
(1-3i)(1-i)
(1+i)(1-i)
∴复数z的虚部是-2.
故选D.
1 2 3 4 5 6
D.-2
=
-2-4i
=-1-2i,
2
2.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为( A )
高中数学人教A版必修(第二册)课件复数的乘除运算
例1.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
解 (1 2i)(3 4i)(2 i) ： =（11 -2i）(-2+i)
= -20+15i
子默数学
例2.计算 (1)(2 3i)(2 3i) (2)(1 i)2
解 (1)(2 3i)(2 3i) ： =22 (3i)2
=4 9i2
新人教A版必修二
7.2.2复数的乘除运算
子默数学
温故而知新
复数的加减法： z1＝a＋bi，z2＝c＋di
复数的乘法：
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
z1z2 =(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
子默数学
复数的乘法
1．法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R) 是任意两个复数，那么它 们的积(a＋bi)(c＋di) =—(a—c－—b—d)—＋—(ad—＋—bc—)i—
例5 在复数范围内解下列方程：
(1)x2 2 0; (2)ax2 bx c 0,其中a,b,c R,且a 0, b2 4ac 0.
解 (1) x2 2 0
：
x2 -2
-1 2
x 2i
原方程的根为x 2i
高中数学人教A版必修（第二册）课件 复数的 乘除运 算
子默数学
解 (2)(1 i)2 ： 1 2i i2
2i
(2)(1 i)2
(1 i)2 2i (1 i)2 2i
高中数学人教A版必修（第二册）课件 复数的 乘除运 算
子默数学
高中数学人教A版必修（第二册）课件 复数的 乘除运 算
2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
即x＝－2＋ 2i或x＝－2－ 2i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义(课件)-【新教材】人教A版高中数学必修第二册
1 3i i2
(1 3i)(i 2) (i 2)(i 2)
i 2 3i2 6i
5
5 5i 5
1 i
数学应用
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x2 2 0 ； （2） ax2 bx c 0，其中 a,b,c R ，且 a 0, b2 4ac 0 ．
解析（1）因为 ( 2 i) 2 ( 2 i) 2 2 ，
2.复数代数情势的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝
3.复数乘法、除法的几何意义及其应用.
重要数学思想： 数形结合
课后思考
结束寄语
她学世 的问界 数 乐题， 学 趣的希 世 和解望 界 魅决同 是 力中学 个 ！感们 有
受从趣 到数的
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i. 2.乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝_z_2z_1_
结合律
(z1z2)z3＝_z_1_(z_2_z_3)_
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_z_1_z2_＋__z_1_z3__
数学运用
例2.计算：
3 2i 3 2i 2 3i 2 3i
解: 3 2i 3 2i
2 3i 2 3i
i(2 3i) i(2 3i) 2 3i 2 3i
ii
数学运用
练习： (i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
解:原式
i2 i 2i i 1i2
2 ii
第7章 复数
7.2.2 复数的乘、除运算及其几何意义
创设情境
思考
复数代数情势的乘法运算法则是什么?