2018年上海市长宁嘉定区高三二模数学卷(含答案)

2017学年长宁、嘉定区高三年级第二次质量调研数 学 试 卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______．2．nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n ___________．3．已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________．4．已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．5．已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S _______．6．设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．7．将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________． 8．三棱锥ABC P -及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB 的长为________．9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相PABC主视图加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三 等奖的概率为____________．10．已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________． 11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最 小值为____________．12．若实数x 、y 满足112244+++=+y x y x ，则yxS 22+=的取值范围是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．“2=x ”是“1≥x ”的………………………………………………………………（ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,4322t y t x （t 为参数，且30≤≤t ）所表示的曲线是………………（ ）．（A ）直线 （B ）圆弧 （C ）线段 （D ）双曲线的一支15．点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿M C B A ---运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）16．在计算机语言中，有一种函数)(x INT y =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等于不超过x 的最大整数，如0)9.0(=INT ，3)14.3(=INT ．已知⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n INT a 1072，11a b =，110--=n n n a a b （*N ∈n 且2≥n ），则2018b 等于………………………（ ）．（A ）2 （B ）5 （C ）7 （D ）8（反面还有试题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数⎪⎭⎫⎝⎛++=62sin sin 2)(2πx x x f ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和值域；（2）设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若31cos =B ，()2=A f ，求C sin 的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，︒=∠90BAD ，AD ∥BC ，2=AB ，1=AD ，4==BC PA ，⊥PA 平面ABCD ．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的大小； （2）求二面角D PC A --的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的%20．（1）若建立函数)(x f y =模型制定奖励方案，试用数学语言．．．．表述该团队对奖励函数)(x f 模型的基本要求，并分析函数2150+=xy 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数2310)(+-=x ax x f 作为奖励函数模型，试确定最小的正整DPA B C数a 的值． 20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线xy -=的对称点在椭圆Γ上．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||MA d A =恒成立？若存在 ，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ．数列}{n b 满足21=b ，42=b ，且等式112+-=n n n b b b 对任意2≥n 成立．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）将数列}{n a 与}{n b 的项相间排列构成新数列1a ，1b ，2a ，2b ，…，n a ，n b ，…，设该新数列为}{n c ，求数列}{n c 的通项公式和前n 2项的和n T 2．（3）对于（2）中的数列}{n c 的前n 项和n T ，若n n c T ⋅≥λ对任意*N ∈n 都成立，求实数λ的取值范围．2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．3 2．4 3．5 4．x y 42= 5．416．4 7．π322 8．24 9．167 10．]1,1[- 11．2112．]4,2( 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项． 13．A 14．C 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）12cos 212sin 232cos 212sin 232cos 1)(+-=++-=x x x x x x f 162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx ， ……………………………（每对一步得1分）（4分）所以，)(x f 的最小正周期π=T ，值域为]2,0[． ……………………………（6分）（2）由2)(=A f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πA ， ………………………………………（2分） 因为π<<A 0，所以611626πππ<-<-A ，故262ππ=-A ，3π=A ． ……（5分）因为在△ABC 中，31cos =B ，所以322sin =B ， …………………………（6分）所以，[]B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()(sin sin +=+=+-=π6223322213123+=⋅+⋅=． …………………………………………（8分） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）法一：以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分） 则)0,0,2(B ，)0,1,0(D ，)0,4,2(C ，)4,0,0(P ， ………………………（2分） 所以，)0,1,2(-=，)4,4,2(-=， ………………………………………（3分） 因为044=+-=⋅，所以，⊥． ……………………………………（5分） 所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． …………………………………（6分） （1）法二：连结AC ，因为︒=∠90BAD ，所以21tan ==∠AB AD ABD ，………（1分） 由AD ∥BC ，得︒=∠90ABC ，所以21tan ==∠BC AB ACB ， ………………（2分）所以ACB ABD ∠=∠，于是︒=∠+∠90DBC ACB ，即AC BD ⊥， …………（4分） 又⊥PA 平面ABCD ，所以BD PA ⊥，所以⊥BD 平面PAC ，故PC BD ⊥． 所以，异面直线BD 与PC 所成角的大小为︒90． ………………………………（6分）（2）由（1）⊥BD 平面PAC ，所以)0,1,2(-=是平面PAC 的一个法向量．（1分） 设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =ρ，因为)4,4,2(-=PC ，)0,3,2(=CD ，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0CD n n ρρ得⎩⎨⎧=+=-+,032,0442y x z y x取1=z ，则6-=x ，4=y ，故)1,4,6(-=n ρ． ……………………………………（5分）设BD 与n ρ的夹角为θ，则2652651626516||||cos ==⋅=n BD ρρθ． ……………（7分） 由图形知二面角D PC A --为锐二面角，所以二面角D PC A --的余弦值为26526516． ……………………………………（8分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）设函数模型为)(x f y =，根据团队对函数模型的基本要求，函数)(x f y =满足： 当]1000,10[∈x 时，①)(x f 在定义域]1000,10[上是增函数；②9)(≤x f 恒成立；③5)(xx f ≤恒成立． …………………………………………（3分，每项得1分） 对于函数2150+=xy ，当]1000,10[∈x 时，)(x f 是增函数；9232021501000)1000()(max <+=+==f x f ，所以9)(≤x f 恒成立；但10=x 时，5102151)10(>+=f ，即5)(xx f ≤不恒成立．因此，该函数模型不符合团队要求． ………………………………（6分，每项得1分） （2）对于函数模型2203102310)(++-=+-=x a x a x x f ， 当0203>+a 即320->a 时递增． ………………………………………………（2分） 当]1000,10[∈x 时，要使9)(≤x f 恒成立，即9)1000(≤f ，所以1000183≥+a ，3982≥a ； ……………………………………………………（4分） 要使5)(x x f ≤恒成立，即52310xx a x ≤+-，015482>+-a x x 恒成立， 得出5192≥a ． ………………………………………………………………………（6分）综上所述，3982≥a ． …………………………………………………………………（7分）所以满足条件的最小正整数a 的值为328． ………………………………………（8分）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分） 因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）则1222=-=c a b ．所以，椭圆Γ的方程为1422=+y x ． ……………………（4分） （2）由题意，直线l 的斜率存在，设l 的方程为2+=kx y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,222y x kx y 得01216)14(22=+++kx x k ， ………………………………（1分）由△0)14(124)16(22>+⋅-=k k ，得342>k ． ………………………………（2分）设),(C C y x C ，),(D D y x D ，则14162+-=+k k x x D C ，14122+=k x x D C ，且||||C D x x >，||||||||||21||||21C D C D C D POC POD COD x x x x x PO x PO S S S -=-=⋅⋅-⋅⋅=-=△△△，所以，144814164)()222222+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=-=k k k x x x x x x S D C D C C D COD （△ 222222)14()34(16)14(4864+-=+-=k k k k ． …………………………………………………（3分） 令t k =-342，则0>t ，所以，8161616816)4(16222++=++=+=tt t t t t t S COD △， 因为816≥+tt （当且仅当4=t 时等号成立），此时12≤COD S △． ……………（5分） 所以，当且仅当4=t ，即472=k 时，△COD 的面积取最大值1． …………（6分）（3）当直线m 的斜率不存在时，m 的方程为1=x ，此时B A d d =，||||MB MA =，等式||||MB MA d d B A =成立； ………………………………………………（1分）当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为)1(-=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,14,)1(22y x x k y 得0448)14(2222=-+-+k x k x k ， ……………………（2分）设）11,(y x A ，),(22y x B ，则1482221+=+k k x x ，14442221+-=k k x x ，由题意，1x 与2x 一个小于1，另一个大于1，不妨设211x x >>，则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x x MA d MB d B A +-⋅--+-⋅-=⋅-⋅2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x |]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k)]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(212121002=+++-⋅+=x x x x x x k ，所以，02))(1(2212100=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分）即014)1(814)1(82222200=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分） 综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA d d B A =恒成立． ………………（6分）21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由2)1(4+=n n a S ，即1242++=n n n a a S ，所以1241211++=+++n n n a a S ， 两式相减得，)(2412211n n n n n a a a a a -+-=+++， …………………………………（1分）故0)2)((11=--+++n n n n a a a a ， ………………………………………（2分） 因为0>n a ，所以21=-+n n a a ． ………………………………………（3分） 又由211)1(4+=a a 得11=a ．所以，数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列．所以，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ． …………………………………………（4分）（2）由题意，数列}{n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故nn b 2=．…………（1分）所以，⎪⎩⎪⎨⎧=.,2,,2为偶数为奇数n n n c n n ………………………………………………………（3分）数列}{n a 的前n 项和2n S n =，数列}{n b 的前n 项和2221)21(21-=--='+n n nS ．…（5分） 所以，22122-+='+=+n nn n n S S T ． ………………………………………………（6分） （3）当n 为偶数时，设k n 2=（*N ∈k ），由（2）知，22122-+=+k k k T ，k k c 22=，由k k c T 22⋅≥λ，得kk k 22212⋅≥-++λ， …………………………………………（1分）即222222212+-=-+≤+k k k k k λ， …………………………………………………（2分） 设222)(2+-=k k k f ，则12122)1)(3(2222)1()()1(+++--=---+=-+k k k k k k k k f k f ， 所以，当3≤k 时，)(k f 单调递增，当3≥k 时，)(k f 单调递减． ………………（3分） 因为23)1(=f ，当3≥k 时，2222)(2>+-=kk k f ，所以，23)1()]([min ==f k f ． 所以，23≤λ． …………………………………………………………………………（4分）当n 为奇数时，设12-=k n （*N ∈k ），则k k k k k k c T T 222122212--+=-=+-，222-+=k k ， …………………………………………………………………………（5分）由1212--⋅≥k k c T λ，得)12(222-⋅≥-+k k kλ，即12222--+≤k k k λ， ……………（6分）设1222)(2--+=k k k g k ，则12221222)1()()1(212--+-+-++=-++k k k k k g k g k k0)12)(12(3)32(222>+-+-+=k k k k k ，故)(k g 单调递增，1)1()]([min ==g k g ，故1≤λ．…（7分）综上，λ的取值范围是]1,(-∞． ……………………………………………………（8分）。