6第六节稳定裕量
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稳定裕度
Nyquist稳定性判据是根据开环传递函数 G(jw)H(jw) 曲线是否包围GH平面 上的临界点( -1, 0 ) 判断闭环稳定性的。那末，能否根据函数 G(jw)H(jw) 曲 线离开( -1, 0 ) 判断闭环系统的相对稳定性呢？这就是本节的内容。 s 平面上的等 s 线和等 w 线在GH 平面上的映象见图。S 平面上，s = 0线 在 GH 平面的映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用同样方法，也可以 解释等 w 线映象的意义。因此，GH平面上， ( -1, 0 ) 点在“映象网格”中 的位置就反映了闭环极点在s 平面上的位置，体现了其相对稳定性。 为了简便，实际中不进行等 s 线和等 w 线的网格映射，而直接采用GH平 面上( -1, 0 )到 G(jw)H(jw) 曲线的距离来判断闭环的相对稳定性。
习题5、 系统的开环传递函数为 KTT K G( s) H ( s) = , 1 2 1 s(T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 试用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性 K (T1 T2 ) G( jw) H ( jw) = 1 w 2 (T12 T22 ) w 4T12T22
)(1 j ) 0.01 5
w
) 0.1
w
w
20lg K 20lg 1 (
K 10 =1 100 1
1 2 1 2 1 ) 20lg 1 ( ) 20lg 1 ( ) 2 = 20lg1 0.1 0.01 5 10(1 10s) G ( s ) = K = 10 s(1 100s)(1 0.2s)
（3）幅值裕度在Bode 图中的等价表述
(自动控制原理)稳定裕度
2 干扰和噪声
外部干扰和噪声会降低系统的稳定裕度。
3 参数变化
系统参数的变化会对稳定裕度产生影响。
提高稳定裕度的方法和技巧
1
参数调整
通过调整系统参数来增加稳定器类型和参数来提高稳定裕度。
3
滤波器应用
通过滤波器来减少干扰和噪声对系统稳定裕度的影响。
结论和总结
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标，它能够确保系统在面对干扰和参数变化时保持稳定。了解稳定 裕度的定义、计算方法和影响因素，以及提高稳定裕度的方法和技巧，对于优化系统设计和提高系统可 靠性至关重要。
(自动控制原理)稳定裕度
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标。它衡量系统在面对干扰时的能力， 是确保系统可靠运行的关键。
定义稳定裕度
稳定裕度可以定义为系统离稳定界限的距离。它衡量了系统在存在不确定因素或参数变化时仍然保持稳 定的能力。
稳定裕度的公式和计算方法
稳定裕度公式
常见的稳定裕度公式是： 稳定裕度 = 1 / (1 + G(s))
计算方法
计算稳定裕度时，需要确定系统的传递函数， 并对其进行频率响应分析。
1. 确定幅值裕度和相位裕度的要求。 2. 绘制系统的频率响应曲线。 3. 根据要求的裕度计算稳定裕度。
稳定裕度的意义和重要性
1 系统可靠性
稳定裕度能够确保系统在面对干扰或参数变化时保持稳定性。
2 容错能力
稳定裕度增加系统的容错能力，即使出现不确定情况也能维持系统的稳定。
3 稳定边界
通过评估稳定裕度，可以确定系统的稳定边界，并提前采取措施来避免系统不稳定。
常见的稳定裕度指标
相位裕度 幅值裕度 增益裕度
系统响应相位与稳定边界相差的角度值。 系统响应幅值与稳定边界之间的比例关系。 系统传递函数增益与单位增益相差的值。
567稳定裕度
三、稳定裕度概念使用时的局限性 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为1的点或相角为180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕 度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义；对于广泛使用的
开环稳定反馈系统，Kg d、B 均 为正值。且通常取值为：
Kg : Kg dB 6dB 一般取10～20dB
M () j
n2
(n2 2 )2 (2n)2
r n 1 2 2 0 0.707
Mr M r
2
1
1 2
0 0.707
% e / 1 2 100 %
%
Mr
M r ：反映系统对某个 频率正弦输入信 号响应的平稳性。
谐振峰值与最大超调量之间的关系
（2）与b t的s 关系
: 300,
一般取400～ 600
3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有 部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳 定性依然不好。见下图：
Ag
1
第七节 频率特性和时域性 能指标的关系
一、开环频率特性相位裕量与时域性能指标
之间的关系
G( j)H j
n2
( j)[( j) 2n )
第六节 稳定裕度
一、相角裕量 (相位稳定裕度)
g
1
c
(c )
c ：增益交界频率
180 (c )
[相位稳定裕度物理意义]：稳定系统在增益交界频率
处c 将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再 减小，就会变为不稳定。即在增益交界频率 c
上，使系统穿越 (1, j点0)尚可增加的迟后相角量。
2、高频段： 把 1的0区c段。
反映了系统的抗高频干扰的能力，希望 衰减的大一些。
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
第六节 明钢管的管身应力分析及结构设计
第六节明钢管的管身应力分析及结构设计一、明钢管的荷载明钢管的设计荷载应根据运行条件，通过具体分析确定，一般有以下几种：(1)内水压力。
包括各种静水压力和动水压力，水重，水压试验和充、放水时的水压力。
(2)钢管自重。
(3)温度变化引起的力。
(4)镇墩和支墩不均匀沉陷引起的力。
(5)风荷载和雪荷载。
(6)施工荷载。
(7)地震荷载。
(8)管道放空时通气设备造成的负压。
钢管设计的计算工况和荷载组合应根据工程的具体情况参照钢管设计规范采用。
二、管身应力分析和结构设计明钢管的设计包括镇墩、支墩和管身等部分。
前二者在上节中已经讨论过，这里主要讨论管身设计问题。
明钢管一般由直管段和弯管、岔管等异形管段组成。
直管段支承在一系列支墩上，支墩处管身设支承环。
由于抗外压稳定的需要，在支承环之间有时还需设加劲环。
直管段的设计包括管壁、支承环和加劲环、人孔等附件。
支承在一系列支墩上的直管段在法向力的作用下类似一根连续梁。
根据受力特点，管身的应力分析可取如图13-14所示的三个基本断面：跨中断面1-1；支承环附近断面2-2和支承环断面3-3。
以下介绍明钢管计算的结构力学方法。
图13-14 管身计算断面（一）跨中断面（断面1-1)管壁应力采用的坐标系如图13-15所示。
以x表示管道轴向，r表示管道径向，θ表示管道切向，这三个方向的正应力以、、表之，并以拉应力为正。
图中表明了管壁单元体的应力状态，剪应力r 下标的第一个符号表此剪应力所在的面（垂直x轴者称x面，余同），第二个符号表示剪应力的方向，如表示在垂直x轴的面上沿e向作用的剪应力。
1.切向（环向）应力。
管壁的切向应力主要由内水压力引起。
对于水平管段，管道横截面上的水压力如图13-16(a),它可看作由图13-16(b)的均匀水压力和图13-16(c)的满水压力组成。
这两部分的水压力在管壁中引起的切向应力为式中D、δ--管道内径和管壁计算厚度，cm；γ--水的容重，0.001；H--管顶以上的计算水头，㎝；θ--管壁的计算点与垂直中线构成的圆心角，如图13-16(c)所示。
稳定裕度
j 1
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
电气自动控制原理与系统(第三版)
比例环节的波德图
（2）对数相频特性 由于υ（ω）=0，因此其对数相 频特性曲线是一条与横轴重合的水平线。
图4-3 比例环节 的Bode图
积分环节的波德图
1．传递函数
2．频率特性
1 G ( s) is
G( j )
1 j i
j
1
i
1
i
e
j
π 2
(4-10) (4-11) (4-12)
• 对比积分环节对数频率特性公式可知，它们之间仅 差一个负号，因此它们的Bode图对称于横轴。即对 数幅频特性L（ω ）为一条斜率为20dB/dec的直线。 当τ d=1时（理想微分环节），该直线通过横轴 ω =1处。 • 当τ d≠1时，该直线通过横轴ω =1/τ d处。由于对 数相频特性φ （ω ）=π /2，因此对数相频特性曲 线是一条通过纵轴φ （ω ）=π /2处、与横轴平行 的直线。
惯性环节的波德图
惯性环节相移计算表
ωτ 0.1 0.25 -14.1 0.4 0.5 1.0 -45 2.0 2.5 4.0 10.0 -84.3 相移/（°） -5.7 -21.8 -26.6 -63.4 -68.2 -75.9
第四章自动控制系统的频域分析法
主要内容
• • • • • • • 第一节 频率特性的基本概念 第二节 典型环节的博德图 第三节 控制系统开环博德图的绘制 第四节 对数频率稳定判据与稳定裕量 第五节 典型系统的开环博德图与频域指标 第六节 开环频率特性与阶跃响应之间的关系 本章小结
电气自动控制原理与系统 第3版
惯性环节的波德图
惯性环节对数幅频特性误差修正表
τω 误差/dB 0.1 -0.04 0.25 -0.32 0.4 -0.65 0.5 -1.0 1.0 -3.0 2.0 -1.0 2.5 -0.65 4.0 -0.32 10.0 -0.04
5.4稳定裕量
180
F ()
270
§5-6
频域性能指标和时域指标的关系 ＝b 截止频率 闭环输出增益衰减 至70.7%时的频率 —带宽
•闭环频率特性的性能指标
M(dB)
|M(j0)|
1.0 0.707
Mr
＝r 谐振频率 闭环输出幅值最大
Mr
谐振峰值
r
b
一、二阶系统
M
C(s) 2 n G(s) 2 R (s) S 2 nS 2 n
Mr
p
p e
Mr
1 2
已知Mr, 通过曲线得到p与ζ
M r小 M p小(大)
1.0
p
0.707时, M r 1 0.707就没有M r
0.707
的关系又如何呢?
2 n 越大乃氏曲线离 二阶系统开环频率特性 G(j) j( j 2 n ) （-1j0）点越远， 由于A( c ) 1 Ã ¦ 相对稳定性越好。 2
10 1 j c j c ( ) 2 c 20 4.47
求相角裕度：先求 c 180 (c )
c＝4.47
( c ) 90 arctg0.5 c arctg0.1 c
90 arctg0.5 4.47 arctg0.1 4.47 90 65.9 24.1 180 180 ( c ) 0
Bode¼ Í
L()
c
h
F ()
g
180
上图系统 >0, h>0, 闭环是稳定的
右图系统闭环不稳定：
<0, h<0
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的哪些系统参量的变化对稳定性的影响。
当Gk(j)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由
奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(－1,j0)点，则增益稳定 裕量为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开 环增益可达无穷大。
当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定，Gk(j)
图必须逆时针包围(－1,j0)点，在这种条件下稳定系统产生负的 增益稳定裕量和负的相角稳定裕量。在这种情况下，首先必须 确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计算稳定裕 量的数值。一但稳定性被确定，稳定裕量的数值便直接表明稳 定或不稳定的程度，稳定裕量的符号就没有意义了。
当频率特性曲线穿过(－1,j0)点时， 系统处于临界稳定状态。这时：
A(g)=1, (c)=－180°,g=c 。
最小相位系统稳定的条件为：
当A(c)=1时，(c)＞－180° 当(g)=－180°时A(g)＜1
4/3/2021
4
可以用A(g)和(c)来表示频率特性曲线接近(－1,j0)点的程度，
定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差为相角稳定 裕量。即
(c ) (180 ) 180 (c )
4/3/2021
5
j
L()
G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
0
() -90
→0
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-180 -270
Lg
c
g
6
显然，当Lg＞0时，即A(g)＜1和 ＞0时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg＞0和 ＞0是同时发生
10
－60dB/dec
100
12
令 ( ) 90 tg1 tg10.1 180
tg
1
1
1.1 0.1
2
90
1 0.1 2 0
g 10 3.16
A(g )
K
2 1 (0.1)2 1
K
K
10 11 1.1 11
10
Kg
11 K
K 0.3
Kg
11 0.3
1
Lg
20 log
11 01 1 3
K 30
Kg
11 30
1
Lg
20log 11 3
11.3(dB)
11 Lg 20log 30 8.7(dB)
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13
60 K=30
40 K=3
20
0 -20
K=0.3
-40
-60
-80
-100
-120
-90
－20dB/dec
－40dB/dec Lg＝-8.7dB
[相角稳定裕量的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c处将相 角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。 相位稳定裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在c
点所允许增加的最大相位滞后。
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7
增益稳定裕量反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而
相角稳定裕量则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(j)的相位
或不稳定的程度。
Im G(s)平面
当K=K3时，极坐标图顺 时针包围了(－1，j0)点，因
c3
此，闭环系统不稳定。
g3 -1 g1
Re
当K减小到K2时，极坐标
图将通过(－1，j0)点，闭环
c2=g2
系统处于临界稳定，此时闭
c1
环系统在虚轴上有极点。
K3
K2
K1
当K小于临界值后，系统 变成稳定系统，而且，随着 K的进一步减小，系统的相 对稳定性将越来越高。
相对稳定性较好。
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9
[例]单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
Kg
s(s 1)(s 10)
试分别确定Kg=3、Kg=30和Kg=300时的相角裕量。
解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时
间常数形式的传递函数
G(s)
K g 10
K
s(s 1)(0.1s 1) s(s 1)(0.1s 1)
式中， K= Kg /10，为系统的开环增益。按题意是要求K=0.3、
K=3和K=30时的 值。
当K=0.3，c=0.288， 72.3°(近似值c=0.3， 71.6° )
当K=3，c=1.583， 23.3°(近似值c=1.73， 20.2° )
当K=30，c=5.12， 16°(近似值c=5.48， 18.4° )
或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳 定裕量。常用相角裕量。
[幅值稳定裕量物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。 若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳 定裕量是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。
1)
40
20 0
由图可见c约为0.3，
-20
对应 18°
-40
-60
相角极小点约为
-80
-100 -120
=0.4 ，对应 15.7
-140
-90
-120
-150
-180
-210
-240
-270
0.01
0.1
1
10
100
1000
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16
或称为稳定裕量。稳定裕量越大，相对稳定性越好。
定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕量，即
Kg
1
A( g )
在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即
Lg 20 lg K g 20 lg A( g )
Lg称为对数幅值稳定裕量或增益稳定裕量，由于Lg应用较多， 通常直接被称为幅值稳定裕量。
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10
60 K=30
40 K=3
20
0 -20
K=0.3
-40
-60
-80
-100
-120
-90
－20dB/dec
-120
-150
c＝0.288 1=72.3°
-180
-210
c＝1.583 2=23.3°
-240
-270
0.1
1
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－40dB/dec
c＝5.12 1=-16°
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j G(s平面
j G(s平面
j G(s平面
-1 CB
Ag
g
→∞
0
Ag
-1 g
→∞ 0
Ag
-1 g
→∞
0
CA
→0
c →0
C →0
除了相位稳定裕量和幅值稳定裕量之外，另一种相对稳定
性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。
越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系 统而言不可能选得非常大。一般可取在30°～60°，Lg >6dB
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最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用极 坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。
j G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
→0
定义极坐标图穿过负实轴(此时
()=－180° )对应的频率为相角穿 越频率,用g表示；
定义幅值A()=1对应的频率为幅 值穿越频率，用c表示。
当L()在c处的斜率处于－60dB/dec段时，系统一般是不稳定
的，除非－60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大
于－40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量 也是非常小的。
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[例] 系统的开环传递函数为
G(s)
s(5s
(1.25s 1)2 1)2 (0.02 s 1)(0.005 s
Lg＝31.3dB
Lg＝11.3dB
－60dB/dec
-120
-150
c＝0.288 1=72.3°
-180
-210
c＝1.583 2=23.3°
c＝5.12 1=-16°
-240
-270
0.1
1
g＝3.16
10
100
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一般而言，当L()在c处的斜率处于－20dB/dec段时，系 统是稳定的；当L()在c处的斜率处于－40dB/dec段时，系统 可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量 也是较小的；
从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一 定的安全系数。换句话讲，就是不仅关心系统是否稳定，还关 心系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也 称为稳定裕量。
本节将用频率响应方法来研究系统的相对稳定性。
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用频率响应方法来研究系统的相对稳定性是利用开环频率
特性的极坐标图与(－1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定
第六节 稳定裕量
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1
前面我们用奈奎斯特曲线判断系统的绝对稳定性，即系统 是稳定还是不稳定。当然一个系统只有稳定才是有用的。
但除此之外还有两个问题需要考虑。首先，由于赖以分析 和设计的系统数学模型不可能十分精确，尽管对模型的分析结 果是稳定的，而实际系统却可能并不稳定；其次，一个稳定的 系统还必须有良好的过渡响应。
当Gk(j)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由
奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(－1,j0)点，则增益稳定 裕量为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开 环增益可达无穷大。
当Gk(s)在s右半平面有极点时，为了使闭环系统稳定，Gk(j)
图必须逆时针包围(－1,j0)点，在这种条件下稳定系统产生负的 增益稳定裕量和负的相角稳定裕量。在这种情况下，首先必须 确定系统的稳定性(即系统稳定还是不稳定)，然后再计算稳定裕 量的数值。一但稳定性被确定，稳定裕量的数值便直接表明稳 定或不稳定的程度，稳定裕量的符号就没有意义了。
当频率特性曲线穿过(－1,j0)点时， 系统处于临界稳定状态。这时：
A(g)=1, (c)=－180°,g=c 。
最小相位系统稳定的条件为：
当A(c)=1时，(c)＞－180° 当(g)=－180°时A(g)＜1
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4
可以用A(g)和(c)来表示频率特性曲线接近(－1,j0)点的程度，
定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差为相角稳定 裕量。即
(c ) (180 ) 180 (c )
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j
L()
G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
0
() -90
→0
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-180 -270
Lg
c
g
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显然，当Lg＞0时，即A(g)＜1和 ＞0时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg＞0和 ＞0是同时发生
10
－60dB/dec
100
12
令 ( ) 90 tg1 tg10.1 180
tg
1
1
1.1 0.1
2
90
1 0.1 2 0
g 10 3.16
A(g )
K
2 1 (0.1)2 1
K
K
10 11 1.1 11
10
Kg
11 K
K 0.3
Kg
11 0.3
1
Lg
20 log
11 01 1 3
K 30
Kg
11 30
1
Lg
20log 11 3
11.3(dB)
11 Lg 20log 30 8.7(dB)
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60 K=30
40 K=3
20
0 -20
K=0.3
-40
-60
-80
-100
-120
-90
－20dB/dec
－40dB/dec Lg＝-8.7dB
[相角稳定裕量的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c处将相 角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。 相位稳定裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在c
点所允许增加的最大相位滞后。
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增益稳定裕量反映开环增益对闭环系统稳定性的影响，而
相角稳定裕量则不一样，它仅仅反映理论上只改变Gk(j)的相位
或不稳定的程度。
Im G(s)平面
当K=K3时，极坐标图顺 时针包围了(－1，j0)点，因
c3
此，闭环系统不稳定。
g3 -1 g1
Re
当K减小到K2时，极坐标
图将通过(－1，j0)点，闭环
c2=g2
系统处于临界稳定，此时闭
c1
环系统在虚轴上有极点。
K3
K2
K1
当K小于临界值后，系统 变成稳定系统，而且，随着 K的进一步减小，系统的相 对稳定性将越来越高。
相对稳定性较好。
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[例]单位反馈系统的开环传递函数为 G(s)
Kg
s(s 1)(s 10)
试分别确定Kg=3、Kg=30和Kg=300时的相角裕量。
解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时
间常数形式的传递函数
G(s)
K g 10
K
s(s 1)(0.1s 1) s(s 1)(0.1s 1)
式中， K= Kg /10，为系统的开环增益。按题意是要求K=0.3、
K=3和K=30时的 值。
当K=0.3，c=0.288， 72.3°(近似值c=0.3， 71.6° )
当K=3，c=1.583， 23.3°(近似值c=1.73， 20.2° )
当K=30，c=5.12， 16°(近似值c=5.48， 18.4° )
或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳 定裕量。常用相角裕量。
[幅值稳定裕量物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。 若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳 定裕量是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。
1)
40
20 0
由图可见c约为0.3，
-20
对应 18°
-40
-60
相角极小点约为
-80
-100 -120
=0.4 ，对应 15.7
-140
-90
-120
-150
-180
-210
-240
-270
0.01
0.1
1
10
100
1000
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或称为稳定裕量。稳定裕量越大，相对稳定性越好。
定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕量，即
Kg
1
A( g )
在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值，即
Lg 20 lg K g 20 lg A( g )
Lg称为对数幅值稳定裕量或增益稳定裕量，由于Lg应用较多， 通常直接被称为幅值稳定裕量。
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60 K=30
40 K=3
20
0 -20
K=0.3
-40
-60
-80
-100
-120
-90
－20dB/dec
-120
-150
c＝0.288 1=72.3°
-180
-210
c＝1.583 2=23.3°
-240
-270
0.1
1
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－40dB/dec
c＝5.12 1=-16°
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j G(s平面
j G(s平面
j G(s平面
-1 CB
Ag
g
→∞
0
Ag
-1 g
→∞ 0
Ag
-1 g
→∞
0
CA
→0
c →0
C →0
除了相位稳定裕量和幅值稳定裕量之外，另一种相对稳定
性的度量指标是闭环幅频特性的峰值Mp。
越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系 统而言不可能选得非常大。一般可取在30°～60°，Lg >6dB
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最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用极 坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。
j G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
→0
定义极坐标图穿过负实轴(此时
()=－180° )对应的频率为相角穿 越频率,用g表示；
定义幅值A()=1对应的频率为幅 值穿越频率，用c表示。
当L()在c处的斜率处于－60dB/dec段时，系统一般是不稳定
的，除非－60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大
于－40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量 也是非常小的。
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[例] 系统的开环传递函数为
G(s)
s(5s
(1.25s 1)2 1)2 (0.02 s 1)(0.005 s
Lg＝31.3dB
Lg＝11.3dB
－60dB/dec
-120
-150
c＝0.288 1=72.3°
-180
-210
c＝1.583 2=23.3°
c＝5.12 1=-16°
-240
-270
0.1
1
g＝3.16
10
100
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一般而言，当L()在c处的斜率处于－20dB/dec段时，系 统是稳定的；当L()在c处的斜率处于－40dB/dec段时，系统 可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量 也是较小的；
从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一 定的安全系数。换句话讲，就是不仅关心系统是否稳定，还关 心系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也 称为稳定裕量。
本节将用频率响应方法来研究系统的相对稳定性。
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用频率响应方法来研究系统的相对稳定性是利用开环频率
特性的极坐标图与(－1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定
第六节 稳定裕量
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前面我们用奈奎斯特曲线判断系统的绝对稳定性，即系统 是稳定还是不稳定。当然一个系统只有稳定才是有用的。
但除此之外还有两个问题需要考虑。首先，由于赖以分析 和设计的系统数学模型不可能十分精确，尽管对模型的分析结 果是稳定的，而实际系统却可能并不稳定；其次，一个稳定的 系统还必须有良好的过渡响应。